函数一致连续与非一致连续的判定
【摘要】 本文主要给出了判别函数在不同区间上一致连续和非一致连续的几种方法,
并举例说明了所给方法的有效性.
【关键词】 康托尔定理; 一致连续; 非一致连续; 判定
【中图分类号】： 【文献标识码】： 【文章编号】：
1 引言
函数一致连续性问题是数学分析课程中的一个重要理论，但教材中只给出一致连续的概念和简单判定函数在闭区间上一致连续的定理，而在实际应用中使用定义判定函数在某个区间上是否一致连续又极为复杂. 基于此，本文将给出判定函数在不同区间上一致连续与非一致连续的几个简单实用的方法, 并举例说明了所给方法的有效性.
2 关于函数一直连续与非一直连续的概念及康托尔定理
定义1 设f (x ) 是定义在区间I 上的函数. 若∀ε>0, ∃δ=δ(ε) >0, 使得∀x ', x ''∈I , 当x '-x ''
定义2 设f (x ) 是定义在区间I 上的函数. 若∃ε0>0, ∀δ>0, ∃x '，x ''∈I ，当
x '-x '
若f (x ) 在闭区间I 上连续且有定义，则f (x ) 在闭区间I 上一直连续。 3 函数在任意区间上的一致连续性判定
定理1 函数f (x ) 在(a , b ) 上一致连续的充要条件是f (x ) 在(a , b ) 上连续且f (a +0) 与f (b -0) 都存在.
证明 充分性. 构造辅助函数
⎧f (a +0), x =a ,
⎪
F (x ) =⎨f (x ), x ∈(a , b ),
⎪
x =b . ⎩f (b -0),
显然, F (x ) 在(a , b ) 上连续, 所以由Cantor 定理, F (x ) 在[a , b ]上一致连续. 所以F (x ) 在
(a , b ) 上一致连续, 即f (x ) 在(a , b ) 上一致连续.
必要性. f (x ) 在(a , b ) 内一直连续, 则对∀ε>0, ∃δ=δ(ε) >0，当∀x ', x '∈I 且x '-x '
时，有f (x ') -f (x '')
δ2
a
δ
2
，就有x '-x '≤x '-a +x ''-a
f (x ), 即f (a +0)存在，同理可得f (b +o )存在。 敛准则可知f (a +0)=lim +
x →a
推论1 函数f (x ) 在[a , b ) 上一致连续的充要条件是f (x ) 在[a , b ) 上连续且f (b -0)存在.
推论2 函数f (x ) 在(a , b ]上一致连续的充要条件是f (x ) 在(a , b ]上连续且f (a +0) 存在.
'}只定理 2 函数f (x )在区间I 上一致连续的充要条件是：对I 上任意二数列{x n },{x n
'→0，就有f (x n )-f (x n ')→0（当n →0时）要x n -x n 。
证明： （必要性） 因f (x )一致连续，所以任意ε>0，存在δ>0，当
x , x '∈I , x -x '
f (x )-f (x ')
'→0（当n →0时）但 x n -x n ，故对δ>0，存在N >0当n >N 时x -x '
从而由（1） f (x )-f (x ')
')→0 （当n →0时）即 f (x n )-f (x n 。
（充分性） 若f (x ) 在I 上非一致连续，则存在ε0>0，任意
1
>0，n
'
1
，但f (x n )-f (x 'n n )≥ε。 n
'→0，但f (x n )-f (x n ')≠0当n →∞时矛盾。 可见 x n -x n
即 f (x )在区间I 上一致连续。
定理3 函数f (x ) 在[a , +∞) 上一致连续的充分条件是f (x ) 在[a , +∞) 上连续且
()
f (+∞) 存在.
证明 因为f (+∞) =lim f (x ) 存在，所以由Cauchy 收敛准则，对于
x →+∞
∀ε>0, ∃X , ∀x 1, x 2∈[X +1, +∞) 时, 有f (x 1) -f (x 2)
一致连续. 又因为[a , X +1] [X +1, +∞) ≠∅, 从而可知f (x ) 在[a , +∞) 上一致连续.
