高中数学必修一讲义

高中数学《必修一》讲义

一．序言（一）、为什么要学数学？

1. 提高思维能力，增长聪明才智； 2. 学习与实践的基础; 3. “高考市场”的拳头产品

(二) 、数学为什么难学？

1. 高度的抽象性 2. 严密的逻辑性 3. 应用的广泛性 (三) 、如何学好高中数学？

1. 牢记基础知识; 2. 领悟思想方法; 3. 把握主干问题; 4. 提高运算技能;

5. 注重理性思维; 6. 勇于探索创新; 7. 加强数学应用; 8. 优化心理品质. （四）、对数学学习有什么要求？

1. 专注认真; 2. 勤思多练; 3. 常做笔记; 4. 规范作业; 5. 加强交流; 6. 反思评价.

老师寄语：好的开始是成功的一半，新的学期开始了，请大家调整好自己的思想，找到学习的原动力。播种一种思想，收获一种行为；播种一种行为，收获一种习惯；播种一种习惯，收获一种性格；播种一种性格，收获一种命运。愿每位同学都有个好的开始。

第一讲：集合的含义. 表示及集合间的基本关系

（一）集合的有关概念

1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们

能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），一些元素组成的总体叫集合

（set ），也简称集。

3. 思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流；（3）非负奇数；

（4）方程x 2+1=0的解；（5）某校2007级新生；（6）血压很高的人；

（7）著名的数学家；

（8）平面直角坐标系内所有第三象限的点

（9）全班成绩好的学生。

对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 5. 元素与集合的关系；

（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to）A ，记作：a ∈A

（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to）A ，记作：a ∉A 例如，我们A 表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A 4∉A ，等等。

6．集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A ，B ，C „表示，集合的元素用小

写的拉丁字母a,b,c, „表示。７．常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N ；

正整数集，记作N 或N +；整数集，记作Z ；有理数集，记作Q ；实数集，记作R ；例题讲解：

例1．用“∈”或“∉”符号填空：

（1）8 N ；（2）0 N ；（3）-3 Z ；（4

；（5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国A ，美国，印度，

英国 A 。

例2．已知集合P 的元素为1, m , m -3m -3, 若3∈P 且-1∉P ，求实数m 的值。（二）．集合的表示方法

我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{的方法叫列举法。

如：{1，2，3，4，5}，{x，3x+2，5y -x ，x +y}，„；

说明：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。

2．各个元素之间要用逗号隔开； 3．元素不能重复；

4．集合中的元素可以数，点，代数式等；

5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示

清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为{1, 2, 3, 4, 5,...... }

例1．用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x =x的所有实数根组成的集合；（3）由1到20以内的所有质数组成的集合；（4）方程组⎨

⎧x +2y =0; ⎩2x -y =0.

}”括起来表示集合

的解组成的集合。

（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{ }内。

具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范

围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式：{x ∈A p (x )

}

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x+1}，{x ︳直角三角形}，„；说明：

描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{x ︳整数}，即代表整数集Z 。辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。

例2．试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x 2—2=0的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合；（3）方程组⎨

⎧x +y =3; ⎩x -y =-1.

的解。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注

意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。课堂练习：

1．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数

2．集合A ＝{x|

4x -3

∈Z ，x ∈N}，则它的元素是。

3．已知集合A ＝{x|-3

举法表示是

（三）. 子集、空集等概念

比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：（1）A ={1,2,3}，B ={1,2,3, 4,5}；

（2）C={x |x 是第一中学2010年9月入学的高一年级同学}，D={x |x 是第一中学2010年9月入学的高一年级女同学}.

（3）E ={x |x 是两条边相等的三角形}，F ={x x 是等腰三角形}

1．子集的定义：

对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。记作：

A ⊆B (或B ⊇A ) 读作：A 包含于（is contained in）B ，或B 包含（contains ）A 当集合A 不包含于集合B 时，记作A ØB

用V enn 图表示两个集合间的“包含”关系：

如：（1）中A ⊆B

2．集合相等定义：

如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，即若A ⊆B 且B ⊆A ，则A =B 。如（3）中的两集合E =F 。 3．真子集定义：若集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B , 且x ∉A ，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset）。记作：

A B （或B A ）

读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）

如：（1）和（2）中A B ，C D ； 4．空集定义：

不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：∅。用适当的符号填空：

∅{0}； ∅； ∅{∅}； {0}{∅}

5．几个重要的结论：

（1）空集是任何集合的子集；

（2）空集是任何非空集合的真子集；（3）任何一个集合是它本身的子集；

（4）对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C 。

说明：

1．注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”

的关系；

2．在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。例题讲解：例1．填空：（1）． 2 N ； {2} N ； ∅ A; （2）．已知集合A ＝{x|x2－3x ＋2＝0}，B ＝{1,2}，C ＝{x|x

B ； C ；；

例2．写出集合{a , b }的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

例3．若集合A =x x +x -6=0, B ={x m x +1=0},

{}

A ，求m 的值。

（m=0或或-3

112

）

例4．已知集合A ={x -2

求实数m 的取值范围。（m ≥3）

第二讲：集合的基本运算

（一）. 交集、并集概念及性质

思考1．考察下列集合，说出集合C 与集合A ，B 之间的关系：

（1）A ={1,3,5}，B ={2,4, 6},C ={1, 2, 3, 4, 5, 6}；

（2）A ={x x 是有理数}，B ={x x 是无理数},

C ={x x 是实数}；

1. 并集的定义：

一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与集合B 的并集（union set）。记作：A ∪B （读作：“A 并B ”），即 A ⋃B ={x ∈, A 或x ∈B } 用V enn 图表示：

这样，在问题（1）（2）中，集合A ，B 的并集是C ，即 A ⋃B = C

说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。

讨论：A ∪B 与集合A 、B 有什么特殊的关系？

A ∪A ＝ , A ∪Ф＝ , A ∪B B ∪A

A ∪B ＝A ⇒ , A ∪B ＝B ⇒巩固练习（口答）：

①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∪B ＝ ;

②．设A ＝{锐角三角形}，B ＝{钝角三角形}，则A ∪B ＝ ; ③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x

一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，叫作集合A 、B 的交集（intersection set），记作A ∩B （读“A 交B ”）即：

A ∩B ＝{x|x∈A ，且x ∈B}

用V enn 图表示：（阴影部分即为A 与B 的交集）

常见的五种交集的情况：

讨论：A ∩B 与A 、B 、B ∩A 的关系？

A ∩A ＝ A ∩Ф＝ A ∩B B ∩A

A ∩B ＝A ⇒ A ∩B ＝B ⇒

巩固练习（口答）：

①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∩B ＝ ;

②．A ＝{等腰三角形}，B ＝{直角三角形}，则A ∩B ＝ ; ③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x

例1．设集合A ={x -1

变式：A ＝{x|-5≤x ≤8}

例2．设平面内直线l 1上点的集合为L 1，直线l 2上点的集合为L 2，试用集合的运算表示l 1，

l 2的位置关系。

例3．已知集合A =x x -m x +m -19=0,

{

}

B =y y -5y +6=0

{

}

C =z z +2z -8=0是否存在实数m ，同时满足A ⋂B ≠∅, A ⋂C =∅？

（m=-2）

（二）. 全集、补集概念及性质 1. 全集的定义：

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe set）, 记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

2. 补集的定义：

对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫作集合A 相对于全集U 的补集（complementary set），记作：C U A ，

读作：“A 在U 中的补集”，即

C U A ={x x ∈U , 且x ∉A }

{

}

用V enn 图表示：（阴影部分即为A 在全集U 中的补集）

讨论：集合A 与C U A 之间有什么关系？→借助V enn 图分析

, A ⋂C U A =∅

C U U =∅,

A ⋃U C

A =, U

C (

C ) A = A

C U ∅=U

巩固练习（口答）：

①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则C U A = ，C U B = ；

②．设U ＝{x|x

例1．设集U ={x x 是小于9的正整数}, A ={1，2，3}，B ={3，4，5，6}，求C U A ，C U B ．

例2．设全集U ={x x ≤4}, 集合A ={x -2

例3．设全集U 为R ，A =x x +px +12=0, (C U A ) ⋂B ={2}, A ⋂(C U B ) ={4}，求A ⋃B 。

{

}

B =x x -5x +q =0，若

{

}

集合复习

（一）集合的基本运算：

例1：设U=R，A={x|-5

(CU A) ∩(CU B) 、(CU A) ∪(CU B) 、C U (A∪B) 、C U (A∩B) 。

说明：不等式的交、并、补集的运算，用数轴进行分析，注意端点。

例2：全集U={x|x

∩(CU B)={4,6,7}，求A 、B 。

说明：列举法表示的数集问题用V enn 图示法、观察法。（二）集合性质的运用：

例3：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x＋a 2－1=0}, 若A ∪B=A，求实数a 的值。

