高中数学函数知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
如：集合A ={x |y =lg x }，B ={y |y =lg x }，C ={(x , y ) |y =lg x }，A 、B 、C
中元素各表示什么？
A 表示函数y=lgx的定义域，B 表示的是值域，而C 表示的却是函数上的点的轨迹
2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
如：集合A =x |x 2-2x -3=0，B ={x |ax =1}
{}
若B ⊂A ，则实数a 的值构成的集合为
1⎫⎧
（答：⎨-1，0，⎬）
3⎭⎩
显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。
3. 注意下列性质：
（1）集合{a 1，a 2，„„，a n }的所有子集的个数是2n ；
要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a3, „„a n , 都有2种选择，所以，总共有2种选择， 即集合A 有2个子集。 当然，我们也要注意到，这2种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2
n
n
n
n
-1，非空真子集个数为2n -2
（2）若A ⊆B ⇔A B =A ，A B =B ；
（3）德摩根定律：
C U (A B )=(C U A ) (C U B )，C U (A B )=(C U A ) (C U B )
有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
如：已知关于x 的不等式
的取值范围。
ax -5
（∵3∈M ，∴
a ·3-5
32-a a ·5-5
≥0
5-a
5⎫⎡
⇒a ∈⎢1，⎪ (9，25)）
3⎭⎣
∵5∉M ，∴
注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在(-∞,1) 上单调递减，在(1,+∞) 上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到m ，n 实际上就是方程 的2个根 5、熟悉命题的几种形式、
可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(∨) ，“且”(∧) 和“非”(⌝).
若p ∧q 为真，当且仅当p 、q 均为真
若p ∨q 为真，当且仅当p 、q 至少有一个为真 若⌝p 为真，当且仅当p 为假
命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。）
注意映射个数的求法。如集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 的映射个数有n m 个。
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 函数定义域求法： ● ● ● ● ●
分式中的分母不为零；
偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一；
对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 正切函数
π⎛⎫
y =tan x x ∈R , 且x ≠k π+, k ∈Z⎪
2⎝⎭
y =cot x (x ∈R , 且x ≠k π, k ∈Z)
● ●
余切函数
反三角函数的定义域
函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，
值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是R ，值域是 (0, π) .
. ，函数y ＝arcctgx 的定义域是
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域？
复合函数定义域的求法：已知
y =f (x ) 的定义域为[m , n ]，求y =f [g (x ) ]的定义域，可由
m ≤g (x ) ≤n 解出x 的范围，即为y =f [g (x ) ]的定义域。
例 若函数
⎡1⎤
y =f (x ) 的定义域为⎢, 2⎥，则f (log2x ) 的定义域为。
⎣2⎦1⎡1⎤
y =f (x ) 的定义域为⎢, 2⎥可知：≤x ≤2；所以y =f (log2x ) 中
2⎣2⎦
分析：由函数
有
1
≤log 2x ≤2。 2
解：依题意知：
1
≤log 2x ≤2 2
解之，得 ∴
11、函数值域的求法
1、直接观察法
2≤x ≤4
f (log2x ) 的定义域为x |2≤x ≤4
{}
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数y=2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。 3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂
2
1x
的值域
b
型：直接用不等式性质
k+x2
bx
b. y=2型, 先化简，再用均值不等式
x +mx +n
x 11
例：y ==≤2
121+x
x+
x
2
x +m 'x +n '
c .. y=型 通常用判别式
x 2+mx +n x 2+mx +n
d. y=型
x +n
法一：用判别式a . y=
法二：用换元法，把分母替换掉
2
x 2+x +1（x+1）-（x+1）+1 1
例：y ===（x+1）+-1≥2-1=1
x +1x +1x +1
4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 求函数y=
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
3x +4
值域。
5x +6
e x -12sin θ-12sin θ-1
例 求函数y=x ，y =，y =的值域。
1+sin θ1+cos θe +1
e x -11+y x
⇒e =>0
1-y e x +1
2sin θ-11+y y =⇒|sin θ|=||≤1,
1+sin θ2-y 2sin θ-1y =⇒2sin θ-1=y (1+cos θ)
1+cos θ
2sin θ-y cos θ=1+y y =
θ+x ) =1+y , 即sin(θ+x ) =又由sin(θ+x ) ≤1
≤1
解不等式，求出y ，就是要求的答案
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
2
x -5
+log 3
x -1（2≤x ≤10）的值域
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例求函数y=
(x -2)
2
+
(x +8)
2
的值域。
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣
x 2(3-2x)(0
x +x+3-2x3
=x⋅x ⋅(3-2x)≤() =1
3
a +b +c 3
(应用公式abc ≤() 时，应注意使3者之和变成常数）
3
上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），B （-8）间的距离之和。 由上图可知：当点P 在线段AB 上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB ∣=10
当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB ∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞） 例求函数y=
x
2
-6x +13+
x
2
+4x +5的值域
解：原函数可变形为：y=
(x -3)
2
+(0-2)
2
+
(x +2)
2
+(0+1)
2
上式可看成x 轴上的点P （x ，0）到两定点A （3，2），B （-2，-1）的距离之和， 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，y min =∣AB ∣=故所求函数的值域为[
。 43，+∞）
3+2) +(2+1)
22
=
，
注：求两距离之和时，要将函数 9 、不等式法
利用基本不等式a+b≥2c ∈
ab ，a+b+c≥33abc （a ，b ，
2
(x >
0) x 积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到11 拆项、添项和两边平方等技巧。
=x2++≥=3
x x 例：
x 2+
(应用公式a+b+c≥3者的乘积变成常数）
R
+
），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求
倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例 求函数y=
x +2
的值域
x +3
≥2⇒0
12
x +2≠0时，1==y x +2=0时，y =0y =∴0≤y ≤
12
多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不
要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂
如：f
(
x +1=e x +x ，求f (x ).
