大学普通物理电磁学

电磁学

库仓定律电场电场强度（一）

选择、填空题 1. 下列几种说法中哪一个是正【 C 】

(A) 电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向； (B) 在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同；

确的?

FE

qF(C) 场强方向可由定义给出，其中q为试验电荷的电量，q可正、可负，为试验

电荷所受的电场力；

(D) 以上说法都不正确。 2. 一带电体可作为点电荷处理的条件是【 C 】

(A) 电荷必须呈球形分布； (B) 带电体的线度很小；



3. 在坐标原点放一正电荷Q，它在P点 (X=+1，Y=0 ) 产生的电场强度为E，现在，另外

有一个负电荷-2Q，试问应将它放在什么位置才能使P点的电场强度等于零? 【 C 】

X轴上x>1； (B) X轴上0

选择题(3)选择题(4)选择题(5)

p4. 在一个带有正电荷的均匀带电球面外，放置一个电偶极子，其电矩的方向如图所示。

当释放

【 D 】

后

，

该

电

偶

极

子

的

运

动

主

要

是

：

p沿逆时针方向旋转，直至电矩沿径向指向球面而停止； p沿顺时针方向旋转，直至电矩沿径向朝外而停止；

p沿顺时针方向旋转至电矩沿径向朝外，同时沿电力线方向远离球面移动；

p沿顺时针方向旋转至电矩沿径向朝外，同时逆电力线方向向着球面移动。

5. 图中所示为一沿X轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为(x0)和(x0)则【 B 】

OXY



E坐标平面上点(0，a)处的场强为



ii20a； (C) 40a；

(A) 0； (B) 

(ij)40a(D) 。

6. 真空中两平行带电平板相距为d，面积为S，且有d2

板间的作用力大小为【 D 】

q22q2q2

FFFF2

4dSS20S。 000(A) ； (B) ； (C) ； (D)

带有N个电子的一个油滴，其质量为m，电子的电量的大小为e，在重力场中由静止开始下落(重力加速度为g)，下落中穿越一均匀电场区域，欲使油滴在该区域中匀速下落，则电场

的方向为向下，大小为Ne。

8. 图中曲线表示一种球对称性电场的场强大小E的分布，r表示离对称中心的距离。这是由半径为R均匀带电为+q的球体产生的电场。

计算题

77

q210Cq210C的点电荷，相121. 两个电量分别为和

选择题(8)

距0.3m，求距q1为0.4m、距q2为0.5m处P点电场强度。

922

1/(4)9.0010Nm/c0()。

 根据题意作出如图所示的电荷分布，选取坐标系OXY



E1

q1在P产生的场强：

q140b

(j)2

q

E222(cosisinj)

40cq2在P产生的场强：

计算题(1)

E

P点的电场强度：q2(cosi(j)sinj)22

40b40c q1



将





E4320i5490j 3，b0.4m，c0.5m代入得到：

将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为，四分之一圆弧半径为R，试求圆心O点的场强。  选取如图所示的坐标，两段“无限长”均匀带电细线在O点产生的电场为:

计算题(2)

EA



ijEBij40a40a，40a40a

dldl

cosisinj

40R240R2

圆弧上的电荷元dq=dl在O点产生的电场为:

dEAB

dddEABcosisinj

4R4R00将dlRd代入，得到



带电圆弧在O点产生的电场强度：



EABdEAB

202dd

cosisinj40R40R0



EAB



(ij)40R，EEABEAEB



E



(ij)40R

计算题(3)

一段半径为a的细圆弧，对圆心的张角为，其上均匀分布有正电荷q，如图所示。试以a，q，表示出圆心O处的电场强度。  选取如图所示的坐标，电荷元dq在O点产生的电场为：

dEdExdEy

140a



dE

q1q

)asindi()acosdj2a40aa

O点的电场：

Ei





2

40a

2

sindj







40a

cosd

E

20a

sin



2 j

4. 求一均匀带电圆盘轴线上一点处的场强，设圆盘半径R，电荷面密度为，该点到圆盘中心距离为x。

 带电圆板在轴线上产生的电场可以看作是由无限多同轴带电细圆环在轴线上一点产生的场强的叠加。根据圆板电荷分布对称性，带电圆板在轴线上产生的电场的方向沿X轴的正方向。

取半径为r，宽度为dr，电量为dq=·2rdr的细圆环，该带电圆环在P点产生的电场强度大小为：

计算题(4)

dE

140

dqx(r2x2)



x20

rdr(r2x2)

R32

E

带电圆板在轴线上一点电场强度大小:

x20

rdr(rx)



应用积分结果：

rdr(r2x2)

]i



1(r2x2)

E[1

20

(Rx)

*5. 如图所示的一半圆柱面，高和直径都是L，均匀地带有电荷，其面密度为σ，试求其轴线中点O处的电场强度。

计算题(5)

 长度为L的均匀带电细棒在空间任一点P产生的电场强度为

E



[(cos1cos2)i(sin2sin1)j]40a

将1,2代入上式得到在带电细棒中点的垂直线上一点a的电场强度大小：

E

Ecos

20a,



40a

LL2

a

E

140a

qL2

a

，方向沿着中垂线

LLddqLd

2半圆柱面上长度为L，宽度为2的线电荷元：在O点产生的电场：

2LdEda

402代入，得到，将，方向如图所示



dEdExdEydEidEsinjdEsin

矢量表达式：，

dE

140a

Ld

a

LO点的电场强度：





EdEidEsinjdEcos



，其中：0





jdEcos0

所以：



EidEsin

，

2Eidsin

400

，

2

Ei

20

单元六电通量高斯定理（二）

选择、填空题

1. 已知一高斯面所包围的体积内电量代数和

q

0

，则可肯定:

【 C 】

(A) 高斯面上各点场强均为零； (B) 穿过高斯面上每一面元的电通量均为零； (C) 穿过整个高斯面的电通量为零； (D) 以上说法都不对。

2. 在空间有一非均匀电场，其电力线分布如图示，在电场中作一半径为R的闭合球面S，已知通过球面上某一面元S的电场强度通量为则通过【 A 】

该

球

面

其

余

部

e，

的

电

场

强

度

通

量

分为

4R24R2S

ee

e； (B) SS (A) ； (C) ； (D) 0。

高

斯

定

理

【 A 】

适用于任何静电场；

只适用于真空中的静电场；

只适用于具有球对称性、轴对称性和平面对称性的静电场；

只适用于虽然不具有(C)中所述的对称性，但可以找到合适的高斯面的静电场。在静电场中，任意作一闭合曲面，通过该闭合曲面的电通量内电荷的代数和，而与面外电荷无关。 5. 半径为R的半球面置于场强为

的值仅取决于高斯面

的均匀电场中，其对称轴与场强方向一致，如图所示。

选择题(6)

选择题(4)选择题(5)

则通过该半球面的电场强度通量为ER

如图，点电荷q和-q被包围在高斯面S内，则通过该高斯面的电通量

sEdS0

，式中

选择题(7)

为高斯面上各点处的场强。

选择题(8)

在点电荷+q和-q的静电场中，作出如图所示的三个闭合面S1，S2，S3通过这些闭合面

1

的电强度通量分别是：

0，20，

3

0。

e

240。

如图所示，一点电荷q位于正立方体的A角上，则通过侧面abcd的电通量

如图所示，闭合曲面S内有一点电荷q，p为S面上一点，在S面外A点有一点电荷q’，若将q’移至B点，则【 B 】穿过S面的电通量改变，p点的电场强度不变；穿过S面的电通量不变，p点的电场强度改变；穿过S面的电通量和p点的电场强度都不变；穿过S面的电通量和p点的电场强度都改变。 10. 均匀带电直线长为L，电荷线密度为+，以导线中点O为球心、R为半径（R>L）作一球面，如图所示，则通过该球面的电场强度

选择题(9)

l通量为0，带电直线延长线与球面交点P处的电场强度的大小为

l1

04R2l2，沿着矢径OP方向。

计算题

如图所示，在点电荷q的电场中，取半径为R的圆平面，q在该平面的轴线上的A点处，试计算通过这圆平面的电通量。

 在圆平面上选取一个半径为r，宽度为dr 元，通过该面积元的电通量为

的环形面积

选择题(10)

q2rdr

cosd22

40rxdEdS，

通过圆平面的电通量：



2xrdr

40(r2x2)2q

计算题(1)



qx(1)

2220Rx

2. 两个均匀带电的同心球面，分别带有净电荷

，其中为内球的电荷。两球之间

的电场为3000/r牛顿/库仑，且方向沿半径向内；球外的场强为2000/r牛顿/库仑，方向沿半径向外，试求q1和q2各等于多少?

4rRrR02： 根据题意：1



30001

q11016C2

0，r，q1120003

q1q2200052q21016C2

0，q2200000，r， q1q28000rR2：40r9

3. 两个无限长同轴圆柱面，半径分别为R1,R2(R2R1)带有等值异号电荷，每单位长度的电量为(1)

，试分别求出当 ; (2)

; (3)

时离轴线为r处的电场强度。

 设内圆柱面带正电，外圆柱面带负电，选取半径为r，长度为l的圆柱面为高斯面，穿过

高斯面的电通量：

eEdS



侧面

EdS

上底

EdS

下底

EdS

因为：上底

EdS

下底

EdS0

，所以，当rR1,E0，当rR2,E0

当R1rR2, 根据高斯定理得到

2rlE

l

E0， 20r

4. 一球体内均匀分布着电荷体密度为 的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体内挖去半径为r的一个小球体，球心为O’，两球心间距离OO'd，如图所示，求

E(1) 在球形空腔内，球心O’处的电场强度o。



E在球体内P点处的电场强度，设O’、O、P三点在同一直径

上，且OPd。

计算题(4)

，半径为r的球体共同产生的。

 O’的电场是电荷体密度为的球体和电荷体密度为



小球心O’：EEREr

4d2ER

根据高斯定理：

143

d03

ER

43d

dER

40d2330，方向沿OO

，1

，半径为r的球体在O’产生的电场：Er0

电荷体密度为



dE

30，方向沿OO EERErER，

P点的电场强度可以看作是电荷体密度为的球体和电荷体密度为，半径为r的球体

EEERr 共同产生的：P

dr3

EREr2

312d00根据高斯定理可以得到：，方向沿，，方向沿O'

r3

EPEREr(d2)

304d，方向沿

单元七静电场环路定理电势能电势和电势差（一）

选择、填空题 1. 静电场中某点电势【 C 】试验电荷

的数值等于

q0置于该点时具有的电势能；(B) 单位试验电荷置于该点时具有的电势能；

单位正电荷置于该点时具有的电势能； (D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力做的功。

2. 如图所示，CDEF是一矩形，边长分别为l和2l。在DC延长线上CA=l处的A点有点电荷+q，在CF的中点B点有点电荷-q，若使单位正电荷从C点沿CDEF路径运动到F点，则电场力所作的功等于：【 D 】

(A)

4ol



51q1q31q51



l； (B) 4o

l5； (C) 4ol3；(D) 4ol5

3. 如图所示，边长为a的等边三角形的三个顶点上，放置着三个正的点电荷，电量分别为q、

2q、3q。若将另一正点电荷Q从无穷远处移到三角形的中心O处，外力所作的功为: 【 C 】

23qQ43qQ63qQ8qQ

4oa； (B) 4oa； (C) 4oa； (D) 4oa (A)

选择题(2)

4. 一电量为Q的点电荷固定在空间某点上，将另一电量为q的点电荷放在与Q相距r处。

We

若设两点电荷相距无限远时电势能为零，则此时的电势能

5. 如图所示，在带电量为q的点电荷的静电场中，将一带电量为

的试验电荷从a点经任意路径移动到b点，外力所作的功

qQ140r。

选择题(5)

A1

qq011qq011

()A2()40rbra；电场力所作的功40rarb。

6. 真空中电量分别为q1和q2的两个点电荷，当它们相距为r时，该电荷系统的相互作用

W

电势能

q1q21

40r。(设当两个点电荷相距无穷远时电势能为零)。

ppEE7. 一偶极矩为的电偶极子放在场强为的均匀外电场中，与的夹角为p偶极子绕垂直于(，E)平面的轴沿

角。在此电

角增加的方向转过180°的过程中，电场力做的功为：

A2pEcos。

8. 一电子和一质子相距210

10

m(两者静止)，将此两粒子分开到无穷远距离时(两者仍静

止)需要的最小能量是7.2eV。 [

计算题

4o

9109Nm2/C2,1eV1.61019J

]

1. 如图:AB2l,OCD是以B为中心，l为半径的半圆，A，B处分别有正负电荷q，-q，试问：(1) 把单位正电荷从O沿OCD移动到D，电场力对它作了多少功? (2) 把单位负电荷从D沿AB延长线移动到无穷远，电场力对它作了多少功?

