数字信号处理试卷答案
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一、填空题：（每空1分，共18分）
1、 数字频率ω是模拟频率Ω对采样频率f s 的归一化，其值是（连续还是离散？）。 2、 双边序列z 变换的收敛域形状为。 3、 某序列的
kn
DFT 表达式为X (k ) =∑x (n ) W M
n =0N -1
，由此可以看出，该序列时域的长度为
，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是2π
M
8(z 2-z -1)
4、 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为H (z ) =，则系统的极点为
2z 2+5z +2
1
z 1=-, z 2=-2；系统的稳定性为。系统单位冲激响应h (n ) 的初值
2
h (0) =4；终值h (∞) 。
5、 如果序列x (n ) 是一长度为64点的有限长序列(0≤n ≤63) ，序列h (n ) 是一长度为128点
的有限长序列(0≤n ≤127) ，记y (n ) =x (n ) *h (n ) （线性卷积），则y (n ) 为 64+128-1＝如果采用基2FFT 算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 256 点。
6、 用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的
映射变换关系为Ω=
ω
T
。用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω
2ωΩT
tan() 或ω=2) 。 T 22
与数字频率ω之间的映射变换关系为Ω=7、当线性相位
FIR 数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应h (n ) 满足的条件为
j ω
h (n ) =h (N -1-n ) ，此时对应系统的频率响应H (e
) =H (ω) e j ϕ(ω) ，则其对应的相位函数
为ϕ(ω) =-
N -1
ω。 2
8、请写出三种常用低通原型模拟滤波器、
二、判断题（每题2分，共10分）
1、 模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，只要加一道采样的工序就可
以了。 （╳）
2、 已知某离散时间系统为y (n ) =T [x (n )]=x (5n +3) ，则该系统为线性时不变系统。(╳)
3、 一个信号序列，如果能做序列的傅里叶变换（DTFT ），也就能对其做DFT 变换。（╳） 4、 用双线性变换法进行设计IIR 数字滤波器时，预畸并不能消除变换中产生的所有频率点的非
线性畸变。 （√） 5、 阻带最小衰耗取决于窗谱主瓣幅度峰值与第一旁瓣幅度峰值之比。 （╳） 三、（15分）、已知某离散时间系统的差分方程为
y (n ) -3y (n -1) +2y (n -2) =x (n ) +2x (n -1)
系统初始状态为y (-1) =1，y (-2) =2，系统激励为x (n ) =(3) n u (n ) ， 试求：（1）系统函数H (z ) ，系统频率响应H (e j ω) 。
（2）系统的零输入响应y zi (n ) 、零状态响应y zs (n ) 和全响应y (n ) 。
解：（1）系统函数为H (z ) =
系统频率响应H (e
1+2z -11-3z -1+2z -2
=
z 2+2z z 2-3z +2
j ω
e 2j ω-3e j ω+2
解一：（2）对差分方程两端同时作z 变换得
) =H (z ) z =e j ω=
e 2j ω+2e j ω
Y (z ) -3z -1[Y (z ) +y (-1) z ]+2z -2[Y (z ) +y (-1) z +y (-2) z 2]=X (z ) +2z -1X (z )
+X (z )
1-3z -1+2z -21-3z -1+2z -2
上式中，第一项为零输入响应的z 域表示式，第二项为零状态响应的z 域表示式，将初始状态及
即：Y (z ) =
3y (-1) -2z -1y (-1) -2y (-2) (1+2z -1)
激励的z 变换X (z ) =
Y zi (z ) =
z
代入，得零输入响应、零状态响应的z 域表示式分别为 z -3
-1-2z -1
-1
1-3z +2z
-2
=-
z 2+2z z -3z +2
2
z z 2+2z z
Y zs (z ) =⋅=⋅
1-3z -1+2z -2z -3z 2-3z +2z -3
将Y zi (z ), Y zs (z ) 展开成部分分式之和，得
1+2z -1
Y zi (z ) z +23-4
=-2=+
z z -1z -2z -3z +2
315
Y zs (z ) z +2z 1-8
=2⋅=++ z z -3z +2z -3z -1z -2z -3
2
315
z z
-8z 3z -4z 22+++即 Y zi (z ) = Y zs (z ) =
z -1z -2z -3z -1z -2
对上两式分别取z 反变换，得零输入响应、零状态响应分别为
y zi (k ) =[3-4(2) k ]ε(k )
315
y zs (k ) =[-8(2) k +(3) k ]ε(k )
22
故系统全响应为
915
y (k ) =y zi (k ) +y zs (k ) =[-12(2) k +(3) k ]ε(k )
22
解二、（2）系统特征方程为λ2-3λ+2=0，特征根为：λ1=1，λ2=2； 故系统零输入响应形式为 y zi (k ) =c 1+c 2(2) k
将初始条件y (-1) =1，y (-2) =2带入上式得
1⎧
y (-1) =c +c () =1zi 12⎪⎪2 解之得 c 1=3，c 2=-4， ⎨
1⎪y (-2) =c +c () =2
zi 12⎪4⎩
故系统零输入响应为： y zi (k ) =3-4(2) k k ≥0 系统零状态响应为
Y zs (z ) =H (z ) X (z ) =
2
1+2z -11-3z -1+2z -2z z 2+2z z
⋅=2⋅ z -3z -3z +2z -3
315
Y zs (z ) z +2z 1-8
=2⋅=++ z z -3z +2z -3z -1z -2z -3
315
z z
-8z 22++即 Y zs (z ) =
z -1z -2z -3
315
对上式取z 反变换，得零状态响应为 y zs (k ) =[-8(2) k +(3) k ]ε(k )
