精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号____________________
一、条件概率
1. 定义
设A 和B 为两个事件，P (A ) >0，那么，在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率. P (B A ) 读作A 发生的条件下B 发生的概率．P (B A ) 定义为P (B A ) =
P (AB )
。由这个定义可知，对任意两个事件A 、B ，P (A )
若P (B ) >0，则有P (AB ) =P (B A ) ⋅P (A ) . 并称上式为概率的乘法公式. 2．P (B |A ) 的性质：（1）非负性：对任意的A ∈Ω. 0≤P (B A ) ≤1； （2）规范性：P (ΩB ) =1；
（3）可列可加性：如果是两个互斥事件, 则P (B ⋃C A ) =P (B A ) +P (C A ) . 更一般地, 对任意的一列两两部相容的事件A i (i =1, 2, ), ，有P U A i B =∑P (A i B )
i =1
i =1
[
∞
]
∞
3、例题
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题. 如果不放回地依次抽取2 道题，求： (l）第1次抽到理科题的概率；
(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
例2、一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
(1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；
(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
4、练习
1、抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}，令事件A ={2, 3, 5}，B ={1, 2, 4, 5, 6}，求P (A ), P (B ), P (AB ), P (A B ) 。
2、一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，求P (AB ), P (A B ) 。
3、在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10和红球，10个白球。求第1个人摸出1个红球，紧接着第2个人摸出1个白球的概率。
二、事件的独立性
1、事件的相互独立性
设A , B 为两个事件，如果P (AB ) =P (A ) P (B ) 则称事件A 与事件B 相互独立。即事件A （或B ）是否发生, 对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。 注：①如果A 与B 相互独立，那么A 与B , B 与A ，A 与B 都是相互独立的。 ②推广：如果事件A 1, A 2, , A n 相互独立，那么P (A 1A 2 A n ) =P (A 1) P (A 2) P (A n )
2、例题
例1、判断下列事件是否为相互独立事件
（1）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚为正面”为事件A ，“第二枚为正面”为事件B 。
（2）袋中有3个红球，2个白球，采取有放回的取球：事件A ：从中任取一个球是白球；事件B ：第二次从中任取一个球是白球
（3）袋中有3个红球，2个白球，采取无放回的取球：事件A ：从中任取一个球是白球；事件B ：第二次从中任取一个球是白
（4）篮球比赛的“罚球两次”中：事件A ：第一次罚球，球进了；件事B ：第二次罚球，球没进。
例2、在乒乓球团体比赛项目中，我们的中国女队夺冠的概率是0.9, 中国男队夺冠的概率是0.7, 那么男女两队双双夺冠的概率是多少?
例3、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都为0.05，求两次抽奖中以下事件的概率： （1）“都抽到某一指定号码”； （2）“恰有一次抽到某一指定号码”； （3）“至少有一次抽到某一指定号码”。
-
-
-
-
例4、天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：①甲乙两地都降雨的概率；②恰有一个地方降雨的概率；③甲乙两地都不降雨的概率；④其中至少一个地方降雨的概率。
例5、课后思考：已知诸葛亮解出问题的概率为0.8, 臭皮匠老大解出问题的概率为0.5, 老二为0.45, 老三为0.4, 且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？
3、练习
假使在即将到来的世乒赛上，我国乒乓球健儿克服规则上的种种困难，技术上不断开拓创新，在乒乓球团体比赛项目中，我们的中国女队夺冠的概率是0.9, 中国男队夺冠的概率是0.7, 那么 （1）男女两队双双夺冠的概率是多少? （2）只有女队夺冠的概率有多大？ （3）恰有一队夺冠的概率有多大？
（4）至少有一队夺冠的概率有多大？
三、独立重复试验与二项分布
1．定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验.
2．概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件
k
恰好发生k 次的概率P n (k ) =C k 1-p ) n P (
n -k
．它是[(1-p ) +p ](展开式的第k +1项.
n
3、独立重复试验的条件
（1）每次试验是在同样条件下进行； （2）各次试验中的事件是相互独立的；
（3）每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.