 无穷远处为电势零点，两个电荷构成的电荷系在O点和D点的电势为

计算题(1)

UO

q40Lq



q40L

0

UP

1qq

403L40L60L

(1) 单位正电荷从O沿OCD移动到D，电场力做的功：

A(1)(UOUP),

A

q60L

(2) 单位负电荷从D沿AB延长线移动到无穷远，电场力做的功:

A(1)(UPU)，

A(

q60L

0)

A

q60L

*2. 在氢原子中，正常状态下电子到质子的距离为5.29×10-11 m，已知氢原子核（质子）和电子带电量各为+e和-e ( e=1.6×10-19C )。把原子中的电子从正常状态下离核的距离拉开到无穷远处，所需的能量叫做氢原子的电离能。求此电离能是多少电子伏特。

1v2

m2

4orr

 在正常状态下电子的速度满足：

e2112Ee1EPdrEkmvk24r8or，电子的电势能：o2r电子的动能：，，



e21

EP

4or

e21

EEkEP

8or

电子的总能量

e21W13.6eV

8or氢原子的电离能：WEE，E0,

单元七电势和电势差电势与电场强度的微分关系（二）

选择、填空题

1. 在点电荷+q的电场中，若取图中P点处为电势零点，则M点的电势为: 【 D 】

选择题(1)

(A)

4oa； (B) 8oa；

q

(C)

4oa； (D) 8oa

2. 半径为r的均匀带电球面1，带电量为q；其外有一同心的半径为R的均匀带电球面2，带电量为【 A 】

Q，则此两球面之间的电势差

为:

11Q111qQq()()()

4orR； (B) 4oRr； (C) 4orR； (D) 4or (A)

3. 平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的相互作用力F与两极板间的电压U的关系是: 【 D 】

(A) FU； (B) F1/U； (C) F1/U； (D) FU

4. 在静电场中，有关静电场的电场强度与电势之间的关系，下列说法中正确的是: 【 C 】

(A) 场强大的地方电势一定高； (B) 场强相等的各点电势一定相等； (C) 场强为零的点电势不一定为零； (D) 场强为零的点电势必定是零。

5. 在电量为q的点电荷的静电场中，若选取与点电荷距离为

r0的一点为电势零点，则与点

U

电荷距离为r处的电势

11()40rr0。

，设无穷远处为电势零点，则圆盘中心O

6. 一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为

UO

点的电势

7. 电量分别为

R20。

的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上，如图所示，设无穷远

选择题(7)选择题(8)

选择题(10)

U

处为电势零点，圆半径为R，则b点处的电势

180R

(2q1q22q3)

。

*8. AC为一根长为2l的带电细棒，左半部均匀带有负电荷，右半部均匀带有正电荷。电荷线密度分别为+和-，如图所示。 O点在棒的延长线上，距A端的距离为垂直平分线上，到棒的垂直距离为。以棒的中心B为电势的零点。

点在棒的

UO

则O点电势

3ln

404； P点电势UP0。

UAln(xy),*9. 一“无限长”均匀带电直线沿Z轴放置，线外某区域的电势表达式为

Ex

式中A为常数。该区域的场强的两个分量为:

2Ax

x2y2；Ez0。

10. 如图所示，在一个点电荷的电场中分别作三个电势不同的等势面A，B，C。已知

，且

，则相邻两等势面之间的距离的关系是:

RBRARCRB

1E(400i600j)Vm, 则点a(3，2)和点b(1，0)之间的11. 一均匀静电场，电场强度

电势差

Uab2000V。 (x，y以米计)

二．计算题

1. 电荷q均匀分布在长为2l的细直线上，试求

(1) 带电直线延长线上离中心O为z处的电势和电强。(无穷远处为电势零点) *(2) 中垂面上离带电直线中心O为r处的电势和场强。

 (1)带电直线上离中心O为z’处的电荷元dq=dz’在P点产生的电势

dU

dq1dz'



40(zz')40(zz') 1

带电直线在P点的电势：

UPdU

1dz'

，

l

40(zz')

UP

q80l

zlzl

计算题(1)

qqUEEkE2222

40(zl)，4

0(zl) z，P点的电场强度：

(2)带电直线上离中心O为z处的电荷元dq=dz在P点产生的电势

dU

1dq

40z2r2



1dz

40z2r2

UPdU

带电直线在P点的电势：

1dz

l

40z2r2

ll2r2

UPln

40lr

qUE

E22

4r(rl) r0P点的电场强度：，



E

40r(r2l2)

r0

2. 电荷面密度分别为+和-的两块“无限大”均匀带电平行平面，分别与X轴垂直相交于

计算题(2)

两点。设坐标原点O处电势为零，试求空间的电势分布表示式并画出曲线。

 空间电场强度的分布：

xa：E0

Ei

axa：

0

ax：E

根据电势的定义：

U

Edl

a

xa：

U



Edl

a



Edl

，

U

a



Edl

U

a





dxUa0，0

axa：

U



Edl

，

U

dxUx0，0

ax：

U

0

EdlEdl

，

U

Edl

，

U

dxUa0，0

9

q201013. 如图所示，两个电量分别为C和

计算题(3)

q212109C的点电荷，相距5m。在它们的连

线上距

为1m处的A点从静止释放一电子，则该电

为1m处的B点时，其速度多大?

子沿连线运动到距

31

m9.1110kg,, 基本电荷e(电子质量

e1.61019C, 4o

9.00109Nm2/c2

)

 根据动能定理，静电力对电子做的功等于电子动能的增量:

mve(UAUB)2

UA

q11q1q1q1

2UB12

4o44o1，UA63V, 4o14o4，UB153V

v

2e(UAUB)

v8.710m/s ,

单元八静电场中的导体电容电场能量（一）

一选择、填空题

1. 三块互相平行的导体板，相互之间的距离

，且比板面积线度小得多，外面二板用

，如图所示，则比值

导线连接。中间板上带电，设左右两面上电荷面密度分别为

：【 B 】

(A) d1/d2； (B) d2/d1； (C) 1； (D) d2/d2

2. 两个同心簿金属球壳，半径分别为则两者的电势分别为的电势为：

【 B 】

若分别带上电量为

的电荷，

(选无穷远处为电势零点)。现用导线将两球壳相连接，则它们

(U1U2)

UUUU22； (D) (A) 1； (B) 2； (C) 1

3. 如图所示，两块很大的导体平板平行放置，面积都是S，有一定厚度，带电量分别为

。如不计边缘效应，则A、B、C、D四个表面上的电荷面密度分别为

1

Q1Q2

2S、

2

Q1Q2Q1Q2QQ2

341

2S、2S2S。、

选择题(1)选择题(3)选择题(4)

4. 如图所示，把一块原来不带电的金属板B，向一块已带有正电荷Q的金属板A移近，平行放置，设两板面积都是S，板间距离是d，忽略边缘效应。当B

板不接地时，两板间电势

UAB

差

QdQd

U'AB

20s； B板接地时0s。

5. 如图所示，两同心导体球壳，内球壳带电量+q，外球壳带电量-2q，静电平衡时，外球壳的电荷分布为：内表面

6. 一带电量为q、半径为

的金属球A，与一原先不带电、内外半径分别为rB和

q；外表面q。

rC的金属

E

球壳B同心放置，如图。则图中P点的电场强度

40r2，如果用导线将A、B连接

ˆr

选择题(5)

选择题(6)

选择题(10)

U

起来，则A球的电势

40rC。(设无穷远处电势为零)

7. 一平板电容器充电后切断电源，若改变两极板间的距离，则下述物理量中哪个保持不变? 【 B 】

(A) 电容器的电容量；(B) 两极板间的场强；(C) 两极板间的电势差； (D) 电容器储存的能量。

8. 两个半径相同的孤立导体球，其中一个是实心的，电容为C1，另一个是空心的，电容为C2，

则C1C2。(填>、=、

9. 两电容器的电容之比为C1：C2=1：2。(1) 把它们串联后接到电压一定的电源上充电，

W12W11

W1，(2) 如果是并联充电，电能之比是W22，(3) 在上述两种情

它们的电能之比是2

W2

况下电容器系统的总电能之比又是W'9。

10. 两只电容器，C18F,C22F，分别把它们充电到1000V，然后将它们反接(如图所示)，此时两极板间的【 C 】 (A) 0V (B) 200V (C) 600V (D) 1000V

二．计算题

1. 一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a，外筒半径为b，筒长都是L，两圆筒之间是真空。内、外筒分别带有等量异号电荷＋Q和－Q，设b-a>b，可以忽略边缘效应，求：

(1) 圆柱形电容器的电容；(2) 电容器贮存的能量。  忽略边缘效应，将两同轴圆筒导体看作是无限长带电体，根据高斯定理可以得到两同轴圆筒导体之间的电场强

电

势

差

为

：

计算题(1)

E

度为

Q20Lr



U1U2Edl

Q20L

lnba

同轴圆筒之间的电势差：

C

根据电容的定义：

20LQ



U1U2

lna

Q1Q21QEw()wDED

2Lr22Lr22Lr和00静电场能量密度：, 将代入, 得到

半径为r，厚度为dr的薄圆柱壳的体积：dV2rdrL

dW

该体积元存贮的静电能：

1Q2

()2rdrL202Lr

电容器贮存的能量：

1Q2

W()2rdrL

22Lr0a

W

，

Q240L

2. 两根平行“无限长”均匀带电直导线，相距为d，导线半径都是R(R

。试求该导体组单位长度的电容。

 假设直导线A、B上单位长度分别带电＋，－，导线表面的电荷可以看作是均匀分布，根据导体静电平衡的条件，导线内部的场强为零，两轴线在平面内任意一点产生的电场分别为：

E1



E2

20x，20(dx)

E

EE1E2，平面内一点的电场强度：

11

()20xdx

UAB

导线之间的电势差：

dR

Edl

UAB



11dR()dxUABln20xdx0R

C

计算题(2)

UAB，

C

0

dRR

单位长度的分布电容：

考虑到R

UAB

dln

R，

C

0

lnR

3. 半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q，求：(1)每个球上分配到的电荷是多少? (2)按电容定义式，计算此系统的电容。

 由于d>>a、b，所以两个球可以看作是孤立导体球。设两球到达静电平衡后，表面的面电荷密

度为1和2，两个球的电势相等：U1U2

q11q2



40a40b，q1bq2a 1

根据电荷守恒定律：q1q2Q

q1

abQq2Qab，ab

U

q1QQUU40(ab)40a，40(ab), 根据电容的定义：U

4. 一电容为C的空气平行板电容器，接上端电压U为定值的电源充电，在电源保持连接的情况下，试求把两个极板间距离增大至n倍时外力所作的功。

W1CU2

2 设原来两极板的距离为d，此时电容器的储能：

W2C'U2

2把两个极板间距离增大至nd时，此时电容器的储能： C'

0S

nd，

C'

CW2CU2n，2n

在此过程中外力和电源做的功等于电容器电场能的变化：A1A2W2W1

电源做的功：

A1UIdt

，

A1UIdtUQ

QQ'QUC'UC，

QU(C'C)UC

1n1n

A1CU2

n，n

外力做的功：A2(W2W1)A1，

A2

1n1nn1

CU2CU2A2CU22nn2n，

A2

n1

CU202n，外力做的功为正

*5. 若把电子想象为一个相对介电常数r1的球体，它的电荷-e在球体内均匀分布。假设电子的静电能量等于它的静止能量m0c2时（m0为电子的静止质量，c为真空中的光速），

求电子半径R。

 设电子的半径为R，根据高斯定理得到电子产生的电场和电场能量分布为

0rR：

E1

r1er2

w()1033

40R；240R 11e

w()22022

40r；240r

rR：

E2

半径为r，厚度为dr的薄球层壳的体积：dV4rdr，电子的静电能：



WwdV

1er21e2

W0()(4rdr)()2(4r2dr)032240R240r0R

e21e213e213e21Wm0c2

400R80R200R，令Wm0c，200R

3e21R2

20mc00电子的半径：

单元八电介质中的电场（二）

一选择、填空题

1. 一电量为+q的点电荷放在有一定厚度的各向同性、均匀电介质球壳的中心(如图所示)，则图中带箭头的线全部是电力线。【 A 】

全部是电力线；全部是电位移线；

短的是电力线，长的是电位移线；短的是电位移线，长的是电力线。

2. 两个点电荷在真空中相距

时的相互作用力与在煤油中相距

选择题(1)

时的相互

作用力相等，则煤油的相对介电常数r1.96。

3. 在相对介电常数为

的各向同性的电介质中，电位移矢量与场强之间的关系是

Dr0E。

4. 分子的正负电荷中心重合的电介质叫做无极分子电介质。在外电场作用下，分子的正负电荷中心发生相对位移，形成电偶极子。

5. 一平行板电容器，充电后与电源保持联接，然后使两极板间充满相对介电常数为向同性均匀电介质，这时两极板上的电量是原来的r倍；电场强度是原来的1倍。

6. 一个平行板电容器的电容值C=100 pF(有介质时的电容)，面积S100cm，两板间充以相对介电常数为r6的云母片，当把它接到50V的电源上时，云母中电场强度的大小

9

E9.42103N/C，金属板上的自由电荷电量q510C。

的各

1222

8.8510C/(Nm)]。 0[

7. 一平行板电容器，两板间充满各向同性均匀电介质，已知相对介电常数为

。若极板上

的自由电荷面密度为

，则介质中电位移的大小D，电场强度的大小：

E

r0。

8. 用力F把电容器中的电介质板拉出，在图(A)和(B)的两种情况下，电容器中储存的静电能量将【 D 】

都增加； (B) 都减少； (C) （a）增加，（b）减少； (D) （a）减少，（b）增加。

选择题(8)

9. 电容为

选择题(9)

的各向同性均

的平板电容器，接在电路中，如图所示，若将相对介电常数为

匀电介质插入电容器中(填满空间)，则此时电容器的电容为原来的r倍，电场能量是原来的

r倍。

10. 平行板电容器两极板间为d，极板面积为s，在真空时的电容、自由电荷面密度、电势差、电场强度和电位移矢量的大小分别用C0 、σ0、U0、E0、D0表示。维持其电量不变（如充电后与电源断开），将

的均匀介质充满电容，

则

CrC0， 0，

U

r，

E

r，DD0；

的均匀介质充满电容，

维持电压不变（与电源连接不断开），将则

CrC0，r0，UU0，EE0，DrD0。

二计算题

简述有极分子电介质和无极分子电介质的极化机制在微观上的不同点和宏观效果的共同点。  极化机制在微观上有极分子电介质是取向极化，无极分子电介质是位移极化。宏观效果上，对于各向同性的介质，如果是均匀极化，体内无剩余电荷，在介质的表面上出现极化电荷，即束缚电荷。外电场越强，介质表面的束缚电荷愈多。

束缚电荷同自由电荷一样能够产生电

场。

2. 半径为R的导体球，带有电荷Q，球外有一均匀电介质的同心球壳，球壳的内外半径分别为a和b，相对介电系数为

如图，求: (1) 介质内外的电场强度E，电位移

计算题(2)