22
故系统全响应为
915
y (k ) =y zi (k ) +y zs (k ) =[-12(2) k +(3) k ]ε(k )
22
四、回答以下问题：
（1） 画出按时域抽取N =4点基2FFT 的信号流图。
（2） 利用流图计算4点序列x (n ) =(2, 1, 3, 4) （n =0, 1, 2, 3）的DFT 。 （3） 试写出利用FFT 计算IFFT 的步骤。 解：（1）
x (0)
x (2) x (1x (3X (0)
X (1) X (2) X (3)
r
010W 20W 20
1
1W 20W 2
010W 40W 40
11W 40W 4
2
W 40W 42
4点按时间抽取FFT 流图 加权系数
3W 40W 43
⎧Q 0(0) =x (0) +x (2) =2+3=5
（2） ⎨
Q (1) =x (0) -x (2) =2-1=-1⎩0⎧Q 1(0) =x (1) +x (3) =1+4=5
⎨
Q (1) =x (1) -x (3) =1-4=-3⎩1
1
X (0) =Q 0(0) +Q 1(0) =5+5=10 X (1) =Q 0(1) +W 4Q 1(1) =-1+j ⋅3
X (2) =Q 0(0) +W 42Q 1(0) =5-5=0 X (3) =Q 0(1) +W 43Q 1(1) =-1-3j
即： X (k ) =(10, -1+3j , 0, -1-3j ), k =0, 1, 2, 3 （3）1）对X (k ) 取共轭，得X *(k ) ； 2）对X *(k ) 做N 点FFT ； 3）对2）中结果取共轭并除以N 。
五、（12分）已知二阶巴特沃斯模拟低通原型滤波器的传递函数为
H a (s ) =
1
s 2+1. 414s +1
试用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，其3dB 截止频率为ωc 器的系统函数，并用正准型结构实现之。（要预畸，设T 解：（1）预畸
=0. 5πrad ，写出数字滤波
=1）
Ωc =
（2）反归一划
ω220. 5π
c ) =) =2 T 2T 2
1
s s
() 2+1. 414() +122
4s 2+2. 828s +4
H (s ) =H a (s ) s =
s
Ωc
==
（3） 双线性变换得数字滤波器
H (z ) =H (s ) s =21-z -1=
T 1+z
-1
4s 2+2. 828s +4
s =2
1-z -11+z =(2
4
1-z -11+z
2) +2. 828⋅2-1
1-z -11+z -1
+4
13. 656+2. 344z
（4）用正准型结构实现
x (n =
4(1+2z -1+z -2)
-2
=
0. 2929(1+2z -1+z -2)
1+0. 1716z
-2
y (n )
六、（12分）设有一FIR 数字滤波器，其单位冲激响应h (n ) 如图1所示：
图1
试求：（1）该系统的频率响应H (e
（2）如果记H (e
j ω
j ω
) ；
，ϕ(ω) 为) =H (ω) e j ϕ(ω) ，其中，H (ω) 为幅度函数（可以取负值）
相位函数，试求H (ω) 与ϕ(ω) ；
（3）判断该线性相位FIR 系统是何种类型的数字滤波器？（低通、高通、带通、带阻），
说明你的判断依据。
（4）画出该FIR 系统的线性相位型网络结构流图。 解：（1）h (n ) =(2, 1, 0, -1, -2)
H (e
j ω
) =
∑h (n ) e
n =0
4
-j ωn
=h (0) +h (1) e -j ω+h (2) e -j 2ω+h (3) e -j 3ω+h (4) e -j 4ω
=2+e -j ω-e -j 3ω-2e -j 4ω=2(1-e -j 4ω) +(e -j ω-e -j 3ω)
=2e -j 2ω(e -j 2ω-e j 2ω) +e -j 2ω(e j ω-e -j ω) =e -j 2ω[4j sin(2ω) +2j sin(ω)]
（2）H (e ) =e
j ω
-j 2ω
e
j
π
j (-2ω)
2[4sin(2ω) +2sin(ω)]=e 2[4sin(2ω) +2sin(ω)]
π
-2ω
2
ω) =-H (ω) （3）H (2π-ω) =4sin[2(2π-ω)]+2sin(2π-ω) =-4sin(2ω) -2sin(
故 当ω=0时，有H (2π) =-H (0) =H (0) ，即H (ω) 关于0点奇对称，H (0) =0；
当ω=π时，有H (π) =-H (π)) ，即H (ω) 关于π点奇对称，H (π) =0 上述条件说明，该滤波器为一个线性相位带通滤波器。 （4）线性相位结构流图
x (n -1
H (ω) =4sin(2ω) +2sin(ω) ， ϕ(ω) =
π
y (n )
（二）
一、单项选择题（本大题20分，每小题4分）
1、y (n ) =x (n ) sin
2π⎛2πn +
7⎝9
⎫
⎪是（A ） 。 ⎭
(A)线性移不变系统 （B ）非线性移不变系统 （C ）线性非移不变系统 （D ）非线性非移不变系统 2、已知连续时间信号X(a)=cos（4000 π），用T=1/6000对其采样，则（A ） （A ） 信号的频谱没有混叠 （B ）信号的频谱存在混叠 （C ）这是一个欠采样过程 （D ）x (n ) =cos（2πn ） 3、x (n ) =Re e
{
jn π/12
}+Im {e
jn π/18
}序列的基本周期为（C ）。
A.24 B.36 C.72 D.48
4、如果x 1(n ) 是偶的，x 2(n ) 是奇的，y (n ) =x 1(n ) ∙x 2(n ) 奇偶性为（A ）。 A.奇的 B.偶的 C.非奇非偶的 D.不能判断 5、信号X (e j ω) =δ(ω-ω0) 的IDTFT （A ） A ．
1
2πjn ω0 Ｂ．1jn ω0 Ｃ．1e πe 2πj ω0 Ｄ．j
e 2π
e
jn ω0
二、判断题（本大题10分，每小题1分。正确打√，错误打×）
1、为了不产生频率混叠失真，通常要求信号的最高频率f 0
2、IIR 滤波器的结构有频率采样型、直接型、格型。 （×）
3、若为了减少旁瓣幅度而改变窗函数的形状，通常主瓣的宽度将会增加。（√） 4、单位采样响应在长度上是有限的系统称为有限采样响应（FIR ）系统。 （√） 5. Ⅰ类FIR 线性相位系统可实现所有的滤波特性。 （√）
6、左边序列的ROC 是从X ( ) 最外面（即最大幅度）的有限极点向外延伸至z =∞。（×） 7、一个既是加性又是齐性的系统称为线性系统。（√ ） 8、
1
u (n ) 是因果不稳定系统。（×） n !