4、理解独立重复试验概率公式
如果1次试验中某事件发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为
k k
P n (k ) =C n P (1-p )
n -k
。对于此式可以这么理解：由于1次试验中事件A 要么发生，要么不发生，所以
-
在n 次独立重复试验中A 恰好发生k 次，则在另外的n -k 次中A 没有发生，即A 发生，由
P (A ) =p , P (A ) =1-p ，所以上面的公式恰为[(1-p ) +p ]n 展开式中的第k +1项，可见排列组合、二项
式定理及概率间存在着密切的联系。
5、离散型随机变量的二项分布
在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件=恰好发生k 次
k 的概率是P n (ξ=k ) =C k n P q
n -k
-
, (k =0, 1, 2, , n , q =1-p ) ．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 0 1 „
k „ n
P
由于C k n p q
k
n -k
00n
C n p q 11n -1
C n p q
n
„
n
1
k k n -k
C n p q
n -1
k
„
n -k
n
n n 0
C n p q
10
恰好是二项展开式(p +q ) =C 0n P q +C n p q + +C k n p q +C n n p q 中的各项的
值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n , p ) ，其中n , p 为参数，并记
k
C n p q
k
n -k
=b (k ; n , p ) ．
6、例题
例1．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0~9中任选一个。某人在自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字。求：
（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。
例2．重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．
例3．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）： （1）5次预报中恰有4次准确的概率； （2）5次预报中至少有4
例4．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是
1
，求1小时内5台机床中至少2台需要工4
人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）
例5．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？
例6．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？
四、超几何分布
1、定义
r n -r C M C N -M
一般地，若一个随机变量X 的分布列为P (X =r ) =，其中r =0，1，2，3，„，l ，n
C N r n -r C M C N -M
l =min(n , M ) ，则称X 服从超几何分布，记为X H (n , M , N ) ，并将P (X =r ) =记为n
C N
H (r ; n , M , N ) ．
说明：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是M ，N ，n ． 2、例题
例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，
（1）若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率． （2）若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．
例2．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？
说明：（1）在超几何分布中，只要知道N 、M 和n ，就可以根据公式，求出X 取不同m 值时的概率
P (X =m ) ，从而列出X 的分布列．
（2）一旦掌握了X 的分布列，就可以算出相应试验的很多事件的概率，从而就完全掌握了该试验．
50张彩票中只有2张中奖票，例3．今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为多少？
五、课后作业
1. (2008湖北文) . 明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 .
2. 甲箱子里装3个白球，2个黑球，乙箱子里装2个白球，2个黑球。现从两个箱子里分别摸出1个球，它们颜色不同的概率为_________.
3. 从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回的抽取2次，每次抽1张。已知第1次抽到A ， 那么第二次也抽到A 的概率是________________.
4. 100件产品中有5件次品，不放回的抽取2次，每次抽1件。已知第1次抽出的是次品，则第二次抽出正品的概率是__________________.
5. 某射手每次射击击中目标的概率是0.9，每次射击的结果相互独立。那么这名射手在4次射击中至多击中3次的概率是________；在他连续4次的射击中，第1次未击中目标，但后三次都击中目标的概率是________。（保留两个有效数字）。
6. 如果生男孩和生女孩的概率相同，那么有3个小孩的家庭中至少有两个女孩的概率是_________.
7．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 ．（设每次命中的环数都是自然数）
8．一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 ．
9．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为
80
，则此射手的命中率为 ． 81
10．某产品的废品率为0.05，从中取出10个产品，则次品个数不超过1个的概率是___________。 11．甲投篮的命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人各投3次，每人都恰好投中2次的概率为_____________。
12．掷一枚不均匀的硬币，正面朝上的概率为
2
，若将此硬币掷4次，则正面朝上3次的概率是__________。 3
13．（2004辽宁）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（ ）
A ．p 1p 2 B ．p 1(1-p 2) +p 2(1-p 1) C ．1-p 1p 2 D ．1-(1-p 1)(1-p 2) 14．(2008福建理) 某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为是（ ）
4
, 那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率5
A.