D。 (2) 离球心O为r处的电势。(3) 图示D(r)、E(r)、U(r)的图线。

 (1) 根据介质中的高斯定理可以得到空间各点的电位移矢量大小



0rR：D0，E0

DDD

Rra：

qqErr20204r4r0， qqErr20204r4rr0， qqErr20204r4r0，

arb：

br：

根据电势的定义，计算得到空间各点的电势分布

当r

U

ab

EdlEdlEdlEdl

，

U

b

EdlEdlEdl

U

q40

[

1111(1)()]Rrab

Rra：

U

1111

[(1)()]40rrab 11

(r)4

r0rb q

arb：

U

计算题(2)

br：

U

q40r

A、B、C是三块平行金属板，面积均为S200cm，A、B相距dAB=4.0mm，A、C相距dAC=2.0mm， B、C两板都接地，设A板带正电

q3.0107C不计边缘效应，求B板和C板上的

感应电荷，以及A板电势。若在A，B间充以相对介电系数r5的均匀电介质，再求B板和C板上的感应电荷。

 设三个平行金属板的面电荷密度分别为： q1、q2、 q3、q4、q5、q6，如图所示。

q0

B和C两板接地，q10，6

根据静电平衡条件可以得到：

q2q3，q4q5

B和C两板接地，电势均为零。

计算题(3)

q4q

dAB3dAC0

qdq4dAB SS0

因此有0, 3AC

因为：

q3q4q

dACdAB

qq4q

(dACdAB)，(dACdAB)

qB

dAC

(dACdAB)， qB1.0107C

q3

所以

B板上的感应电荷：

qC

C板上的感应电荷：

dAB

(dACdAB)， qC2.0107C

UA

A板电势：

dABdACq

(dACdAB)0S， UA2.3103V

=5的均匀电介质，

若在A，B间充以相对介电系数

C板和B板之间的电势为零：

Sr0

dAB

dAC0

qdrq3dAC0 S0

， 4AB

q2

rdACdAB

qq5q

(rdACdAB)， (rdACdAB)

qB

rdAC

B板上的感应电荷：

(rdACdAB)， qB2.14107C

qC

C板上的感应电荷：

dAB

(rdACdAB)， qB0.86107C

UA

A板电势：

4dABdACq

dABUA2

r0(dd)SU9.710V rACAB0A，，

4. 一平行板电容器的极板面积为S1m ，两极板夹着一块d=5 mm厚的同样面积的玻璃板，已知玻璃的相对介电常数为r5，电容器充电到电压U=12 V以后切断电源，求把玻

12212

(8.8510CNm) 0璃板从电容器中抽出来外力需做多少功。

 抽出玻璃板前后平行板电容器的电量保持不变。

r0SW1dQ21Q2

CW

2r0S d，2C未抽出玻璃时电容器的静电能：，0SW'1dQ21Q2

C'W'

20S d，2C'，抽出玻璃后电容器的静电能：

QCU，根据题目给出的条件：

Q

r0S

UW

, 所以：

1r0S21S

UW'r20U2

2d2d，

外力做的功等于电容器电场能的变化： AW'W

Ar0(r1)U2

6

2d， A2.5510J

单元九真空中静电场习题课（一）

一、选择、填空题

一电量为510C的试验电荷放在电场中某点时，受到2010N向下的力，则该点的电场强度大小为4N/C，方向向上。

9

FE

q0，电场中一点的电场强度为单位电荷所受到的电场力，方

 根据电场强度的定义：

向为正电荷在该点受力的方向。



带电量分别为q1和q2的两个点电荷单独在空间各点产生的静电场强分别为E1和E2，空间

EEE12，现在作一封闭曲面S，如图所示，则以下两式可分别各点的总的电场强度为

求出通过S的电通量：

q1

E1dS

0

，S

q1q2EdS

0



E1dS

的意义是q1产生的电场穿过S的电通量。所以S

q1

E1dS

0

选择题(2)

选择题(3)

EdS

的意义是空间所有的电荷产生的电场穿过S的电通量。所以

qq2EdS1

0

点电荷q1, q2, q3, q4在真空中的分布如图所示．图中S为闭合曲面，则通过该闭合曲面的

电通量S量和。

q2q4EdS

0

q,q,q,q，E是点电荷1234在闭合曲面上任一点产生的场强的矢



 高斯定理表达式中的场强E为空间所有电荷共同产生的和电场；通过封闭曲面的电通量

只和包

围的电荷的代数和有关。S

qqEdS14

0

半径为R的不均匀带电球体，电荷体密度分布为Ar，式中r为离球心的距离，(rR)、

QARA为一常数，则球体上的总电量。

dV4rdr  电荷分布虽然不均匀，但具有点对称性，距离球心为r，厚度为dr的体积元

dQAr4rdr, 球体上的总电量中的电量为

QAr4r2dr

QAR，

图中所示为静电场的等势（位）线图，已知U1

EaEb。

选择题(5)选择题(6)

U2U1U2U1

rarb，所以EaEb。

 U1，U2，U3为等势面，从图中可以得出

两个同心的均匀带电球面，内球半径为R1、带电为Q1，外球面半径为R2、带电为Q2，设无穷远处为电势零点，则在内球面里面、距离球心为r处的P点的电势U为：【 B 】

Q1Q2Q1Q2Q1



40r； (B) 40R140R2； (C) 0； (D) 40R1 (A)

 利用已知球面产生的电势分布结论和电势的叠加原理求解。

球面1：

14

U1

14

0

rQ1R1

(rR1)

(rR1)

，球面2：

14

U2

14

0

rQ2R2

(rR2)

(rR2)

UP

所以距离球心为r处的P点的电势

Q140R1



Q240R2

7、图中实线为某电场中的电力线，虚线表示等势面，由图可以看出【 D 】

（A）EA>EB>EC, UA>UB>UC (B) EAEB>EC, UAUB>UC  根据电力线密集的地方电场强度越强，电场方向沿着电势降低方向。所以答案为EAUB>UC 8、一空气平行板电容器，接电源充电后电容器中储存的能量为W0。在保持电源接通的条件下，在两极板间充满相对介电常数为r的各向同性均匀电介质，则该电容器中储存的能量W为：【 A 】

选择题(7)选择题(8)

(A)

WrW0； (B)

W

r； (C) W(1r)W0； (D) WW0；

WCU2

2 充满介质前后电容器极板的电势差保持不变，根据电容器存储的能量

W0C0U2

CrC0，所以WrW0 2又根据给出的条件：，

9、将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，在保持与电源连接的情况下，把一块与极板面积相同的各向同性均匀介质板平行地插入两极板之间，如图所示，介质板的插

入及其所处位置的不同，对电容器储存电能的影响为：【 C 】 (A) 储能减少，但与介质板位置无关；(B) 储能减少，且与介质板位置有关； (C) 储能增加，但与介质板位置无关；(D) 储能增加，但与介质极位置有关。

WCU2

2 在介质插入的过程中，电容器极板的电势差保持不变，电容器存储的能量

极板的电势差：

UE0(dd')Ed'，

E0

Q0Q0

E0S，r0S

U

Q0QQ(dd')0d'C0

0Sr0S，根据电容的定义：U

C

r0Sr(dd')d'，

C

0S

d1d'(11)

dr，

CC0

1

1d'1

(1)dr

电容的大小与介质板的位置无关。所以答案为：储能增加，但与介质板位置无关。

二、计算题

1. 真空中高为h=20 cm、底面半径R=10 cm的圆锥体，在顶点和底面中心连线的中点有一点电荷q=10-6 C，求通过圆锥体侧面的电通量。

 以O为球心、

rR2()2

为半径作一个球面

q在球面各处产生的电场强度大小为：

E

q40r2，

dS2rsind的电通量：穿过球冠CAB的面积元：

dCABE2r2sind

穿过球冠CAB的电通量为：



计算题(1)

CAB

24q2

EdSE2rsind(1)

2020

'CAB

穿过圆锥体侧面的电通量为：

22qq

(1)(1)0202202q

'

22q

9.64104NC1m2

40

2. 厚度为b的“无限大”带电平板，电荷体密度kx(0xb)，k为正常数，求：平板外侧任意一点p1和p2的电场强度大小；（2）平板内任意一点p处的电场强度；

计算题(2)计算题(2)电场强度为零的点在何处？

 方法一、解：（1）将厚度为b的“无限大”带电平板分为无限多带电平面。

面积为S，厚度为dx的薄面带电量：dqSkxdx, 面密度



kxdxS

dE

在p1产生的电场强度大小为：

kxdx

2020

“无限大”带电平板在p1产生的电场：

EdE

kxdx

20

kb2E

40，方向沿X负方向。

kb2

E

40，方向沿X正方向。

同理平板右侧任意一点p2处电场强度大小也为：

（2）板内任意一点p的电场强度大小为： EE1E2，

其中

kxdxkx2

E1

24000

(2x2b2)40

，

E2

kxdxk

(b2x2)2040x

E

（3）令

k2(2x2b2)0xb0.71b402，由此解得：，电场强度为零。

计算题(2)计算题(2)

 方法二、“无限大”带电平面产生的电场为常数，厚度为b的“无限大”带电平板，电荷体密度

kx, 在xb的区域产生的电场大小相等，选取圆柱面为高斯面，如图所示。

根据高斯定理：S

EdS

Skxdx

0

kb2

2ESS

20，

kb2

E

40

板外任一点的场强：

将闭合圆柱面的一个底面位于带电板内的任一点p，假设p的电场沿X轴正方向，如图所示，

根据高斯定理：S



EdS

Skxdx

0

kb2Skb2k22

S(ES)k(bx)E(b2x2)40204020

E

板内任意一点p的电场强度大小：

(2x2b2)40

3. 一个电荷面密度为的“无限大”平面，在距离平面a处的电场强度大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的，求该圆的半径。  电荷面密度为的“无限大”平面，在距离平面a处的

E

电场强度大小为：

20

面密度为、半径为R的圆板在a

处产生的电场强

计算题(3)

E'

度大小为：



[120

1E2，

a(R2a2)

]

E'

根据题意：得到：

[1

]

(Ra)

R3a

4. 一个“无限长”圆柱面，其电荷面密度为

0cos，求园柱轴线上一点的电场强度。

 选取如图所示的坐标，在角度处取一个长度为l、宽度为Rd的“无限长”带电细棒线，带的

计算题(4)

电量为

dqlRd0cos，该“无限长”带电细棒的线电荷密度：Rd0cos

dE

ˆR2R0，

“无限长”带电细棒在O点产生的电场强度为：

cosdˆcosddE0R0(cosisinj)

2020

EdE0

20

2





(cosisinj)cosd

0Ei

20园柱轴线上一点的电场强度：

5. 两根相同的长为l带电细棒，线电荷密度为，其放置如图所示，假设棒上的电荷不能自由移动，求两棒之间的静电作用力。

 取如图所示的坐标，左面的棒在x轴上x’点产生的



E

电场强度的大小为：

L2

4

dx

(x'x)2

E

11()

LL40x'x'

右面棒上x’处的电荷元dx’ 受到的力为：

dFEdx'，方向沿X轴的正方向, 所以两棒

之间的作用力：

2L

计算题(5)

F



L

211

()dx'

LL40x'x'

24

Fln

403

6. 一个球形电容器，在外球壳半径b和内外导体间的电势差U维持恒定不变的条件下，内球的半径a为多大时才能使内球表面的电场强度为最小？  设内球和外球均匀分布电荷+Q和-Q，根据电势差的定义:

b

UEdl

Qdr40r2

U()

40ab

，

计算题(6)

Q

内球的表面带的电量为：

40U11()ab

内球表面处的电场强度大小：

E

Q40a2



Uba(ba)

dE14U

0abEmin

2，b 令da，

7. 现有一根单芯电缆，电缆芯的半径r1=15 mm，铝包皮的内半径为r2=50 mm。其间充以相对常数r2.3的各向同性介质，求当电缆和铝包皮的电压为U12=600 V时，长为l=1 km的电缆中储存的静电能是多少？

E

 设单位长度带电量为，介质中的电场强度为：



2r0r

U12

根据电势差定义：

rdr

ln2

2r0r2r0r1



，

2r0U12

rln2

E

所以

U12

rrln2

wr0(12)2

rln2

WwdVrV1静电能密度：，

Wr0(12)22rldr

2r1rln2r1

Wr0

lU122

r1, W1.9102J

8. 三块面积均为S，且靠得很近的导体平板A、B、C分别带电Q1、Q2、Q3 求

三个导体表面的电荷面密度：

1、2、3、4、5、6；

图中a、b、c三点的电场强度。

（1）三块导体静电平衡时各自的电荷守恒

1S2SQ1(1)3S4SQ2(2)5S6SQ3(3)

假设各面带正电，电场向右为正对于三块导体板中的任意一点满足：

计算题(8)

123456

0(4)202020202020



EP1234560(5)

202020202020



EP1234560(6)

202020202020

EP1

由（4）（5）（6）式得到：

23和45，16

1S2SQ1(7)

S2SQ2Q3(8)

将上述值带入（1）（2）（3）式得到：1

16

Q1Q2Q3QQ2Q3QQ2Q3

231451

2S2S2S，，

QQ2Q31

Ea1

20S0

Q1Q2Q321

EbEib

2020S0

5Q1Q2Q31

EcEic

220S002）a、b、c三点的电场强度分别为：，

Ea

120

i

9. 在一个不带电的金属球旁，有一个点电荷+q，距离金属球的球心为r，金属球的半径为R，求：1）金属球上的感应电荷在球心处产生的电场强度和此时球心处的电势；2）金属球上的感应电荷在金属内任意一点P处电场强度和电势；3）如将金属球接地，球上的净电荷为多少？

 1）由于静电感应，在导体球面的两侧分别出现正负电荷q’，如图所示。球心的电场强度为点电荷＋q和球面感应电荷共同产生。根据导体静电平衡的性质，球心的电场强度为零，即：

计算题(9)



EOEqEq'0

1qˆ1qˆEq'Eq(r)Erq'240r24rˆ0（r沿球心到点电荷＋q的方向），

球心电势：

UOUqUq

（球面上的感应电荷在球心产生的电势为零），

UOUq

40r

2）根据静电平衡条件，导体内部处处电场强度为零，所以P点的电场强度为零，即



EPEqEq'0

Eq'

, 感应电荷在P点产生的场强：

q40r'2

ˆr

P点的电势：

UPUqUqUOUqUOUq

Uq

1q1q

40r40r'