9. T [x (n )]=g (n ) x (n ) 是移不变系统。（√） 10、 T [x (n )]=
e
x (n )
是线性系统。（×）
三、填空题（本大题20分，每空2分）
1、以20KHz 的采样频率对最高频率为10KHz 的带限信号X a (t)采样，然后计算（X n ）的N=1000个采样点的DFT ，则k=150对应的模拟频率是 3KHz 答案：f =
k f sampling
N
=20*150/1000KHz=3KHz
nk
2、 离散傅里叶变换（DFT ）中的W N =e -j 2πnk /N 称之DFT 的为。
b (0)+b (1)z -13、一个线性移不变系统的有理系统函数H(z)为 H (z ) =，输入x (n ) 与输-1
1+a (1)z
出y (n ) 之间的关系为
y (n ) +a (1)y (n -1) =b (0)x (n ) +b (1)x (n -1)
4、对于一个系统而言，如果在任意时刻输出仅取决于该时刻的输入，则称该系统为无记忆系统。
5、下面两个序列的卷积为
⎧⎛1⎫n ⎪⎪
h (n ) =⎨ ⎝2⎭
⎪0⎩
0≤n ≤2其它
x (n ) =δ(n ) +δ(n -1) +4δ(n -2)
答案： y (n ) =δ(n ) +
6、已知 h (n ) =a -n u (-n -1)
3199
δ(n -1) +δ(n -2) +δ(n -3) +δ(n -4) 244
, 0
应为 h (n ) 的线性移不变系统的阶跃响应为_n ≤-1时，
1-a
-n
_；n >-1时，
y (n ) =
a
___。 1-a
n =0n =1n =2其他
⎧1⎪2⎪
7、把序列 x (n ) =⎨
⎪3⎪⎩0
表示为标度与移位的单位阶跃之和的形式为_____
x(n)=u(n)+u(n-1)+u(n-2)-3u(n-3)________。
8、线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是__h(n)=0,___n
j ω
111
) =cos 2ω的IDTFT__ x (n ) =δ(n ) +δ(n +2) +δ(n -2) ___。
244
n
10、x (n ) =a u (n ) DTFT 的绝对可加条件_____a
四、计算题（本大题共26分，其中1、2每题8分，第3题10分）
1、已知X (k ) =⎨
⎧3⎩1
k =0
求其10点的IDFT
1≤k ≤9
解 X(k)可以表示为
X (k ) =1+2δ(k )
因为
δ(n ) −−−→1 1−−−→N δ(k ) 所以
x (n ) =
2、计算x 1(n ) 、x 2(n ) 的N 点圆周卷积，其中 x 1(n ) =x 2(n ) =⎨
解 x 1(n ) 、x 2(n ) 的N 点DFT 为 X 1(k ) =X 2(k ) =
DFT
DFT
0≤k ≤9
1
+δ(n ) 5
⎧1⎩0
0≤n ≤N -1
else
⎧N nk
W =⎨∑N n =0⎩0
N -1
k =0
else
⎧N 2
X (k ) =X 1(k ) X 2(k ) =⎨
⎩0
k =0else
所以x 1(n ) 、x 2(n ) 两个序列的N 点圆周卷积的IDFT 为 x (n ) =⎨
⎧N ⎩0
0≤n ≤N -1
else
3、以20kHz 的采样率对最高频率为10kHz 的带限信号x a (t ) 采样，然后计算x (n ) 的N=1000个采样点的DFT
（1） k=150对应的模拟频率是多少？ （2） 频谱采样点之间的间隔是多少？
解 （1） ω=ΩT ΩΩ
s =
Ω=3
s 20⋅10
N 点的DFT 对DTFT 再N 个频率点上的采样为 ωk =
2πN
k k =0, 1, , N -1
所以，X (k ) 对应的模拟频率为 Ωk =20⋅103
ω2π
k =N
20000k 或
f k k =20000⋅
N
当N=1000时，序号k=150对应3kHz 。 对于k=800要特别注意，因为X (e j ω
) 具有周期性
X (e
j ω
) =X (e j (ω+2π)
k=800对应的频率为 ω800=
2πN k =2πN (k -N ) =-2002πN
=-0. 4π 对应的模拟角频率为
Ω800=-0. 4π⨯20000=-8000π 或
f 800=-4000Hz
（2） ∆f =
20⋅103
N
=20Hz 七、综合题（本大题12分）
如果某一阶系统的系统函数为
1-0. 5z -1
H (z ) =
1-0. 8z -1
|z |>0. 8（1）求逆系统的系统函数； （2）分析逆系统的收敛域；
（3）求逆系统的单位采样响应，判断其稳定性和因果性。解：
（1）逆系统的系统函数为
得分：
1-0. 8z -1
G (z ) = -1
1-0. 5z
111，第二个是|z |
1
和H (z ) 的收敛域不重叠，所以逆系统的收敛域只可能是|z |>。
2
（2）这里g (n ) 有两个可能的收敛域。第一个是|z |>（3）在这种情况下，逆系统的单位采样响应
⎛1⎫⎛1⎫
g (n ) = ⎪u (n ) -0. 8 ⎪
⎝2⎭⎝2⎭
是稳定和因果的。
n n -1
u (n -1)
(三)
一、填空题（每空1分, 共10分）
1．序列x (n ) =sin(3πn /5) 的周期为
2．线性时不变系统的性质有
3．对x (n ) =R 4(n ) 的Z 变换为 4．抽样序列的Z 变换与离散傅里叶变换DFT 的关系为
5．序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为。 6．设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出。 7．因果序列x(n)，在Z →∞时，x(0)。
二、单项选择题（每题2分, 共20分） 1.