16
625
B.
96 625
C.
192
625
D.
256
625
15. （2007浙江文）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是（ ）
(A1 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648
16. （2007山东理）位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为
1
. 质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为（ ） 2
[1**********]5
（A ）() （B ） C 5() （C ）C 5() （D ） C 5C 5()
2222
向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是
17．每次试验的成功率为p (0
3333
(A ) C 10p (1-p ) 7 (B ) C 10p (1-p ) 3 (C ) p 3(1-p ) 7 (D ) p 7(1-p ) 3
18．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ ）
1
33A 72⋅A 3
(A ) C ⨯0.7⨯0.3 (B ) C ⨯0.7⨯0.3 (C ) (D ) 3
10A 10
3
10
2
13
2
19．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ ）
3112A 3A 32⋅A 2A 3⋅A 2
(A ) 1-3 (B ) +33
A 5A 5A 5
332321
⨯() 1⨯() 2 (C ) 1-() 3 (D ) C 32⨯() 2⨯() +C 3
55555
20．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在
5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）
[1**********]1() () (D ) C 4() () (A ) C 32() 3⋅ (B ) C 32() 2() (C ) C 455535533
21．(2008重庆文) 在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的. 若对4道选择题中的每一
道都任意选定一个答案，求这4道题中：（Ⅰ）恰有两道题答对的概率; （Ⅱ）至少答对一道题的概率.
80
，试求在一次试验中事件A 发生的81
1
2）某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为，求在第n 次才击中
3
22．（1）设在四次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为
23．求随机抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正面的概率。
24．设某保险公司吸收10000人参加人身意外保险，该公司规定：每人每年付给公司120元，若意外死亡，公司将赔偿10000元。如果已知某人每年意外死亡的概率为0.006，问：该公司会赔本吗？
25．某种灯泡使用寿命在1000h 以上的概率为0.2，求3个灯泡使用1000h 后，至多只坏1只的概率。 26．甲、乙、丙3人独立地破译一密码，每人译出此密码的概率均为0.25，设随机变量X 表示译出此密码的人数。
（1）写出X 的分布列； （2）密码被译出的概率是多少？
27．对患某种病的人，假定施行手术的生存率是70%，现有8个病人施行该种手术，设X 为8个病人中生存下来的人数。 （1）求P （X=7）； （2）写出X 的概率分布。
28．某厂生产电子元件，其产品的废品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数X 的概率分布。
29．某单位有18个人，其中O 型血有9人，A 型血有3人，B 型血有4人，AB 型血有2人，现从中选出2人，问：在第一人是A 型血的条件下，第二人是O 型血的概率是多少？ 30．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中， (1)恰有 8 次击中目标的概率； (2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)
31．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．
（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率． （2）按比赛规则甲获胜的概率． 32．一批玉米种子，其发芽率是0.8.
（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？ （2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg 2 0.3010）
33．（2000年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．
34. （2004重庆文）设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。 （1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率； （2） 若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率。 35. （2005全国卷Ⅱ文）甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.60，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响． （1）前三局比赛甲队领先的概率； （2）本场比赛乙队以３：２取胜的概率．
36. (2006湖南文) 某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不合格，则必须整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到0.01) ： (Ⅰ) 恰好有两家煤矿必须整改的概率； (Ⅱ) 某煤矿不被关闭的概率； (Ⅲ) 至少关闭一家煤矿的概率.