推论3 函数f (x ) 在(a , +∞) 上一致连续的充分条件是f (x ) 在(a , +∞) 上连续且
f (a +o ) 与f (+∞) 都存在.
推论4 函数f (x ) 在(-∞, b ]上一致连续的充分条件是f (x ) 在(-∞, b ]上连续且
f (-∞) 存在.
推论5 函数f (x ) 在(-∞, b ) 上一致连续的充分条件是f (x ) 在(-∞, b ) 上连续且
f (b -o ) 和f (-∞) 都存在
定理4 函数f (x ) 在(-∞, +∞) 上一致连续的充分条件是f (x ) 在(-∞, +∞) 上连续且
f (-∞) 和f (+∞) 都存在，同时均有界。
证明 因为f (x ) 在(-∞, +∞) 上连续，所以f (x ) 在[0, +∞) 上连续. 又由于
f (+∞) 存
在，所以由定理2知f (x ) 在[0, +∞) 上一致连续. 同理由定理3可知，f (x ) 在(-∞,0]上一致连续. 因为(-∞, 0] [0,+∞) ≠∅. 从而可知 f (x ) 在(-∞, +∞) 上一致连续
定理 5 若对于定义在区间I 上的函数f (x ) 和g (x ) , ∃L >0, ∀x ', x ''∈I ,
有f (x ') -f (x '') ≤L g (x ') -g (x '') 成立, 而g (x ) 在I 上一致连续, 则f (x ) 在I 上也一致连续.
证明 对于任给ε>0，由于g (x ) 在I 上一致连续，所以∃δ>0, 使得对于∀x ', x ''∈I , 只要x '-x '
ε
L
成立. 故对于上述ε>0，结合已知条件有
f (x ') -f (x '') ≤L g (x ') -g (x '')
ε
=ε成立，从而可知f (x ) 在I 上一致连续. L
推论6 若函数f (x ) 在区间I 上满足下述Lipschitz 条件, 即∃L >0, ∀x ', x ''∈I , 有f (x ') -f (x '') ≤L x '-x ''成立, 则f (x ) 在X 上一致连续.
定理 6 设函数f (x ) 在区间I 上连续, 且满足f '(x ) 在I 上有界, 则f (x ) 在I 上一致
连续.
证明 对于任意(x , y ) ⊂I , 由Lagrange 中值定理知存在ξ∈(x , y ) , 使得
f '(ξ) =
f (y ) -f (x )
，又因为f '(x ) 在I 上有界, 所以存在M >0, 使得f '(ξ) ≤M , 即有
y -x
f (y ) -f (x )
≤M , 所以f (y ) -f (x ≤M y -x . 由(x , y ) 的任意性可知f (x ) 在I 上
y -x
满足Lipschitz 条件，所以由推论5可知, f (x ) 在I 上一致连续.
4 非一致连续的判定
关于f (x ) 在区间I 上非一致连续的判定方法，从函数的一致连续的充要条件中，可以得出其中的反问题，因此主要有以下几种： （1） 非一致连续的定义
（2） 函数f (x ) 在(a , b ) 上非一致连续的充要条件是f (x ) 在(a , b ) 上连续, f (a +0) 与f (b -0) 至少有一个不存在.
（3） 设函数f (x ) 在(a , b ],(或[a , b ) ) 连续, 则函数f (x ) 在(a , b ]，(或[a , b ) ) 非一致连续的充要条件是f (a +0) , （或f (b -0) ) 不存在.
+∞
（4） 设函数f (x ) 在区间[a , +∞) 上连续，若
⎰f (x ) dx 收敛, 且lim
a
x →+∞
f (x ) ≠0, 则函
数f (x ) 在区间[a , +∞) 上非一致连续.