3）将金属球接地，根据静电平衡条件

UPUO0，假设球表面有剩余电荷q’，

q1q'0q'Rq

UUqUq'040r40Rr 有：O，，

*10. 如图所示，在半导体P-N结附近总是堆积着正负电荷，N区内是正电荷，P区内是负电荷，两区内的电量相等。把P-N结看作一对带正负电荷的“无穷大”平板，它们相互接触。x轴的原点取在P-N结的交接面上，方向垂直于板面。N区的范围是

xNx0；P

计算题(10)

N区:e(x)NDe

区的范围是0xxP。设两区内电荷分布都是均匀的。为实变型模型，其中ND和NA都是常数，且有

P区:e(x)NAe 这种分布称

xNNDxPNA（两区内的电荷数量相等）

。

N区:E(x)NDe(xNx)/0

试证电场强度的大小为的变化曲线。

 将P-N结看作是若干个“无穷大”均匀带电薄面构成，薄面带电：dqSdx

P区:E(x)NAe(xPx)/0，并画出e(x)和E(x)随x

dxdqdEdx

20 S面电荷密度：，该带电薄面在空间一点的场强：

NAedxPNAedxNedx

ED

2020200xxN

0xxP区域任一点的电场强度为：

E

NAex

0



NAexPNDexN

2020

E

NAe

将

xNNDxPNA代入，得到:

0

(xPx)

xNx0区域任一点的电场强度为：

E

xN



NDedxNDedxPNAedx

2

02200x0

E

NDex

0



NDexNNAexP

2020

xNxPNA代入，得到:

将ND

E

NDe

0

(xNx)

单元九磁感应强度，毕奥一萨伐尔及应用（二）

一、选择、填空题

1. 一园电流在其环绕的平面内各点的磁感应强度

【 C 】

(A) 方向相同，大小相等； (B) 方向不同，大小不等； (C) 方向相同，大小不等； (D) 方向不同，大小相等。

2. 电流由长直导线流入一电阻均匀分布的金属矩形框架，再从长直导线流出，设图中

O1,O2,O3

【 B 】 (A)

处的磁感应强度为则

；



B0,B20,B30；

选择题(2)

BB0B230； (B) 1

B0,B20,B30 (D) 1

3. 如图两个半径为R的相同的金属环在a、b两点接触 (a， b连线为环直径)，并相互垂

直放置，电流I由a端流入， b端出，则环中心O点的磁感应强度大小为: 【 A 】

选择题(3)选择题(4)

选择题(5)

oI

(A) 0 (B) 4R (C) 2oI

计算题(1)

oI

(D) R

4. 在真空中，将一根无限长载流导线在一平面内弯成如图所示的形状，并通以电流I，则

10I4a圆心O点的磁感应强度B的值为: 。

5. 将半径为R的无限长导体薄壁管(厚度忽略)沿轴向割去

一宽度为h (h

选择题(7)

0ih2R大小是: 。

6. 一长直载流导线，沿空间直角坐标OY轴放置，电流沿y正向。在原点O处取一电流元

，则该电流元在 (a， 0， 0)点处的磁感应强度的大小为:

0Idl

4a2，方向为: Z。

7. 如图所示，XOY和XOZ平面与一个球心位于O点的球面相交，在得到的两个圆形交线上分别流有强度相同的电流，其流向各与y轴和z轴的正方向成右手螺旋关系，则由此形成的磁场在O点的方向为: 在OYZ平面，与Y, Z成450。

二、计算题

1. 如图，一根无限长直导线，通有电流I，中部一段弯成圆弧形，求图中O点磁感应强度的大小。

 根据磁场叠加原理，O点的磁感应强度是

(A)、(ABC)和(C)三段共同产生的。 (A)段在O点磁感应强度大小： B1

0I

(cos1cos2)4x



6，

xacos

将

10，2





2代入

30I

B1(1)

2a2，方向垂直于纸面向里；得到：

(C)段在O点磁感应强度大小：

B2

0I

(cos1cos2)4x

310I

1，2xacosaB2(1)

6322a2，将，带入得到：方向垂直向里；



(ABC)段在O点磁感应强度大小：

方向垂直于纸面向里。

B3

0

4

0I20IIdl

B(a)Ba2，34a23，36a，

O点磁感应强度的大小：

BB1B2B3，

B

0I



0I3

(1)a2, 方向垂直于纸面向

里。

*2. 如图所示，求半圆形电流I在半圆的轴线上离圆心距离为x处的磁感应强度。

计算题(2)

 选取如图的坐标，半圆形上任一电流元Idl在P点产生的磁感应强度:

计算题(2)

dBdBxdByz



sinsink

dB

0Idl

4(R2x2)

cosi

0Idl

4(R2x2)



sincosj

0Idl

4(R2x2)

cos

RRx

,sin

xRx

,dlRd

dB

0IxRcosd0IxRsindijk333

4(R2x2)24(R2x2)24(R2x2)2

BdB

0IR2d

所



以



B





0IR2d

4(R2x2)

i





0IxRcosd

4(R2x2)

j





0IxRsind

4(R2x2)

B

0IR2

4(R2x2)

i

0IxR

2(R2x2)

j

3. 在真空中，电流由长直导线l沿底边ac方向经a经流入一电阻均匀分布的正三角形线框，再由b点沿平行底边ac方向从三角形框流出，经长直导线2返回电源(如图)，已知直导线的电流强度为I，三角形框的每一边长为，求正三角形中心O处的磁感应强度

。

计算题(3)

 利用磁场叠加原理计算O点的磁感应强度。

(A)段：

B1

0I

(cos1cos2)4x 3l

B1

10,2



,x

6，

0I3

(3)2l2，方向垂直于纸面向外；

30II

B2(cos1cos2)1,2,xlB203

(B)段：4x4l23，，，方向

垂直于纸面向里；

(AC)段：B3

B3

30I'1

(co1scos2)1,2,xl,I'I4x6663，，

0I

2l，方向垂直于纸面向外；

30I'1

B4(co1scos2)1,2,xl,I'I

(CB)段：4x6663，，

B4

0I

2l，方向垂直于纸面向外；

30I'2

B5(co1scos2)1,2,xl,I'I

(CB)段：4x6663，，

B5

0I

l，方向垂直于纸面向里。

规定磁感应强度方向向里为正，O点的磁感应强度大小：

B

0IIIIII3

(3)03000B0(33)2l24l2l2ll, 4l，方向垂直于纸面向

里。

4. 载流正方形线圈边长为2a，电流为I，求此线圈轴线上距中心为x处的磁感应强度。

 分别计算四条边在P点产生的磁感应强度，再应用磁场叠加原理计算P的磁感应强度。

(ab)边在P点产生的磁感应强度大小：

0I

(cos1cos2)4x'

cos1

x22a2

B1

2

ax22a2

计算题(4)

x'x22a2

B1B2

0I

(ab)边产生的磁感应强度：(bc)边产生的磁感应强度：

B3

2x2a2x22a2

(cosisinj)

0I

2x2a2x22a2



(cosisink)

0I

(cd)边产生的磁感应强度：

2x2a2x22a2

(cosisinj)

B4

0I

B4

(ca)边产生的磁感应强度：

2x2a2x22a2



(cosisink)

0I

载流正方形线圈在P点的磁感应强度：

2x2a2x22a2

cosi

cos

将

ax2a2

代入

B

正方形线圈在P点的磁感应强度：

单元十毕奥－萨伐尔定律的应用磁通量和磁场的高斯定理（一）

一、填空、选择题

1. 已知两长直细导线A、B通有电流IA1A,IB2A，电流流向和放置位置如图所示，设IA,IB在P点产生的磁感应强度大小分别为BA和BB，则BA和BB之比为：1:1，此

20Ia21

(x2a2)x22a2

填空题(2)

填空题(1)

时P点处磁感应强度

与X轴夹角为：30。

填空题(3)

2. 一半径为a的无限长直载流导线，沿轴向均匀地流有电流I。若作一个半径为R=5a、高为的柱形曲面，已知此柱形曲面的轴与载流导线的轴平行且相距3a (如图)，则侧面S上的积分: 3. 在匀强磁场

在圆柱

BdS0

。

成60°角，如图所示，则通

中，取一半径为R的圆，圆面的法线与

过以该圆周为边线的如图所示的任意曲面S的磁通量：4. 半径为R的细圆环均匀带电，电荷线密度为

mBdSBR2



。

，若圆环以角速度绕通过环心并垂直于

环面的轴匀速转动，则环心处的磁感应强度

B0

02，轴线上任一点的磁感应强度

B

0R3

2(R2x2)。

5. 一电量为q的带电粒子以角速度作半径为R的匀速率圆运动，在圆心处产生的磁感应

B

强度

0q4R。

二．计算题

1. 如图所示，宽度为a的无限长的金属薄片的截面通以总电流I，电流方向垂直纸面向里，试求离薄片一端为r处的P点的磁感应强度B。

 选取如图所示的坐标，无限长的金属薄片上线电流

计算题(1)

dI

元

Idx

a在P点产生磁感应强度大小为

dB

Idx

2(rax)a，方向垂直金属薄片向下。

0

无限长载流金属薄片在P点产生磁感应强度大小：

B

Idx

2(rax)a

0

B

，

0Ira

ln2ar

2. 如图所示，两个共面的平面带电圆环，其内外半径分别为

，外面的圆环以每秒钟

转的转

速顺时针转动，里面的圆环以每秒钟动，若电荷面密度都是处的磁感应强度为零。

转的转速反时针转的比值多大时，圆心

 在内环距原点O为r，选取一个宽度为dr的环形电荷元：dq2rdr

计算题(2)

dI

此环形电荷元形成的电流环：

dI

2rdr21，12n1，dI2n1rdr

dB

0dI

2r，

dB

0

此电流环在O点产生的磁感应强度大小：

2n1rdr

dBn10dr，里面的圆环反时针转动时在O点产生的磁感应强度大小：

B1



n10dr

，

B1n10(R2R1)，方向垂直纸面向外。

B2

同理外面的圆环顺时针转动时在O点产生的磁感应强度大小：



n20dr

B2n20(R3R2)，方向垂直纸面向里。

圆心处的磁感应强度大小：

BB1B2n10(R2R1)n20(R3R2)

n1R3R2



n(RR)n(RR)nR2R1 1232，2令B0，12

3. 两平行直导线相距d=40 cm，每根导线载有电流I1=I2=20 A ，如图所示，求：

两导线所在平面内与该两导线等距离的一点处的磁感应强度；

通过图中斜线所示面积的磁通量。(r1=r3=10 cm， L=25 cm)

 通电为I的长直导线在空间产生的磁感应强度大小：

B

0I2r

B1

电流1在中点的磁感应强度大小：向外；

0I1

d，方向垂直纸面0I2

d，方向垂直纸面向外；

计算题(3)

电流2在中点的磁感应强度大小：

B2

中点磁感应强度大小：向外。

BB1B2

02I(I1I2)B0dd，B=4×10-5 T，方向垂直，

选取如图所示的坐标，P点的磁感应强度大小：BB1B2，

B

0I10I2



2x2(dx)



dmBdS

穿过长度为L、宽度为dx面积元的磁通量为：

0I1I2

mBdSdm()ldx

S2xdx，穿过长度为L、宽度为r2面积的磁通量为：

r1r2

m



0I1I

(2)Ldx2xdx

m

，

0I1Lr1r20I2Ldr1r2

lnln2r12dr1

dr1r2r3，r1r3带入，得到

将I1I2I和

m

0ILr1r20ILr

lnln12r12r1r2

m

0ILr1r2

lnr1

4. 两根导线沿半径方向被引到铁环上A，C两点，电流方向如图所示，求环中心O处的磁感应强度。

 电流I(A)和电流I(C)在O点的磁感应强度为零。

I1l2

Il1

设I1电流的长度为l1，I2电流的长度为l2，且有：2

IB1012l1

4R，方向垂直电流I1在O点的磁感应强度大小：

纸面向外；

计算题(4)

电流I2在O点的磁感应强度大小：

B2

0I2

4R2，方向垂直纸面向里。

BB1B2，O点的磁感应强度大小：

B

0I10I20

llB(I1l1I2l2)021222

4R4R，4R

单元十安培环路定理、安培力（二）

一．选择、填空题

如图，在一圆形电流I所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L，则由安培环路定理可知：【 B 】 (A)

Bdl0,

且环路上任意一点B=0

(B) (C)

Bdl0,

且环路上任意一点B0

Bdl0

，且环路上任意一点B0 且环路上任意一点B=常量

选择题(1)

(D)

Bdl0,

2. 所讨论的空间处在稳恒磁场中，对于安培环路定律的理解，正确的是【 C 】 (A) 若(B) 若(C) 若

Bdl0

，则必定L上处处为零

Bdl0

，则必定L不包围电流，则L所包围电流的代数和为零

仅与所包围的电流有关。

等于：

Bdl0

(D) 回路L上各点的

3. 两根长直导线通有电流I，图示有三种环路，在每种情况

0I (对环路a )、

选择题(3)选择题(4)

0 (对环路b )、4. 如图所示，

0I (对环路c )

回路的圆周半径相同，无限长直电流外又有一无限长直电流

，

，在

内的位置一

样，但在 (b) 图中为两圆上的对应点，在以下结论

中正确的结论是【 C 】 (A)



BdlBdl,且BP1BP2

L2L2

5. 在磁场空间分别取两个闭合回路，若两个回路各自包围载流导线的根数不同，但电流的代数和相同，则磁感应强度沿各闭合回路的线积分相同，两

选择题(6)

个回路的磁场分布不相同 (填相同，不相同)。

BdlBdl,且BP1BP2

(B)



BdlBdl,且BP1BP2



BdlBdl,且BP1BP2

6. 有一根质量为m，长为的直导线，放在磁感应强度为的均匀磁场中的方向在水平

I

面内，导线中电流方向如图所示，当导线所受磁力与重力平衡时，导线中电流

mgBl。

二．计算题

1. 无限长载流空心圆柱导体壳的内外半径分别为a，b，电流I在导体截面上均匀分布，求

各区域中的

的分布，并定性画出B－r曲线。

计算题(1)

 根据安培环路定理：L



Bdl0I

，选取如图所示的圆形回路为闭合路径。

ra:

B0

22IIra22

B2r0(ra)B02

22(ba)arb:2rba2 ，

rb:B2r0I，

B

0I

2r

2. 一根半径为R的无限长直铜导线，导线横截面上均匀通有电流，试计算: 磁感应强度

的分布；

计算题(2)