37.(2007广州一模理) 甲箱的产品中有5个正品和3个次品, 乙箱的产品中有4个正品和3个次品． （1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中， 然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
38．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为
1
，求： 3
（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率； （239．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求： ⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；
⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4
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一、条件概率
1. 定义
设A 和B 为两个事件，P (A ) >0，那么，在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率. P (B A ) 读作A 发生的条件下B 发生的概率．P (B A ) 定义为P (B A ) =
P (AB )
。由这个定义可知，对任意两个事件A 、B ，P (A )
若P (B ) >0，则有P (AB ) =P (B A ) ⋅P (A ) . 并称上式为概率的乘法公式. 2．P (B |A ) 的性质：（1）非负性：对任意的A ∈Ω. 0≤P (B A ) ≤1； （2）规范性：P (ΩB ) =1；
（3）可列可加性：如果是两个互斥事件, 则P (B ⋃C A ) =P (B A ) +P (C A ) . 更一般地, 对任意的一列两两部相容的事件A i (i =1, 2, ), ，有P U A i B =∑P (A i B )
i =1
i =1
[
∞
]
∞
3、例题
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题. 如果不放回地依次抽取2 道题，求： (l）第1次抽到理科题的概率；
(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
例2、一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
(1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；
(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
4、练习
1、抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}，令事件A ={2, 3, 5}，B ={1, 2, 4, 5, 6}，求P (A ), P (B ), P (AB ), P (A B ) 。
2、一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，求P (AB ), P (A B ) 。
3、在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10和红球，10个白球。求第1个人摸出1个红球，紧接着第2个人摸出1个白球的概率。
二、事件的独立性
1、事件的相互独立性
设A , B 为两个事件，如果P (AB ) =P (A ) P (B ) 则称事件A 与事件B 相互独立。即事件A （或B ）是否发生, 对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。 注：①如果A 与B 相互独立，那么A 与B , B 与A ，A 与B 都是相互独立的。 ②推广：如果事件A 1, A 2, , A n 相互独立，那么P (A 1A 2 A n ) =P (A 1) P (A 2) P (A n )
2、例题
例1、判断下列事件是否为相互独立事件
（1）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚为正面”为事件A ，“第二枚为正面”为事件B 。
（2）袋中有3个红球，2个白球，采取有放回的取球：事件A ：从中任取一个球是白球；事件B ：第二次从中任取一个球是白球
（3）袋中有3个红球，2个白球，采取无放回的取球：事件A ：从中任取一个球是白球；事件B ：第二次从中任取一个球是白
（4）篮球比赛的“罚球两次”中：事件A ：第一次罚球，球进了；件事B ：第二次罚球，球没进。
例2、在乒乓球团体比赛项目中，我们的中国女队夺冠的概率是0.9, 中国男队夺冠的概率是0.7, 那么男女两队双双夺冠的概率是多少?
例3、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都为0.05，求两次抽奖中以下事件的概率： （1）“都抽到某一指定号码”； （2）“恰有一次抽到某一指定号码”； （3）“至少有一次抽到某一指定号码”。
-
-
-
-
例4、天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：①甲乙两地都降雨的概率；②恰有一个地方降雨的概率；③甲乙两地都不降雨的概率；④其中至少一个地方降雨的概率。
例5、课后思考：已知诸葛亮解出问题的概率为0.8, 臭皮匠老大解出问题的概率为0.5, 老二为0.45, 老三为0.4, 且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？
3、练习
假使在即将到来的世乒赛上，我国乒乓球健儿克服规则上的种种困难，技术上不断开拓创新，在乒乓球团体比赛项目中，我们的中国女队夺冠的概率是0.9, 中国男队夺冠的概率是0.7, 那么 （1）男女两队双双夺冠的概率是多少? （2）只有女队夺冠的概率有多大？ （3）恰有一队夺冠的概率有多大？
（4）至少有一队夺冠的概率有多大？
三、独立重复试验与二项分布
1．定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验.
2．概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件
k
恰好发生k 次的概率P n (k ) =C k 1-p ) n P (
n -k
．它是[(1-p ) +p ](展开式的第k +1项.
n
3、独立重复试验的条件
（1）每次试验是在同样条件下进行； （2）各次试验中的事件是相互独立的；
（3）每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.