)
令t =x +1，则t ≥0
∴x =t 2-1
∴f (t ) =e t
2
-1
+t 2-1
+x 2-1(x ≥0)
∴f (x ) =e x
2
-1
13. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域）
⎧⎪1+x
如：求函数f (x ) =⎨2
⎪⎩-x
(x ≥0)
的反函数
(x
⎧⎪x -1
（答：f -1(x ) =⎨
⎪⎩--x
(x >1)
）
(x
在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：
(2004.全国理) 函数
A ．y=x 2－2x +2(x
y =x -1+1(x ≥1) 的反函数是（ B ）
B ．y=x 2－2x +2(x ≥1) D ．y=x 2－2x (x ≥1)
原函数定义域为 x 〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D. 现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B. 14. 反函数的性质有哪些？ 反函数性质： 1、 2、 3、 对称
①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y ） 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x ） 反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y ）和点（y ，x ）关于直线y=x
高中数学函数知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
如：集合A ={x |y =lg x }，B ={y |y =lg x }，C ={(x , y ) |y =lg x }，A 、B 、C
中元素各表示什么？
A 表示函数y=lgx的定义域，B 表示的是值域，而C 表示的却是函数上的点的轨迹
2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
如：集合A =x |x 2-2x -3=0，B ={x |ax =1}
{}
若B ⊂A ，则实数a 的值构成的集合为
1⎫⎧
（答：⎨-1，0，⎬）
3⎭⎩
显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。
3. 注意下列性质：
（1）集合{a 1，a 2，„„，a n }的所有子集的个数是2n ；
要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a3, „„a n , 都有2种选择，所以，总共有2种选择， 即集合A 有2个子集。 当然，我们也要注意到，这2种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2
n
n
n
n
-1，非空真子集个数为2n -2
（2）若A ⊆B ⇔A B =A ，A B =B ；
（3）德摩根定律：
C U (A B )=(C U A ) (C U B )，C U (A B )=(C U A ) (C U B )
有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
如：已知关于x 的不等式
的取值范围。
ax -5
（∵3∈M ，∴
a ·3-5
32-a a ·5-5
≥0
5-a
5⎫⎡
⇒a ∈⎢1，⎪ (9，25)）
3⎭⎣
∵5∉M ，∴
注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在(-∞,1) 上单调递减，在(1,+∞) 上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到m ，n 实际上就是方程 的2个根 5、熟悉命题的几种形式、
可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(∨) ，“且”(∧) 和“非”(⌝).
若p ∧q 为真，当且仅当p 、q 均为真
若p ∨q 为真，当且仅当p 、q 至少有一个为真 若⌝p 为真，当且仅当p 为假
命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。）
注意映射个数的求法。如集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 的映射个数有n m 个。
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 函数定义域求法： ● ● ● ● ●
分式中的分母不为零；
偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一；
对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 正切函数
π⎛⎫
y =tan x x ∈R , 且x ≠k π+, k ∈Z⎪
2⎝⎭
y =cot x (x ∈R , 且x ≠k π, k ∈Z)
● ●
余切函数
反三角函数的定义域
函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，
值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是R ，值域是 (0, π) .
