一、实验目的
1． 掌握F-P 标准具、F-P 扫描干涉仪的原理和使用方法
2． 掌握He-Ne 激光器横模模式的观察和测量
3． 掌握多光束干涉法测量激光线宽的原理及方法
4． 掌握用腔内损耗法测量激光参数的原理和方法
5． 根据自动测试系统测得的曲线，取适当的数据，编写程序，利用计算机进行计算
6． 通过对激光器增益等参数的测量，对激光器的工作过程有进一步的了解
二、实验原理
1．激光横模的观察和测量
为了简单起见，我们只讨论基模，即TEM 00模，这个基模的光斑形状为图1
所示。
图1
A 0x 2+y 2
这个模的电矢量E 的振幅为：A (x , y , z ) =exp(-2) w (z ) w (z )
这种光场分布是高斯光束，所以成这样的光束为高斯光束。如果记ρ=x +y 222
A 0ρ2
则A (ρ, z ) =exp(-2) w (z ) w (z )
当ρ=0，z=0时（即束腰的中心），电矢量振幅A 得知最大，为A (0, 0) =A 0/w 0 而当ρ0=w0
通常将电矢量振幅降到中心值的1/e处时的径向距离称为光斑半径，用w(z)表示，w(z)作为光斑大小的量度，w 0为z=0处的光斑半径，通常称之为激光光束的腰粗。
在实际测量中，都是测量光强，因为光强与电矢量振幅之间的关系为：I αA
所以激光束的横向光强分布为: 2
A 022ρ22ρ2
I (ρ, z ) =A (ρ, z ) =[]exp(-2) =I 0(z ) exp(-2) w (z ) w (z ) w (z ) 2
当ρ=0时，I(0,z)=I0(z)可以测出谐振腔轴上（即光斑中心）的光强随着光束不同位置时的值。
2ρ2
当z 值固定时，I (ρ, z ) =I 0(z ) exp(-2) w (z )
这样可以测出，随着径向不同位置ρ时的光强值。光强随ρ而改变的关系由纪录仪直接给出，如图2。
图2
由光强的高斯分布曲线（图2）可以找出光强下降到光斑中心光强的1/e2处位置，这点离光斑中心的距离就为该处的光斑半径w(z)。可以由w(z)与束腰w 0之间的关系式求得w 0，其关系式为w (z ) =w 0[1+(λz 21/2) ] 2πw 0
激光光束尽管方向性很好，但也不是理想的平行束，而具有一定的发散角。根据发散角定义：2θ=2dw (z ) dz
将(4)式代入(5).，并当z=∞时，可以求出2θ=2λ πw 0
此为远场发射角的表达式。可以通过求得得w 0来计算。
也可以测出不同z 之间光束的发散角，测量方法为：分别测出z 1、z 2两处的光斑半径w(z1) 、w(z2) ，那么可以直接标出光束的发散角，如图3。
图3
tg (2θ) =2w (z 2) -w (z 1) z 2-z 1
w (z 2) -w (z 1) ] z 2-z 1则2θ=tg [2-1
激光的横模测量原理：由马达驱动的前面开小孔的硅光电池沿光束径向逐点扫描，测得不同ρ处的光强，将硅光电池的信号输入计算机，得到光强沿径向的分布曲线。如图4。
图4
2．激光线宽的测量
激光器输出的光束具有单色性、高亮度、高方向性和高相干性的特点，正是由于它的高相干性，使之在测量、全息的技术中得到广泛的应用。但是，虽然激光的单色性很好，她仍无可避免的存在着一定的线宽。理论计算表明，单纵模激光器的线宽极限为：
2π(∆νc ) 2h νN 2 ∆ν=⋅N 2-N 1P out
其中：N 2, N 1分别是激光上下能级的粒子数密度，Δνc 是无源谐振腔的线宽。这是激光线宽的极限值，数量级一般为10-3赫。实际上，由于各种因素所引起的纵模频率漂移，以及各种因素引起的谱线增宽，使得激光线宽远远大于这一量值。激光线宽是表征激光特征的一个重要的参数，它反映激光辐射的单色性和相干性。由于应用上的需要，测量激光线宽成了激光参数测量中的重要课题。由于各种激光器输出特性以及线宽数量级各不相同，因而可采取不同的线宽测量方法：线宽较窄时，利用多光束干涉法测量，并根据激光输出谱线的波长及是否为脉冲输出，采取不同的记录方法或探测方法：对于数量级在兆赫以下的谱线宽度，可以用拍频和外差技术测量。本实验是利用多光束干涉法测量He-Ne 激光线宽的。
实验装置如图7所示：
图7
图1L 1位发散透镜，L 2为长焦距会聚透镜。
由He-Ne 激光器输出的激光束经发散透镜发散后均匀地照在F-P 标准具上，由于F-P 标准具两个镀膜平面是平行的，且此时所用的光源为扩展光源，所以，将产生等倾干涉。
由物理光学知：光通过标准具后出现亮条纹（相干加强）的条件是：2nL cos θ=m λ 式中n 为F-P 标准具的折射率，L 为F-P 标准具的间隔，θ为在两镀膜平面间反射光与平面法线的夹角，m 为干涉级次。
有F-P 产生多光束干涉后经会聚透镜会聚，在其焦平面上得到一组同心干涉环，将卸下镜头的照相机感光底片置于焦平面位置进行照相，便可得到干涉环的照片。
由（2）是可以看出：在同一干涉级次，不同的λ，就对应于不同的θ角，因而，当入射光具有线宽Δλ时，对同一级干涉环，θ有一变化范围Δθ，从而在感光底片上得到的干
涉环半径也有一个变化范围Δr 。
对（2）式两边微分得：-2nd sin θd θ=md λ