说明：注意B 为空集可能性；一元二次方程已知根时，用代入法、韦达定理，要注意判别

式。

例4：已知集合A={x|x>6或x（三）巩固练习：

1．已知A={x|-21}，A ∪B={x|x＋2>0}，A ∩B={x|1

2．P={0,1}，M={x|x⊆P}，则P 与M 的关系是。

3．已知50名同学参加跳远和铅球两项测验，分别及格人数为40、31人，两项均不及格的为4人，那么两项都及格的为人。

4．满足关系{1,2}⊆A ⊆{1,2,3,4,5}的集合A 共有个。

5．已知集合A ∪B ＝{x|x

6．已知A ＝{1,2,a}，B ＝{1,a2}，A ∪B ＝{1,2,a}，求所有可能的a 值。

7．设A ＝{x|x2－ax ＋6＝0}，B ＝{x|x2－x ＋c ＝0}，A ∩B ＝{2}，求A ∪B 。

8．集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若A B={-2，0，1}，求p 、q 。

9． A={2，3，a 2+4a+2}，B={0，7，a 2+4a-2，2-a}，且A B ={3，7}，求B 。

10．已知A={x|x3}，B={x|4x+m

第三讲：函数的概念

（一）函数的概念：思考1：给出三个实例：

A ．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是h =130t -5t 2。

B ．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空

臭氧层空洞面积的变化情况。

C ．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的

高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。

讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着

怎样的对应关系？三个实例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A 中的每一个x ，按照某种对

应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：

f :A →B

函数的定义：

设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x ) 和它对应，那么称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：

y =f (x ), x ∈A

其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f (x ) |x ∈A }叫值域（range ）。显然，值域是集合B 的子集。（1）一次函数y=ax+b (a ≠0) 的定义域是R ，值域也是R ；

（2）二次函数y =a x 2+b x +c (a ≠0) 的定义域是R ，值域是B ；当a>0时，值域

⎧⎧4a c -b ⎫4ac -b ⎪⎪⎪B =⎨y y ≥⎬；当a ﹤0时，值域B =⎨y y ≤

4a 4a ⎪⎪⎪⎩⎭⎩

⎫⎪

⎬。 ⎪⎭

（3）反比例函数y =

k x

(k ≠0) 的定义域是{x x ≠0}，值域是{y y ≠0}。

（二）区间及写法：

设a 、b 是两个实数，且a

（1）满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；（2）满足不等式a

（3）满足不等式a ≤x

[a , b ), (a , b ]；

这里的实数a 和b 都叫做相应区间的端点。（数轴表示见课本P 17表格）符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我们把满足

x ≥a , x >a , x ≤b , x

(-∞, b ], (-∞, b )。

巩固练习：用区间表示R 、{x|x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x

例1．已知函数f (x ) =x 2-2x +3，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1) 的值。

变式：求函数y =x 2-2x +3, x ∈{-1, 0,1, 2}的值域

例2

．已知函数f (x ) =

1x +2

，

（1）求f (-3), f (), f

(f (-3))的值；

（2）当a>0时，求f (a ), f (a -1) 的值。

课堂练习：

1．用区间表示下列集合：

x ≤4}, {x x ≤4且x ≠0}, {x x ≤4且x ≠0, x ≠-1}, {x x ≤0或x >2}

2．已知函数f(x)=3x2＋5x －2, 求f(3)、f(-) 、f(a)、f(a+1)的值；

（二）函数定义域的求法：

函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。例1：求下列函数的定义域（用区间表示） ⑴ f(x)=

x -3x -2

； ⑵

⑶ f(x)=x +1－

x 2-x

；

*复合函数的定义域求法：

（1）已知f(x)的定义域为（a,b ），求f(g(x))的定义域；

求法：由a

例3．已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。

巩固练习：

1．求下列函数定义域：（1

）f (x ) =；（2）f (x ) =

11+

2．（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求f (x 2+1) 的定义域；（2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。

（三）函数相同的判别方法：

函数是否相同，看定义域和对应法则。

例5．下列函数中哪个与函数y=x相等？

（1

）y =；（2

）y =

（3

）y =

（4） y =

。

（三）课堂练习： 1．求函数y ＝－x 2＋4x －1 ，x ∈[-1,3) 的值域。

第四讲：函数的表示法（一）

（一）函数的三种表示方法：

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（1）；优点：简明扼要；给自变量求函数值。

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（2）；优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。

列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（3）；优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图；列车时刻表；银行利率表等。

例1．某种笔记本的单价是2元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y 元．试用三种

表示法表示函数y=f(x) ．

例2：下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表：

第一次第二次第三次第四次第五次第六次甲 98 87 91 92 88 95 乙 90 76 88 75 86 80 丙 68 65 73 72 75 82 班平均分 88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．

（二）分段函数的教学：分段函数的定义：

在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如以下的例3的函数就是分段函数。说明：（1）．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的

数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；（2）．分段函数只是一个函数，只不过x 的取值范围不同时，对应法则不相同。例3：某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

（1）5公里以内（含5公里），票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。例4．已知f(x)＝⎨

⎧2x +3, x ∈(-∞, 0) ⎩2x +1, x ∈[0, +∞)

，求f(0)、f[f(-1)]的值

（三）课堂练习： 1．作业本每本0.3元，买x 个作业本的钱数y （元）。试用三种方法表示此实例中的函数。

2．某水果批发店，100kg 内单价1元／kg ，500kg 内、100kg 及以上0.8元／kg ，500kg 及

以上0.6元／kg 。试用三种方法表示批发x 千克与应付的钱数y （元）之间的函数y=f(x)。

（三）映射的概念教学：定义：

一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）。记作：

f :A →B

讨论：映射有哪些对应情况？一对多是映射吗？

例1．以下给出的对应是不是从A 到集合B 的映射？

（1）集合A ={P | P是数轴上的点}，集合B =R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实

数对应；（2）集合A ={P | P是平面直角坐标系中的点}，B = {(x , y ) x ∈R , y ∈R }，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

（3）集合A ={x | x是三角形}，集合B ={x | x是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它

的内切圆；

（4）集合A ={x | x是新华中学的班级}，集合B ={x | x是新华中学的学生}，对应关系：每

一个班级都对应班里的学生。

例2．设集合A={a,b,c}，B={0,1} ，试问：从A 到B 的映射一共有几个？并将它们分别表

示出来。

（四）求函数的解析式：

常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，消去法。

例3．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。（待定系数法）

例4．已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（配凑法或换元法）

例5．已知函数f(x)满足f (x ) -2f () =x ，求函数f(x)的解析式。（消去法）

x 1

（三）课堂练习： 1．已知 f (

1-x 1+x

1+x

112

2．已知f (x +) =x +2，求函数f(x)的解析式。

x x

3．已知f (x ) +2f (-x ) =x -1，求函数f(x)的解析式。

) =

1-x

，求函数f(x)的解析式。

第五讲：函数的表示法（二）及函数的复习

（一）函数的图像

例1．画出下列各函数的图象：（1）f (x ) =2x -2　　(-2

(0≤x

例2．画出函数f (x ) =x 的图象。

例3．设x ∈(-∞, +∞)，求函数f (x ) =2x -1-3x 的解析式，并画出它的图象。

变式1：求函数f (x ) =2x -1-3x 的最大值。

变式2：解不等式2x -1-3x >-1。

例4．当m 为何值时，方程x -4x +5=m 有4个互不相等的实数根。

变式：不等式x -4x +5>m 对x ∈R 恒成立，求m 的取值范围。

⎧1

课堂练习： 2．画出函数f (x ) =⎨x 的图象。

⎪x ，　(x ≥1) ⎩

（二）复习总结

基础习题练习：

1．说出下列函数的定义域与值域： y =2．已知f (x ) =

1x -

83x +5

； y =x 2-4x +3； y =

1x -4x +3

；

，求f ， f (f (3))， f (f (x )) ；

⎧0(x

⎪

3．已知f (x ) =⎨π(x =0) ，

⎪x +1(x >0) ⎩

（１）作出f (x ) 的图象；

（２）求f (1),　f (-1), 　f (0),　f {f [f (-1)]}的值例题：

例１．已知函数f (x ) =4x+3，g(x)=x2, 求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]．

例2．求下列函数的定义域：

（１）y =

例３．若函数y =

（２）y =

x +2x -3

；

a 的取值范围．

例４．长沙移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x 分钟，两种通讯方式的费用分别为y 1, y 2（元）．（１）．写出y 1, y 2与x 之间的函数关系式？

（２）．一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？（３）．若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

巩固练习：

1．已知f (x ) =x2-x+3 ，求：f(x+1)， f(

) 的值；

．若f 1）的解析式； =x +求函数f (x ）3．设二次函数f (x ) 满足f (x +2) =f (2-x ) 且f (x ) =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f (x ) 的解析式．

４．已知函数f (x ) =

ax +ax -3

的定义域为Ｒ，求实数a 的取值范围．

第六讲：单调性与最大（小）值（一）

一、复习准备：

1. 引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？

2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律：

①随x 的增大，y 的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③函数图象是否具有某种对称性？

3. 画出函数f(x)= x＋2、f(x)= x2的图像。（小结描点法的步骤：列表→描点→连线）二、讲授新课：

1. 教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：

①根据f(x)＝3x ＋2、 f(x)＝x 2 (x>0)的图象进行讨论：

随x 的增大，函数值怎样变化？当x 1>x2时，f(x1) 与f(x2) 的大小关系怎样？ ②. 一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？

③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

④探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；→ 区间局部性、取值任意性

⑤定义：如果函数f(x)在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x)的单调区间。 ⑥讨论：图像如何表示单调增、单调减？

所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？ ⑦一次函数、二次函数、反比例函数的单调性

2. 教学增函数、减函数的证明：例1．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？

1、例题讲解

例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

例2：物理学中的玻意耳定律p =

k V

（k 为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积

V 增大时，压强p 如何变化？试用单调性定义证明.