. ，函数y ＝arcctgx 的定义域是
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域？
复合函数定义域的求法：已知
y =f (x ) 的定义域为[m , n ]，求y =f [g (x ) ]的定义域，可由
m ≤g (x ) ≤n 解出x 的范围，即为y =f [g (x ) ]的定义域。
例 若函数
⎡1⎤
y =f (x ) 的定义域为⎢, 2⎥，则f (log2x ) 的定义域为。
⎣2⎦1⎡1⎤
y =f (x ) 的定义域为⎢, 2⎥可知：≤x ≤2；所以y =f (log2x ) 中
2⎣2⎦
分析：由函数
有
1
≤log 2x ≤2。 2
解：依题意知：
1
≤log 2x ≤2 2
解之，得 ∴
11、函数值域的求法
1、直接观察法
2≤x ≤4
f (log2x ) 的定义域为x |2≤x ≤4
{}
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数y=2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。 3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂
2
1x
的值域
b
型：直接用不等式性质
k+x2
bx
b. y=2型, 先化简，再用均值不等式
x +mx +n
x 11
例：y ==≤2
121+x
x+
x
2
x +m 'x +n '
c .. y=型 通常用判别式
x 2+mx +n x 2+mx +n
d. y=型
x +n
法一：用判别式a . y=
法二：用换元法，把分母替换掉
2
x 2+x +1（x+1）-（x+1）+1 1
例：y ===（x+1）+-1≥2-1=1
x +1x +1x +1
4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 求函数y=
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
3x +4
值域。
5x +6
e x -12sin θ-12sin θ-1
例 求函数y=x ，y =，y =的值域。
1+sin θ1+cos θe +1
e x -11+y x
⇒e =>0
1-y e x +1
2sin θ-11+y y =⇒|sin θ|=||≤1,
1+sin θ2-y 2sin θ-1y =⇒2sin θ-1=y (1+cos θ)
1+cos θ
2sin θ-y cos θ=1+y y =
θ+x ) =1+y , 即sin(θ+x ) =又由sin(θ+x ) ≤1
≤1
解不等式，求出y ，就是要求的答案
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
2
x -5
+log 3
x -1（2≤x ≤10）的值域
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例求函数y=
(x -2)
2
+
(x +8)
2
的值域。
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣
x 2(3-2x)(0
x +x+3-2x3
=x⋅x ⋅(3-2x)≤() =1
3
a +b +c 3
(应用公式abc ≤() 时，应注意使3者之和变成常数）
3
上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），B （-8）间的距离之和。 由上图可知：当点P 在线段AB 上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB ∣=10
当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB ∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞） 例求函数y=
x
2
-6x +13+
x
2
+4x +5的值域
解：原函数可变形为：y=
(x -3)
2
+(0-2)
2
+
(x +2)
2
+(0+1)
2
上式可看成x 轴上的点P （x ，0）到两定点A （3，2），B （-2，-1）的距离之和， 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，y min =∣AB ∣=故所求函数的值域为[
。 43，+∞）
3+2) +(2+1)
22
=
，
注：求两距离之和时，要将函数 9 、不等式法
利用基本不等式a+b≥2c ∈
ab ，a+b+c≥33abc （a ，b ，
2
(x >
0) x 积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到11 拆项、添项和两边平方等技巧。
=x2++≥=3
x x 例：
x 2+
(应用公式a+b+c≥3者的乘积变成常数）
R
+
），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求
倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例 求函数y=
x +2
的值域
x +3
≥2⇒0
12
x +2≠0时，1==y x +2=0时，y =0y =∴0≤y ≤
12
多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不
要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂
如：f
(
x +1=e x +x ，求f (x ).
)
令t =x +1，则t ≥0
∴x =t 2-1
∴f (t ) =e t
2
-1
+t 2-1
+x 2-1(x ≥0)
∴f (x ) =e x
2
-1
13. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域）
⎧⎪1+x
如：求函数f (x ) =⎨2
⎪⎩-x
(x ≥0)
的反函数
(x
⎧⎪x -1
（答：f -1(x ) =⎨
⎪⎩--x
(x >1)
）
(x
在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：
(2004.全国理) 函数
A ．y=x 2－2x +2(x
y =x -1+1(x ≥1) 的反函数是（ B ）
B ．y=x 2－2x +2(x ≥1) D ．y=x 2－2x (x ≥1)
原函数定义域为 x 〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D. 现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B. 14. 反函数的性质有哪些？ 反函数性质： 1、 2、 3、 对称
①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y ） 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x ） 反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y ）和点（y ，x ）关于直线y=x