δ
(n)
的
Z
变
换
是
（ A ）A.1 B. δ(ω) C.2πδ(ω) D.2π 2．序列x （的长度为4，序列x （的长度为3，则它们线性卷积的长度是 （ C ）1n ）2n ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
3．LTI 系统，输入x （n ）时，输出y （n ）；输入为3x （n-2），输出为 （ B ） A. y（n-2） B.3y （n-2） C.3y （n ） D.y （n ） 4．下面描述中最适合离散傅立叶变换（ D ）
DFT 的是
A. 时域为离散序列，频域为连续信号
B. 时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 C. 时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号 D. 时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列
5．若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过可
完
全
不
失
真
恢
复
原
信
号
（A ）A. 理想低通滤波器 B. 理想高通滤波器 C. 理想带通滤波器 D. 理想带阻滤波器 6
．
下
列
哪
一
个
系
统
是
因
果
系
统
（B ）A.y(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) D.y(n)=x (- n)
7．一个线性时不变离散系统稳定的充要条件是其系统函数的收敛域包括 （C ）
A. 实轴 8．已知序列
B. 原点 C. 单位圆 D. 虚轴 Z
变换的收敛域为｜z ｜>2，则该序列为
（D ）A. 有限长序列 B. 无限长序列 C. 反因果序列 D. 因果序列
9．若序列的长度为M ，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则(A)
A.N≥M B.N≤M C.N≤2M D.N≥2M 10．设因果稳定的LTI 系统的单位抽样响应h(n)，在n
三、判断题（每题1分, 共10分）
1．序列的傅立叶变换是频率ω的周期函数，周期是（ Y ） 2．x(n)= （ Y ） 3．FIR （Y ） 4
．
y(n)=cos[x(n)]
所
代
表
的
系
统
是
非
线
性
系
统
离散系统的系统函数是
z
sin （ω
0n)
频域抽样点数N 需满足的条件是
2π。
所代表的序列不一定是周期的。
的多项式形式。
。
（Y ）
5．FIR 滤波器较IIR 滤波器的最大优点是可以方便地实现线性相位。
（ Y ）
6．用双线性变换法设计IIR 滤波器，模拟角频转换为数字角频是线性转换。 （N ）
7．对正弦信号进行采样得到的正弦序列一定是周期序列。 （ N ）
8．常系数差分方程表示的系统为线性移不变系统。 （ N ）
9．FIR 离散系统都具有严格的线性相位。 （N ） 10．在时域对连续信号进行抽样，在频域中，所得频谱是原信号频谱的周期延拓。 （ N ）
四、简答题 （每题5分，共20分）
1．用DFT 对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些？ 解：1，频谱泄露；是频率小的部分无法通过； 2，混叠失真；截断效应（频谱泄漏）；栅栏效应
2．画出模拟信号数字化处理框图，并简要说明框图中每一部分的功能作用。 2. 答：
第1部分：滤除模拟信号高频部分；第2部分：模拟信号经抽样变为离散信号；第3部分：按照预制要求对数字信号处理加工；第4部分：数字信号变为模拟信号；第5部分：滤除高频部分，平滑模拟信号。
3．简述用双线性法设计IIR 数字低通滤波器设计的步骤。
答：确定数字滤波器的技术指标；将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标；按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器；将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器。
4．8点序列的按时间抽取的（DIT ）基-2 FFT如何表示？
五、计算题 （共40分）
z 2
1．已知X (z ) =,
(z +1)(z -2)
解：由题部分分式展开
（6分） z >2，求x(n)。
F (z ) z A B ==+
z (z +1)(z -2) z +1z -2
求系数得 A=1/3 ， B=2/3 所以 F (z ) =
1z 2z
+ （3分）
3z +13z -2
收敛域⎪z ⎪>2，故上式第一项为因果序列象函数，第二项为反因果序列象函数， 则 f (k ) =
12
(-1) k ε(k ) +(2)k ε(k ) 33
2．写出差分方程表示系统的直接型和级联型结构。（8分） ．．
y (n ) -
311
y (n -1) +y (n -2) =x (n ) +x (n -1) 483
3．计算下面序列的N 点DFT 。 （1）x (n ) =δ(n -m )
(0
（4分）
（2）x (n ) =e
j
2πmn N
(0
（4分）
kn
（1） X (k ) =W N （4分） （2）X (k ) =⎨
⎧N , k =m
⎩0, k ≠m
4．设序列x(n)={1，3，2，1；n=0,1,2,3 }，另一序列h(n) ={1，2，1，2；n=0,1,2,3}， （1）求两序列的线性卷积 y L (n)； （4分） （2）求两序列的6点循环卷积y C (n)。 （4分） （3）说明循环卷积能代替线性卷积的条件。（2分）
（1） y L (n)={1，5，9，10，10，5，2；n=0,1,2…6} （4分）
（2） y C (n)= {3，5，9，10，10，5；n=0,1,2,4,5} （4分） （3）c ≥L 1+L2-1 （2分）
5．设系统由下面差分方程描述：
y (n ) =y (n -1) +y (n -2) x (n -1)
（1）求系统函数H （z ）；（2分）
（2）限定系统稳定，写出H （z ）的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)。（6分） ．．
z
（2分）
2-z
-111
11-n 11+n
h (n ) =-() u (n ) -() u (-n -1) （4分）
225
：（1） H (z ) =
一、填空题（本题共10个空，每空1分，共10分）
本题主要考查学生对基本理论掌握程度和分析问题的能力。 评分标准：
1．所填答案与标准答案相同，每空给1分；填错或不填给0分。
2．所填答案是同一问题（概念、术语）的不同描述方法，视为正确，给1分。 答案： 1.10
2. 交换律，结合律、分配律
1-z -4, 3.
1-z -1
4. Z =e
j 2πk N
z >0
5.{0，3，1，-2; n=0,1,2,3} 6. y (n ) =x (n ) *h (n ) 7. x(0)
二、单项选择题（本题共10个小题，每小题2分，共20分）
本题主要考查学生对基本理论的掌握程度和计算能力。
评分标准：每小题选择正确给1分，选错、多选或不选给0分。 答案：
1.A 2.C 3.B 4.D 5.A 6.B 7.C 8.D 9.A 10.A
三、判断题（本题共10个小题，每小题1分，共10分）
本题主要考查学生对基本定理、性质的掌握程度和应用能力。 评分标准：判断正确给1分，判错、不判给0分。 答案：
1—5全对 6—10 全错
四、简答题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