d λ=-2nd sin θd θλsin θ=-d θ=-λtg θd θ m cos θ
即∆λ=λtg θ∆θ
如图8所示
图8
d 1，d 2分别为第m 级干涉条纹内外直径，在近中心处：d 1/2
则∆θ=(d 1/2) 2+f
tg θ=d 1/2d 1 =f 2f 2≈d 2-d 1 2f
2d 1d 2-d 1(d 1+d 2) ⋅(d 2-d 1) d 2-d 12将（4）(5)代入（3）式得∆λ=λ⋅ ⋅≈λ⋅=λ⋅2f 2f 8f 28f 2
根据式(6):测量底片上近中心条纹的同级干涉环内外直径d 1，d 2并根据测得的长焦距透镜焦距，就可计算出激光的线宽。
实验系统布局图
由实验系统布局图9可以看出，激光纵横模及线宽测量实验系统由（1）（2）（3）三支光路组成。其中，（1）为激光线宽测量实验，它由He-Ne 激光器、扩束镜、透镜L1、F-P 、透镜L2、光屏及摄像头组成。（2）为激光纵模测量实验，它由He-Ne 激光器、全反镜R1,R2、锯齿波发生器、共焦球面扫描干涉仪、光电接收器及示波器组成。（3）为激光横模测量实验，它由He-Ne 激光器、全反镜R1,R3、步进电机驱动器、导轨及光电接收装置组
成。
图9
3．激光增益的测量
在激光器中，小信号增益系数g 0、饱和光强I s 、腔内损耗α和最佳输出率T opt 等是决定激光器工作特性的重要参数，它们均可由实验测得，而这些参数的测量均与增益系数的测量有关。由增益系数的定义：G =ln 1
l I 2 （1） I 1
我们可以方便的利用一个激光器和一个与激光器充同样工作物质的放大管直接测出I 1、I 2。由放大管的长度计算出增益系数。但对于本实验所要测量的He-Ne 激光管的增益系数，由于探测过程中，荧光光强的贡献不能忽略，造成很大的误差。所以本试验采用的是腔内损耗法测量He-Ne 激光器的增益。因而可以消除这一误差因素，其测量装置的原理图如图1所示
图1
在两个全反射镜组成的外腔式He-Ne 激光器内，置一透明的平行平板作为反射器，该反射器与腔轴相交成某一角度，在满足振荡条件的情况下，反射器两边有一定功率的激光输出。
反射器单个表面对0.6328μm 的光的反射率R 是入射角ϕ的函数，由菲涅尔公式得
tg 2[ϕ-sin -1(sinϕ/n )] （2） R (ϕ) =2tg [ϕ+sin -1(sinϕ/n )]
其中n 为平行材料对激光波长的折射率。（本实验中所用平板玻璃对λ=0.6328μm 光的折射率为1.515）。
理论推导证明：在不考虑反射器本身的吸收和散射时，反射器的输出率（即来回一次在反射器表面反射的光强于入射光强之比）表示为：
1-R (ϕ) 2T (ϕ) =1-[] （3） 1+R (ϕ)
若将反射器绕与激光束相垂直，同时也与放电管布氏窗的发现相垂直的轴线旋转，入射角ϕ将连续地变化，因此，该反射器将起一个反射率可变的平面耦合输出镜的作用。
定义α为激光腔除输出率以外的光学损耗（往返一次），成为内损耗，L 为激活介质的长度，g 0为小信号增益系数，P out 为耦合输出功率，P 0s 为饱和功率，由于本实验管较长，使纵模间隔小于碰撞增宽的宽度，因而其增益饱和遵循均匀综型激光器规律，故：
P out =P s T (2g 0L -1) (4) α+T
由此式可知，激光器有一最佳输出率T opt ，这时相应的有最大输出功率，由∂P /∂T =0，得T opt =[α(2g 0L )]1/2-α (5)
旋转反射器，增加输出率T , 从而增加谐振腔的总损耗（α+T）, 使激光刚好熄灭，这时满足：T g ⋅P s (2g 0L -1) =0 α+T g
T g 为阈值输出率，从而得到：2g 0L =α+T g (6) 解(5)和(6)组成的方程组得：2g 0L =(T g -T opt ) 2
T g -2T opt （7）
所以要测得最佳输出率T opt ，再测得阈值输出率T g , 由式可得到激光器的增益，再由（6）式可计算得腔内损耗α。
由式（4）得：T -(2g 0L -α-
得两根T 1, T 2。 则：T 1+T 2=2g o l -α-2P P ⋅α) T +=0 (8) P s P s P (9) P s
T 1⋅T 2=P ⋅α (10) P s
由(9),(10)得：T 1⋅T 2+α(T 1+T 2) -α(2g 0L -α) =0 (11) 由(10),（11）两个线性方程可以作出直线，（如图2）
图2
由T 1+T 2对T 1⋅T 2所作直线的斜率可以确定腔内损耗α，再由P 对T 1⋅T 2所作直线的斜
2率可以确定饱和功率P s ，则由I s =1. 26P s /πωo 可以求得饱和光强。（式中ωo 为腰粗）。
另外由式（9）可以计算出小信号增益系数g o 。
根据这一原理，在实验时对于每一个输出功率P, 可在最佳透过率两侧找到所对应输出功率的两个输出率T1和T2，从而有作图计算可得到参量α， I s 和g 0。
图3为平行平板转动过程中，计算机采集记录的输出曲线。P 为反射器两边反射功率之和，ϕ为入射角，ϕB 为布儒斯特角，其值为56.2°，ϕopt 为最佳输出率对应的入射角，ϕg 为阈值输出率对应的入射角。
图3
三、实验步骤
1.