证明 假设函数f (x ) 在区间[a , +∞) 上一致连续, 则对于任意ε>0, 存在δ>0, （不妨设δ≤ε）, 对于任意x ', x ''∈[a , +∞) , 且当x '-x ''≤δ时, f (x ') -f (x '')
+∞
ε
2
成立. 又因
为
⎰f (x ) dx 收敛, 故对上述的δ, 必存在M >0，当x ', x ''>M 时, 有|⎰
a
x ''
x ''
x ''
x ''
x '
δ2
, f (t ) dt |
∀x >M ，总存在x ', x ''使x ''≥x >x '>M 且x ''-x '=δ, 于是有
δ⋅f (x ) =
⎰f (x ) dt -⎰f (t ) dt +⎰f (t ) dt
x '
x '
x '
x ''x ''
≤
⎰
f (x ) -f (t ) +
x '
⎰f (t ) dt
x '
即f (x )
ε
2
⋅δ+
δ2
2
,
εδεε
+≤+=ε, 于是, ∀ε>0, ∃M >0, 当x >M 时, 有f (x )
x →+∞
x →+∞
lim f (x ) =0, 与lim f (x ) ≠0矛盾. 所以假设不成立, 从而f (x ) 在区间[a , +∞) 上非一
致连续.
5 应用举例
例1函数
⎧2n ⎡1⎤
n ⋅2x -(n -) ⎥, ⎪n ⎢2n ⎦⎣⎪
⎪2n ⎡1⎤f (x ) =⎨-n ⋅2⎢x -(n +n ) ⎥,
2n ⎦⎣⎪
⎪0, ⎪⎩
问：f (x ) 在[0,+∞) 上是否一致连续？
解 f (x ) 在[0,+∞) 上非一致连续.
1⎡⎤
x ∈⎢n -n , n ⎥,
2n ⎦⎣
1⎤⎡
x ∈⎢n , n +n ⎥,
2n ⎦⎣
x 为[0,+∞) 中的其他点.
显然, f (x ) 在[0,+∞) 上连续，且f (x ) ≥0, x ∈[0,+∞) . 且
⎰
n →+∞
n →+∞
+∞
a
f (x ) dx =∑n =1
∞
2n
=1,
收敛. 但lim f (n ) =lim n =+∞, 故lim f (n ) ≠0. 从而由定理8可知f (x ) 在[0,+∞) 上非
n →+∞
一致连续.
例2 证明函数f (x ) =x 2在[0,+∞) 上非一致连续，但是在[0，A]上一致连续（A 为任意有限正数）。
'x n ''n =1,2,3,......)
证明：取x n
'-x n '')==0 于是lim (
x n
n →∞
n →∞
')-f (n n '')=1，由此可知f (x )在[0,+∞) 上非一致连续； 但是lim f (x n
n →∞
22
当区间限制在[0，A]时，有x '-x ''=(x '+x '')(x '-x '')≤2A x '-x ''，
()
对于任意给定的ε>0，可以去δ=
ε
2A
>0，对任意x ', x ''∈[o , A ]，只要x '-x ''
22
就成立x '-x ''
参考文献
[1]华东师范大学数学系. 数学分析(第三版) 上册[M].北京:高等教育出版社,2006,3. [2]华中师范大学数学系. 数学分析(第三版) 上册[M].武汉:华中师范大学出版社,2006,8. [3]裴礼文. 数学分析中典型问题与方法(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2004,5. [4]吉米多维奇数学分析习题集题解(第二版)[M].山东科学技术出版社1999,11. [5] 范新华. 判别函数一致连续的几种方法[J].常州工学院学报, 2004,(04) .
The Determine on Uniformly continuous and Non-uniformly continuous
of Function
Abstract ：The paper shows several methods to determine the uniformly continuous and non-uniformly continuous of function in different intervals and explains the effective of these methods.