4、理解独立重复试验概率公式
如果1次试验中某事件发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为
k k
P n (k ) =C n P (1-p )
n -k
。对于此式可以这么理解：由于1次试验中事件A 要么发生，要么不发生，所以
-
在n 次独立重复试验中A 恰好发生k 次，则在另外的n -k 次中A 没有发生，即A 发生，由
P (A ) =p , P (A ) =1-p ，所以上面的公式恰为[(1-p ) +p ]n 展开式中的第k +1项，可见排列组合、二项
式定理及概率间存在着密切的联系。
5、离散型随机变量的二项分布
在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件=恰好发生k 次
k 的概率是P n (ξ=k ) =C k n P q
n -k
-
, (k =0, 1, 2, , n , q =1-p ) ．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 0 1 „
k „ n
P
由于C k n p q
k
n -k
00n
C n p q 11n -1
C n p q
n
„
n
1
k k n -k
C n p q
n -1
k
„
n -k
n
n n 0
C n p q
10
恰好是二项展开式(p +q ) =C 0n P q +C n p q + +C k n p q +C n n p q 中的各项的
值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n , p ) ，其中n , p 为参数，并记
k
C n p q
k
n -k
=b (k ; n , p ) ．
6、例题
例1．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0~9中任选一个。某人在自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字。求：
（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。
例2．重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．
例3．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）： （1）5次预报中恰有4次准确的概率； （2）5次预报中至少有4
例4．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是
1
，求1小时内5台机床中至少2台需要工4
人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）
例5．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？
例6．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？
四、超几何分布
1、定义
r n -r C M C N -M
一般地，若一个随机变量X 的分布列为P (X =r ) =，其中r =0，1，2，3，„，l ，n
C N r n -r C M C N -M
l =min(n , M ) ，则称X 服从超几何分布，记为X H (n , M , N ) ，并将P (X =r ) =记为n
C N
H (r ; n , M , N ) ．
说明：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是M ，N ，n ． 2、例题
例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，
（1）若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率． （2）若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．
例2．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？
说明：（1）在超几何分布中，只要知道N 、M 和n ，就可以根据公式，求出X 取不同m 值时的概率
P (X =m ) ，从而列出X 的分布列．
（2）一旦掌握了X 的分布列，就可以算出相应试验的很多事件的概率，从而就完全掌握了该试验．
50张彩票中只有2张中奖票，例3．今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为多少？
五、课后作业
1. (2008湖北文) . 明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 .
2. 甲箱子里装3个白球，2个黑球，乙箱子里装2个白球，2个黑球。现从两个箱子里分别摸出1个球，它们颜色不同的概率为_________.
3. 从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回的抽取2次，每次抽1张。已知第1次抽到A ， 那么第二次也抽到A 的概率是________________.
4. 100件产品中有5件次品，不放回的抽取2次，每次抽1件。已知第1次抽出的是次品，则第二次抽出正品的概率是__________________.
5. 某射手每次射击击中目标的概率是0.9，每次射击的结果相互独立。那么这名射手在4次射击中至多击中3次的概率是________；在他连续4次的射击中，第1次未击中目标，但后三次都击中目标的概率是________。（保留两个有效数字）。
6. 如果生男孩和生女孩的概率相同，那么有3个小孩的家庭中至少有两个女孩的概率是_________.
7．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 ．（设每次命中的环数都是自然数）
8．一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 ．
9．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为
80
，则此射手的命中率为 ． 81
10．某产品的废品率为0.05，从中取出10个产品，则次品个数不超过1个的概率是___________。 11．甲投篮的命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人各投3次，每人都恰好投中2次的概率为_____________。
12．掷一枚不均匀的硬币，正面朝上的概率为
2
，若将此硬币掷4次，则正面朝上3次的概率是__________。 3
13．（2004辽宁）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（ ）
A ．p 1p 2 B ．p 1(1-p 2) +p 2(1-p 1) C ．1-p 1p 2 D ．1-(1-p 1)(1-p 2) 14．(2008福建理) 某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为是（ ）
4
, 那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率5
A.