2.
3.
4. ① 激光横模测量实验 在完成实验纵模实验的基础上，保持45︒反射镜R1不动，旋开反射镜R2，利用全反镜R3完成激光横模实验光路。 调节光路，使得光束对准光电接收盒光盖上的“十”字叉丝。 轻轻拔去接收盒光盖，看光束是否在光电转换器上小孔的右侧附近，若偏离小孔太远或在小孔左侧，则调整光路，使光束在小孔的右侧附近。 运行测量程序，观察高斯曲线，获得光束半径。
(1) 依次打开“计算机桌面-模式测量（文件夹）-Debug-LAB.EXE ”，进入“激光模式测
量实验”系统。
(2) 单击“激光横模测量实验”按钮，在弹出的实验数据图中依次点击“初始化”、“扫
描光束”按钮，停顿几秒后（数据传输需要一段时间），点击“显示波形”按钮，观察高斯曲线，读出光束半径。
5. 若所绘高斯曲线不太理想，则调整光路后，重复以上实验步骤。多测量几次，取测得光
束半径最大的一次数据。
② 激光线宽测量
1. 将全反镜R1旋开，转出光路，使激光束进入光路1。调节光轴标高(激光出射光束中心
与基准面的距离) 为55mm ，这是影响条纹质量的关键因素。调节方法是：
(1) 按图1先放置激光器和光屏，在光屏上固定一张白纸，并在标高为55mm 处画一
个“十”字叉；调节激光器座的三个调节螺丝使出射激光点照在“十”字叉的中心上；然后在距光屏f=150mm处放透镜1，发现激光点偏离了“十”字叉的中心，再调节激光器座的三个调节螺丝使出射激光点照在“十”字叉的中心上；拿开透镜1后激光点应仍能照在“十”字叉的中心；否则，须反复调节；直到放置和拿开透镜1激光束都能照到“十”字叉的中心为准。
(2) 这样，透镜1就已经放置在光路中了。然后，放置F-P 标准具、透镜2分别重复上
述过程，直至最后光路图1中除扩束境外，所有光学元件全部按图1放置好。
2. 调节扩束镜。按照光路图把扩束镜固定在底板上，注意螺丝不要绞得太紧。若出射激光
束不在透镜1的中央，可在扩束镜的底座下垫双面刀片。
3. 调F-P 标准具。
图10 F-P标准具的右视图(1,2-调节杆，3-F-P 镜片)
(1)粗调 图10所示为F-P 标准具的右视图。先粗调标准具的调节杆，用目视的方法将标准具的两半粗略调制平行；在调节过程中注意光屏上的光强变化，当看到一片模糊的红色区域出现时，缓慢调节调节杆，若模糊区域更加不清，则说明调节的方向反了，反向交替旋转调节杆1，2；直至出现比较粗的相互平行的等厚干涉条纹。
(2)精细调节 当出现比较粗的相互平行的等厚干涉条纹后，缓慢交替调节两个调节杆；同时观察光屏上条纹图的变化，若条纹间距变大，则说明F-P 两镀银平面的不平行度变大，应反向调节；当条纹图越来越密并向里弯曲时，放慢调节速度，在这个位置附近调节，就会出现等倾干涉同心圆环。反复调节，使同心圆环变得明亮细锐。若同心圆环不清晰或有重叠现象时，可调节图11所示标准具底座的2,4,6，来调节其俯仰，提高条文的清晰度。
图11 标准具底座示意图（1,3,5-固定螺丝，2,4,6-调节螺丝）
4. 拍摄干涉条纹图。当干涉条纹调清晰后，用摄像头拍摄条纹图。若干涉条纹亮度不够，必要时将实验室的灯关闭, 或将实验仪的箱盖盖上。
5. 计算干涉条纹线宽。注：光屏在透镜L2的焦平面上，L2的焦距f2=150mm。
(1) 依次打开“计算机桌面-模式测量（文件夹）-Debug-LAB.EXE ”，进入“激光模式测量实验”系统。
(2) 点击“激光线宽测量实验”，弹出“激光线宽测量实验”文档。单击该文档的“文件-打开”，调入拍摄的干涉条纹图；点击“处理-提取灰度”，干涉条纹图由彩色图片变为灰度图；单击“计算内环直径”菜单，得到该条纹图中心所在的列数；
(3) “处理-灰度值坐标-扫描像素列”，输入所得的列数值，单击“OK ”，得到条纹图该列的像素图。可以看出，该像素图对称分布，中间两个峰值最高的即为内环扫描所得，取其内外径作为计算参数。
(4) 从像素图上用鼠标点击这两个峰值的X 坐标，从左到右依次读出d 11,d 12,d 21,d 22的值, 其单位为mm 。
(5) 计算激光线宽。
2d 2-d 12，其中，d 2=d 22-d 11, d 1=d 21-d 12, f =150mm . ∆λ=λ⋅8⋅f 2
③ 激光增益的测量
1. 开启激光器电源开关，缓慢旋转可调变压器直至点燃激光管，约190~210伏左右。激光器工作电流调节在13-14 mA（不可过大）。预热30分钟左右。
2. 轻轻掀起激光器观察窗口盖至近90度位置。观察激光器是否已经输出激光，如果在分束片上未见到细约1 mm的红色激光输出，请老师调整（学生不许擅自调整）。确认有激光输出方可进入测试环节。