例3．判断函数y =

三、巩固练习： 1. 求证f(x)＝x ＋

2x -1

在区间[2，6] 上的单调性

的(0,1)上是减函数，在[1,+∞]上是增函数。

2. 判断f(x)=|x|、y=x3的单调性并证明。

3. 讨论f(x)=x2－2x 的单调性。推广：二次函数的单调性

四、小结：

比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号。

判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1

第七讲：单调性与最大（小）值（二）

一、复习准备：

1. 指出函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a>0)的单调区间及单调性，并进行证明。

2. f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的最小值的情况是怎样的？ 3. 知识回顾：增函数、减函数的定义。二、讲授新课：

1. 教学函数最大（小）值的概念：

① 指出下列函数图象的最高点或最低点，→ 能体现函数值有什么特征？

f (x ) =-2x +3，f (x ) =-2x +3x ∈[-1, 2]；f (x ) =x +2x +1，f (x ) =x +2x +1 x ∈[-2, 2] ② 定义最大值：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；存在x 0∈I ，使得f(x0) = M . 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ） ③ 探讨：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value ）的定义．

→ 一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法） → 试举例说明方法.

2、例题讲解：例1．求函数y =

2x -1

在区间[2，6] 上的最大值和最小值．

例2

．求函数y =x +的最大值

探究：y =

3x -2

的图象与y =

的关系？

（解法一：单调法；解法二：换元法）

三、巩固练习：

1. 求下列函数的最大值和最小值：（1）y =3-2x -x 2, x ∈[-, ]；

2253

（2）y =|x +1|-|x -2|

2. 一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？（分析变化规律→建立函数模型→求解最大值）

3、

求函数y =2x +.

四、小结：

求函数最值的常用方法有：

（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值．

（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值．（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值．

第八讲：函数的奇偶性

一、复习准备：

1. 提问：什么叫增函数、减函数？

2. 指出f(x)＝2x 2－1的单调区间及单调性。 →变题：|2x2－1|的单调区间 3. 对于f(x)＝x 、f(x)＝x 2、f(x)＝x 3、f(x)＝x 4，分别比较f(x)与f(－x) 。二、讲授新课：

1. 教学奇函数、偶函数的概念： ①给出两组图象：f (x ) =x 、f (x ) =

、f (x ) =x 3；f (x ) =x 2、f (x ) =|x |.

发现各组图象的共同特征 → 探究函数解析式在函数值方面的特征

② 定义偶函数：一般地，对于函数f (x ) 定义域内的任意一个x ，都有f (-x ) =f (x ) ，那么函数f (x ) 叫偶函数（even function）.

③ 探究：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function）的定义. （如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有f (-x ) =-f (x ) ），那么函数f (x ) 叫奇函数。 ④ 讨论：定义域特点？与单调性定义的区别？图象特点？（定义域关于原点对称；整体性） ⑤ 练习：已知f(x)是偶函数，它在y 轴左边的图像如图所示，画出它右边的图像。（假如f(x)是奇函数呢？） 1. 教学奇偶性判别：

例1．判断下列函数是否是偶函数．

（1）f (x ) =x

x ∈[-1, 2]

（2）f (x ) =

x -x x -1

例2．判断下列函数的奇偶性

（1）f (x ) =x 4 （2）f (x ) =x 5 （3）f (x ) =x +⎧12

x +1(x >0) ⎪⎪2

（5） g (x ) =⎨ （6）y =

1⎪-x 2-1(x

（4）f (x ) =

．

-x

x -1

4、教学奇偶性与单调性综合的问题：

①出示例：已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞) 上是减函数，问f(x)的(-∞,0) 上的单调性。

②找一例子说明判别结果（特例法） → 按定义求单调性，注意利用奇偶性和已知单调区间上的单调性。（小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论）

③变题：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上是减函数，试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性，并给出证明。

三、巩固练习：

1、判别下列函数的奇偶性： f(x)＝|x＋1|+|x－1| 、f(x)＝

、f(x)＝x ＋

、 f(x)＝

x 1+x

、f(x)＝x 2,x ∈[-2,3]

2. 设f(x)＝ax 7＋bx ＋5，已知f(－7) ＝－17, 求f(7)的值。

3. 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝

1x +1

，求f(x)、g(x)。

4. 已知函数f(x)，对任意实数x 、y ，都有f(x+y)＝f(x)＋f(y)，试判别f(x)的奇偶性。(特值代入)

5. 已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是函数，且最值是。

四、小结

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．

第九讲：函数的基本性质运用

一、复习准备：

1. 讨论：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？ 2. 提问：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？

二、教学典型习例:

1. 函数性质综合题型：

①例1：作出函数y ＝x 2－2|x|－3的图像，指出单调区间和单调性。

分析作法：利用偶函数性质，先作y 轴右边的，再对称作。思考：y ＝|x2－2x －3|的图像的图像如何作？

②讨论推广：如何由f (x ) 的图象，得到f (|x |)、|f (x ) |的图象？

③出示例2：已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞) 上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0) 上也是增函数

分析证法 → 教师板演 → 变式训练

④讨论推广：奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？

（偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致）

2. 教学函数性质的应用： ①出示例：求函数f(x)＝x ＋

(x>0)的值域。

分析：单调性怎样？值域呢？→小结：应用单调性求值域。 → 探究：计算机作图与结论推广

②出示例：某产品单价是120元，可销售80万件。市场调查后发现规律为降价x 元后可多销售2x 万件，写出销售金额y(万元) 与x 的函数关系式，并求当降价多少个元时，销售金额最大？最大是多少？

分析：此题的数量关系是怎样的？函数呢？如何求函数的最大值？

小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题。

2. 基本练习题：

1、判别下列函数的奇偶性：y ＝+x ＋-x 、

⎧⎪-x +x (x >0) y ＝⎨

2⎪⎩x +x (x ≤0)

（变式训练：f(x)偶函数，当x>0时，f(x)=…. ，则x

2、求函数y ＝x

＋的值域。

3、判断函数y=

x +2x +1

单调区间并证明。

cx +d ax +b

（定义法、图象法；推广：

的单调性）

4、讨论y=-x 2在[-1,1]上的单调性。

三、巩固练习： 1. 求函数y=

x +c

为奇函数的时，a 、b 、c 所满足的条件。

2. 已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求函数值域。

3. f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，如何f(2－a) －f(a－3)

4. 求二次函数f(x)=x2－2ax ＋2在[2,4]上的最大值与最小值。

第十讲：指数与指数幂的运算

一. 指数函数模型应用背景：

实例1. 某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a 万，则x 年后人口数为多少万？

实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次（8次）

计算：若报纸长50cm ，宽34cm ，厚0.01mm ，进行对折x 次后，问对折后的面积与厚度？ ②问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP （国内生产总值）年平均增长率达7.3℅，则x 年后GDP 为2000年的多少倍？

问题2. 生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t 年后体内碳14的含量P 与死亡时碳14的关系为P =()

t 5730

. 探究该式意义？

③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.

二. 根式的概念及运算：

① 复习实例蕴含的概念：(±2) 2=4, ±2就叫4的平方根；33=27，3就叫27的立方根. 探究：(±3) 4=81, ±3就叫做81的？次方根, 依此类推, 若x n =a , 那么x 叫做a 的n 次方根.

② 定义n 次方根：一般地，若x n =a , 那么x 叫做a 的n 次方根.( n th root ), 其中

n >1, n ∈N

简记：例如：23=

③ 讨论：当n 为奇数时, n次方根情况如何？, 例如

: 记：x =

-3,

当n 为偶数时，正数的n 次方根情况？例如: (±3) 4=81, 81的4次方根就是±3,

记：强调：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即

. =0

④ 练习：b 4=a , 则a 的4； b 3=a , 则a 的3

⑤

radical ）, 这里n 叫做根指数（radical exponent）, a 叫做被开方数（radicand ）.

⑥

计算

2、

→ 探究：

n 、a 的意义及结果？（特殊到一般）

=a . 当n a

当n

=a ；

(a ≥0) ⎧a

=|a |=⎨

-a (a

例题讲解

求下列各式的值

(1)

(2)

)

(3)

)

(4)

巩固练习：

（推广：=

a ≥0）.

2、

；

3、求值化简：

三. 分数指数幂概念及运算性质: ① 引例：a >0

=? .

（a

=a =a

→

=? ；

(a )

=a 3 →

① 定义分数指数幂：

规定a

a >0, m , n ∈N , n >

1) ；a

m n

a n

a >0, m , n ∈N , n >1)

③ 练习：A.