Key words：Cantor Theorem；Uniformly continuous； Non-uniformly continuous；
Determine
E-mail ： [email protected] 电话：[1**********]
函数一致连续与非一致连续的判定
【摘要】 本文主要给出了判别函数在不同区间上一致连续和非一致连续的几种方法,
并举例说明了所给方法的有效性.
【关键词】 康托尔定理; 一致连续; 非一致连续; 判定
【中图分类号】： 【文献标识码】： 【文章编号】：
1 引言
函数一致连续性问题是数学分析课程中的一个重要理论，但教材中只给出一致连续的概念和简单判定函数在闭区间上一致连续的定理，而在实际应用中使用定义判定函数在某个区间上是否一致连续又极为复杂. 基于此，本文将给出判定函数在不同区间上一致连续与非一致连续的几个简单实用的方法, 并举例说明了所给方法的有效性.
2 关于函数一直连续与非一直连续的概念及康托尔定理
定义1 设f (x ) 是定义在区间I 上的函数. 若∀ε>0, ∃δ=δ(ε) >0, 使得∀x ', x ''∈I , 当x '-x ''
定义2 设f (x ) 是定义在区间I 上的函数. 若∃ε0>0, ∀δ>0, ∃x '，x ''∈I ，当
x '-x '
若f (x ) 在闭区间I 上连续且有定义，则f (x ) 在闭区间I 上一直连续。 3 函数在任意区间上的一致连续性判定
定理1 函数f (x ) 在(a , b ) 上一致连续的充要条件是f (x ) 在(a , b ) 上连续且f (a +0) 与f (b -0) 都存在.
证明 充分性. 构造辅助函数
⎧f (a +0), x =a ,
⎪
F (x ) =⎨f (x ), x ∈(a , b ),
⎪
x =b . ⎩f (b -0),
显然, F (x ) 在(a , b ) 上连续, 所以由Cantor 定理, F (x ) 在[a , b ]上一致连续. 所以F (x ) 在
(a , b ) 上一致连续, 即f (x ) 在(a , b ) 上一致连续.
必要性. f (x ) 在(a , b ) 内一直连续, 则对∀ε>0, ∃δ=δ(ε) >0，当∀x ', x '∈I 且x '-x '
时，有f (x ') -f (x '')
δ2
a
δ
2
，就有x '-x '≤x '-a +x ''-a
f (x ), 即f (a +0)存在，同理可得f (b +o )存在。 敛准则可知f (a +0)=lim +
x →a
推论1 函数f (x ) 在[a , b ) 上一致连续的充要条件是f (x ) 在[a , b ) 上连续且f (b -0)存在.
推论2 函数f (x ) 在(a , b ]上一致连续的充要条件是f (x ) 在(a , b ]上连续且f (a +0) 存在.
'}只定理 2 函数f (x )在区间I 上一致连续的充要条件是：对I 上任意二数列{x n },{x n
'→0，就有f (x n )-f (x n ')→0（当n →0时）要x n -x n 。
证明： （必要性） 因f (x )一致连续，所以任意ε>0，存在δ>0，当
x , x '∈I , x -x '
f (x )-f (x ')
'→0（当n →0时）但 x n -x n ，故对δ>0，存在N >0当n >N 时x -x '
从而由（1） f (x )-f (x ')
')→0 （当n →0时）即 f (x n )-f (x n 。
（充分性） 若f (x ) 在I 上非一致连续，则存在ε0>0，任意
1
>0，n
'
1
，但f (x n )-f (x 'n n )≥ε。 n
'→0，但f (x n )-f (x n ')≠0当n →∞时矛盾。 可见 x n -x n
即 f (x )在区间I 上一致连续。
定理3 函数f (x ) 在[a , +∞) 上一致连续的充分条件是f (x ) 在[a , +∞) 上连续且
()
f (+∞) 存在.
证明 因为f (+∞) =lim f (x ) 存在，所以由Cauchy 收敛准则，对于
x →+∞
∀ε>0, ∃X , ∀x 1, x 2∈[X +1, +∞) 时, 有f (x 1) -f (x 2)
一致连续. 又因为[a , X +1] [X +1, +∞) ≠∅, 从而可知f (x ) 在[a , +∞) 上一致连续.