3. 在计算机显示器桌面上，找到“He-Ne 激光增益实验”文件夹”，找到“hene.exe ”点击，进入“激光增益测量实验”系统。
4. 点击“初始化”按钮，步进电机开始带动平行平板玻璃片转动、扫描；该过程可以从观察窗口中观察到。
5. 确认步进电机停止转动后，点击“增益曲线”按钮，可以从坐标图中观察到有波峰的曲线图。同时步进电机带动平行平板玻璃片转回最佳输出位置。
6. 点击“数据存储”按钮，可以把实验数据存储到自带的软盘或U 盘。激光功率的单位是毫瓦。该数据可以用Origin 、Matlab 、Excell 等程序处理画出曲线。
7. 存储完毕后，点击“退出”按钮，退出实验程序。通过观察窗可以看到，激光器仍然有红色激光输出。
8. 将激光器电源的可调电压旋转到零位置，然后关闭电源开关。
四、实验结果
① 激光横模测量实验
实验中将激光横模的测量数据以jj1.dat 文件的形式保存出。利用MATLAB 可以将数据的图
形画出，具体指令如下： clear;
data=load('d1.dat');
plot(data(:,1),data(:,2)); 得到光强高斯分布曲线如下：
光斑半径为0.64mm
② 激光线宽测量
实验中得到的光斑图片为：
通过对光斑图的分析并利用原理中的公式可以得出激光线宽，计算过程如下： 2d 2-d 12公式为∆λ=λ⋅ 28⋅f
其中f=150mm，d 1=6.8mm，d 2=5.5mm
因此计算得到∆λ=0.056nm
③ 激光增益的测量
实验中将激光横模的测量数据以jj2.dat 文件的形式保存出。利用MATLAB 可以将数据的图形画出，具体指令如下：
clear;
data=load('d2.dat');
plot(data(:,1),data(:,2));
横坐标为角度，纵坐标为功率
曲线为：
通过观察实验曲线和实验数据得到ϕg =50.048°，ϕopt =53.243°
在MA TLAB 环境下编写应用函数，函数代码如下：
function g=func(fi)
fi=fi*pi/180;
x1=tan(fi(1)-asin(sin(fi(1))/1.515));
x2=tan(fi(1)+asin(sin(fi(1))/1.515));
y1=tan(fi(2)-asin(sin(fi(2))/1.515));
y2=tan(fi(2)+asin(sin(fi(2))/1.515));
Rg=x1*x1/(x2*x2);
Ropt=y1*y1/(y2*y2);
Tg=1-((1-Rg)/(1+Rg))^2;
Topt=1-((1-Ropt)/(1+Ropt))^2;
g0=0.5*((Tg-Topt)^2)/(Tg-2*Topt);
a=2*g0-Tg;
g=[g0,a];
然后在Matlab 主程序中调用g=func([50.048,53.243]);
得到增益系数g 0=0.0088，腔内损耗a=0.0033
由He-Ne 激光器小信号增益系数的经验公式g o =3⨯10-4/d （d 为放电管直径, 约2mm ），计算出小信号增益系数g 0的理论值为0.15。与两个实验值相差了一个数量级。而两种实验方法所得到的数据的数量级均在一个单位，且数据值相差不大。但是都与相差了一个数量级，考虑误差可能由以下几个原因引起的。
①实验室的环境引起光路的损耗太大，由此得出的实验值偏小。
②反射镜表面不洁净，导致激光器的损耗过大，由此得出的实验值偏小。
一、实验目的
1． 掌握F-P 标准具、F-P 扫描干涉仪的原理和使用方法
2． 掌握He-Ne 激光器横模模式的观察和测量
3． 掌握多光束干涉法测量激光线宽的原理及方法
4． 掌握用腔内损耗法测量激光参数的原理和方法
5． 根据自动测试系统测得的曲线，取适当的数据，编写程序，利用计算机进行计算
6． 通过对激光器增益等参数的测量，对激光器的工作过程有进一步的了解
二、实验原理
1．激光横模的观察和测量
为了简单起见，我们只讨论基模，即TEM 00模，这个基模的光斑形状为图1
所示。
图1
A 0x 2+y 2
这个模的电矢量E 的振幅为：A (x , y , z ) =exp(-2) w (z ) w (z )
这种光场分布是高斯光束，所以成这样的光束为高斯光束。如果记ρ=x +y 222
A 0ρ2
则A (ρ, z ) =exp(-2) w (z ) w (z )
当ρ=0，z=0时（即束腰的中心），电矢量振幅A 得知最大，为A (0, 0) =A 0/w 0 而当ρ0=w0