(a >0, m , n ∈N *n >

B. 求值 27； 5； 6； a 2.

④ 讨论：0的正分数指数幂？ 0的负分数指数幂？⑤ 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

指数幂的运算性质：a >0, b >0, r , s ∈Q

a ·a =a

r r r +s

； (a ) =a ； (ab ) =a a ．

r s rs r r s

四、无理指数幂

无理数指数幂a (a >0, α是无理数) 是一个确定的实数．

巩固练习：

1、求值:27; 16

; () ; (

-3

2549

)

2、化简：(3a b )(-8a b ) ÷(-6a b ) ；(m n ) 16

n +1

3. 计算：

4. 若a 3=3,

12n +12

) ⋅()

的结果 n -2

a 10=384, 求a 3⋅[(

a 10a 3

) 7]

n -3

的值

第十一讲：指数函数及其性质

一. 指数函数模型思想及指数函数概念： ① 探究两个实例：

A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？

B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？

② 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？

③ 定义：一般地，函数y =a x (a >0, 且a ≠1) 叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .

④讨论：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？ → 举例：生活中其它指数模型？二. 指数函数的图象和性质：

① 讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ ② 回顾：研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． ③ 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： y =() x ， y =2x

④ 探讨：函数y =2x 与y =() x 的图象有什么关系？如何由y =2x 的图象画出y =() x 的图

象？根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为3或1/3

等后？

⑤ 根据图象归纳：指数函数的性质

例题讲解

例1：已知指数函数f (x ) =a （a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求

f (0),f (1),f (-3) 的值.

例2：比较下列各题中的个值的大小

（1）1. 7

2. 5

与 1. 7

( 2 )0.8-0.1与0.8-0.2 ( 3 ) 1. 7

0. 3

与 0. 9

3. 1

例3：求下列函数的定义域：

（1）y =2x -4 （2）y =() |x |

三. 指数函数的应用模型：

①例1：我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．

(Ⅰ) 按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x 年后我国的人口将达到2000年的多少倍？

(Ⅱ) 从2000年起到2020年我国的人口将达到多少？练习： 2010年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x 年后的总产值为原来的多少倍？

→ 变式：多少年后产值能达到120亿？

③ 小结指数函数增长模型：原有量N ，平均最长率p ，则经过时间x 后的总量y =？ →一般形式：

四. 指数形式的函数定义域、值域：

① 讨论：在[m ，n ]上，f (x ) =a x (a >0且a ≠1) 值域？

②例1. 求下列函数的定义域、值域：y =2+

1; y =

②例2.

求函数y =

例题讲解

例1求函数y =

2-12+1

x x

x y =0.4

x -1

讨论：求定义域如何列式？求值域先从那里开始研究？

的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.

例2截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？

x x

例3、已知函数y =9-2∙3+2, x ∈[1, 2]，求这个函数的值域

巩固练习：

1. 函数y =(a 2-3a +3) a x 是指数函数，则a 的值为.

2、比较大小：a =0.80.7, b =0.80.9, c =1.20.8；

-0.20-2.5

, 2.51.6. 1, 0.4, 2

() 52

-12

与（0.4）2 ；

（

与0.76-0.75

3、探究：在[m ，n ]上，f (x ) =a x (a >0且a ≠1) 值域？ 4、一片树林中现有木材30000m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材y m 3，写出x ，

y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m

第十二讲：对数与对数运算

一、复习准备：

1. 问题1（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？（得到：() 4＝？，() x ＝

0.125⇒x =?）

2. 问题2：假设2010年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产是2010年的2倍？（得到：(1+8%) x =2⇒x =? ）怎样求呢？

例如：由1.01x =m 求x 二、讲授新课： 1. 对数的概念： ① 定义：一般地，如果a x =N (a >0, a ≠1) ，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）. 记作 x =log a N ，其中a 叫做对数的底数，N

② 定义：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数log 10N 简记为lg 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828„„为底的对数，以e 为底的

对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln → 认识：lg5 ; lg3.5； ln10； ln3

③ 讨论：指数与对数间的关系（a >0, a ≠1时，a x =N ⇔x =log a N ）

负数与零是否有对数？（原因：在指数式中 N > 0 ） log a 1=? ， log a a =? ④：对数公式a

log

，

l o g a a

1128

2. 指数式与对数式的互化：

①例1. 将下列指数式写成对数式：53=125 ；2-7=

；3a =27； 10-2=0.01

② 出示例2. 将下列对数式写成指数式：log 132=-5； lg0.001=-3； ln100=4.606

例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

（1）5=645 （2）2-6=

164

（3）() m =5.73

（4）log 116=-4 （5）log 100.01=-2 （6）log e 10=2.303

例2：求下列各式中x 的值

（1）log 64x =-

（2）log x 8=6 （3）lg 100=x （4）-ln e 2=x

3. 对数运算性质及推导：

① 引例：由a p a q =a p +q ，如何探讨log a MN 和log a M 、log a N

设log a M =p , log a N =q ，由对数的定义可得：M =a p ，N =a q ∴MN =a p a q =a p +q

∴log a MN =p +q ，即得log a MN =log a M + log a ② 探讨：根据上面的证明，能否得出以下式子？如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则

log a (MN)=log a M +log a N ; log a

M N

=log a M -log a N ； log a M =nlog a M (n ∈R ) n m

③ 讨论：自然语言如何叙述三条性质？性质的证明思路？ ④ 运用换底公式推导下列结论：log a b n =

log a b ；log a b =

1log b a

教学例题：

例3. 判断下列式子是否正确，（a ＞0且a ≠1，x ＞0且a ≠1，x ＞0，x ＞y ），

（1）log a x ⋅log a y =log a (x +y ) （2）log a x -log a y =log a (x -y )

x y

（3）log a =log a x ÷log a y （4）log a xy =log a x -log a y

（5）(loga x ) =n log a x （6）log a x =-log a

（7

log a x

例4：用log a x ，log a y ，log a z 表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.

xy z

（1）log a

（2

）log a

（3）log z (4⨯2) （4

）lg

巩固练习：

1．计算： log 927； log 3243

； 2．求a

log a b ⋅log b c ⋅log c N

；

log

(2(2-

；

的值(a,b,c∈R , 且不等于1，N ＞0）.

3lg 2=a , lg 3=b ，试用a 、b 表示log 512.

变式：已知lg ２＝0.3010，lg ３＝0.4771，求lg ６、lg12、

lg .

4计算：lg 14-2lg

5 设a 、b 、c 为正数，且3a =4b =6c ，求证：-

c 1

1a =12b

+lg 7-lg 18；

lg 243lg 9

；

lg lg 8-3lg 1.2

6求log

的值

第十三讲：对数函数及其性质

1. 对数函数的图象和性质：

① 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数y=loga x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ；函数的定义域是（0，+∞）

② 辨析：对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：y =2log 2x ，

而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 (a >0，y =log 5(5x ) 都不是对数函数，

且a ≠1) ．

③ 探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？

研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

④ 练习：同一坐标系中画出下列对数函数的图象 y =log 2x ；y =log 0.5x

⑤ 讨论：根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？

列表归纳：分类 → 图象 → 由图象观察（定义域、值域、单调性、定点）

引申：图象的分布规律？

教学例题

例1：求下列函数的定义域

（1）y =log a x 2 （2）y =log a (4-x ) （a ＞0且a ≠1）例2. 比较下列各组数中的两个值大小

（1）log 23.4,

log 28.5 （2）log 0.31.8,

log 0.32.7

2 函数模型思想及应用:

①例题：溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH 的计算公式pH =-lg[H +]，其中[H +]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.

（Ⅰ）分析溶液酸碱读与溶液中氢离子浓度之间的关系？（Ⅱ）纯净水[H +]=10-7摩尔/升，计算纯净水的酸碱度.

② 讨论：抽象出的函数模型？如何应用函数模型解决问题？ → 强调数学应用思想

3反函数的教学:

① 引言:当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function） ② 探究：如何由y =2x 求出x ？

③ 分析：函数x =log 2y 由y =2x 解出，是把指数函数y =2x 中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们通常用x 表示自变量，y 表示函数，即写为y =log

那么我们就说指数函数y =2x 与对数函数y =log

x .

x 互为反函数

④ 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数y =2x 及其反函数y =log 2x 图象，发现什么性质？

⑤ 分析：取y =2x 图象上的几个点，说出它们关于直线y =x 的对称点的坐标，并判断它们是否在y =log

x 的图象上，为什么？

⑥ 探究：如果P 0(x 0, y 0) 在函数y =2x 的图象上，那么P 0关于直线y =x 的对称点在函数y =log 2x 的图象上吗，为什么？

例题讲解

例3求下列函数的反函数

（1）y =5 （2）

y =log 0.5x

例4求函数log

(x -6x +17) 的定义域、值域和单调区间

巩固练习：

1求下列函数的定义域： y =log 0.2(-x -6) ； y =

2比较下列各题中两个数值的大小：

log 23和log 23.5； log 0.34和log 0.20.7；

log 0.71.6和log 0.71.8； log 23和log 32．

3 已知下列不等式，比较正数m 、n 的大小：

log 3m ＜log 3n ； log 0. 3m ＞log 0. 3n ； log a m ＞log a n (a ＞1)

探究：求定义域y =

y =

5己知函数f (x ) =a x -k 的图象过点（1，3）其反函数y =f 求f (x )的表达式.