本题主要考查学生对基本问题的理解和掌握程度。 评分标准：
1. 所答要点完整，每小题给4分；全错或不答给0分。 2. 部分正确可根据对错程度，依据答案评分点给分。 答案：
1. 答：混叠失真；截断效应（频谱泄漏）；栅栏效应 2. 答：
第1部分：滤除模拟信号高频部分；第2部分：模拟信号经抽样变为离散信号；第3部分：按照预制要求对数字信号处理加工；第4部分：数字信号变为模拟信号；第5部分：滤除高频部分，平滑模拟信号。
3. 答：确定数字滤波器的技术指标；将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标；按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器；将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器。 4．答：
五、计算题 （本题共5个小题，共40分）
本题主要考查学生的分析计算能力。 评分标准：
1. 所答步骤完整，答案正确，给满分；全错或不答给0分。
2. 部分步骤正确、答案错误或步骤不清、答案正确，可根据对错程度，依据答案评分点给分。
3. 采用不同方法的，根据具体答题情况和答案的正确给分。 答案：
1．解：由题部分分式展开
F (z ) z A B
==+
z (z +1)(z -2) z +1z -2
求系数得 A=1/3 ， B=2/3 所以 F (z ) =
1z 2z
+ （3分）
3z +13z -2
12
(-1) k ε(k ) +(2)k ε(k ) （3分） 33
收敛域⎪z ⎪>2，故上式第一项为因果序列象函数，第二项为反因果序列象函数， 则 f (k ) =2．解：(8分)
kn
3．解：（1） X (k ) =W N （4分） （2）X (k ) =⎨
⎧N , k =m
（4分）
⎩0, k ≠m
4．解：（1） y L (n)={1，5，9，10，10，5，2；n=0,1,2…6} （4分）
（2） y C (n)= {3，5，9，10，10，5；n=0,1,2,4,5} （4分） （3）c ≥L 1+L2-1 （2分） 5．解：（1） H (z ) =
z
（2分） 2
z -z -1
（2
）
h (n ) =-
11-n 11+n
() u (n ) -() u (-n -1) （4分）
225
数字信号处理试卷答案
完整版
一、填空题：（每空1分，共18分）
1、 数字频率ω是模拟频率Ω对采样频率f s 的归一化，其值是（连续还是离散？）。 2、 双边序列z 变换的收敛域形状为。 3、 某序列的
kn
DFT 表达式为X (k ) =∑x (n ) W M
n =0N -1
，由此可以看出，该序列时域的长度为
，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是2π
M
8(z 2-z -1)
4、 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为H (z ) =，则系统的极点为
2z 2+5z +2
1
z 1=-, z 2=-2；系统的稳定性为。系统单位冲激响应h (n ) 的初值
2
h (0) =4；终值h (∞) 。
5、 如果序列x (n ) 是一长度为64点的有限长序列(0≤n ≤63) ，序列h (n ) 是一长度为128点
的有限长序列(0≤n ≤127) ，记y (n ) =x (n ) *h (n ) （线性卷积），则y (n ) 为 64+128-1＝如果采用基2FFT 算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 256 点。
6、 用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的
映射变换关系为Ω=
ω
T
。用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω
2ωΩT
tan() 或ω=2) 。 T 22
与数字频率ω之间的映射变换关系为Ω=7、当线性相位
FIR 数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应h (n ) 满足的条件为
j ω
h (n ) =h (N -1-n ) ，此时对应系统的频率响应H (e
) =H (ω) e j ϕ(ω) ，则其对应的相位函数
为ϕ(ω) =-
N -1
ω。 2
8、请写出三种常用低通原型模拟滤波器、
二、判断题（每题2分，共10分）
1、 模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，只要加一道采样的工序就可
以了。 （╳）
2、 已知某离散时间系统为y (n ) =T [x (n )]=x (5n +3) ，则该系统为线性时不变系统。(╳)
3、 一个信号序列，如果能做序列的傅里叶变换（DTFT ），也就能对其做DFT 变换。（╳） 4、 用双线性变换法进行设计IIR 数字滤波器时，预畸并不能消除变换中产生的所有频率点的非
线性畸变。 （√） 5、 阻带最小衰耗取决于窗谱主瓣幅度峰值与第一旁瓣幅度峰值之比。 （╳） 三、（15分）、已知某离散时间系统的差分方程为
y (n ) -3y (n -1) +2y (n -2) =x (n ) +2x (n -1)
系统初始状态为y (-1) =1，y (-2) =2，系统激励为x (n ) =(3) n u (n ) ， 试求：（1）系统函数H (z ) ，系统频率响应H (e j ω) 。
（2）系统的零输入响应y zi (n ) 、零状态响应y zs (n ) 和全响应y (n ) 。
解：（1）系统函数为H (z ) =
系统频率响应H (e
1+2z -11-3z -1+2z -2
=
z 2+2z z 2-3z +2
j ω
e 2j ω-3e j ω+2
解一：（2）对差分方程两端同时作z 变换得
) =H (z ) z =e j ω=
e 2j ω+2e j ω
Y (z ) -3z -1[Y (z ) +y (-1) z ]+2z -2[Y (z ) +y (-1) z +y (-2) z 2]=X (z ) +2z -1X (z )
+X (z )
1-3z -1+2z -21-3z -1+2z -2
上式中，第一项为零输入响应的z 域表示式，第二项为零状态响应的z 域表示式，将初始状态及
即：Y (z ) =
3y (-1) -2z -1y (-1) -2y (-2) (1+2z -1)
激励的z 变换X (z ) =
Y zi (z ) =
z
代入，得零输入响应、零状态响应的z 域表示式分别为 z -3
-1-2z -1
-1
1-3z +2z
-2
=-
z 2+2z z -3z +2
2
z z 2+2z z
Y zs (z ) =⋅=⋅
1-3z -1+2z -2z -3z 2-3z +2z -3
将Y zi (z ), Y zs (z ) 展开成部分分式之和，得
1+2z -1
Y zi (z ) z +23-4
=-2=+
z z -1z -2z -3z +2
315
Y zs (z ) z +2z 1-8
=2⋅=++ z z -3z +2z -3z -1z -2z -3
2
315
z z
-8z 3z -4z 22+++即 Y zi (z ) = Y zs (z ) =
z -1z -2z -3z -1z -2
对上两式分别取z 反变换，得零输入响应、零状态响应分别为
y zi (k ) =[3-4(2) k ]ε(k )
315
y zs (k ) =[-8(2) k +(3) k ]ε(k )
22
故系统全响应为
915
y (k ) =y zi (k ) +y zs (k ) =[-12(2) k +(3) k ]ε(k )