通常将电矢量振幅降到中心值的1/e处时的径向距离称为光斑半径，用w(z)表示，w(z)作为光斑大小的量度，w 0为z=0处的光斑半径，通常称之为激光光束的腰粗。
在实际测量中，都是测量光强，因为光强与电矢量振幅之间的关系为：I αA
所以激光束的横向光强分布为: 2
A 022ρ22ρ2
I (ρ, z ) =A (ρ, z ) =[]exp(-2) =I 0(z ) exp(-2) w (z ) w (z ) w (z ) 2
当ρ=0时，I(0,z)=I0(z)可以测出谐振腔轴上（即光斑中心）的光强随着光束不同位置时的值。
2ρ2
当z 值固定时，I (ρ, z ) =I 0(z ) exp(-2) w (z )
这样可以测出，随着径向不同位置ρ时的光强值。光强随ρ而改变的关系由纪录仪直接给出，如图2。
图2
由光强的高斯分布曲线（图2）可以找出光强下降到光斑中心光强的1/e2处位置，这点离光斑中心的距离就为该处的光斑半径w(z)。可以由w(z)与束腰w 0之间的关系式求得w 0，其关系式为w (z ) =w 0[1+(λz 21/2) ] 2πw 0
激光光束尽管方向性很好，但也不是理想的平行束，而具有一定的发散角。根据发散角定义：2θ=2dw (z ) dz
将(4)式代入(5).，并当z=∞时，可以求出2θ=2λ πw 0
此为远场发射角的表达式。可以通过求得得w 0来计算。
也可以测出不同z 之间光束的发散角，测量方法为：分别测出z 1、z 2两处的光斑半径w(z1) 、w(z2) ，那么可以直接标出光束的发散角，如图3。
图3
tg (2θ) =2w (z 2) -w (z 1) z 2-z 1
w (z 2) -w (z 1) ] z 2-z 1则2θ=tg [2-1
激光的横模测量原理：由马达驱动的前面开小孔的硅光电池沿光束径向逐点扫描，测得不同ρ处的光强，将硅光电池的信号输入计算机，得到光强沿径向的分布曲线。如图4。
图4
2．激光线宽的测量
激光器输出的光束具有单色性、高亮度、高方向性和高相干性的特点，正是由于它的高相干性，使之在测量、全息的技术中得到广泛的应用。但是，虽然激光的单色性很好，她仍无可避免的存在着一定的线宽。理论计算表明，单纵模激光器的线宽极限为：
2π(∆νc ) 2h νN 2 ∆ν=⋅N 2-N 1P out
其中：N 2, N 1分别是激光上下能级的粒子数密度，Δνc 是无源谐振腔的线宽。这是激光线宽的极限值，数量级一般为10-3赫。实际上，由于各种因素所引起的纵模频率漂移，以及各种因素引起的谱线增宽，使得激光线宽远远大于这一量值。激光线宽是表征激光特征的一个重要的参数，它反映激光辐射的单色性和相干性。由于应用上的需要，测量激光线宽成了激光参数测量中的重要课题。由于各种激光器输出特性以及线宽数量级各不相同，因而可采取不同的线宽测量方法：线宽较窄时，利用多光束干涉法测量，并根据激光输出谱线的波长及是否为脉冲输出，采取不同的记录方法或探测方法：对于数量级在兆赫以下的谱线宽度，可以用拍频和外差技术测量。本实验是利用多光束干涉法测量He-Ne 激光线宽的。
实验装置如图7所示：
图7
图1L 1位发散透镜，L 2为长焦距会聚透镜。
由He-Ne 激光器输出的激光束经发散透镜发散后均匀地照在F-P 标准具上，由于F-P 标准具两个镀膜平面是平行的，且此时所用的光源为扩展光源，所以，将产生等倾干涉。
由物理光学知：光通过标准具后出现亮条纹（相干加强）的条件是：2nL cos θ=m λ 式中n 为F-P 标准具的折射率，L 为F-P 标准具的间隔，θ为在两镀膜平面间反射光与平面法线的夹角，m 为干涉级次。
有F-P 产生多光束干涉后经会聚透镜会聚，在其焦平面上得到一组同心干涉环，将卸下镜头的照相机感光底片置于焦平面位置进行照相，便可得到干涉环的照片。
由（2）是可以看出：在同一干涉级次，不同的λ，就对应于不同的θ角，因而，当入射光具有线宽Δλ时，对同一级干涉环，θ有一变化范围Δθ，从而在感光底片上得到的干
涉环半径也有一个变化范围Δr 。
对（2）式两边微分得：-2nd sin θd θ=md λ
d λ=-2nd sin θd θλsin θ=-d θ=-λtg θd θ m cos θ
即∆λ=λtg θ∆θ
如图8所示
图8
d 1，d 2分别为第m 级干涉条纹内外直径，在近中心处：d 1/2
则∆θ=(d 1/2) 2+f
tg θ=d 1/2d 1 =f 2f 2≈d 2-d 1 2f
2d 1d 2-d 1(d 1+d 2) ⋅(d 2-d 1) d 2-d 12将（4）(5)代入（3）式得∆λ=λ⋅ ⋅≈λ⋅=λ⋅2f 2f 8f 28f 2