-1

(x )的图象过（2，0）点，

第十四讲：幂函数

一、新课引入：

（1）边长为a 的正方形面积S =a 2，这里S 是a 的函数；

（2）面积为S 的正方形边长a =S 2，这里a 是S 的函数；

（3）边长为a 的立方体体积V =a 3，这里V 是a 的函数；

（4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度v =t -1km /s ，这里v 是t 的函数；（5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p =w 元，这里p 是w 的函数. 观察上述五个函数，有什么共同特征？二、讲授新课：

1、幂函数的图象与性质

① 给出定义：一般地，形如y =x α(a ∈R ) 的函数称为幂函数，其中α为常数.

② 练：判断在函数y =

, y =2x , y =x -x , y =1中，哪几个函数是幂函数？

③ 作出下列函数的图象：（1）y =x ；（2）y =x 2；（3）y =x 2；（4）y =x ；（5）y =x 3．

④观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律：

（Ⅰ）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（Ⅱ）α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0, +∞) 上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0

（Ⅲ）α

2、教学例题：例1

．证明幂函数f (x ) =

例2. 比较大小：(a +1)

1. 5

-1

[0,+∞]上是增函数

与a

1. 5

；(2+a 2)

与2

；1. 1

与0. 9

三、巩固练习：

1、论函数y =x 3的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．

2. 比较下列各题中幂值的大小：2. 3与2. 4；0. 31与0. 35；(2)

与(3)

基本初等函数复习

一、复习准备：

1. 提问：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质.

2. 求下列函数的定义域：y =82x -1；y =

⎛1⎫- ⎪

⎝2⎭

；y =log a (1-x ) 2(a >0, 且a ≠1)

3. 比较下列各组中两个值的大小：log 67与log

二、典型例题：

6；log 3π与log

0. 8；1. 01

2. 7

与1. 01

3. 5

例1：已知log 5427＝a ，54b ＝3，用a , b 表示log 10881的值

例2、

函数y =

例3、函数y =() x

-3x +2

的单调区间为

1+x

例4、已知函数f (x ) =log

1-x

(a >0且a ≠1) . 判断f (x ) 的奇偶性并予以证明.

例5、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y 元，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数解析式. 如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到1元）？（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息. ）

（小结：掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，会用函数性质解决一些简单的应用问题. ）

三、巩固练习：

1. 函数y =log 3(-4x -5) 的定义域为 . ，值域为 .

2. 函数y =2-x

-3x +2

的单调区间为 .

3. 若点(2, ) 既在函数y =2ax +b 的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =______，

b =_______

4. 函数y =a x -2+1(a >0，且a ≠1) .

5. 计算0. 064

-13

⎛4⎫3- -⎪+(-2)⎝5⎭

[]

+16

-0. 75

+0. 012= .

6. 求下列函数的值域：

y =52-x

⎛1⎫

; y = ⎪

⎝3⎭

1-x

; y =

⎛1⎫

⎪-1 ; y =⎝2⎭

-2

高中数学《必修一》讲义

一．序言（一）、为什么要学数学？

1. 提高思维能力，增长聪明才智； 2. 学习与实践的基础; 3. “高考市场”的拳头产品

(二) 、数学为什么难学？

1. 高度的抽象性 2. 严密的逻辑性 3. 应用的广泛性 (三) 、如何学好高中数学？

1. 牢记基础知识; 2. 领悟思想方法; 3. 把握主干问题; 4. 提高运算技能;

5. 注重理性思维; 6. 勇于探索创新; 7. 加强数学应用; 8. 优化心理品质. （四）、对数学学习有什么要求？

1. 专注认真; 2. 勤思多练; 3. 常做笔记; 4. 规范作业; 5. 加强交流; 6. 反思评价.

第一讲：集合的含义. 表示及集合间的基本关系

（一）集合的有关概念

1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们

能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），一些元素组成的总体叫集合

（set ），也简称集。

3. 思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流；（3）非负奇数；

（4）方程x 2+1=0的解；（5）某校2007级新生；（6）血压很高的人；

（7）著名的数学家；

（8）平面直角坐标系内所有第三象限的点

（9）全班成绩好的学生。

对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征

（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to）A ，记作：a ∈A

（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to）A ，记作：a ∉A 例如，我们A 表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A 4∉A ，等等。

6．集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A ，B ，C „表示，集合的元素用小

写的拉丁字母a,b,c, „表示。７．常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N ；

正整数集，记作N 或N +；整数集，记作Z ；有理数集，记作Q ；实数集，记作R ；例题讲解：

例1．用“∈”或“∉”符号填空：

（1）8 N ；（2）0 N ；（3）-3 Z ；（4

；（5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国A ，美国，印度，

英国 A 。

例2．已知集合P 的元素为1, m , m -3m -3, 若3∈P 且-1∉P ，求实数m 的值。（二）．集合的表示方法

我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{的方法叫列举法。

如：{1，2，3，4，5}，{x，3x+2，5y -x ，x +y}，„；

说明：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。

2．各个元素之间要用逗号隔开； 3．元素不能重复；

4．集合中的元素可以数，点，代数式等；

5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示

清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为{1, 2, 3, 4, 5,...... }

例1．用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x =x的所有实数根组成的集合；（3）由1到20以内的所有质数组成的集合；（4）方程组⎨

⎧x +2y =0; ⎩2x -y =0.

}”括起来表示集合

的解组成的集合。

（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{ }内。

具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范

围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式：{x ∈A p (x )

}

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x+1}，{x ︳直角三角形}，„；说明：

例2．试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x 2—2=0的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合；（3）方程组⎨

⎧x +y =3; ⎩x -y =-1.

的解。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注

意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。课堂练习：

1．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数

2．集合A ＝{x|

4x -3

∈Z ，x ∈N}，则它的元素是。

3．已知集合A ＝{x|-3

举法表示是

（三）. 子集、空集等概念

比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：（1）A ={1,2,3}，B ={1,2,3, 4,5}；

（2）C={x |x 是第一中学2010年9月入学的高一年级同学}，D={x |x 是第一中学2010年9月入学的高一年级女同学}.

（3）E ={x |x 是两条边相等的三角形}，F ={x x 是等腰三角形}

1．子集的定义：

对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。记作：

A ⊆B (或B ⊇A ) 读作：A 包含于（is contained in）B ，或B 包含（contains ）A 当集合A 不包含于集合B 时，记作A ØB

用V enn 图表示两个集合间的“包含”关系：

如：（1）中A ⊆B

2．集合相等定义：

A B （或B A ）

读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）

如：（1）和（2）中A B ，C D ； 4．空集定义：

不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：∅。用适当的符号填空：

∅{0}； ∅； ∅{∅}； {0}{∅}

5．几个重要的结论：

（1）空集是任何集合的子集；

（2）空集是任何非空集合的真子集；（3）任何一个集合是它本身的子集；

（4）对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C 。

说明：

1．注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”

的关系；

B ； C ；；

例2．写出集合{a , b }的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

例3．若集合A =x x +x -6=0, B ={x m x +1=0},

{}

A ，求m 的值。

（m=0或或-3

112

）

例4．已知集合A ={x -2

求实数m 的取值范围。（m ≥3）

第二讲：集合的基本运算

（一）. 交集、并集概念及性质

思考1．考察下列集合，说出集合C 与集合A ，B 之间的关系：

（1）A ={1,3,5}，B ={2,4, 6},C ={1, 2, 3, 4, 5, 6}；

（2）A ={x x 是有理数}，B ={x x 是无理数},

C ={x x 是实数}；

1. 并集的定义：

这样，在问题（1）（2）中，集合A ，B 的并集是C ，即 A ⋃B = C

说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。

讨论：A ∪B 与集合A 、B 有什么特殊的关系？

A ∪A ＝ , A ∪Ф＝ , A ∪B B ∪A

A ∪B ＝A ⇒ , A ∪B ＝B ⇒巩固练习（口答）：

①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∪B ＝ ;

②．设A ＝{锐角三角形}，B ＝{钝角三角形}，则A ∪B ＝ ; ③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x

一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，叫作集合A 、B 的交集（intersection set），记作A ∩B （读“A 交B ”）即：

A ∩B ＝{x|x∈A ，且x ∈B}

用V enn 图表示：（阴影部分即为A 与B 的交集）

常见的五种交集的情况：

讨论：A ∩B 与A 、B 、B ∩A 的关系？

A ∩A ＝ A ∩Ф＝ A ∩B B ∩A

A ∩B ＝A ⇒ A ∩B ＝B ⇒

巩固练习（口答）：

①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∩B ＝ ;

②．A ＝{等腰三角形}，B ＝{直角三角形}，则A ∩B ＝ ; ③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x

例1．设集合A ={x -1

变式：A ＝{x|-5≤x ≤8}

例2．设平面内直线l 1上点的集合为L 1，直线l 2上点的集合为L 2，试用集合的运算表示l 1，

l 2的位置关系。

例3．已知集合A =x x -m x +m -19=0,

{

}

B =y y -5y +6=0

{

}

C =z z +2z -8=0是否存在实数m ，同时满足A ⋂B ≠∅, A ⋂C =∅？

（m=-2）

（二）. 全集、补集概念及性质 1. 全集的定义：

2. 补集的定义：

对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫作集合A 相对于全集U 的补集（complementary set），记作：C U A ，