推论3 函数f (x ) 在(a , +∞) 上一致连续的充分条件是f (x ) 在(a , +∞) 上连续且
f (a +o ) 与f (+∞) 都存在.
推论4 函数f (x ) 在(-∞, b ]上一致连续的充分条件是f (x ) 在(-∞, b ]上连续且
f (-∞) 存在.
推论5 函数f (x ) 在(-∞, b ) 上一致连续的充分条件是f (x ) 在(-∞, b ) 上连续且
f (b -o ) 和f (-∞) 都存在
定理4 函数f (x ) 在(-∞, +∞) 上一致连续的充分条件是f (x ) 在(-∞, +∞) 上连续且
f (-∞) 和f (+∞) 都存在，同时均有界。
证明 因为f (x ) 在(-∞, +∞) 上连续，所以f (x ) 在[0, +∞) 上连续. 又由于
f (+∞) 存
在，所以由定理2知f (x ) 在[0, +∞) 上一致连续. 同理由定理3可知，f (x ) 在(-∞,0]上一致连续. 因为(-∞, 0] [0,+∞) ≠∅. 从而可知 f (x ) 在(-∞, +∞) 上一致连续
定理 5 若对于定义在区间I 上的函数f (x ) 和g (x ) , ∃L >0, ∀x ', x ''∈I ,
有f (x ') -f (x '') ≤L g (x ') -g (x '') 成立, 而g (x ) 在I 上一致连续, 则f (x ) 在I 上也一致连续.
证明 对于任给ε>0，由于g (x ) 在I 上一致连续，所以∃δ>0, 使得对于∀x ', x ''∈I , 只要x '-x '
ε
L
成立. 故对于上述ε>0，结合已知条件有
f (x ') -f (x '') ≤L g (x ') -g (x '')
ε
=ε成立，从而可知f (x ) 在I 上一致连续. L
推论6 若函数f (x ) 在区间I 上满足下述Lipschitz 条件, 即∃L >0, ∀x ', x ''∈I , 有f (x ') -f (x '') ≤L x '-x ''成立, 则f (x ) 在X 上一致连续.
定理 6 设函数f (x ) 在区间I 上连续, 且满足f '(x ) 在I 上有界, 则f (x ) 在I 上一致
连续.
证明 对于任意(x , y ) ⊂I , 由Lagrange 中值定理知存在ξ∈(x , y ) , 使得
f '(ξ) =
f (y ) -f (x )
，又因为f '(x ) 在I 上有界, 所以存在M >0, 使得f '(ξ) ≤M , 即有
y -x
f (y ) -f (x )
≤M , 所以f (y ) -f (x ≤M y -x . 由(x , y ) 的任意性可知f (x ) 在I 上
y -x
满足Lipschitz 条件，所以由推论5可知, f (x ) 在I 上一致连续.
4 非一致连续的判定
关于f (x ) 在区间I 上非一致连续的判定方法，从函数的一致连续的充要条件中，可以得出其中的反问题，因此主要有以下几种： （1） 非一致连续的定义
（2） 函数f (x ) 在(a , b ) 上非一致连续的充要条件是f (x ) 在(a , b ) 上连续, f (a +0) 与f (b -0) 至少有一个不存在.
（3） 设函数f (x ) 在(a , b ],(或[a , b ) ) 连续, 则函数f (x ) 在(a , b ]，(或[a , b ) ) 非一致连续的充要条件是f (a +0) , （或f (b -0) ) 不存在.
+∞
（4） 设函数f (x ) 在区间[a , +∞) 上连续，若
⎰f (x ) dx 收敛, 且lim
a
x →+∞
f (x ) ≠0, 则函
数f (x ) 在区间[a , +∞) 上非一致连续.