根据式(6):测量底片上近中心条纹的同级干涉环内外直径d 1，d 2并根据测得的长焦距透镜焦距，就可计算出激光的线宽。
实验系统布局图
由实验系统布局图9可以看出，激光纵横模及线宽测量实验系统由（1）（2）（3）三支光路组成。其中，（1）为激光线宽测量实验，它由He-Ne 激光器、扩束镜、透镜L1、F-P 、透镜L2、光屏及摄像头组成。（2）为激光纵模测量实验，它由He-Ne 激光器、全反镜R1,R2、锯齿波发生器、共焦球面扫描干涉仪、光电接收器及示波器组成。（3）为激光横模测量实验，它由He-Ne 激光器、全反镜R1,R3、步进电机驱动器、导轨及光电接收装置组
成。
图9
3．激光增益的测量
在激光器中，小信号增益系数g 0、饱和光强I s 、腔内损耗α和最佳输出率T opt 等是决定激光器工作特性的重要参数，它们均可由实验测得，而这些参数的测量均与增益系数的测量有关。由增益系数的定义：G =ln 1
l I 2 （1） I 1
我们可以方便的利用一个激光器和一个与激光器充同样工作物质的放大管直接测出I 1、I 2。由放大管的长度计算出增益系数。但对于本实验所要测量的He-Ne 激光管的增益系数，由于探测过程中，荧光光强的贡献不能忽略，造成很大的误差。所以本试验采用的是腔内损耗法测量He-Ne 激光器的增益。因而可以消除这一误差因素，其测量装置的原理图如图1所示
图1
在两个全反射镜组成的外腔式He-Ne 激光器内，置一透明的平行平板作为反射器，该反射器与腔轴相交成某一角度，在满足振荡条件的情况下，反射器两边有一定功率的激光输出。
反射器单个表面对0.6328μm 的光的反射率R 是入射角ϕ的函数，由菲涅尔公式得
tg 2[ϕ-sin -1(sinϕ/n )] （2） R (ϕ) =2tg [ϕ+sin -1(sinϕ/n )]
其中n 为平行材料对激光波长的折射率。（本实验中所用平板玻璃对λ=0.6328μm 光的折射率为1.515）。
理论推导证明：在不考虑反射器本身的吸收和散射时，反射器的输出率（即来回一次在反射器表面反射的光强于入射光强之比）表示为：
1-R (ϕ) 2T (ϕ) =1-[] （3） 1+R (ϕ)
若将反射器绕与激光束相垂直，同时也与放电管布氏窗的发现相垂直的轴线旋转，入射角ϕ将连续地变化，因此，该反射器将起一个反射率可变的平面耦合输出镜的作用。
定义α为激光腔除输出率以外的光学损耗（往返一次），成为内损耗，L 为激活介质的长度，g 0为小信号增益系数，P out 为耦合输出功率，P 0s 为饱和功率，由于本实验管较长，使纵模间隔小于碰撞增宽的宽度，因而其增益饱和遵循均匀综型激光器规律，故：
P out =P s T (2g 0L -1) (4) α+T
由此式可知，激光器有一最佳输出率T opt ，这时相应的有最大输出功率，由∂P /∂T =0，得T opt =[α(2g 0L )]1/2-α (5)
旋转反射器，增加输出率T , 从而增加谐振腔的总损耗（α+T）, 使激光刚好熄灭，这时满足：T g ⋅P s (2g 0L -1) =0 α+T g
T g 为阈值输出率，从而得到：2g 0L =α+T g (6) 解(5)和(6)组成的方程组得：2g 0L =(T g -T opt ) 2
T g -2T opt （7）
所以要测得最佳输出率T opt ，再测得阈值输出率T g , 由式可得到激光器的增益，再由（6）式可计算得腔内损耗α。
由式（4）得：T -(2g 0L -α-
得两根T 1, T 2。 则：T 1+T 2=2g o l -α-2P P ⋅α) T +=0 (8) P s P s P (9) P s
T 1⋅T 2=P ⋅α (10) P s
由(9),(10)得：T 1⋅T 2+α(T 1+T 2) -α(2g 0L -α) =0 (11) 由(10),（11）两个线性方程可以作出直线，（如图2）
图2
由T 1+T 2对T 1⋅T 2所作直线的斜率可以确定腔内损耗α，再由P 对T 1⋅T 2所作直线的斜
2率可以确定饱和功率P s ，则由I s =1. 26P s /πωo 可以求得饱和光强。（式中ωo 为腰粗）。
另外由式（9）可以计算出小信号增益系数g o 。
根据这一原理，在实验时对于每一个输出功率P, 可在最佳透过率两侧找到所对应输出功率的两个输出率T1和T2，从而有作图计算可得到参量α， I s 和g 0。
图3为平行平板转动过程中，计算机采集记录的输出曲线。P 为反射器两边反射功率之和，ϕ为入射角，ϕB 为布儒斯特角，其值为56.2°，ϕopt 为最佳输出率对应的入射角，ϕg 为阈值输出率对应的入射角。
图3
三、实验步骤
1.