通过单位长度导线内纵截面S的磁通量(如图所示，OO’为导线的轴)

 根据安培环路定理：L闭合路径。



Bdl0I

，选取圆形回路为

rR:

B2r0

0II2

rBr2

R22R，

B

rR:B2r0I，

0I

2r



dBdS m通过距离轴线为r，长度为l、宽度为dr的面积元的磁通量为：

dm

0I

rldr2

2R

通过单位长度导线内纵截面S的磁通量：

3. 如图所示一根外半径为

m

0I

rdr0I2m2R4 ，

的无限长圆形导体管，管内空心部分的半径为，空心部分的

轴与圆柱的轴平行，但不重合，两轴间距为a且，现有电流I沿导体管流动，电流

均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行。求

(1) 圆柱轴线上的磁感应强度的大小 (2) 空心部分轴线上磁感应强度的大小。

(3)设R110mm,R20.5mm,a5.0mm,I20A分

别计算上述两处磁感应强度的大小。

计算题(3)

 应用补偿法计算磁感应强度。空间各点的磁场为外半径

IR12

I1(R)2

222

(RR)RRR12121为、载流为的无限

2IR2

I2(R)2

222

(RR)RRR1212长圆形导体管和电流方向相反、半径为1、载流为的

无限长圆形导体管共同产生的。

圆柱轴线上的磁感应强度的大小：BB1B2，B10

0IR2

0I2B

BB222

2a(R1R2)，B2106T 2a，

空心部分轴线上磁感应强度的大小：BB1B2，B20，

B12a0

(a2)2

R1

0IaIRIa

BI1212B101222

2(R1R2)，B2104T 2R1，将R1R2带入：

4. 如图所示，一条任意形状的载流导线位于均匀磁场中，试证明它所受的安培力等于载流直导线ab所受的安培力。

 建立如图所示的直角坐标系，任意形状导线上电流元



表示为：IdlIdxiIdyj，磁感应强度：BBk



电流元所受到的安培力：dFIdlB

计算题(4)



dFI(dxidyj)(Bk) dFIBdxjIBdyi

bxyFIBdxjIBdyi

任意形状的载流导线受到安培力：，

FIBbxjIBbyi

同理得到载流直导线ab所受的安培力：

bxyF'IBdxjIBdyi

，

F'IBbxjIBbyi



所以：FF'，一个在均匀磁场中任意形状的闭合载流回路受到的安培力为零。

单元十一磁场对电流的作用（一）选择、填空题

1. 如图所示导线框a，b，c，d置于均匀磁场中(

的方向竖

直向上)，线框可绕AB轴转动。导线通电时，转过角后，达到稳定平衡，如果导线改用密度为原来1/2的材料做，欲保持原来的稳定平衡位置(即不变)，可以采用哪一种办法？ (导线是均匀的) 【 A 】 (A) 将磁场

减为原来的1/2或线框中电流强度减为原来

的1/2；

(B) 将导线的bc部分长度减小为原来的1/2； (C) 将导线ab和cd部分长度减小为原来的1/2； (D) 将磁场

减少1/4，线框中电流强度减少1/4。

选择题(1)

2. 在匀强磁场中，有两个平面线圈，其面积A12A2，通有电流I12I2，它们所受的最大磁力矩之比

等于

【 C 】 (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 1/4

3. 有一由N匝细导线绕成的平面正三角形线圈，边长为a，通有电流I，置于均匀外磁场

中，当线圈平面的法向与外磁场同向时，该线圈所受的磁力矩【 D 】 (A)

值为：

3Na2IB/2, (B) Na2IB/4, (C) 3Na2IBsin60,

(D) 0

4. 如图所示，在磁感应强度的均匀磁场中，有一园形载流导线， a，b，c是其上三个长

选择题(4)选择题(5)

度相等的电流元，则它们所受安培力大小的关系为【 C 】

(A)

，(B)

，(C)

， (D)

FaFcFb

5. 无限长直载流导线与一个无限长薄电流板构成闭合回路，电流板宽为a(导线与板在同一平面内)，则导线与电流板间单位长度内的作用力大小为【 C 】

oI2

ln22

2a (A) oI2I2

ln2ln22

2a2a(B) (C) oI2

ln222

2a(D)

中(如图示)在不考虑载流圆线圈

6. 一圆线圈的半径为R，载有电流I，置于均匀外磁场

选择题(6)选择题(7)

的

本身所激发的磁场的情况下，线圈导线上张力为BIR (已知载流圆线圈的法线方向与方向相同)。

电磁学

库仓定律电场电场强度（一）

选择、填空题 1. 下列几种说法中哪一个是正【 C 】

(A) 电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向； (B) 在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同；

确的?

FE

qF(C) 场强方向可由定义给出，其中q为试验电荷的电量，q可正、可负，为试验

电荷所受的电场力；

(D) 以上说法都不正确。 2. 一带电体可作为点电荷处理的条件是【 C 】

(A) 电荷必须呈球形分布； (B) 带电体的线度很小；



3. 在坐标原点放一正电荷Q，它在P点 (X=+1，Y=0 ) 产生的电场强度为E，现在，另外

有一个负电荷-2Q，试问应将它放在什么位置才能使P点的电场强度等于零? 【 C 】

X轴上x>1； (B) X轴上0

选择题(3)选择题(4)选择题(5)

p4. 在一个带有正电荷的均匀带电球面外，放置一个电偶极子，其电矩的方向如图所示。

当释放

【 D 】

后

，

该

电

偶

极

子

的

运

动

主

要

是

：

p沿逆时针方向旋转，直至电矩沿径向指向球面而停止； p沿顺时针方向旋转，直至电矩沿径向朝外而停止；

p沿顺时针方向旋转至电矩沿径向朝外，同时沿电力线方向远离球面移动；

p沿顺时针方向旋转至电矩沿径向朝外，同时逆电力线方向向着球面移动。

5. 图中所示为一沿X轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为(x0)和(x0)则【 B 】

OXY



E坐标平面上点(0，a)处的场强为



ii20a； (C) 40a；

(A) 0； (B) 

(ij)40a(D) 。

6. 真空中两平行带电平板相距为d，面积为S，且有d2

板间的作用力大小为【 D 】

q22q2q2

FFFF2

4dSS20S。 000(A) ； (B) ； (C) ； (D)

的方向为向下，大小为Ne。

8. 图中曲线表示一种球对称性电场的场强大小E的分布，r表示离对称中心的距离。这是由半径为R均匀带电为+q的球体产生的电场。

计算题

77

q210Cq210C的点电荷，相121. 两个电量分别为和

选择题(8)

距0.3m，求距q1为0.4m、距q2为0.5m处P点电场强度。

922

1/(4)9.0010Nm/c0()。

 根据题意作出如图所示的电荷分布，选取坐标系OXY



E1

q1在P产生的场强：

q140b

(j)2

q

E222(cosisinj)

40cq2在P产生的场强：

计算题(1)

E

P点的电场强度：q2(cosi(j)sinj)22

40b40c q1



将





E4320i5490j 3，b0.4m，c0.5m代入得到：

计算题(2)

EA



ijEBij40a40a，40a40a

dldl

cosisinj

40R240R2

圆弧上的电荷元dq=dl在O点产生的电场为:

dEAB

dddEABcosisinj

4R4R00将dlRd代入，得到



带电圆弧在O点产生的电场强度：



EABdEAB

202dd

cosisinj40R40R0



EAB



(ij)40R，EEABEAEB



E



(ij)40R

计算题(3)

dEdExdEy

140a



dE

q1q

)asindi()acosdj2a40aa

O点的电场：

Ei





2

40a

2

sindj







40a

cosd

E

20a

sin



2 j

4. 求一均匀带电圆盘轴线上一点处的场强，设圆盘半径R，电荷面密度为，该点到圆盘中心距离为x。

取半径为r，宽度为dr，电量为dq=·2rdr的细圆环，该带电圆环在P点产生的电场强度大小为：

计算题(4)

dE

140

dqx(r2x2)



x20

rdr(r2x2)

R32

E

带电圆板在轴线上一点电场强度大小:

x20

rdr(rx)



应用积分结果：

rdr(r2x2)

]i



1(r2x2)

E[1

20

(Rx)

*5. 如图所示的一半圆柱面，高和直径都是L，均匀地带有电荷，其面密度为σ，试求其轴线中点O处的电场强度。

计算题(5)

 长度为L的均匀带电细棒在空间任一点P产生的电场强度为

E



[(cos1cos2)i(sin2sin1)j]40a

将1,2代入上式得到在带电细棒中点的垂直线上一点a的电场强度大小：

E

Ecos

20a,



40a

LL2

a

E

140a

qL2

a

，方向沿着中垂线

LLddqLd

2半圆柱面上长度为L，宽度为2的线电荷元：在O点产生的电场：

2LdEda

402代入，得到，将，方向如图所示



dEdExdEydEidEsinjdEsin

矢量表达式：，

dE

140a

Ld

a

LO点的电场强度：





EdEidEsinjdEcos



，其中：0





jdEcos0

所以：



EidEsin

，

2Eidsin

400

，

2

Ei

20

单元六电通量高斯定理（二）

选择、填空题

1. 已知一高斯面所包围的体积内电量代数和

q

0

，则可肯定:

【 C 】

(A) 高斯面上各点场强均为零； (B) 穿过高斯面上每一面元的电通量均为零； (C) 穿过整个高斯面的电通量为零； (D) 以上说法都不对。

2. 在空间有一非均匀电场，其电力线分布如图示，在电场中作一半径为R的闭合球面S，已知通过球面上某一面元S的电场强度通量为则通过【 A 】

该

球

面

其

余

部

e，

的

电

场

强

度

通

量

分为

4R24R2S

ee

e； (B) SS (A) ； (C) ； (D) 0。

高

斯

定

理

【 A 】

适用于任何静电场；

只适用于真空中的静电场；

只适用于具有球对称性、轴对称性和平面对称性的静电场；

的值仅取决于高斯面

的均匀电场中，其对称轴与场强方向一致，如图所示。

选择题(6)

选择题(4)选择题(5)

则通过该半球面的电场强度通量为ER

如图，点电荷q和-q被包围在高斯面S内，则通过该高斯面的电通量

sEdS0

，式中

选择题(7)

为高斯面上各点处的场强。

选择题(8)

在点电荷+q和-q的静电场中，作出如图所示的三个闭合面S1，S2，S3通过这些闭合面

1

的电强度通量分别是：

0，20，

3

0。

e

240。

如图所示，一点电荷q位于正立方体的A角上，则通过侧面abcd的电通量

选择题(9)

l通量为0，带电直线延长线与球面交点P处的电场强度的大小为

l1

04R2l2，沿着矢径OP方向。

计算题

如图所示，在点电荷q的电场中，取半径为R的圆平面，q在该平面的轴线上的A点处，试计算通过这圆平面的电通量。

 在圆平面上选取一个半径为r，宽度为dr 元，通过该面积元的电通量为

的环形面积

选择题(10)

q2rdr

cosd22

40rxdEdS，

通过圆平面的电通量：



2xrdr

40(r2x2)2q

计算题(1)



qx(1)

2220Rx

2. 两个均匀带电的同心球面，分别带有净电荷

，其中为内球的电荷。两球之间

的电场为3000/r牛顿/库仑，且方向沿半径向内；球外的场强为2000/r牛顿/库仑，方向沿半径向外，试求q1和q2各等于多少?

4rRrR02： 根据题意：1



30001

q11016C2

0，r，q1120003

q1q2200052q21016C2

0，q2200000，r， q1q28000rR2：40r9

3. 两个无限长同轴圆柱面，半径分别为R1,R2(R2R1)带有等值异号电荷，每单位长度的电量为(1)

，试分别求出当 ; (2)

; (3)

时离轴线为r处的电场强度。

 设内圆柱面带正电，外圆柱面带负电，选取半径为r，长度为l的圆柱面为高斯面，穿过

高斯面的电通量：

eEdS



侧面

EdS

上底

EdS

下底

EdS

因为：上底

EdS

下底

EdS0

，所以，当rR1,E0，当rR2,E0

当R1rR2, 根据高斯定理得到

2rlE

l

E0， 20r

E(1) 在球形空腔内，球心O’处的电场强度o。



E在球体内P点处的电场强度，设O’、O、P三点在同一直径

上，且OPd。

计算题(4)

，半径为r的球体共同产生的。

 O’的电场是电荷体密度为的球体和电荷体密度为



小球心O’：EEREr

4d2ER

根据高斯定理：

143

d03

ER

43d

dER

40d2330，方向沿OO

，1

，半径为r的球体在O’产生的电场：Er0

电荷体密度为



dE

30，方向沿OO EERErER，

P点的电场强度可以看作是电荷体密度为的球体和电荷体密度为，半径为r的球体

EEERr 共同产生的：P

dr3

EREr2

312d00根据高斯定理可以得到：，方向沿，，方向沿O'

r3

EPEREr(d2)

304d，方向沿

单元七静电场环路定理电势能电势和电势差（一）

选择、填空题 1. 静电场中某点电势【 C 】试验电荷

的数值等于

q0置于该点时具有的电势能；(B) 单位试验电荷置于该点时具有的电势能；

单位正电荷置于该点时具有的电势能； (D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力做的功。

(A)

4ol



51q1q31q51



l； (B) 4o

l5； (C) 4ol3；(D) 4ol5

3. 如图所示，边长为a的等边三角形的三个顶点上，放置着三个正的点电荷，电量分别为q、

2q、3q。若将另一正点电荷Q从无穷远处移到三角形的中心O处，外力所作的功为: 【 C 】

23qQ43qQ63qQ8qQ

4oa； (B) 4oa； (C) 4oa； (D) 4oa (A)

选择题(2)

4. 一电量为Q的点电荷固定在空间某点上，将另一电量为q的点电荷放在与Q相距r处。

We

若设两点电荷相距无限远时电势能为零，则此时的电势能

5. 如图所示，在带电量为q的点电荷的静电场中，将一带电量为

的试验电荷从a点经任意路径移动到b点，外力所作的功

qQ140r。

选择题(5)

