三角函数公式及重要知识点
一、任意角三角函数
1. 与α终边相同的角为：k ⋅360︒+α, k ∈Z . 2. 弧度数公式：α=
l 1
；弧长公式：l =α⋅r . 扇形面积：S =l ⋅r . r 2
1︒=3. 度与弧度互化：π弧度=180︒；
4. 任意角三角函数的定义：
π
180
弧度； 1弧度≈57. 30︒=57︒18'.
y x y
； cos α= tan α=；. r r x
二、诱导公式：
sin α=
公式一：
sin(2k π+α) =sin α, cos(2k π+α) =cos α 公式二：sin(π+α) =-sin α ， cos(π+α) =-cos α ， tan(π+α) =tan α ， 公式三：sin(-α) =-sin α ， cos(-α) =cos α ， tan(-α) =-tan α ，
cos (π-α) =-cos α ，tan(π-α) =-tan α ， 公式四：sin(π-α) =sin α ，
公式五：
sin(2π-α) =-sin α ， cos(2π-α) =cos α ， tan(2π-α) =-tan α ， .
公式六：
sin(
π
2
-α) =cos α ， cos(
π
2
-α) =sin α ，. sin(
π
+α) =cos α ， cos(
π
+α) =-sin α ， .
公式七：
3π3π-α) = -cos α, cos( -α) = -sin 22 3π3πsin(+α) = -cos α, cos( +α) = sinα.
22
sin(
利用诱导公式求值步骤：任意负角 任意正角 0°～360°角 0°～90°角.
三、同角三角函数基本关系：（1）倒数关系： tan α ⋅cot α=1.
（2）商数关系：tan α= （3）平方关系：sin
2
sin αcos α
； cot α=. cos αsin α
α+cos 2α=1 ； .
α±β) =sin αcos β±cos αsin β ；四、两角和与差的三角函数： sin(
cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β ；
tan α±tan β
tan(α±β) = .
1 tan αtan β变式应用：tan α±tan β=tan(α±β) tan(α±βtan αtan β 常用公式：
a sin α+b cos α=a 2+b 2(
a a 2+b 2
sin α+
b a 2+b 2
cos α) =a 2+b 2sin(α+θ)
13π
s i αn ±c o αs =s i n α(±) 223
13πs i αn ±3c o αs =2(s i αn ±c o αs ) =2s i n α(±)
223
13π
c o αs ±s i αn =c o s α( )
23 2
13π
c o ±s 3s i αn =2(c o αs ±s i αn ) =2c o s α( )
223
12π
s i αn ±c o αs =s i n α(±) 224
22
s i αn ±c o αs =2(s i αn ±c o αs ) =
22
2s i n α(±
π
4
)
五、倍角公式： sin 2α=2sin αcos α ； tan 2α=
2
2
2
2tan α
. 2
1-tan α
2
cos 2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α 降幂公式：sin α=
2
1-cos 2α1+cos 2α1-cos 2α
; cos 2α=tan 2α= 221+cos 2α
α1+c o αs
半角公式： α=±1-cos α ； c o =± ；
2222
六、图像性质 t a =±
α
2
1-c o αs 1－c o αs s i n α ＝=.
1+c o αs s i n α1+c o αs
⇔ϕ=k π+
π
2
；
函数y =A cos(ωx +ϕ) 为偶函数⇔ϕ=k π；函数y =A cos(ωx +ϕ) 为奇函数
⇔ϕ=k π+
π
2
。
函数y =A sin(ωx +ϕ) (A >0, ω>0) 的单调增区间可由-解出，单调减区间可由2k π+
π
2
+2k π≤ωx +ϕ≤
π
2
+2k π
π
2
≤
ωx +ϕ≤2k π+
3π
解出； 2
余弦函数y=cosx，x ∈[0,2π]的五个关键点是：(0,1) (
π3π,0) (π,-1) (,0) (2π,1) 22
七、y=Asin(ωx+φ) 的图象的作法
三角恒等变换（习题）
π1
1. cos 28 －2 的值为（ ）
A.1
1 B. 2
2
C. 2
2
D. 4
5ππ5ππ
2. cos 212 ＋cos 12＋cos 12 cos 12 的值等于（ ）
635A. 2 B. 2 C. 4
D.1＋3
4
3. 若sin θ ＝3cos θ4
25 ，2 ＝－5 ，则θ在（
A. 第一象限 B. 第二象限 四象限
4. 如果tan α＝1
2 3 ，那么cos α的值是（
A. 3 B. 45 5 45
cos （πsin （π
4＋x ）－4 ＋x ）5. 化简cos （πsin （π
4＋x ）＋4 ＋x ）
6. 计算cos 5ππ
8cos 8 的值.