2.
3.
4. ① 激光横模测量实验 在完成实验纵模实验的基础上，保持45︒反射镜R1不动，旋开反射镜R2，利用全反镜R3完成激光横模实验光路。 调节光路，使得光束对准光电接收盒光盖上的“十”字叉丝。 轻轻拔去接收盒光盖，看光束是否在光电转换器上小孔的右侧附近，若偏离小孔太远或在小孔左侧，则调整光路，使光束在小孔的右侧附近。 运行测量程序，观察高斯曲线，获得光束半径。
(1) 依次打开“计算机桌面-模式测量（文件夹）-Debug-LAB.EXE ”，进入“激光模式测
量实验”系统。
(2) 单击“激光横模测量实验”按钮，在弹出的实验数据图中依次点击“初始化”、“扫
描光束”按钮，停顿几秒后（数据传输需要一段时间），点击“显示波形”按钮，观察高斯曲线，读出光束半径。
5. 若所绘高斯曲线不太理想，则调整光路后，重复以上实验步骤。多测量几次，取测得光
束半径最大的一次数据。
② 激光线宽测量
1. 将全反镜R1旋开，转出光路，使激光束进入光路1。调节光轴标高(激光出射光束中心
与基准面的距离) 为55mm ，这是影响条纹质量的关键因素。调节方法是：
(1) 按图1先放置激光器和光屏，在光屏上固定一张白纸，并在标高为55mm 处画一
个“十”字叉；调节激光器座的三个调节螺丝使出射激光点照在“十”字叉的中心上；然后在距光屏f=150mm处放透镜1，发现激光点偏离了“十”字叉的中心，再调节激光器座的三个调节螺丝使出射激光点照在“十”字叉的中心上；拿开透镜1后激光点应仍能照在“十”字叉的中心；否则，须反复调节；直到放置和拿开透镜1激光束都能照到“十”字叉的中心为准。
(2) 这样，透镜1就已经放置在光路中了。然后，放置F-P 标准具、透镜2分别重复上
述过程，直至最后光路图1中除扩束境外，所有光学元件全部按图1放置好。
2. 调节扩束镜。按照光路图把扩束镜固定在底板上，注意螺丝不要绞得太紧。若出射激光
束不在透镜1的中央，可在扩束镜的底座下垫双面刀片。
3. 调F-P 标准具。
图10 F-P标准具的右视图(1,2-调节杆，3-F-P 镜片)
(1)粗调 图10所示为F-P 标准具的右视图。先粗调标准具的调节杆，用目视的方法将标准具的两半粗略调制平行；在调节过程中注意光屏上的光强变化，当看到一片模糊的红色区域出现时，缓慢调节调节杆，若模糊区域更加不清，则说明调节的方向反了，反向交替旋转调节杆1，2；直至出现比较粗的相互平行的等厚干涉条纹。
(2)精细调节 当出现比较粗的相互平行的等厚干涉条纹后，缓慢交替调节两个调节杆；同时观察光屏上条纹图的变化，若条纹间距变大，则说明F-P 两镀银平面的不平行度变大，应反向调节；当条纹图越来越密并向里弯曲时，放慢调节速度，在这个位置附近调节，就会出现等倾干涉同心圆环。反复调节，使同心圆环变得明亮细锐。若同心圆环不清晰或有重叠现象时，可调节图11所示标准具底座的2,4,6，来调节其俯仰，提高条文的清晰度。
图11 标准具底座示意图（1,3,5-固定螺丝，2,4,6-调节螺丝）
4. 拍摄干涉条纹图。当干涉条纹调清晰后，用摄像头拍摄条纹图。若干涉条纹亮度不够，必要时将实验室的灯关闭, 或将实验仪的箱盖盖上。
5. 计算干涉条纹线宽。注：光屏在透镜L2的焦平面上，L2的焦距f2=150mm。
(1) 依次打开“计算机桌面-模式测量（文件夹）-Debug-LAB.EXE ”，进入“激光模式测量实验”系统。
(2) 点击“激光线宽测量实验”，弹出“激光线宽测量实验”文档。单击该文档的“文件-打开”，调入拍摄的干涉条纹图；点击“处理-提取灰度”，干涉条纹图由彩色图片变为灰度图；单击“计算内环直径”菜单，得到该条纹图中心所在的列数；
(3) “处理-灰度值坐标-扫描像素列”，输入所得的列数值，单击“OK ”，得到条纹图该列的像素图。可以看出，该像素图对称分布，中间两个峰值最高的即为内环扫描所得，取其内外径作为计算参数。
(4) 从像素图上用鼠标点击这两个峰值的X 坐标，从左到右依次读出d 11,d 12,d 21,d 22的值, 其单位为mm 。
(5) 计算激光线宽。