读作：“A 在U 中的补集”，即

C U A ={x x ∈U , 且x ∉A }

{

}

用V enn 图表示：（阴影部分即为A 在全集U 中的补集）

讨论：集合A 与C U A 之间有什么关系？→借助V enn 图分析

, A ⋂C U A =∅

C U U =∅,

A ⋃U C

A =, U

C (

C ) A = A

C U ∅=U

巩固练习（口答）：

①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则C U A = ，C U B = ；

②．设U ＝{x|x

例1．设集U ={x x 是小于9的正整数}, A ={1，2，3}，B ={3，4，5，6}，求C U A ，C U B ．

例2．设全集U ={x x ≤4}, 集合A ={x -2

例3．设全集U 为R ，A =x x +px +12=0, (C U A ) ⋂B ={2}, A ⋂(C U B ) ={4}，求A ⋃B 。

{

}

B =x x -5x +q =0，若

{

}

集合复习

（一）集合的基本运算：

例1：设U=R，A={x|-5

(CU A) ∩(CU B) 、(CU A) ∪(CU B) 、C U (A∪B) 、C U (A∩B) 。

说明：不等式的交、并、补集的运算，用数轴进行分析，注意端点。

例2：全集U={x|x

∩(CU B)={4,6,7}，求A 、B 。

说明：列举法表示的数集问题用V enn 图示法、观察法。（二）集合性质的运用：

例3：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x＋a 2－1=0}, 若A ∪B=A，求实数a 的值。

说明：注意B 为空集可能性；一元二次方程已知根时，用代入法、韦达定理，要注意判别

式。

例4：已知集合A={x|x>6或x（三）巩固练习：

1．已知A={x|-21}，A ∪B={x|x＋2>0}，A ∩B={x|1

2．P={0,1}，M={x|x⊆P}，则P 与M 的关系是。

3．已知50名同学参加跳远和铅球两项测验，分别及格人数为40、31人，两项均不及格的为4人，那么两项都及格的为人。

4．满足关系{1,2}⊆A ⊆{1,2,3,4,5}的集合A 共有个。

5．已知集合A ∪B ＝{x|x

6．已知A ＝{1,2,a}，B ＝{1,a2}，A ∪B ＝{1,2,a}，求所有可能的a 值。

7．设A ＝{x|x2－ax ＋6＝0}，B ＝{x|x2－x ＋c ＝0}，A ∩B ＝{2}，求A ∪B 。

8．集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若A B={-2，0，1}，求p 、q 。

9． A={2，3，a 2+4a+2}，B={0，7，a 2+4a-2，2-a}，且A B ={3，7}，求B 。

10．已知A={x|x3}，B={x|4x+m

第三讲：函数的概念

（一）函数的概念：思考1：给出三个实例：

A ．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是h =130t -5t 2。

B ．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空

臭氧层空洞面积的变化情况。

C ．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的

高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。

讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着

怎样的对应关系？三个实例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A 中的每一个x ，按照某种对

应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：

f :A →B

函数的定义：

y =f (x ), x ∈A

（2）二次函数y =a x 2+b x +c (a ≠0) 的定义域是R ，值域是B ；当a>0时，值域

⎧⎧4a c -b ⎫4ac -b ⎪⎪⎪B =⎨y y ≥⎬；当a ﹤0时，值域B =⎨y y ≤

4a 4a ⎪⎪⎪⎩⎭⎩

⎫⎪

⎬。 ⎪⎭

（3）反比例函数y =

k x

(k ≠0) 的定义域是{x x ≠0}，值域是{y y ≠0}。

（二）区间及写法：

设a 、b 是两个实数，且a

（1）满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；（2）满足不等式a

（3）满足不等式a ≤x

[a , b ), (a , b ]；

x ≥a , x >a , x ≤b , x

(-∞, b ], (-∞, b )。

巩固练习：用区间表示R 、{x|x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x

例1．已知函数f (x ) =x 2-2x +3，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1) 的值。

变式：求函数y =x 2-2x +3, x ∈{-1, 0,1, 2}的值域

例2

．已知函数f (x ) =

1x +2

，

（1）求f (-3), f (), f

(f (-3))的值；

（2）当a>0时，求f (a ), f (a -1) 的值。

课堂练习：

1．用区间表示下列集合：

x ≤4}, {x x ≤4且x ≠0}, {x x ≤4且x ≠0, x ≠-1}, {x x ≤0或x >2}

2．已知函数f(x)=3x2＋5x －2, 求f(3)、f(-) 、f(a)、f(a+1)的值；

（二）函数定义域的求法：

x -3x -2

； ⑵

⑶ f(x)=x +1－

x 2-x

；

*复合函数的定义域求法：

（1）已知f(x)的定义域为（a,b ），求f(g(x))的定义域；

求法：由a

例3．已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。

巩固练习：

1．求下列函数定义域：（1

）f (x ) =；（2）f (x ) =

11+

2．（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求f (x 2+1) 的定义域；（2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。

（三）函数相同的判别方法：

函数是否相同，看定义域和对应法则。

例5．下列函数中哪个与函数y=x相等？

（1

）y =；（2

）y =

（3

）y =

（4） y =

。

（三）课堂练习： 1．求函数y ＝－x 2＋4x －1 ，x ∈[-1,3) 的值域。

第四讲：函数的表示法（一）

（一）函数的三种表示方法：

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（1）；优点：简明扼要；给自变量求函数值。

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（2）；优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。

例1．某种笔记本的单价是2元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y 元．试用三种

表示法表示函数y=f(x) ．

例2：下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表：

（二）分段函数的教学：分段函数的定义：

（1）5公里以内（含5公里），票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。例4．已知f(x)＝⎨

⎧2x +3, x ∈(-∞, 0) ⎩2x +1, x ∈[0, +∞)

，求f(0)、f[f(-1)]的值

（三）课堂练习： 1．作业本每本0.3元，买x 个作业本的钱数y （元）。试用三种方法表示此实例中的函数。

2．某水果批发店，100kg 内单价1元／kg ，500kg 内、100kg 及以上0.8元／kg ，500kg 及

以上0.6元／kg 。试用三种方法表示批发x 千克与应付的钱数y （元）之间的函数y=f(x)。

（三）映射的概念教学：定义：

f :A →B

讨论：映射有哪些对应情况？一对多是映射吗？

例1．以下给出的对应是不是从A 到集合B 的映射？

（1）集合A ={P | P是数轴上的点}，集合B =R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实

数对应；（2）集合A ={P | P是平面直角坐标系中的点}，B = {(x , y ) x ∈R , y ∈R }，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

（3）集合A ={x | x是三角形}，集合B ={x | x是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它

的内切圆；

（4）集合A ={x | x是新华中学的班级}，集合B ={x | x是新华中学的学生}，对应关系：每

一个班级都对应班里的学生。

例2．设集合A={a,b,c}，B={0,1} ，试问：从A 到B 的映射一共有几个？并将它们分别表

示出来。

（四）求函数的解析式：

常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，消去法。

例3．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。（待定系数法）

例4．已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（配凑法或换元法）

例5．已知函数f(x)满足f (x ) -2f () =x ，求函数f(x)的解析式。（消去法）

x 1

（三）课堂练习： 1．已知 f (

1-x 1+x

1+x

112

2．已知f (x +) =x +2，求函数f(x)的解析式。

x x

3．已知f (x ) +2f (-x ) =x -1，求函数f(x)的解析式。

) =

1-x

，求函数f(x)的解析式。

第五讲：函数的表示法（二）及函数的复习

（一）函数的图像

例1．画出下列各函数的图象：（1）f (x ) =2x -2　　(-2

(0≤x

例2．画出函数f (x ) =x 的图象。

例3．设x ∈(-∞, +∞)，求函数f (x ) =2x -1-3x 的解析式，并画出它的图象。

变式1：求函数f (x ) =2x -1-3x 的最大值。

变式2：解不等式2x -1-3x >-1。

例4．当m 为何值时，方程x -4x +5=m 有4个互不相等的实数根。

变式：不等式x -4x +5>m 对x ∈R 恒成立，求m 的取值范围。

⎧1

课堂练习： 2．画出函数f (x ) =⎨x 的图象。

⎪x ，　(x ≥1) ⎩

（二）复习总结

基础习题练习：

1．说出下列函数的定义域与值域： y =2．已知f (x ) =

1x -

83x +5

； y =x 2-4x +3； y =

1x -4x +3

；

，求f ， f (f (3))， f (f (x )) ；

⎧0(x

⎪

3．已知f (x ) =⎨π(x =0) ，

⎪x +1(x >0) ⎩

（１）作出f (x ) 的图象；

（２）求f (1),　f (-1), 　f (0),　f {f [f (-1)]}的值例题：

例１．已知函数f (x ) =4x+3，g(x)=x2, 求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]．

例2．求下列函数的定义域：

（１）y =

例３．若函数y =

（２）y =

x +2x -3

；

a 的取值范围．

（２）．一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？（３）．若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

巩固练习：

1．已知f (x ) =x2-x+3 ，求：f(x+1)， f(

) 的值；

．若f 1）的解析式； =x +求函数f (x ）3．设二次函数f (x ) 满足f (x +2) =f (2-x ) 且f (x ) =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f (x ) 的解析式．

４．已知函数f (x ) =

ax +ax -3

的定义域为Ｒ，求实数a 的取值范围．

第六讲：单调性与最大（小）值（一）

一、复习准备：

1. 引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？

2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律：

①随x 的增大，y 的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③函数图象是否具有某种对称性？

3. 画出函数f(x)= x＋2、f(x)= x2的图像。（小结描点法的步骤：列表→描点→连线）二、讲授新课：

1. 教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：

①根据f(x)＝3x ＋2、 f(x)＝x 2 (x>0)的图象进行讨论：

③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

④探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；→ 区间局部性、取值任意性

所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？ ⑦一次函数、二次函数、反比例函数的单调性

1、例题讲解

例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

例2：物理学中的玻意耳定律p =

k V

（k 为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积

V 增大时，压强p 如何变化？试用单调性定义证明.