A1

qq011qq011

()A2()40rbra；电场力所作的功40rarb。

6. 真空中电量分别为q1和q2的两个点电荷，当它们相距为r时，该电荷系统的相互作用

W

电势能

q1q21

40r。(设当两个点电荷相距无穷远时电势能为零)。

ppEE7. 一偶极矩为的电偶极子放在场强为的均匀外电场中，与的夹角为p偶极子绕垂直于(，E)平面的轴沿

角。在此电

角增加的方向转过180°的过程中，电场力做的功为：

A2pEcos。

8. 一电子和一质子相距210

10

m(两者静止)，将此两粒子分开到无穷远距离时(两者仍静

止)需要的最小能量是7.2eV。 [

计算题

4o

9109Nm2/C2,1eV1.61019J

]

 无穷远处为电势零点，两个电荷构成的电荷系在O点和D点的电势为

计算题(1)

UO

q40Lq



q40L

0

UP

1qq

403L40L60L

(1) 单位正电荷从O沿OCD移动到D，电场力做的功：

A(1)(UOUP),

A

q60L

(2) 单位负电荷从D沿AB延长线移动到无穷远，电场力做的功:

A(1)(UPU)，

A(

q60L

0)

A

q60L

1v2

m2

4orr

 在正常状态下电子的速度满足：

e2112Ee1EPdrEkmvk24r8or，电子的电势能：o2r电子的动能：，，



e21

EP

4or

e21

EEkEP

8or

电子的总能量

e21W13.6eV

8or氢原子的电离能：WEE，E0,

单元七电势和电势差电势与电场强度的微分关系（二）

选择、填空题

1. 在点电荷+q的电场中，若取图中P点处为电势零点，则M点的电势为: 【 D 】

选择题(1)

(A)

4oa； (B) 8oa；

q

(C)

4oa； (D) 8oa

2. 半径为r的均匀带电球面1，带电量为q；其外有一同心的半径为R的均匀带电球面2，带电量为【 A 】

Q，则此两球面之间的电势差

为:

11Q111qQq()()()

4orR； (B) 4oRr； (C) 4orR； (D) 4or (A)

3. 平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的相互作用力F与两极板间的电压U的关系是: 【 D 】

(A) FU； (B) F1/U； (C) F1/U； (D) FU

4. 在静电场中，有关静电场的电场强度与电势之间的关系，下列说法中正确的是: 【 C 】

(A) 场强大的地方电势一定高； (B) 场强相等的各点电势一定相等； (C) 场强为零的点电势不一定为零； (D) 场强为零的点电势必定是零。

5. 在电量为q的点电荷的静电场中，若选取与点电荷距离为

r0的一点为电势零点，则与点

U

电荷距离为r处的电势

11()40rr0。

，设无穷远处为电势零点，则圆盘中心O

6. 一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为

UO

点的电势

7. 电量分别为

R20。

的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上，如图所示，设无穷远

选择题(7)选择题(8)

选择题(10)

U

处为电势零点，圆半径为R，则b点处的电势

180R

(2q1q22q3)

。

点在棒的

UO

则O点电势

3ln

404； P点电势UP0。

UAln(xy),*9. 一“无限长”均匀带电直线沿Z轴放置，线外某区域的电势表达式为

Ex

式中A为常数。该区域的场强的两个分量为:

2Ax

x2y2；Ez0。

10. 如图所示，在一个点电荷的电场中分别作三个电势不同的等势面A，B，C。已知

，且

，则相邻两等势面之间的距离的关系是:

RBRARCRB

1E(400i600j)Vm, 则点a(3，2)和点b(1，0)之间的11. 一均匀静电场，电场强度

电势差

Uab2000V。 (x，y以米计)

二．计算题

1. 电荷q均匀分布在长为2l的细直线上，试求

(1) 带电直线延长线上离中心O为z处的电势和电强。(无穷远处为电势零点) *(2) 中垂面上离带电直线中心O为r处的电势和场强。

 (1)带电直线上离中心O为z’处的电荷元dq=dz’在P点产生的电势

dU

dq1dz'



40(zz')40(zz') 1

带电直线在P点的电势：

UPdU

1dz'

，

l

40(zz')

UP

q80l

zlzl

计算题(1)

qqUEEkE2222

40(zl)，4

0(zl) z，P点的电场强度：

(2)带电直线上离中心O为z处的电荷元dq=dz在P点产生的电势

dU

1dq

40z2r2



1dz

40z2r2

UPdU

带电直线在P点的电势：

1dz

l

40z2r2

ll2r2

UPln

40lr

qUE

E22

4r(rl) r0P点的电场强度：，



E

40r(r2l2)

r0

2. 电荷面密度分别为+和-的两块“无限大”均匀带电平行平面，分别与X轴垂直相交于

计算题(2)

两点。设坐标原点O处电势为零，试求空间的电势分布表示式并画出曲线。

 空间电场强度的分布：

xa：E0

Ei

axa：

0

ax：E

根据电势的定义：

U

Edl

a

xa：

U



Edl

a



Edl

，

U

a



Edl

U

a





dxUa0，0

axa：

U



Edl

，

U

dxUx0，0

ax：

U

0

EdlEdl

，

U

Edl

，

U

dxUa0，0

9

q201013. 如图所示，两个电量分别为C和

计算题(3)

q212109C的点电荷，相距5m。在它们的连

线上距

为1m处的A点从静止释放一电子，则该电

为1m处的B点时，其速度多大?

子沿连线运动到距

31

m9.1110kg,, 基本电荷e(电子质量

e1.61019C, 4o

9.00109Nm2/c2

)

 根据动能定理，静电力对电子做的功等于电子动能的增量:

mve(UAUB)2

UA

q11q1q1q1

2UB12

4o44o1，UA63V, 4o14o4，UB153V

v

2e(UAUB)

v8.710m/s ,

单元八静电场中的导体电容电场能量（一）

一选择、填空题

1. 三块互相平行的导体板，相互之间的距离

，且比板面积线度小得多，外面二板用

，如图所示，则比值

导线连接。中间板上带电，设左右两面上电荷面密度分别为

：【 B 】

(A) d1/d2； (B) d2/d1； (C) 1； (D) d2/d2

2. 两个同心簿金属球壳，半径分别为则两者的电势分别为的电势为：

【 B 】

若分别带上电量为

的电荷，

(选无穷远处为电势零点)。现用导线将两球壳相连接，则它们

(U1U2)

UUUU22； (D) (A) 1； (B) 2； (C) 1

3. 如图所示，两块很大的导体平板平行放置，面积都是S，有一定厚度，带电量分别为

。如不计边缘效应，则A、B、C、D四个表面上的电荷面密度分别为

1

Q1Q2

2S、

2

Q1Q2Q1Q2QQ2

341

2S、2S2S。、

选择题(1)选择题(3)选择题(4)

4. 如图所示，把一块原来不带电的金属板B，向一块已带有正电荷Q的金属板A移近，平行放置，设两板面积都是S，板间距离是d，忽略边缘效应。当B

板不接地时，两板间电势

UAB

差

QdQd

U'AB

20s； B板接地时0s。

5. 如图所示，两同心导体球壳，内球壳带电量+q，外球壳带电量-2q，静电平衡时，外球壳的电荷分布为：内表面

6. 一带电量为q、半径为

的金属球A，与一原先不带电、内外半径分别为rB和

q；外表面q。

rC的金属

E

球壳B同心放置，如图。则图中P点的电场强度

40r2，如果用导线将A、B连接

ˆr

选择题(5)

选择题(6)

选择题(10)

U

起来，则A球的电势

40rC。(设无穷远处电势为零)

7. 一平板电容器充电后切断电源，若改变两极板间的距离，则下述物理量中哪个保持不变? 【 B 】

(A) 电容器的电容量；(B) 两极板间的场强；(C) 两极板间的电势差； (D) 电容器储存的能量。

8. 两个半径相同的孤立导体球，其中一个是实心的，电容为C1，另一个是空心的，电容为C2，

则C1C2。(填>、=、

9. 两电容器的电容之比为C1：C2=1：2。(1) 把它们串联后接到电压一定的电源上充电，

W12W11

W1，(2) 如果是并联充电，电能之比是W22，(3) 在上述两种情

它们的电能之比是2

W2

况下电容器系统的总电能之比又是W'9。

10. 两只电容器，C18F,C22F，分别把它们充电到1000V，然后将它们反接(如图所示)，此时两极板间的【 C 】 (A) 0V (B) 200V (C) 600V (D) 1000V

二．计算题

电

势

差

为

：

计算题(1)

E

度为

Q20Lr



U1U2Edl

Q20L

lnba

同轴圆筒之间的电势差：

C

根据电容的定义：

20LQ



U1U2

lna

Q1Q21QEw()wDED

2Lr22Lr22Lr和00静电场能量密度：, 将代入, 得到

半径为r，厚度为dr的薄圆柱壳的体积：dV2rdrL

dW

该体积元存贮的静电能：

1Q2

()2rdrL202Lr

电容器贮存的能量：

1Q2

W()2rdrL

22Lr0a

W

，

Q240L

2. 两根平行“无限长”均匀带电直导线，相距为d，导线半径都是R(R

。试求该导体组单位长度的电容。

E1



E2

20x，20(dx)

E

EE1E2，平面内一点的电场强度：

11

()20xdx

UAB

导线之间的电势差：

dR

Edl

UAB



11dR()dxUABln20xdx0R

C

计算题(2)

UAB，

C

0

dRR

单位长度的分布电容：

考虑到R

UAB

dln

R，

C

0

lnR

 由于d>>a、b，所以两个球可以看作是孤立导体球。设两球到达静电平衡后，表面的面电荷密

度为1和2，两个球的电势相等：U1U2

q11q2



40a40b，q1bq2a 1

根据电荷守恒定律：q1q2Q

q1

abQq2Qab，ab

U

q1QQUU40(ab)40a，40(ab), 根据电容的定义：U

4. 一电容为C的空气平行板电容器，接上端电压U为定值的电源充电，在电源保持连接的情况下，试求把两个极板间距离增大至n倍时外力所作的功。

W1CU2

2 设原来两极板的距离为d，此时电容器的储能：

W2C'U2

2把两个极板间距离增大至nd时，此时电容器的储能： C'

0S

nd，

C'

CW2CU2n，2n

在此过程中外力和电源做的功等于电容器电场能的变化：A1A2W2W1

电源做的功：

A1UIdt

，

A1UIdtUQ

QQ'QUC'UC，

QU(C'C)UC

1n1n

A1CU2

n，n

外力做的功：A2(W2W1)A1，

A2

1n1nn1

CU2CU2A2CU22nn2n，

A2

n1

CU202n，外力做的功为正

求电子半径R。

 设电子的半径为R，根据高斯定理得到电子产生的电场和电场能量分布为

0rR：

E1

r1er2

w()1033

40R；240R 11e

w()22022

40r；240r

rR：

E2

半径为r，厚度为dr的薄球层壳的体积：dV4rdr，电子的静电能：



WwdV

1er21e2

W0()(4rdr)()2(4r2dr)032240R240r0R

e21e213e213e21Wm0c2

400R80R200R，令Wm0c，200R

3e21R2

20mc00电子的半径：

单元八电介质中的电场（二）

一选择、填空题

1. 一电量为+q的点电荷放在有一定厚度的各向同性、均匀电介质球壳的中心(如图所示)，则图中带箭头的线全部是电力线。【 A 】

全部是电力线；全部是电位移线；

短的是电力线，长的是电位移线；短的是电位移线，长的是电力线。

2. 两个点电荷在真空中相距

时的相互作用力与在煤油中相距

选择题(1)

时的相互

作用力相等，则煤油的相对介电常数r1.96。

3. 在相对介电常数为

的各向同性的电介质中，电位移矢量与场强之间的关系是

Dr0E。

4. 分子的正负电荷中心重合的电介质叫做无极分子电介质。在外电场作用下，分子的正负电荷中心发生相对位移，形成电偶极子。

9

E9.42103N/C，金属板上的自由电荷电量q510C。

的各

1222

8.8510C/(Nm)]。 0[

7. 一平行板电容器，两板间充满各向同性均匀电介质，已知相对介电常数为

。若极板上

的自由电荷面密度为

，则介质中电位移的大小D，电场强度的大小：

E

r0。

8. 用力F把电容器中的电介质板拉出，在图(A)和(B)的两种情况下，电容器中储存的静电能量将【 D 】

都增加； (B) 都减少； (C) （a）增加，（b）减少； (D) （a）减少，（b）增加。

选择题(8)

9. 电容为

选择题(9)

的各向同性均

的平板电容器，接在电路中，如图所示，若将相对介电常数为

匀电介质插入电容器中(填满空间)，则此时电容器的电容为原来的r倍，电场能量是原来的

r倍。

的均匀介质充满电容，

则

CrC0， 0，

U

r，

E

r，DD0；

的均匀介质充满电容，

维持电压不变（与电源连接不断开），将则

CrC0，r0，UU0，EE0，DrD0。

二计算题

束缚电荷同自由电荷一样能够产生电

场。

2. 半径为R的导体球，带有电荷Q，球外有一均匀电介质的同心球壳，球壳的内外半径分别为a和b，相对介电系数为

如图，求: (1) 介质内外的电场强度E，电位移

计算题(2)