22
解二、（2）系统特征方程为λ2-3λ+2=0，特征根为：λ1=1，λ2=2； 故系统零输入响应形式为 y zi (k ) =c 1+c 2(2) k
将初始条件y (-1) =1，y (-2) =2带入上式得
1⎧
y (-1) =c +c () =1zi 12⎪⎪2 解之得 c 1=3，c 2=-4， ⎨
1⎪y (-2) =c +c () =2
zi 12⎪4⎩
故系统零输入响应为： y zi (k ) =3-4(2) k k ≥0 系统零状态响应为
Y zs (z ) =H (z ) X (z ) =
2
1+2z -11-3z -1+2z -2z z 2+2z z
⋅=2⋅ z -3z -3z +2z -3
315
Y zs (z ) z +2z 1-8
=2⋅=++ z z -3z +2z -3z -1z -2z -3
315
z z
-8z 22++即 Y zs (z ) =
z -1z -2z -3
315
对上式取z 反变换，得零状态响应为 y zs (k ) =[-8(2) k +(3) k ]ε(k )
22
故系统全响应为
915
y (k ) =y zi (k ) +y zs (k ) =[-12(2) k +(3) k ]ε(k )
22
四、回答以下问题：
（1） 画出按时域抽取N =4点基2FFT 的信号流图。
（2） 利用流图计算4点序列x (n ) =(2, 1, 3, 4) （n =0, 1, 2, 3）的DFT 。 （3） 试写出利用FFT 计算IFFT 的步骤。 解：（1）
x (0)
x (2) x (1x (3X (0)
X (1) X (2) X (3)
r
010W 20W 20
1
1W 20W 2
010W 40W 40
11W 40W 4
2
W 40W 42
4点按时间抽取FFT 流图 加权系数
3W 40W 43
⎧Q 0(0) =x (0) +x (2) =2+3=5
（2） ⎨
Q (1) =x (0) -x (2) =2-1=-1⎩0⎧Q 1(0) =x (1) +x (3) =1+4=5
⎨
Q (1) =x (1) -x (3) =1-4=-3⎩1
1
X (0) =Q 0(0) +Q 1(0) =5+5=10 X (1) =Q 0(1) +W 4Q 1(1) =-1+j ⋅3
X (2) =Q 0(0) +W 42Q 1(0) =5-5=0 X (3) =Q 0(1) +W 43Q 1(1) =-1-3j
即： X (k ) =(10, -1+3j , 0, -1-3j ), k =0, 1, 2, 3 （3）1）对X (k ) 取共轭，得X *(k ) ； 2）对X *(k ) 做N 点FFT ； 3）对2）中结果取共轭并除以N 。
五、（12分）已知二阶巴特沃斯模拟低通原型滤波器的传递函数为
H a (s ) =
1
s 2+1. 414s +1
试用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，其3dB 截止频率为ωc 器的系统函数，并用正准型结构实现之。（要预畸，设T 解：（1）预畸
=0. 5πrad ，写出数字滤波
=1）
Ωc =
（2）反归一划
ω220. 5π
c ) =) =2 T 2T 2
1
s s
() 2+1. 414() +122
4s 2+2. 828s +4
H (s ) =H a (s ) s =
s
Ωc
==
（3） 双线性变换得数字滤波器
H (z ) =H (s ) s =21-z -1=
T 1+z
-1
4s 2+2. 828s +4
s =2
1-z -11+z =(2
4
1-z -11+z
2) +2. 828⋅2-1
1-z -11+z -1
+4
13. 656+2. 344z
（4）用正准型结构实现
x (n =
4(1+2z -1+z -2)
-2
=
0. 2929(1+2z -1+z -2)
1+0. 1716z
-2
y (n )
六、（12分）设有一FIR 数字滤波器，其单位冲激响应h (n ) 如图1所示：
图1
试求：（1）该系统的频率响应H (e
（2）如果记H (e
j ω
j ω
) ；
，ϕ(ω) 为) =H (ω) e j ϕ(ω) ，其中，H (ω) 为幅度函数（可以取负值）
相位函数，试求H (ω) 与ϕ(ω) ；
（3）判断该线性相位FIR 系统是何种类型的数字滤波器？（低通、高通、带通、带阻），
说明你的判断依据。
（4）画出该FIR 系统的线性相位型网络结构流图。 解：（1）h (n ) =(2, 1, 0, -1, -2)
H (e
j ω
) =
∑h (n ) e
n =0
4
-j ωn
=h (0) +h (1) e -j ω+h (2) e -j 2ω+h (3) e -j 3ω+h (4) e -j 4ω
=2+e -j ω-e -j 3ω-2e -j 4ω=2(1-e -j 4ω) +(e -j ω-e -j 3ω)
=2e -j 2ω(e -j 2ω-e j 2ω) +e -j 2ω(e j ω-e -j ω) =e -j 2ω[4j sin(2ω) +2j sin(ω)]
（2）H (e ) =e
j ω
-j 2ω
e
j
π
j (-2ω)
2[4sin(2ω) +2sin(ω)]=e 2[4sin(2ω) +2sin(ω)]
π
-2ω
2
ω) =-H (ω) （3）H (2π-ω) =4sin[2(2π-ω)]+2sin(2π-ω) =-4sin(2ω) -2sin(
故 当ω=0时，有H (2π) =-H (0) =H (0) ，即H (ω) 关于0点奇对称，H (0) =0；
当ω=π时，有H (π) =-H (π)) ，即H (ω) 关于π点奇对称，H (π) =0 上述条件说明，该滤波器为一个线性相位带通滤波器。 （4）线性相位结构流图
x (n -1
H (ω) =4sin(2ω) +2sin(ω) ， ϕ(ω) =
π
y (n )
（二）
一、单项选择题（本大题20分，每小题4分）
1、y (n ) =x (n ) sin
2π⎛2πn +
7⎝9
⎫
⎪是（A ） 。 ⎭
(A)线性移不变系统 （B ）非线性移不变系统 （C ）线性非移不变系统 （D ）非线性非移不变系统 2、已知连续时间信号X(a)=cos（4000 π），用T=1/6000对其采样，则（A ） （A ） 信号的频谱没有混叠 （B ）信号的频谱存在混叠 （C ）这是一个欠采样过程 （D ）x (n ) =cos（2πn ） 3、x (n ) =Re e
{
jn π/12
}+Im {e
jn π/18
}序列的基本周期为（C ）。
A.24 B.36 C.72 D.48
4、如果x 1(n ) 是偶的，x 2(n ) 是奇的，y (n ) =x 1(n ) ∙x 2(n ) 奇偶性为（A ）。 A.奇的 B.偶的 C.非奇非偶的 D.不能判断 5、信号X (e j ω) =δ(ω-ω0) 的IDTFT （A ） A ．
1
2πjn ω0 Ｂ．1jn ω0 Ｃ．1e πe 2πj ω0 Ｄ．j
e 2π
e
jn ω0
二、判断题（本大题10分，每小题1分。正确打√，错误打×）
1、为了不产生频率混叠失真，通常要求信号的最高频率f 0
2、IIR 滤波器的结构有频率采样型、直接型、格型。 （×）
3、若为了减少旁瓣幅度而改变窗函数的形状，通常主瓣的宽度将会增加。（√） 4、单位采样响应在长度上是有限的系统称为有限采样响应（FIR ）系统。 （√） 5. Ⅰ类FIR 线性相位系统可实现所有的滤波特性。 （√）
6、左边序列的ROC 是从X ( ) 最外面（即最大幅度）的有限极点向外延伸至z =∞。（×） 7、一个既是加性又是齐性的系统称为线性系统。（√ ） 8、
1
u (n ) 是因果不稳定系统。（×） n !