例3．判断函数y =

三、巩固练习： 1. 求证f(x)＝x ＋

2x -1

在区间[2，6] 上的单调性

的(0,1)上是减函数，在[1,+∞]上是增函数。

2. 判断f(x)=|x|、y=x3的单调性并证明。

3. 讨论f(x)=x2－2x 的单调性。推广：二次函数的单调性

四、小结：

比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号。

判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1

第七讲：单调性与最大（小）值（二）

一、复习准备：

1. 指出函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a>0)的单调区间及单调性，并进行证明。

2. f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的最小值的情况是怎样的？ 3. 知识回顾：增函数、减函数的定义。二、讲授新课：

1. 教学函数最大（小）值的概念：

① 指出下列函数图象的最高点或最低点，→ 能体现函数值有什么特征？

→ 一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法） → 试举例说明方法.

2、例题讲解：例1．求函数y =

2x -1

在区间[2，6] 上的最大值和最小值．

例2

．求函数y =x +的最大值

探究：y =

3x -2

的图象与y =

的关系？

（解法一：单调法；解法二：换元法）

三、巩固练习：

1. 求下列函数的最大值和最小值：（1）y =3-2x -x 2, x ∈[-, ]；

2253

（2）y =|x +1|-|x -2|

3、

求函数y =2x +.

四、小结：

求函数最值的常用方法有：

（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值．

（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值．（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值．

第八讲：函数的奇偶性

一、复习准备：

1. 提问：什么叫增函数、减函数？

1. 教学奇函数、偶函数的概念： ①给出两组图象：f (x ) =x 、f (x ) =

、f (x ) =x 3；f (x ) =x 2、f (x ) =|x |.

发现各组图象的共同特征 → 探究函数解析式在函数值方面的特征

② 定义偶函数：一般地，对于函数f (x ) 定义域内的任意一个x ，都有f (-x ) =f (x ) ，那么函数f (x ) 叫偶函数（even function）.

例1．判断下列函数是否是偶函数．

（1）f (x ) =x

x ∈[-1, 2]

（2）f (x ) =

x -x x -1

例2．判断下列函数的奇偶性

（1）f (x ) =x 4 （2）f (x ) =x 5 （3）f (x ) =x +⎧12

x +1(x >0) ⎪⎪2

（5） g (x ) =⎨ （6）y =

1⎪-x 2-1(x

（4）f (x ) =

．

-x

x -1

4、教学奇偶性与单调性综合的问题：

①出示例：已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞) 上是减函数，问f(x)的(-∞,0) 上的单调性。

③变题：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上是减函数，试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性，并给出证明。

三、巩固练习：

1、判别下列函数的奇偶性： f(x)＝|x＋1|+|x－1| 、f(x)＝

、f(x)＝x ＋

、 f(x)＝

x 1+x

、f(x)＝x 2,x ∈[-2,3]

2. 设f(x)＝ax 7＋bx ＋5，已知f(－7) ＝－17, 求f(7)的值。

3. 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝

1x +1

，求f(x)、g(x)。

4. 已知函数f(x)，对任意实数x 、y ，都有f(x+y)＝f(x)＋f(y)，试判别f(x)的奇偶性。(特值代入)

5. 已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是函数，且最值是。

四、小结

第九讲：函数的基本性质运用

一、复习准备：

二、教学典型习例:

1. 函数性质综合题型：

①例1：作出函数y ＝x 2－2|x|－3的图像，指出单调区间和单调性。

分析作法：利用偶函数性质，先作y 轴右边的，再对称作。思考：y ＝|x2－2x －3|的图像的图像如何作？

②讨论推广：如何由f (x ) 的图象，得到f (|x |)、|f (x ) |的图象？

③出示例2：已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞) 上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0) 上也是增函数

分析证法 → 教师板演 → 变式训练

④讨论推广：奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？

（偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致）

2. 教学函数性质的应用： ①出示例：求函数f(x)＝x ＋

(x>0)的值域。

分析：单调性怎样？值域呢？→小结：应用单调性求值域。 → 探究：计算机作图与结论推广

分析：此题的数量关系是怎样的？函数呢？如何求函数的最大值？

小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题。

2. 基本练习题：

1、判别下列函数的奇偶性：y ＝+x ＋-x 、

⎧⎪-x +x (x >0) y ＝⎨

2⎪⎩x +x (x ≤0)

（变式训练：f(x)偶函数，当x>0时，f(x)=…. ，则x

2、求函数y ＝x

＋的值域。

3、判断函数y=

x +2x +1

单调区间并证明。

cx +d ax +b

（定义法、图象法；推广：

的单调性）

4、讨论y=-x 2在[-1,1]上的单调性。

三、巩固练习： 1. 求函数y=

x +c

为奇函数的时，a 、b 、c 所满足的条件。

2. 已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求函数值域。

3. f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，如何f(2－a) －f(a－3)

4. 求二次函数f(x)=x2－2ax ＋2在[2,4]上的最大值与最小值。

第十讲：指数与指数幂的运算

一. 指数函数模型应用背景：

实例1. 某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a 万，则x 年后人口数为多少万？

实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次（8次）

问题2. 生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t 年后体内碳14的含量P 与死亡时碳14的关系为P =()

t 5730

. 探究该式意义？

③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.

二. 根式的概念及运算：

② 定义n 次方根：一般地，若x n =a , 那么x 叫做a 的n 次方根.( n th root ), 其中

n >1, n ∈N

简记：例如：23=

③ 讨论：当n 为奇数时, n次方根情况如何？, 例如

: 记：x =

-3,

当n 为偶数时，正数的n 次方根情况？例如: (±3) 4=81, 81的4次方根就是±3,

记：强调：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即

. =0

④ 练习：b 4=a , 则a 的4； b 3=a , 则a 的3

⑤

radical ）, 这里n 叫做根指数（radical exponent）, a 叫做被开方数（radicand ）.

⑥

计算

2、

→ 探究：

n 、a 的意义及结果？（特殊到一般）

=a . 当n a

当n

=a ；

(a ≥0) ⎧a

=|a |=⎨

-a (a

例题讲解

求下列各式的值

(1)

(2)

)

(3)

)

(4)

巩固练习：

（推广：=

a ≥0）.

2、

；

3、求值化简：

三. 分数指数幂概念及运算性质: ① 引例：a >0

=? .

（a

=a =a

→

=? ；

(a )

=a 3 →

① 定义分数指数幂：

规定a

a >0, m , n ∈N , n >

1) ；a

m n

a n

a >0, m , n ∈N , n >1)

③ 练习：A.

(a >0, m , n ∈N *n >

B. 求值 27； 5； 6； a 2.

指数幂的运算性质：a >0, b >0, r , s ∈Q

a ·a =a

r r r +s

； (a ) =a ； (ab ) =a a ．

r s rs r r s

四、无理指数幂

无理数指数幂a (a >0, α是无理数) 是一个确定的实数．

巩固练习：

1、求值:27; 16

; () ; (

-3

2549

)

2、化简：(3a b )(-8a b ) ÷(-6a b ) ；(m n ) 16

n +1

3. 计算：

4. 若a 3=3,

12n +12

) ⋅()

的结果 n -2

a 10=384, 求a 3⋅[(

a 10a 3

) 7]

n -3

的值

第十一讲：指数函数及其性质

一. 指数函数模型思想及指数函数概念： ① 探究两个实例：

B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？

② 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？

③ 定义：一般地，函数y =a x (a >0, 且a ≠1) 叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .

④讨论：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？ → 举例：生活中其它指数模型？二. 指数函数的图象和性质：

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． ③ 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： y =() x ， y =2x

④ 探讨：函数y =2x 与y =() x 的图象有什么关系？如何由y =2x 的图象画出y =() x 的图

象？根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为3或1/3

等后？

⑤ 根据图象归纳：指数函数的性质

例题讲解

例1：已知指数函数f (x ) =a （a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求

f (0),f (1),f (-3) 的值.

例2：比较下列各题中的个值的大小

（1）1. 7

2. 5

与 1. 7

( 2 )0.8-0.1与0.8-0.2 ( 3 ) 1. 7

0. 3

与 0. 9

3. 1

例3：求下列函数的定义域：

（1）y =2x -4 （2）y =() |x |

三. 指数函数的应用模型：

(Ⅰ) 按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x 年后我国的人口将达到2000年的多少倍？

→ 变式：多少年后产值能达到120亿？

③ 小结指数函数增长模型：原有量N ，平均最长率p ，则经过时间x 后的总量y =？ →一般形式：

四. 指数形式的函数定义域、值域：

① 讨论：在[m ，n ]上，f (x ) =a x (a >0且a ≠1) 值域？

②例1. 求下列函数的定义域、值域：y =2+

1; y =

②例2.