） C. 第三象限 C. －35 D. 第
D. －
）
三角函数公式及重要知识点
一、任意角三角函数
1. 与α终边相同的角为：k ⋅360︒+α, k ∈Z . 2. 弧度数公式：α=
l 1
；弧长公式：l =α⋅r . 扇形面积：S =l ⋅r . r 2
1︒=3. 度与弧度互化：π弧度=180︒；
4. 任意角三角函数的定义：
π
180
弧度； 1弧度≈57. 30︒=57︒18'.
y x y
； cos α= tan α=；. r r x
二、诱导公式：
sin α=
公式一：
sin(2k π+α) =sin α, cos(2k π+α) =cos α 公式二：sin(π+α) =-sin α ， cos(π+α) =-cos α ， tan(π+α) =tan α ， 公式三：sin(-α) =-sin α ， cos(-α) =cos α ， tan(-α) =-tan α ，
cos (π-α) =-cos α ，tan(π-α) =-tan α ， 公式四：sin(π-α) =sin α ，
公式五：
sin(2π-α) =-sin α ， cos(2π-α) =cos α ， tan(2π-α) =-tan α ， .
公式六：
sin(
π
2
-α) =cos α ， cos(
π
2
-α) =sin α ，. sin(
π
+α) =cos α ， cos(
π
+α) =-sin α ， .
公式七：
3π3π-α) = -cos α, cos( -α) = -sin 22 3π3πsin(+α) = -cos α, cos( +α) = sinα.
22
sin(
利用诱导公式求值步骤：任意负角 任意正角 0°～360°角 0°～90°角.
三、同角三角函数基本关系：（1）倒数关系： tan α ⋅cot α=1.
（2）商数关系：tan α= （3）平方关系：sin
2
sin αcos α
； cot α=. cos αsin α
α+cos 2α=1 ； .
α±β) =sin αcos β±cos αsin β ；四、两角和与差的三角函数： sin(
cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β ；
tan α±tan β
tan(α±β) = .
1 tan αtan β变式应用：tan α±tan β=tan(α±β) tan(α±βtan αtan β 常用公式：
a sin α+b cos α=a 2+b 2(
a a 2+b 2
sin α+
b a 2+b 2
cos α) =a 2+b 2sin(α+θ)
13π
s i αn ±c o αs =s i n α(±) 223
13πs i αn ±3c o αs =2(s i αn ±c o αs ) =2s i n α(±)
223
13π
c o αs ±s i αn =c o s α( )
23 2
13π
c o ±s 3s i αn =2(c o αs ±s i αn ) =2c o s α( )
223
12π
s i αn ±c o αs =s i n α(±) 224
22
s i αn ±c o αs =2(s i αn ±c o αs ) =
22
2s i n α(±
π
4
)
五、倍角公式： sin 2α=2sin αcos α ； tan 2α=
2
2
2
2tan α
. 2
1-tan α
2
cos 2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α 降幂公式：sin α=
2
1-cos 2α1+cos 2α1-cos 2α
; cos 2α=tan 2α= 221+cos 2α
α1+c o αs
半角公式： α=±1-cos α ； c o =± ；
2222
六、图像性质 t a =±
α
2
1-c o αs 1－c o αs s i n α ＝=.
1+c o αs s i n α1+c o αs
⇔ϕ=k π+
π
2
；
函数y =A cos(ωx +ϕ) 为偶函数⇔ϕ=k π；函数y =A cos(ωx +ϕ) 为奇函数
⇔ϕ=k π+
π
2
。
函数y =A sin(ωx +ϕ) (A >0, ω>0) 的单调增区间可由-解出，单调减区间可由2k π+
π
2
+2k π≤ωx +ϕ≤
π
2
+2k π
π
2
≤
ωx +ϕ≤2k π+
3π
解出； 2
余弦函数y=cosx，x ∈[0,2π]的五个关键点是：(0,1) (
π3π,0) (π,-1) (,0) (2π,1) 22
七、y=Asin(ωx+φ) 的图象的作法
三角恒等变换（习题）
π1
1. cos 28 －2 的值为（ ）
A.1
1 B. 2
2
C. 2
2
D. 4
5ππ5ππ
2. cos 212 ＋cos 12＋cos 12 cos 12 的值等于（ ）
635A. 2 B. 2 C. 4
D.1＋3
4
3. 若sin θ ＝3cos θ4
25 ，2 ＝－5 ，则θ在（
A. 第一象限 B. 第二象限 四象限
4. 如果tan α＝1
2 3 ，那么cos α的值是（
A. 3 B. 45 5 45
cos （πsin （π
4＋x ）－4 ＋x ）5. 化简cos （πsin （π
4＋x ）＋4 ＋x ）
6. 计算cos 5ππ
8cos 8 的值.
） C. 第三象限 C. －35 D. 第
D. －
）