证明 假设函数f (x ) 在区间[a , +∞) 上一致连续, 则对于任意ε>0, 存在δ>0, （不妨设δ≤ε）, 对于任意x ', x ''∈[a , +∞) , 且当x '-x ''≤δ时, f (x ') -f (x '')
+∞
ε
2
成立. 又因
为
⎰f (x ) dx 收敛, 故对上述的δ, 必存在M >0，当x ', x ''>M 时, 有|⎰
a
x ''
x ''
x ''
x ''
x '
δ2
, f (t ) dt |
∀x >M ，总存在x ', x ''使x ''≥x >x '>M 且x ''-x '=δ, 于是有
δ⋅f (x ) =
⎰f (x ) dt -⎰f (t ) dt +⎰f (t ) dt
x '
x '
x '
x ''x ''
≤
⎰
f (x ) -f (t ) +
x '
⎰f (t ) dt
x '
即f (x )
ε
2
⋅δ+
δ2
2
,
εδεε
+≤+=ε, 于是, ∀ε>0, ∃M >0, 当x >M 时, 有f (x )
x →+∞
x →+∞
lim f (x ) =0, 与lim f (x ) ≠0矛盾. 所以假设不成立, 从而f (x ) 在区间[a , +∞) 上非一
致连续.
5 应用举例
例1函数
⎧2n ⎡1⎤
n ⋅2x -(n -) ⎥, ⎪n ⎢2n ⎦⎣⎪
⎪2n ⎡1⎤f (x ) =⎨-n ⋅2⎢x -(n +n ) ⎥,
2n ⎦⎣⎪
⎪0, ⎪⎩
问：f (x ) 在[0,+∞) 上是否一致连续？
解 f (x ) 在[0,+∞) 上非一致连续.
1⎡⎤
x ∈⎢n -n , n ⎥,
2n ⎦⎣
1⎤⎡
x ∈⎢n , n +n ⎥,
2n ⎦⎣
x 为[0,+∞) 中的其他点.
显然, f (x ) 在[0,+∞) 上连续，且f (x ) ≥0, x ∈[0,+∞) . 且
⎰
n →+∞
n →+∞
+∞
a
f (x ) dx =∑n =1
∞
2n
=1,
收敛. 但lim f (n ) =lim n =+∞, 故lim f (n ) ≠0. 从而由定理8可知f (x ) 在[0,+∞) 上非
n →+∞
一致连续.
例2 证明函数f (x ) =x 2在[0,+∞) 上非一致连续，但是在[0，A]上一致连续（A 为任意有限正数）。
'x n ''n =1,2,3,......)
证明：取x n
'-x n '')==0 于是lim (
x n
n →∞
n →∞
')-f (n n '')=1，由此可知f (x )在[0,+∞) 上非一致连续； 但是lim f (x n
n →∞
22
当区间限制在[0，A]时，有x '-x ''=(x '+x '')(x '-x '')≤2A x '-x ''，
()
对于任意给定的ε>0，可以去δ=
ε
2A
>0，对任意x ', x ''∈[o , A ]，只要x '-x ''
22
就成立x '-x ''
参考文献
[1]华东师范大学数学系. 数学分析(第三版) 上册[M].北京:高等教育出版社,2006,3. [2]华中师范大学数学系. 数学分析(第三版) 上册[M].武汉:华中师范大学出版社,2006,8. [3]裴礼文. 数学分析中典型问题与方法(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2004,5. [4]吉米多维奇数学分析习题集题解(第二版)[M].山东科学技术出版社1999,11. [5] 范新华. 判别函数一致连续的几种方法[J].常州工学院学报, 2004,(04) .
The Determine on Uniformly continuous and Non-uniformly continuous
of Function
Abstract ：The paper shows several methods to determine the uniformly continuous and non-uniformly continuous of function in different intervals and explains the effective of these methods.
Key words：Cantor Theorem；Uniformly continuous； Non-uniformly continuous；
Determine
E-mail ： [email protected] 电话：[1**********]