2d 2-d 12，其中，d 2=d 22-d 11, d 1=d 21-d 12, f =150mm . ∆λ=λ⋅8⋅f 2
③ 激光增益的测量
1. 开启激光器电源开关，缓慢旋转可调变压器直至点燃激光管，约190~210伏左右。激光器工作电流调节在13-14 mA（不可过大）。预热30分钟左右。
2. 轻轻掀起激光器观察窗口盖至近90度位置。观察激光器是否已经输出激光，如果在分束片上未见到细约1 mm的红色激光输出，请老师调整（学生不许擅自调整）。确认有激光输出方可进入测试环节。
3. 在计算机显示器桌面上，找到“He-Ne 激光增益实验”文件夹”，找到“hene.exe ”点击，进入“激光增益测量实验”系统。
4. 点击“初始化”按钮，步进电机开始带动平行平板玻璃片转动、扫描；该过程可以从观察窗口中观察到。
5. 确认步进电机停止转动后，点击“增益曲线”按钮，可以从坐标图中观察到有波峰的曲线图。同时步进电机带动平行平板玻璃片转回最佳输出位置。
6. 点击“数据存储”按钮，可以把实验数据存储到自带的软盘或U 盘。激光功率的单位是毫瓦。该数据可以用Origin 、Matlab 、Excell 等程序处理画出曲线。
7. 存储完毕后，点击“退出”按钮，退出实验程序。通过观察窗可以看到，激光器仍然有红色激光输出。
8. 将激光器电源的可调电压旋转到零位置，然后关闭电源开关。
四、实验结果
① 激光横模测量实验
实验中将激光横模的测量数据以jj1.dat 文件的形式保存出。利用MATLAB 可以将数据的图
形画出，具体指令如下： clear;
data=load('d1.dat');
plot(data(:,1),data(:,2)); 得到光强高斯分布曲线如下：
光斑半径为0.64mm
② 激光线宽测量
实验中得到的光斑图片为：
通过对光斑图的分析并利用原理中的公式可以得出激光线宽，计算过程如下： 2d 2-d 12公式为∆λ=λ⋅ 28⋅f
其中f=150mm，d 1=6.8mm，d 2=5.5mm
因此计算得到∆λ=0.056nm
③ 激光增益的测量
实验中将激光横模的测量数据以jj2.dat 文件的形式保存出。利用MATLAB 可以将数据的图形画出，具体指令如下：
clear;
data=load('d2.dat');
plot(data(:,1),data(:,2));
横坐标为角度，纵坐标为功率
曲线为：
通过观察实验曲线和实验数据得到ϕg =50.048°，ϕopt =53.243°
在MA TLAB 环境下编写应用函数，函数代码如下：
function g=func(fi)
fi=fi*pi/180;
x1=tan(fi(1)-asin(sin(fi(1))/1.515));
x2=tan(fi(1)+asin(sin(fi(1))/1.515));
y1=tan(fi(2)-asin(sin(fi(2))/1.515));
y2=tan(fi(2)+asin(sin(fi(2))/1.515));
Rg=x1*x1/(x2*x2);
Ropt=y1*y1/(y2*y2);
Tg=1-((1-Rg)/(1+Rg))^2;
Topt=1-((1-Ropt)/(1+Ropt))^2;
g0=0.5*((Tg-Topt)^2)/(Tg-2*Topt);
a=2*g0-Tg;
g=[g0,a];
然后在Matlab 主程序中调用g=func([50.048,53.243]);
得到增益系数g 0=0.0088，腔内损耗a=0.0033
由He-Ne 激光器小信号增益系数的经验公式g o =3⨯10-4/d （d 为放电管直径, 约2mm ），计算出小信号增益系数g 0的理论值为0.15。与两个实验值相差了一个数量级。而两种实验方法所得到的数据的数量级均在一个单位，且数据值相差不大。但是都与相差了一个数量级，考虑误差可能由以下几个原因引起的。
①实验室的环境引起光路的损耗太大，由此得出的实验值偏小。
②反射镜表面不洁净，导致激光器的损耗过大，由此得出的实验值偏小。