9. T [x (n )]=g (n ) x (n ) 是移不变系统。（√） 10、 T [x (n )]=
e
x (n )
是线性系统。（×）
三、填空题（本大题20分，每空2分）
1、以20KHz 的采样频率对最高频率为10KHz 的带限信号X a (t)采样，然后计算（X n ）的N=1000个采样点的DFT ，则k=150对应的模拟频率是 3KHz 答案：f =
k f sampling
N
=20*150/1000KHz=3KHz
nk
2、 离散傅里叶变换（DFT ）中的W N =e -j 2πnk /N 称之DFT 的为。
b (0)+b (1)z -13、一个线性移不变系统的有理系统函数H(z)为 H (z ) =，输入x (n ) 与输-1
1+a (1)z
出y (n ) 之间的关系为
y (n ) +a (1)y (n -1) =b (0)x (n ) +b (1)x (n -1)
4、对于一个系统而言，如果在任意时刻输出仅取决于该时刻的输入，则称该系统为无记忆系统。
5、下面两个序列的卷积为
⎧⎛1⎫n ⎪⎪
h (n ) =⎨ ⎝2⎭
⎪0⎩
0≤n ≤2其它
x (n ) =δ(n ) +δ(n -1) +4δ(n -2)
答案： y (n ) =δ(n ) +
6、已知 h (n ) =a -n u (-n -1)
3199
δ(n -1) +δ(n -2) +δ(n -3) +δ(n -4) 244
, 0
应为 h (n ) 的线性移不变系统的阶跃响应为_n ≤-1时，
1-a
-n
_；n >-1时，
y (n ) =
a
___。 1-a
n =0n =1n =2其他
⎧1⎪2⎪
7、把序列 x (n ) =⎨
⎪3⎪⎩0
表示为标度与移位的单位阶跃之和的形式为_____
x(n)=u(n)+u(n-1)+u(n-2)-3u(n-3)________。
8、线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是__h(n)=0,___n
j ω
111
) =cos 2ω的IDTFT__ x (n ) =δ(n ) +δ(n +2) +δ(n -2) ___。
244
n
10、x (n ) =a u (n ) DTFT 的绝对可加条件_____a
四、计算题（本大题共26分，其中1、2每题8分，第3题10分）
1、已知X (k ) =⎨
⎧3⎩1
k =0
求其10点的IDFT
1≤k ≤9
解 X(k)可以表示为
X (k ) =1+2δ(k )
因为
δ(n ) −−−→1 1−−−→N δ(k ) 所以
x (n ) =
2、计算x 1(n ) 、x 2(n ) 的N 点圆周卷积，其中 x 1(n ) =x 2(n ) =⎨
解 x 1(n ) 、x 2(n ) 的N 点DFT 为 X 1(k ) =X 2(k ) =
DFT
DFT
0≤k ≤9
1
+δ(n ) 5
⎧1⎩0
0≤n ≤N -1
else
⎧N nk
W =⎨∑N n =0⎩0
N -1
k =0
else
⎧N 2
X (k ) =X 1(k ) X 2(k ) =⎨
⎩0
k =0else
所以x 1(n ) 、x 2(n ) 两个序列的N 点圆周卷积的IDFT 为 x (n ) =⎨
⎧N ⎩0
0≤n ≤N -1
else
3、以20kHz 的采样率对最高频率为10kHz 的带限信号x a (t ) 采样，然后计算x (n ) 的N=1000个采样点的DFT
（1） k=150对应的模拟频率是多少？ （2） 频谱采样点之间的间隔是多少？
解 （1） ω=ΩT ΩΩ
s =
Ω=3
s 20⋅10
N 点的DFT 对DTFT 再N 个频率点上的采样为 ωk =
2πN
k k =0, 1, , N -1
所以，X (k ) 对应的模拟频率为 Ωk =20⋅103
ω2π
k =N
20000k 或
f k k =20000⋅
N
当N=1000时，序号k=150对应3kHz 。 对于k=800要特别注意，因为X (e j ω
) 具有周期性
X (e
j ω
) =X (e j (ω+2π)
k=800对应的频率为 ω800=
2πN k =2πN (k -N ) =-2002πN
=-0. 4π 对应的模拟角频率为
Ω800=-0. 4π⨯20000=-8000π 或
f 800=-4000Hz
（2） ∆f =
20⋅103
N
=20Hz 七、综合题（本大题12分）
如果某一阶系统的系统函数为
1-0. 5z -1
H (z ) =
1-0. 8z -1
|z |>0. 8（1）求逆系统的系统函数； （2）分析逆系统的收敛域；
（3）求逆系统的单位采样响应，判断其稳定性和因果性。解：
（1）逆系统的系统函数为
得分：
1-0. 8z -1
G (z ) = -1
1-0. 5z
111，第二个是|z |
1
和H (z ) 的收敛域不重叠，所以逆系统的收敛域只可能是|z |>。
2
（2）这里g (n ) 有两个可能的收敛域。第一个是|z |>（3）在这种情况下，逆系统的单位采样响应
⎛1⎫⎛1⎫
g (n ) = ⎪u (n ) -0. 8 ⎪
⎝2⎭⎝2⎭
是稳定和因果的。
n n -1
u (n -1)
(三)
一、填空题（每空1分, 共10分）
1．序列x (n ) =sin(3πn /5) 的周期为
2．线性时不变系统的性质有
3．对x (n ) =R 4(n ) 的Z 变换为 4．抽样序列的Z 变换与离散傅里叶变换DFT 的关系为
5．序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为。 6．设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出。 7．因果序列x(n)，在Z →∞时，x(0)。
二、单项选择题（每题2分, 共20分） 1.