D。 (2) 离球心O为r处的电势。(3) 图示D(r)、E(r)、U(r)的图线。

 (1) 根据介质中的高斯定理可以得到空间各点的电位移矢量大小



0rR：D0，E0

DDD

Rra：

qqErr20204r4r0， qqErr20204r4rr0， qqErr20204r4r0，

arb：

br：

根据电势的定义，计算得到空间各点的电势分布

当r

U

ab

EdlEdlEdlEdl

，

U

b

EdlEdlEdl

U

q40

[

1111(1)()]Rrab

Rra：

U

1111

[(1)()]40rrab 11

(r)4

r0rb q

arb：

U

计算题(2)

br：

U

q40r

A、B、C是三块平行金属板，面积均为S200cm，A、B相距dAB=4.0mm，A、C相距dAC=2.0mm， B、C两板都接地，设A板带正电

q3.0107C不计边缘效应，求B板和C板上的

感应电荷，以及A板电势。若在A，B间充以相对介电系数r5的均匀电介质，再求B板和C板上的感应电荷。

 设三个平行金属板的面电荷密度分别为： q1、q2、 q3、q4、q5、q6，如图所示。

q0

B和C两板接地，q10，6

根据静电平衡条件可以得到：

q2q3，q4q5

B和C两板接地，电势均为零。

计算题(3)

q4q

dAB3dAC0

qdq4dAB SS0

因此有0, 3AC

因为：

q3q4q

dACdAB

qq4q

(dACdAB)，(dACdAB)

qB

dAC

(dACdAB)， qB1.0107C

q3

所以

B板上的感应电荷：

qC

C板上的感应电荷：

dAB

(dACdAB)， qC2.0107C

UA

A板电势：

dABdACq

(dACdAB)0S， UA2.3103V

=5的均匀电介质，

若在A，B间充以相对介电系数

C板和B板之间的电势为零：

Sr0

dAB

dAC0

qdrq3dAC0 S0

， 4AB

q2

rdACdAB

qq5q

(rdACdAB)， (rdACdAB)

qB

rdAC

B板上的感应电荷：

(rdACdAB)， qB2.14107C

qC

C板上的感应电荷：

dAB

(rdACdAB)， qB0.86107C

UA

A板电势：

4dABdACq

dABUA2

r0(dd)SU9.710V rACAB0A，，

12212

(8.8510CNm) 0璃板从电容器中抽出来外力需做多少功。

 抽出玻璃板前后平行板电容器的电量保持不变。

r0SW1dQ21Q2

CW

2r0S d，2C未抽出玻璃时电容器的静电能：，0SW'1dQ21Q2

C'W'

20S d，2C'，抽出玻璃后电容器的静电能：

QCU，根据题目给出的条件：

Q

r0S

UW

, 所以：

1r0S21S

UW'r20U2

2d2d，

外力做的功等于电容器电场能的变化： AW'W

Ar0(r1)U2

6

2d， A2.5510J

单元九真空中静电场习题课（一）

一、选择、填空题

一电量为510C的试验电荷放在电场中某点时，受到2010N向下的力，则该点的电场强度大小为4N/C，方向向上。

9

FE

q0，电场中一点的电场强度为单位电荷所受到的电场力，方

 根据电场强度的定义：

向为正电荷在该点受力的方向。



带电量分别为q1和q2的两个点电荷单独在空间各点产生的静电场强分别为E1和E2，空间

EEE12，现在作一封闭曲面S，如图所示，则以下两式可分别各点的总的电场强度为

求出通过S的电通量：

q1

E1dS

0

，S

q1q2EdS

0



E1dS

的意义是q1产生的电场穿过S的电通量。所以S

q1

E1dS

0

选择题(2)

选择题(3)

EdS

的意义是空间所有的电荷产生的电场穿过S的电通量。所以

qq2EdS1

0

点电荷q1, q2, q3, q4在真空中的分布如图所示．图中S为闭合曲面，则通过该闭合曲面的

电通量S量和。

q2q4EdS

0

q,q,q,q，E是点电荷1234在闭合曲面上任一点产生的场强的矢



 高斯定理表达式中的场强E为空间所有电荷共同产生的和电场；通过封闭曲面的电通量

只和包

围的电荷的代数和有关。S

qqEdS14

0

半径为R的不均匀带电球体，电荷体密度分布为Ar，式中r为离球心的距离，(rR)、

QARA为一常数，则球体上的总电量。

dV4rdr  电荷分布虽然不均匀，但具有点对称性，距离球心为r，厚度为dr的体积元

dQAr4rdr, 球体上的总电量中的电量为

QAr4r2dr

QAR，

图中所示为静电场的等势（位）线图，已知U1

EaEb。

选择题(5)选择题(6)

U2U1U2U1

rarb，所以EaEb。

 U1，U2，U3为等势面，从图中可以得出

Q1Q2Q1Q2Q1



40r； (B) 40R140R2； (C) 0； (D) 40R1 (A)

 利用已知球面产生的电势分布结论和电势的叠加原理求解。

球面1：

14

U1

14

0

rQ1R1

(rR1)

(rR1)

，球面2：

14

U2

14

0

rQ2R2

(rR2)

(rR2)

UP

所以距离球心为r处的P点的电势

Q140R1



Q240R2

7、图中实线为某电场中的电力线，虚线表示等势面，由图可以看出【 D 】

选择题(7)选择题(8)

(A)

WrW0； (B)

W

r； (C) W(1r)W0； (D) WW0；

WCU2

2 充满介质前后电容器极板的电势差保持不变，根据电容器存储的能量

W0C0U2

CrC0，所以WrW0 2又根据给出的条件：，

WCU2

2 在介质插入的过程中，电容器极板的电势差保持不变，电容器存储的能量

极板的电势差：

UE0(dd')Ed'，

E0

Q0Q0

E0S，r0S

U

Q0QQ(dd')0d'C0

0Sr0S，根据电容的定义：U

C

r0Sr(dd')d'，

C

0S

d1d'(11)

dr，

CC0

1

1d'1

(1)dr

电容的大小与介质板的位置无关。所以答案为：储能增加，但与介质板位置无关。

二、计算题

1. 真空中高为h=20 cm、底面半径R=10 cm的圆锥体，在顶点和底面中心连线的中点有一点电荷q=10-6 C，求通过圆锥体侧面的电通量。

 以O为球心、

rR2()2

为半径作一个球面

q在球面各处产生的电场强度大小为：

E

q40r2，

dS2rsind的电通量：穿过球冠CAB的面积元：

dCABE2r2sind

穿过球冠CAB的电通量为：



计算题(1)

CAB

24q2

EdSE2rsind(1)

2020

'CAB

穿过圆锥体侧面的电通量为：

22qq

(1)(1)0202202q

'

22q

9.64104NC1m2

40

计算题(2)计算题(2)电场强度为零的点在何处？

 方法一、解：（1）将厚度为b的“无限大”带电平板分为无限多带电平面。

面积为S，厚度为dx的薄面带电量：dqSkxdx, 面密度



kxdxS

dE

在p1产生的电场强度大小为：

kxdx

2020

“无限大”带电平板在p1产生的电场：

EdE

kxdx

20

kb2E

40，方向沿X负方向。

kb2

E

40，方向沿X正方向。

同理平板右侧任意一点p2处电场强度大小也为：

（2）板内任意一点p的电场强度大小为： EE1E2，

其中

kxdxkx2

E1

24000

(2x2b2)40

，

E2

kxdxk

(b2x2)2040x

E

（3）令

k2(2x2b2)0xb0.71b402，由此解得：，电场强度为零。

计算题(2)计算题(2)

 方法二、“无限大”带电平面产生的电场为常数，厚度为b的“无限大”带电平板，电荷体密度

kx, 在xb的区域产生的电场大小相等，选取圆柱面为高斯面，如图所示。

根据高斯定理：S

EdS

Skxdx

0

kb2

2ESS

20，

kb2

E

40

板外任一点的场强：

将闭合圆柱面的一个底面位于带电板内的任一点p，假设p的电场沿X轴正方向，如图所示，

根据高斯定理：S



EdS

Skxdx

0

kb2Skb2k22

S(ES)k(bx)E(b2x2)40204020

E

板内任意一点p的电场强度大小：

(2x2b2)40

E

电场强度大小为：

20

面密度为、半径为R的圆板在a

处产生的电场强

计算题(3)

E'

度大小为：



[120

1E2，

a(R2a2)

]

E'

根据题意：得到：

[1

]

(Ra)

R3a

4. 一个“无限长”圆柱面，其电荷面密度为

0cos，求园柱轴线上一点的电场强度。

 选取如图所示的坐标，在角度处取一个长度为l、宽度为Rd的“无限长”带电细棒线，带的

计算题(4)

电量为

dqlRd0cos，该“无限长”带电细棒的线电荷密度：Rd0cos

dE

ˆR2R0，

“无限长”带电细棒在O点产生的电场强度为：

cosdˆcosddE0R0(cosisinj)

2020

EdE0

20

2





(cosisinj)cosd

0Ei

20园柱轴线上一点的电场强度：

5. 两根相同的长为l带电细棒，线电荷密度为，其放置如图所示，假设棒上的电荷不能自由移动，求两棒之间的静电作用力。

 取如图所示的坐标，左面的棒在x轴上x’点产生的



E

电场强度的大小为：

L2

4

dx

(x'x)2

E

11()

LL40x'x'

右面棒上x’处的电荷元dx’ 受到的力为：

dFEdx'，方向沿X轴的正方向, 所以两棒

之间的作用力：

2L

计算题(5)

F



L

211

()dx'

LL40x'x'

24

Fln

403

b

UEdl

Qdr40r2

U()

40ab

，

计算题(6)

Q

内球的表面带的电量为：

40U11()ab

内球表面处的电场强度大小：

E

Q40a2



Uba(ba)

dE14U

0abEmin

2，b 令da，

E

 设单位长度带电量为，介质中的电场强度为：



2r0r

U12

根据电势差定义：

rdr

ln2

2r0r2r0r1



，

2r0U12

rln2

E

所以

U12

rrln2

wr0(12)2

rln2

WwdVrV1静电能密度：，

Wr0(12)22rldr

2r1rln2r1

Wr0

lU122

r1, W1.9102J

8. 三块面积均为S，且靠得很近的导体平板A、B、C分别带电Q1、Q2、Q3 求

三个导体表面的电荷面密度：

1、2、3、4、5、6；

图中a、b、c三点的电场强度。

（1）三块导体静电平衡时各自的电荷守恒

1S2SQ1(1)3S4SQ2(2)5S6SQ3(3)

假设各面带正电，电场向右为正对于三块导体板中的任意一点满足：

计算题(8)

123456

0(4)202020202020



EP1234560(5)

202020202020



EP1234560(6)

202020202020

EP1

由（4）（5）（6）式得到：

23和45，16

1S2SQ1(7)

S2SQ2Q3(8)

将上述值带入（1）（2）（3）式得到：1

16

Q1Q2Q3QQ2Q3QQ2Q3

231451

2S2S2S，，

QQ2Q31

Ea1

20S0

Q1Q2Q321

EbEib

2020S0

5Q1Q2Q31

EcEic

220S002）a、b、c三点的电场强度分别为：，

Ea

120

i

计算题(9)



EOEqEq'0

1qˆ1qˆEq'Eq(r)Erq'240r24rˆ0（r沿球心到点电荷＋q的方向），

球心电势：

UOUqUq

（球面上的感应电荷在球心产生的电势为零），

UOUq

40r

2）根据静电平衡条件，导体内部处处电场强度为零，所以P点的电场强度为零，即



EPEqEq'0

Eq'

, 感应电荷在P点产生的场强：

q40r'2

ˆr

P点的电势：

UPUqUqUOUqUOUq

Uq

1q1q

40r40r'

3）将金属球接地，根据静电平衡条件

UPUO0，假设球表面有剩余电荷q’，

q1q'0q'Rq

UUqUq'040r40Rr 有：O，，

xNx0；P

计算题(10)

N区:e(x)NDe

区的范围是0xxP。设两区内电荷分布都是均匀的。为实变型模型，其中ND和NA都是常数，且有

P区:e(x)NAe 这种分布称

xNNDxPNA（两区内的电荷数量相等）

。

N区:E(x)NDe(xNx)/0

试证电场强度的大小为的变化曲线。

 将P-N结看作是若干个“无穷大”均匀带电薄面构成，薄面带电：dqSdx

P区:E(x)NAe(xPx)/0，并画出e(x)和E(x)随x

dxdqdEdx

20 S面电荷密度：，该带电薄面在空间一点的场强：

NAedxPNAedxNedx

ED

2020200xxN

0xxP区域任一点的电场强度为：

E

NAex

0



NAexPNDexN

2020

E

NAe

将

xNNDxPNA代入，得到:

0

(xPx)

xNx0区域任一点的电场强度为：

E

xN



NDedxNDedxPNAedx

2

02200x0

E

NDex

0



NDexNNAexP

2020

xNxPNA代入，得到:

将ND

E

NDe

0

(xNx)

单元九磁感应强度，毕奥一萨伐尔及应用（二）

一、选择、填空题

1. 一园电流在其环绕的平面内各点的磁感应强度

【 C 】

(A) 方向相同，大小相等； (B) 方向不同，大小不等； (C) 方向相同，大小不等； (D) 方向不同，大小相等。

2. 电流由长直导线流入一电阻均匀分布的金属矩形框架，再从长直导线流出，设图中

O1,O2,O3

【 B 】 (A)

处的磁感应强度为则

；



B0,B20,B30；

选择题(2)

BB0B230； (B) 1

B0,B20,B30 (D) 1

3. 如图两个半径为R的相同的金属环在a、b两点接触 (a， b连线为环直径)，并相互垂

直放置，电流I由a端流入， b端出，则环中心O点的磁感应强度大小为: 【 A 】

选择题(3)选择题(4)

选择题(5)

oI

(A) 0 (B) 4R (C) 2oI

计算题(1)

oI

(D) R

4. 在真空中，将一根无限长载流导线在一平面内弯成如图所示的形状，并通以电流I，则

10I4a圆心O点的磁感应强度B的值为: 。

5. 将半径为R的无限长导体薄壁管(厚度忽略)沿轴向割去

一宽度为h (h

选择题(7)

0ih2R大小是: 。

6. 一长直载流导线，沿空间直角坐标OY轴放置，电流沿y正向。在原点O处取一电流元

，则该电流元在 (a， 0， 0)点处的磁感应强度的大小为:

0Idl

4a2，方向为: Z。

二、计算题

1. 如图，一根无限长直导线，通有电流I，中部一段弯成圆弧形，求图中O点磁感应强度的大小。

 根据磁场叠加原理，O点的磁感应强度是

(A)、(ABC)和(C)三段共同产生的。 (A)段在O点磁感应强度大小： B1

0I

(cos1cos2)4x



6，

xacos

将

10，2





2代入

30I

B1(1)

2a2，方向垂直于纸面向里；得到：

(C)段在O点磁感应强度大小：

B2

0I

(cos1cos2)4x

310I

1，2xacosaB2(1)

