用不动点法求数列的通项公式

高三理科培优：用不动点法求数列的通项公式 ⎧a 1=a 1ax +b ⎪（一）对于数列⎨，函数f (x ) =， a ⋅a n -1++b a =, (n ≥2) cx +d ⎪n c ⋅a n -1+d ⎩

结论1、若函数f (x ) 有两个相异的不动点p , q ，即方程cx 2+(d -a ) x -b =0有两个相异实根p , q ，则数列⎨

结论2、若函数f (x ) 只有唯一的不动点p ，即方程cx 2+(d -a ) x -b =0只有唯一实根p ，则数列⎨

练习1、已知数列{a n }中，a 1=2, a n =

练习2、已知数列{a n }中，a 1=2, a n =

⎧a n -p ⎫a 1-p a -cp 是以为首项，以为公比的等比数列。 ⎬a -cq a 1-q ⎩a n -q ⎭⎧1⎩a n -⎫2c 1是以为首项，以为公差的等差数列。 ⎬p ⎭a +d a 1-p 3a n -1+5, n ≥2, n ∈N *，求数列{a n }的通项公式。 5a n -1+34a n -1-1, n ≥2, n ∈N *，求数列{a n }的通项公式。 a n -1+2

⎧a 1=a 1ax 2+b ⎪2（二）对于数列⎨，函数f (x ) =， a ⋅a n -1++b a =, (n ≥2) 2ax +c ⎪n 2a ⋅a n -1+c ⎩

ax 2+b 2结论3、若上述函数f (x ) =有两个相异的不动点p , q ，即方程ax +cx -b =0有2ax +c

a -p ⎛a n -1-p ⎫*⎪= , n ≥2, n ∈N 两个相异实根p , q ，则有n ⎪a n -q ⎝a n -1-q ⎭

ax 2+b 2结论4、若上述函数f (x ) =只有唯一一个不动点p ，即方程ax +cx -b =0只有2ax +c

唯一一个实根p =-

c 1，则有数列{a n -p }是以a 1-p 为首项，以为公比的等比数列。 2a 2

a 2n +2练习3、已知数列{a n }中，a 1=2, a n +1=, n ∈N *，求数列{a n }的通项公式。 2a n

练习4、（2010全国卷）已知数列{a n }中，a 1=1, a n +1=c -1 . a n

（Ⅰ）设c =51，求数列{b n }的通项公式； , b n =2a n -2

（Ⅱ）求使不等式a n

2α，β是方程f (x ) =0的两个根练习5、（07广东理）已知函数f (x ) =x +x -1，（α>β），

f '(x ) 是f (x ) 的导数，设a 1=1，a n +1=a n -f (a n ) (n =1，2，) ． f '(a n )

（1）求α，β的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有a n >α；

（3）记b n =ln

a n -β(n =1，2，) ，求数列{b n }的前n 项和S n ． a n -α