16
625
B.
96 625
C.
192
625
D.
256
625
15. （2007浙江文）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是（ ）
(A1 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648
16. （2007山东理）位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为
1
. 质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为（ ） 2
[1**********]5
（A ）() （B ） C 5() （C ）C 5() （D ） C 5C 5()
2222
向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是
17．每次试验的成功率为p (0
3333
(A ) C 10p (1-p ) 7 (B ) C 10p (1-p ) 3 (C ) p 3(1-p ) 7 (D ) p 7(1-p ) 3
18．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ ）
1
33A 72⋅A 3
(A ) C ⨯0.7⨯0.3 (B ) C ⨯0.7⨯0.3 (C ) (D ) 3
10A 10
3
10
2
13
2
19．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ ）
3112A 3A 32⋅A 2A 3⋅A 2
(A ) 1-3 (B ) +33
A 5A 5A 5
332321
⨯() 1⨯() 2 (C ) 1-() 3 (D ) C 32⨯() 2⨯() +C 3
55555
20．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在
5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）
[1**********]1() () (D ) C 4() () (A ) C 32() 3⋅ (B ) C 32() 2() (C ) C 455535533
21．(2008重庆文) 在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的. 若对4道选择题中的每一
道都任意选定一个答案，求这4道题中：（Ⅰ）恰有两道题答对的概率; （Ⅱ）至少答对一道题的概率.
80
，试求在一次试验中事件A 发生的81
1
2）某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为，求在第n 次才击中
3
22．（1）设在四次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为
23．求随机抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正面的概率。
24．设某保险公司吸收10000人参加人身意外保险，该公司规定：每人每年付给公司120元，若意外死亡，公司将赔偿10000元。如果已知某人每年意外死亡的概率为0.006，问：该公司会赔本吗？
25．某种灯泡使用寿命在1000h 以上的概率为0.2，求3个灯泡使用1000h 后，至多只坏1只的概率。 26．甲、乙、丙3人独立地破译一密码，每人译出此密码的概率均为0.25，设随机变量X 表示译出此密码的人数。
（1）写出X 的分布列； （2）密码被译出的概率是多少？
27．对患某种病的人，假定施行手术的生存率是70%，现有8个病人施行该种手术，设X 为8个病人中生存下来的人数。 （1）求P （X=7）； （2）写出X 的概率分布。
28．某厂生产电子元件，其产品的废品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数X 的概率分布。
29．某单位有18个人，其中O 型血有9人，A 型血有3人，B 型血有4人，AB 型血有2人，现从中选出2人，问：在第一人是A 型血的条件下，第二人是O 型血的概率是多少？ 30．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中， (1)恰有 8 次击中目标的概率； (2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)
31．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．
（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率． （2）按比赛规则甲获胜的概率． 32．一批玉米种子，其发芽率是0.8.
（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？ （2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg 2 0.3010）
33．（2000年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．
34. （2004重庆文）设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。 （1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率； （2） 若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率。 35. （2005全国卷Ⅱ文）甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.60，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响． （1）前三局比赛甲队领先的概率； （2）本场比赛乙队以３：２取胜的概率．
36. (2006湖南文) 某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不合格，则必须整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到0.01) ： (Ⅰ) 恰好有两家煤矿必须整改的概率； (Ⅱ) 某煤矿不被关闭的概率； (Ⅲ) 至少关闭一家煤矿的概率.
37.(2007广州一模理) 甲箱的产品中有5个正品和3个次品, 乙箱的产品中有4个正品和3个次品． （1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中， 然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
38．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为
1
，求： 3
（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率； （239．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求： ⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；
⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4