求函数y =

例题讲解

例1求函数y =

2-12+1

x x

x y =0.4

x -1

讨论：求定义域如何列式？求值域先从那里开始研究？

的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.

例2截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？

x x

例3、已知函数y =9-2∙3+2, x ∈[1, 2]，求这个函数的值域

巩固练习：

1. 函数y =(a 2-3a +3) a x 是指数函数，则a 的值为.

2、比较大小：a =0.80.7, b =0.80.9, c =1.20.8；

-0.20-2.5

, 2.51.6. 1, 0.4, 2

() 52

-12

与（0.4）2 ；

（

与0.76-0.75

3、探究：在[m ，n ]上，f (x ) =a x (a >0且a ≠1) 值域？ 4、一片树林中现有木材30000m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材y m 3，写出x ，

y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m

第十二讲：对数与对数运算

一、复习准备：

1. 问题1（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？（得到：() 4＝？，() x ＝

0.125⇒x =?）

2. 问题2：假设2010年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产是2010年的2倍？（得到：(1+8%) x =2⇒x =? ）怎样求呢？

对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln → 认识：lg5 ; lg3.5； ln10； ln3

③ 讨论：指数与对数间的关系（a >0, a ≠1时，a x =N ⇔x =log a N ）

负数与零是否有对数？（原因：在指数式中 N > 0 ） log a 1=? ， log a a =? ④：对数公式a

log

，

l o g a a

1128

2. 指数式与对数式的互化：

①例1. 将下列指数式写成对数式：53=125 ；2-7=

；3a =27； 10-2=0.01

② 出示例2. 将下列对数式写成指数式：log 132=-5； lg0.001=-3； ln100=4.606

例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

（1）5=645 （2）2-6=

164

（3）() m =5.73

（4）log 116=-4 （5）log 100.01=-2 （6）log e 10=2.303

例2：求下列各式中x 的值

（1）log 64x =-

（2）log x 8=6 （3）lg 100=x （4）-ln e 2=x

3. 对数运算性质及推导：

① 引例：由a p a q =a p +q ，如何探讨log a MN 和log a M 、log a N

设log a M =p , log a N =q ，由对数的定义可得：M =a p ，N =a q ∴MN =a p a q =a p +q

∴log a MN =p +q ，即得log a MN =log a M + log a ② 探讨：根据上面的证明，能否得出以下式子？如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则

log a (MN)=log a M +log a N ; log a

M N

=log a M -log a N ； log a M =nlog a M (n ∈R ) n m

③ 讨论：自然语言如何叙述三条性质？性质的证明思路？ ④ 运用换底公式推导下列结论：log a b n =

log a b ；log a b =

1log b a

教学例题：

例3. 判断下列式子是否正确，（a ＞0且a ≠1，x ＞0且a ≠1，x ＞0，x ＞y ），

（1）log a x ⋅log a y =log a (x +y ) （2）log a x -log a y =log a (x -y )

x y

（3）log a =log a x ÷log a y （4）log a xy =log a x -log a y

（5）(loga x ) =n log a x （6）log a x =-log a

（7

log a x

例4：用log a x ，log a y ，log a z 表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.

xy z

（1）log a

（2

）log a

（3）log z (4⨯2) （4

）lg

巩固练习：

1．计算： log 927； log 3243

； 2．求a

log a b ⋅log b c ⋅log c N

；

log

(2(2-

；

的值(a,b,c∈R , 且不等于1，N ＞0）.

3lg 2=a , lg 3=b ，试用a 、b 表示log 512.

变式：已知lg ２＝0.3010，lg ３＝0.4771，求lg ６、lg12、

lg .

4计算：lg 14-2lg

5 设a 、b 、c 为正数，且3a =4b =6c ，求证：-

c 1

1a =12b

+lg 7-lg 18；

lg 243lg 9

；

lg lg 8-3lg 1.2

6求log

的值

第十三讲：对数函数及其性质

1. 对数函数的图象和性质：

① 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数y=loga x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ；函数的定义域是（0，+∞）

② 辨析：对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：y =2log 2x ，

而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 (a >0，y =log 5(5x ) 都不是对数函数，

且a ≠1) ．

③ 探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？

研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

④ 练习：同一坐标系中画出下列对数函数的图象 y =log 2x ；y =log 0.5x

⑤ 讨论：根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？

列表归纳：分类 → 图象 → 由图象观察（定义域、值域、单调性、定点）

引申：图象的分布规律？

教学例题

例1：求下列函数的定义域

（1）y =log a x 2 （2）y =log a (4-x ) （a ＞0且a ≠1）例2. 比较下列各组数中的两个值大小

（1）log 23.4,

log 28.5 （2）log 0.31.8,

log 0.32.7

2 函数模型思想及应用:

①例题：溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH 的计算公式pH =-lg[H +]，其中[H +]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.

（Ⅰ）分析溶液酸碱读与溶液中氢离子浓度之间的关系？（Ⅱ）纯净水[H +]=10-7摩尔/升，计算纯净水的酸碱度.

② 讨论：抽象出的函数模型？如何应用函数模型解决问题？ → 强调数学应用思想

3反函数的教学:

那么我们就说指数函数y =2x 与对数函数y =log

x .

x 互为反函数

④ 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数y =2x 及其反函数y =log 2x 图象，发现什么性质？

⑤ 分析：取y =2x 图象上的几个点，说出它们关于直线y =x 的对称点的坐标，并判断它们是否在y =log

x 的图象上，为什么？

⑥ 探究：如果P 0(x 0, y 0) 在函数y =2x 的图象上，那么P 0关于直线y =x 的对称点在函数y =log 2x 的图象上吗，为什么？

例题讲解

例3求下列函数的反函数

（1）y =5 （2）

y =log 0.5x

例4求函数log

(x -6x +17) 的定义域、值域和单调区间

巩固练习：

1求下列函数的定义域： y =log 0.2(-x -6) ； y =

2比较下列各题中两个数值的大小：

log 23和log 23.5； log 0.34和log 0.20.7；

log 0.71.6和log 0.71.8； log 23和log 32．

3 已知下列不等式，比较正数m 、n 的大小：

log 3m ＜log 3n ； log 0. 3m ＞log 0. 3n ； log a m ＞log a n (a ＞1)

探究：求定义域y =

y =

5己知函数f (x ) =a x -k 的图象过点（1，3）其反函数y =f 求f (x )的表达式.

-1

(x )的图象过（2，0）点，

第十四讲：幂函数

一、新课引入：

（1）边长为a 的正方形面积S =a 2，这里S 是a 的函数；

（2）面积为S 的正方形边长a =S 2，这里a 是S 的函数；

（3）边长为a 的立方体体积V =a 3，这里V 是a 的函数；

1、幂函数的图象与性质

① 给出定义：一般地，形如y =x α(a ∈R ) 的函数称为幂函数，其中α为常数.

② 练：判断在函数y =

, y =2x , y =x -x , y =1中，哪几个函数是幂函数？

③ 作出下列函数的图象：（1）y =x ；（2）y =x 2；（3）y =x 2；（4）y =x ；（5）y =x 3．

④观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律：

（Ⅰ）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（Ⅱ）α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0, +∞) 上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0

（Ⅲ）α

2、教学例题：例1

．证明幂函数f (x ) =

例2. 比较大小：(a +1)

1. 5

-1

[0,+∞]上是增函数

与a

1. 5

；(2+a 2)

与2

；1. 1

与0. 9

三、巩固练习：

1、论函数y =x 3的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．

2. 比较下列各题中幂值的大小：2. 3与2. 4；0. 31与0. 35；(2)

与(3)

基本初等函数复习

一、复习准备：

1. 提问：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质.

2. 求下列函数的定义域：y =82x -1；y =

⎛1⎫- ⎪

⎝2⎭

；y =log a (1-x ) 2(a >0, 且a ≠1)

3. 比较下列各组中两个值的大小：log 67与log

二、典型例题：

6；log 3π与log

0. 8；1. 01

2. 7

与1. 01

3. 5

例1：已知log 5427＝a ，54b ＝3，用a , b 表示log 10881的值

例2、

函数y =

例3、函数y =() x

-3x +2

的单调区间为

1+x

例4、已知函数f (x ) =log

1-x

(a >0且a ≠1) . 判断f (x ) 的奇偶性并予以证明.

（小结：掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，会用函数性质解决一些简单的应用问题. ）

三、巩固练习：

1. 函数y =log 3(-4x -5) 的定义域为 . ，值域为 .

2. 函数y =2-x

-3x +2

的单调区间为 .

3. 若点(2, ) 既在函数y =2ax +b 的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =______，

b =_______

4. 函数y =a x -2+1(a >0，且a ≠1) .

5. 计算0. 064

-13

⎛4⎫3- -⎪+(-2)⎝5⎭

[]

+16

-0. 75

+0. 012= .

6. 求下列函数的值域：

y =52-x

⎛1⎫

; y = ⎪

⎝3⎭

1-x

; y =

⎛1⎫

⎪-1 ; y =⎝2⎭

-2

高中数学必修一讲义

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