6322a2，将，带入得到：方向垂直向里；



(ABC)段在O点磁感应强度大小：

方向垂直于纸面向里。

B3

0

4

0I20IIdl

B(a)Ba2，34a23，36a，

O点磁感应强度的大小：

BB1B2B3，

B

0I



0I3

(1)a2, 方向垂直于纸面向

里。

*2. 如图所示，求半圆形电流I在半圆的轴线上离圆心距离为x处的磁感应强度。

计算题(2)

 选取如图的坐标，半圆形上任一电流元Idl在P点产生的磁感应强度:

计算题(2)

dBdBxdByz



sinsink

dB

0Idl

4(R2x2)

cosi

0Idl

4(R2x2)



sincosj

0Idl

4(R2x2)

cos

RRx

,sin

xRx

,dlRd

dB

0IxRcosd0IxRsindijk333

4(R2x2)24(R2x2)24(R2x2)2

BdB

0IR2d

所



以



B





0IR2d

4(R2x2)

i





0IxRcosd

4(R2x2)

j





0IxRsind

4(R2x2)

B

0IR2

4(R2x2)

i

0IxR

2(R2x2)

j

。

计算题(3)

 利用磁场叠加原理计算O点的磁感应强度。

(A)段：

B1

0I

(cos1cos2)4x 3l

B1

10,2



,x

6，

0I3

(3)2l2，方向垂直于纸面向外；

30II

B2(cos1cos2)1,2,xlB203

(B)段：4x4l23，，，方向

垂直于纸面向里；

(AC)段：B3

B3

30I'1

(co1scos2)1,2,xl,I'I4x6663，，

0I

2l，方向垂直于纸面向外；

30I'1

B4(co1scos2)1,2,xl,I'I

(CB)段：4x6663，，

B4

0I

2l，方向垂直于纸面向外；

30I'2

B5(co1scos2)1,2,xl,I'I

(CB)段：4x6663，，

B5

0I

l，方向垂直于纸面向里。

规定磁感应强度方向向里为正，O点的磁感应强度大小：

B

0IIIIII3

(3)03000B0(33)2l24l2l2ll, 4l，方向垂直于纸面向

里。

4. 载流正方形线圈边长为2a，电流为I，求此线圈轴线上距中心为x处的磁感应强度。

 分别计算四条边在P点产生的磁感应强度，再应用磁场叠加原理计算P的磁感应强度。

(ab)边在P点产生的磁感应强度大小：

0I

(cos1cos2)4x'

cos1

x22a2

B1

2

ax22a2

计算题(4)

x'x22a2

B1B2

0I

(ab)边产生的磁感应强度：(bc)边产生的磁感应强度：

B3

2x2a2x22a2

(cosisinj)

0I

2x2a2x22a2



(cosisink)

0I

(cd)边产生的磁感应强度：

2x2a2x22a2

(cosisinj)

B4

0I

B4

(ca)边产生的磁感应强度：

2x2a2x22a2



(cosisink)

0I

载流正方形线圈在P点的磁感应强度：

2x2a2x22a2

cosi

cos

将

ax2a2

代入

B

正方形线圈在P点的磁感应强度：

单元十毕奥－萨伐尔定律的应用磁通量和磁场的高斯定理（一）

一、填空、选择题

1. 已知两长直细导线A、B通有电流IA1A,IB2A，电流流向和放置位置如图所示，设IA,IB在P点产生的磁感应强度大小分别为BA和BB，则BA和BB之比为：1:1，此

20Ia21

(x2a2)x22a2

填空题(2)

填空题(1)

时P点处磁感应强度

与X轴夹角为：30。

填空题(3)

在圆柱

BdS0

。

成60°角，如图所示，则通

中，取一半径为R的圆，圆面的法线与

过以该圆周为边线的如图所示的任意曲面S的磁通量：4. 半径为R的细圆环均匀带电，电荷线密度为

mBdSBR2



。

，若圆环以角速度绕通过环心并垂直于

环面的轴匀速转动，则环心处的磁感应强度

B0

02，轴线上任一点的磁感应强度

B

0R3

2(R2x2)。

5. 一电量为q的带电粒子以角速度作半径为R的匀速率圆运动，在圆心处产生的磁感应

B

强度

0q4R。

二．计算题

1. 如图所示，宽度为a的无限长的金属薄片的截面通以总电流I，电流方向垂直纸面向里，试求离薄片一端为r处的P点的磁感应强度B。

 选取如图所示的坐标，无限长的金属薄片上线电流

计算题(1)

dI

元

Idx

a在P点产生磁感应强度大小为

dB

Idx

2(rax)a，方向垂直金属薄片向下。

0

无限长载流金属薄片在P点产生磁感应强度大小：

B

Idx

2(rax)a

0

B

，

0Ira

ln2ar

2. 如图所示，两个共面的平面带电圆环，其内外半径分别为

，外面的圆环以每秒钟

转的转

速顺时针转动，里面的圆环以每秒钟动，若电荷面密度都是处的磁感应强度为零。

转的转速反时针转的比值多大时，圆心

 在内环距原点O为r，选取一个宽度为dr的环形电荷元：dq2rdr

计算题(2)

dI

此环形电荷元形成的电流环：

dI

2rdr21，12n1，dI2n1rdr

dB

0dI

2r，

dB

0

此电流环在O点产生的磁感应强度大小：

2n1rdr

dBn10dr，里面的圆环反时针转动时在O点产生的磁感应强度大小：

B1



n10dr

，

B1n10(R2R1)，方向垂直纸面向外。

B2

同理外面的圆环顺时针转动时在O点产生的磁感应强度大小：



n20dr

B2n20(R3R2)，方向垂直纸面向里。

圆心处的磁感应强度大小：

BB1B2n10(R2R1)n20(R3R2)

n1R3R2



n(RR)n(RR)nR2R1 1232，2令B0，12

3. 两平行直导线相距d=40 cm，每根导线载有电流I1=I2=20 A ，如图所示，求：

两导线所在平面内与该两导线等距离的一点处的磁感应强度；

通过图中斜线所示面积的磁通量。(r1=r3=10 cm， L=25 cm)

 通电为I的长直导线在空间产生的磁感应强度大小：

B

0I2r

B1

电流1在中点的磁感应强度大小：向外；

0I1

d，方向垂直纸面0I2

d，方向垂直纸面向外；

计算题(3)

电流2在中点的磁感应强度大小：

B2

中点磁感应强度大小：向外。

BB1B2

02I(I1I2)B0dd，B=4×10-5 T，方向垂直，

选取如图所示的坐标，P点的磁感应强度大小：BB1B2，

B

0I10I2



2x2(dx)



dmBdS

穿过长度为L、宽度为dx面积元的磁通量为：

0I1I2

mBdSdm()ldx

S2xdx，穿过长度为L、宽度为r2面积的磁通量为：

r1r2

m



0I1I

(2)Ldx2xdx

m

，

0I1Lr1r20I2Ldr1r2

lnln2r12dr1

dr1r2r3，r1r3带入，得到

将I1I2I和

m

0ILr1r20ILr

lnln12r12r1r2

m

0ILr1r2

lnr1

4. 两根导线沿半径方向被引到铁环上A，C两点，电流方向如图所示，求环中心O处的磁感应强度。

 电流I(A)和电流I(C)在O点的磁感应强度为零。

I1l2

Il1

设I1电流的长度为l1，I2电流的长度为l2，且有：2

IB1012l1

4R，方向垂直电流I1在O点的磁感应强度大小：

纸面向外；

计算题(4)

电流I2在O点的磁感应强度大小：

B2

0I2

4R2，方向垂直纸面向里。

BB1B2，O点的磁感应强度大小：

B

0I10I20

llB(I1l1I2l2)021222

4R4R，4R

单元十安培环路定理、安培力（二）

一．选择、填空题

如图，在一圆形电流I所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L，则由安培环路定理可知：【 B 】 (A)

Bdl0,

且环路上任意一点B=0

(B) (C)

Bdl0,

且环路上任意一点B0

Bdl0

，且环路上任意一点B0 且环路上任意一点B=常量

选择题(1)

(D)

Bdl0,

2. 所讨论的空间处在稳恒磁场中，对于安培环路定律的理解，正确的是【 C 】 (A) 若(B) 若(C) 若

Bdl0

，则必定L上处处为零

Bdl0

，则必定L不包围电流，则L所包围电流的代数和为零

仅与所包围的电流有关。

等于：

Bdl0

(D) 回路L上各点的

3. 两根长直导线通有电流I，图示有三种环路，在每种情况

0I (对环路a )、

选择题(3)选择题(4)

0 (对环路b )、4. 如图所示，

0I (对环路c )

回路的圆周半径相同，无限长直电流外又有一无限长直电流

，

，在

内的位置一

样，但在 (b) 图中为两圆上的对应点，在以下结论

中正确的结论是【 C 】 (A)



BdlBdl,且BP1BP2

L2L2

5. 在磁场空间分别取两个闭合回路，若两个回路各自包围载流导线的根数不同，但电流的代数和相同，则磁感应强度沿各闭合回路的线积分相同，两

选择题(6)

个回路的磁场分布不相同 (填相同，不相同)。

BdlBdl,且BP1BP2

(B)



BdlBdl,且BP1BP2



BdlBdl,且BP1BP2

6. 有一根质量为m，长为的直导线，放在磁感应强度为的均匀磁场中的方向在水平

I

面内，导线中电流方向如图所示，当导线所受磁力与重力平衡时，导线中电流

mgBl。

二．计算题

1. 无限长载流空心圆柱导体壳的内外半径分别为a，b，电流I在导体截面上均匀分布，求

各区域中的

的分布，并定性画出B－r曲线。

计算题(1)

 根据安培环路定理：L



Bdl0I

，选取如图所示的圆形回路为闭合路径。

ra:

B0

22IIra22

B2r0(ra)B02

22(ba)arb:2rba2 ，

rb:B2r0I，

B

0I

2r

2. 一根半径为R的无限长直铜导线，导线横截面上均匀通有电流，试计算: 磁感应强度

的分布；

计算题(2)

通过单位长度导线内纵截面S的磁通量(如图所示，OO’为导线的轴)

 根据安培环路定理：L闭合路径。



Bdl0I

，选取圆形回路为

rR:

B2r0

0II2

rBr2

R22R，

B

rR:B2r0I，

0I

2r



dBdS m通过距离轴线为r，长度为l、宽度为dr的面积元的磁通量为：

dm

0I

rldr2

2R

通过单位长度导线内纵截面S的磁通量：

3. 如图所示一根外半径为

m

0I

rdr0I2m2R4 ，

的无限长圆形导体管，管内空心部分的半径为，空心部分的

轴与圆柱的轴平行，但不重合，两轴间距为a且，现有电流I沿导体管流动，电流

均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行。求

(1) 圆柱轴线上的磁感应强度的大小 (2) 空心部分轴线上磁感应强度的大小。

(3)设R110mm,R20.5mm,a5.0mm,I20A分

别计算上述两处磁感应强度的大小。

计算题(3)

 应用补偿法计算磁感应强度。空间各点的磁场为外半径

IR12

I1(R)2

222

(RR)RRR12121为、载流为的无限

2IR2

I2(R)2

222

(RR)RRR1212长圆形导体管和电流方向相反、半径为1、载流为的

无限长圆形导体管共同产生的。

圆柱轴线上的磁感应强度的大小：BB1B2，B10

0IR2

0I2B

BB222

2a(R1R2)，B2106T 2a，

空心部分轴线上磁感应强度的大小：BB1B2，B20，

B12a0

(a2)2

R1

0IaIRIa

BI1212B101222

2(R1R2)，B2104T 2R1，将R1R2带入：

4. 如图所示，一条任意形状的载流导线位于均匀磁场中，试证明它所受的安培力等于载流直导线ab所受的安培力。

 建立如图所示的直角坐标系，任意形状导线上电流元



表示为：IdlIdxiIdyj，磁感应强度：BBk



电流元所受到的安培力：dFIdlB

计算题(4)



dFI(dxidyj)(Bk) dFIBdxjIBdyi

bxyFIBdxjIBdyi

任意形状的载流导线受到安培力：，

FIBbxjIBbyi

同理得到载流直导线ab所受的安培力：

bxyF'IBdxjIBdyi

，

F'IBbxjIBbyi



所以：FF'，一个在均匀磁场中任意形状的闭合载流回路受到的安培力为零。

单元十一磁场对电流的作用（一）选择、填空题

1. 如图所示导线框a，b，c，d置于均匀磁场中(

的方向竖

减为原来的1/2或线框中电流强度减为原来

的1/2；

(B) 将导线的bc部分长度减小为原来的1/2； (C) 将导线ab和cd部分长度减小为原来的1/2； (D) 将磁场

减少1/4，线框中电流强度减少1/4。

选择题(1)

2. 在匀强磁场中，有两个平面线圈，其面积A12A2，通有电流I12I2，它们所受的最大磁力矩之比

等于

【 C 】 (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 1/4

3. 有一由N匝细导线绕成的平面正三角形线圈，边长为a，通有电流I，置于均匀外磁场

中，当线圈平面的法向与外磁场同向时，该线圈所受的磁力矩【 D 】 (A)

值为：

3Na2IB/2, (B) Na2IB/4, (C) 3Na2IBsin60,

(D) 0

4. 如图所示，在磁感应强度的均匀磁场中，有一园形载流导线， a，b，c是其上三个长

选择题(4)选择题(5)

度相等的电流元，则它们所受安培力大小的关系为【 C 】

(A)

，(B)

，(C)

， (D)

FaFcFb

5. 无限长直载流导线与一个无限长薄电流板构成闭合回路，电流板宽为a(导线与板在同一平面内)，则导线与电流板间单位长度内的作用力大小为【 C 】

oI2

ln22

2a (A) oI2I2

ln2ln22

2a2a(B) (C) oI2

ln222

2a(D)

中(如图示)在不考虑载流圆线圈

6. 一圆线圈的半径为R，载有电流I，置于均匀外磁场

选择题(6)选择题(7)

的

本身所激发的磁场的情况下，线圈导线上张力为BIR (已知载流圆线圈的法线方向与方向相同)。

大学普通物理电磁学

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