δ
(n)
的
Z
变
换
是
（ A ）A.1 B. δ(ω) C.2πδ(ω) D.2π 2．序列x （的长度为4，序列x （的长度为3，则它们线性卷积的长度是 （ C ）1n ）2n ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
3．LTI 系统，输入x （n ）时，输出y （n ）；输入为3x （n-2），输出为 （ B ） A. y（n-2） B.3y （n-2） C.3y （n ） D.y （n ） 4．下面描述中最适合离散傅立叶变换（ D ）
DFT 的是
A. 时域为离散序列，频域为连续信号
B. 时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 C. 时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号 D. 时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列
5．若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过可
完
全
不
失
真
恢
复
原
信
号
（A ）A. 理想低通滤波器 B. 理想高通滤波器 C. 理想带通滤波器 D. 理想带阻滤波器 6
．
下
列
哪
一
个
系
统
是
因
果
系
统
（B ）A.y(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) D.y(n)=x (- n)
7．一个线性时不变离散系统稳定的充要条件是其系统函数的收敛域包括 （C ）
A. 实轴 8．已知序列
B. 原点 C. 单位圆 D. 虚轴 Z
变换的收敛域为｜z ｜>2，则该序列为
（D ）A. 有限长序列 B. 无限长序列 C. 反因果序列 D. 因果序列
9．若序列的长度为M ，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则(A)
A.N≥M B.N≤M C.N≤2M D.N≥2M 10．设因果稳定的LTI 系统的单位抽样响应h(n)，在n
三、判断题（每题1分, 共10分）
1．序列的傅立叶变换是频率ω的周期函数，周期是（ Y ） 2．x(n)= （ Y ） 3．FIR （Y ） 4
．
y(n)=cos[x(n)]
所
代
表
的
系
统
是
非
线
性
系
统
离散系统的系统函数是
z
sin （ω
0n)
频域抽样点数N 需满足的条件是
2π。
所代表的序列不一定是周期的。
的多项式形式。
。
（Y ）
5．FIR 滤波器较IIR 滤波器的最大优点是可以方便地实现线性相位。
（ Y ）
6．用双线性变换法设计IIR 滤波器，模拟角频转换为数字角频是线性转换。 （N ）
7．对正弦信号进行采样得到的正弦序列一定是周期序列。 （ N ）
8．常系数差分方程表示的系统为线性移不变系统。 （ N ）
9．FIR 离散系统都具有严格的线性相位。 （N ） 10．在时域对连续信号进行抽样，在频域中，所得频谱是原信号频谱的周期延拓。 （ N ）
四、简答题 （每题5分，共20分）
1．用DFT 对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些？ 解：1，频谱泄露；是频率小的部分无法通过； 2，混叠失真；截断效应（频谱泄漏）；栅栏效应
2．画出模拟信号数字化处理框图，并简要说明框图中每一部分的功能作用。 2. 答：
第1部分：滤除模拟信号高频部分；第2部分：模拟信号经抽样变为离散信号；第3部分：按照预制要求对数字信号处理加工；第4部分：数字信号变为模拟信号；第5部分：滤除高频部分，平滑模拟信号。
3．简述用双线性法设计IIR 数字低通滤波器设计的步骤。
答：确定数字滤波器的技术指标；将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标；按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器；将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器。
4．8点序列的按时间抽取的（DIT ）基-2 FFT如何表示？
五、计算题 （共40分）
z 2
1．已知X (z ) =,
(z +1)(z -2)
解：由题部分分式展开
（6分） z >2，求x(n)。
F (z ) z A B ==+
z (z +1)(z -2) z +1z -2
求系数得 A=1/3 ， B=2/3 所以 F (z ) =
1z 2z
+ （3分）
3z +13z -2
收敛域⎪z ⎪>2，故上式第一项为因果序列象函数，第二项为反因果序列象函数， 则 f (k ) =
12
(-1) k ε(k ) +(2)k ε(k ) 33
2．写出差分方程表示系统的直接型和级联型结构。（8分） ．．
y (n ) -
311
y (n -1) +y (n -2) =x (n ) +x (n -1) 483
3．计算下面序列的N 点DFT 。 （1）x (n ) =δ(n -m )
(0
（4分）
（2）x (n ) =e
j
2πmn N
(0
（4分）
kn
（1） X (k ) =W N （4分） （2）X (k ) =⎨
⎧N , k =m
⎩0, k ≠m
4．设序列x(n)={1，3，2，1；n=0,1,2,3 }，另一序列h(n) ={1，2，1，2；n=0,1,2,3}， （1）求两序列的线性卷积 y L (n)； （4分） （2）求两序列的6点循环卷积y C (n)。 （4分） （3）说明循环卷积能代替线性卷积的条件。（2分）
（1） y L (n)={1，5，9，10，10，5，2；n=0,1,2…6} （4分）
（2） y C (n)= {3，5，9，10，10，5；n=0,1,2,4,5} （4分） （3）c ≥L 1+L2-1 （2分）
5．设系统由下面差分方程描述：
y (n ) =y (n -1) +y (n -2) x (n -1)
（1）求系统函数H （z ）；（2分）
（2）限定系统稳定，写出H （z ）的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)。（6分） ．．
z
（2分）
2-z
-111
11-n 11+n
h (n ) =-() u (n ) -() u (-n -1) （4分）
225
：（1） H (z ) =
一、填空题（本题共10个空，每空1分，共10分）
本题主要考查学生对基本理论掌握程度和分析问题的能力。 评分标准：
1．所填答案与标准答案相同，每空给1分；填错或不填给0分。
2．所填答案是同一问题（概念、术语）的不同描述方法，视为正确，给1分。 答案： 1.10
2. 交换律，结合律、分配律
1-z -4, 3.
1-z -1
4. Z =e
j 2πk N
z >0
5.{0，3，1，-2; n=0,1,2,3} 6. y (n ) =x (n ) *h (n ) 7. x(0)
二、单项选择题（本题共10个小题，每小题2分，共20分）
本题主要考查学生对基本理论的掌握程度和计算能力。
评分标准：每小题选择正确给1分，选错、多选或不选给0分。 答案：
1.A 2.C 3.B 4.D 5.A 6.B 7.C 8.D 9.A 10.A
三、判断题（本题共10个小题，每小题1分，共10分）
本题主要考查学生对基本定理、性质的掌握程度和应用能力。 评分标准：判断正确给1分，判错、不判给0分。 答案：
1—5全对 6—10 全错
四、简答题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
本题主要考查学生对基本问题的理解和掌握程度。 评分标准：
1. 所答要点完整，每小题给4分；全错或不答给0分。 2. 部分正确可根据对错程度，依据答案评分点给分。 答案：
1. 答：混叠失真；截断效应（频谱泄漏）；栅栏效应 2. 答：
第1部分：滤除模拟信号高频部分；第2部分：模拟信号经抽样变为离散信号；第3部分：按照预制要求对数字信号处理加工；第4部分：数字信号变为模拟信号；第5部分：滤除高频部分，平滑模拟信号。
3. 答：确定数字滤波器的技术指标；将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标；按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器；将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器。 4．答：
五、计算题 （本题共5个小题，共40分）
本题主要考查学生的分析计算能力。 评分标准：
1. 所答步骤完整，答案正确，给满分；全错或不答给0分。
2. 部分步骤正确、答案错误或步骤不清、答案正确，可根据对错程度，依据答案评分点给分。
3. 采用不同方法的，根据具体答题情况和答案的正确给分。 答案：
1．解：由题部分分式展开
F (z ) z A B
==+
z (z +1)(z -2) z +1z -2
求系数得 A=1/3 ， B=2/3 所以 F (z ) =
1z 2z
+ （3分）
3z +13z -2
12
(-1) k ε(k ) +(2)k ε(k ) （3分） 33
收敛域⎪z ⎪>2，故上式第一项为因果序列象函数，第二项为反因果序列象函数， 则 f (k ) =2．解：(8分)
kn
3．解：（1） X (k ) =W N （4分） （2）X (k ) =⎨
⎧N , k =m
（4分）
⎩0, k ≠m
4．解：（1） y L (n)={1，5，9，10，10，5，2；n=0,1,2…6} （4分）
（2） y C (n)= {3，5，9，10，10，5；n=0,1,2,4,5} （4分） （3）c ≥L 1+L2-1 （2分） 5．解：（1） H (z ) =
z
（2分） 2
z -z -1
（2
）
h (n ) =-
11-n 11+n
() u (n ) -() u (-n -1) （4分）
225