极坐标与参数方程
知识要点：
（一）直角坐标系
背景：
为了确保宇宙飞船能在预定轨道上运行，完成各项任务，飞船控制中心需要随时测定飞船在空中的位置和其运动的轨迹.
侦查兵如何向我方炮兵提供敌人的火力点的位置？ 这都涉及到如何刻画一个几何图形的位置： 1、数轴
2、直角坐标系 3、空间直角坐标系
（二）极坐标系
1、上述问题若采用直角坐标系，不仅坐标轴难以选择，而且点的坐标也不便测定. 为了简便地表示上面问题中点的位置，应如何创建坐标系？
一般地：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系，其中O 点称为极点，射线OX 称为极轴．
设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线OX 为始边，射线OM 为终边所成的角，那么有序数对M （ρ，θ）称为点M 的极坐标，ρ称为点Ｍ的极径，θ称为点Ｍ的极角．
由点Ｍ的极径的几何意义知：ρ≥０ ， 点Ｍ的极角θ的范围为［０，２π］
我们约定极点Ｏ的极坐标是极径ρ＝０，极角θ可取任意值．
为了研究方便，在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角也可以取任意的正角或负角， 当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM ＝|ρ|．
例：写出图中各点的极坐标．
A （4，0），B （2，（6，
5πππ4π
），C （3，），D （1，），E （3.5，π），F （6，），G
6423
5π
） 3
一般地，如果（ρ，θ）是点M 的极坐标，那么（ρ，θ＋2k π）或（－ρ，θ＋（2k ＋1）π），k ∈Z 都可以作为点M 的极坐标. 但这样建立的极坐标系，平面上的点与它的极坐标之间就不是一一对应关系. 2、曲线的极坐标方程
（1）定义：如果极坐标系中的曲线C 和方程f （ρ，0）＝0之间建立了如下关系： ①曲线C 上任一点的无穷多个极坐标中至少有一个适合方程f （ρ，θ）＝0；
②坐标满足f （ρ，θ）＝0的点都在曲线C 上，那么方程f （ρ，θ）＝0叫做曲线C 的极坐标方程．
（2）求曲线极坐标方程的步骤：
①用（ρ，θ）表示曲线上任意一点M 的坐标； ②写出适合条件ρ的点M 的集合P ＝｛M|p（M ）｝； ③用坐标表示条件ρ（M ），列出方程f （ρ，θ）＝0； ④化方程f （ρ，θ）＝0为最简形式． （3）直线的极坐标方程
若直线l 经过点M (ρ0, θ0) ，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程为
ρsin(θ-α) =ρ0sin(θ0-α)
（4）圆心是A （ρ0，，半径r 的圆的极坐标方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0) +ρ02-r 2＝θ0）0
特殊位置的圆的极坐标方程
图3－23：ρ＝2rcos θ； 图3－24：ρ＝－2rcos θ； 图3－25：ρ＝2rsin θ；
图3－26：ρ＝－2rsin θ． 2、极坐标与直角坐标的互化．
（三）参数方程 1、定义
一般地，在直角坐标系中如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数，反过来，对于t 的每个允许值，由函数式所确定的点P 都在曲线上，那么方程叫做曲线C 的参数方程．t 叫参变量． 2、直线参数方程的标准式 （1）过点P 0（x 0, y 0），倾斜角为α的直线l 的参数方程是
⎧x =x 0+t cos α
（t 为参数） ⎨
⎩
y =y 0+t sin α
t 的几何意义：有向直线l 上从已知点P 0（x 0, y 0）到 点P （x , y ）的有向线段的数量，且|P0P|＝|t| 当t ＞0时，点P 在点P 0的上方； 当
t ＝0时，点P 与点P 0重合； 当t ＜0时，点P 在点P 0的下方； 3、椭圆的参数方程
【典型例题】
例题1. 在极坐标系中，
（１）已知两点P (5, π), Q (1, ) ，求线段ＰＱ的长度 解：（1）PQ ＝5＋1＝6
例题2. 把点M 极坐标(8, 解：M （－4，
例3. 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线 ⑴⎨
5
4π4
2π
) 化为直角坐标 . 3
⎧x =1-3t ⎧x =5cos ϕ
（ϕ为参数）； ⑵⎨（t 为参数）
⎩y =4t ⎩y =4sin ϕ
⎧x =5cos ϕ
解：⑴．∵⎨
y =4sin ϕ⎩
⎧x
x 2y 2=cos ϕ⎪+=cos 2ϕ+sin 2ϕ ∴5两边平方相加，得
⎨y 2516⎪=sin ϕ⎩4
x 2y 2
+=1 即
2516
∴曲线是长轴在x 轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆 ⑵∵⎨
y y ⎧x =1-3t
∴由t =代入x =1-3t ，得 x =1-3⋅
44⎩y =4t
∴4x +3y -4=0 ∴它表示过（0，
4
）和（1， 0）的一条直线． 3
【模拟试题】
1. 曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化为直角坐标为（ ）． A. x +(y +2) =4
2
2
B. x +(y -2) =4
22
C. (x -2) 2+y 2=4 D. (x +2) 2+y 2=4
2. 已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ）．
11
D. ρ= cos θcos θ
3. 在同一坐标系中，将曲线y =2sin 3x 变为曲线y =sin x 的伸缩变换是（ ）
A. ρ=1
B. ρ=cos θ C. ρ=-
⎧x =3x ' ⎧x ' =3x ' '
⎧⎧⎪x =3x ⎪x =3x ⎪⎪
(D ) ⎨' (A ) ⎨1' (B ) ⎨' 1 (C ) ⎨'
⎪⎪⎩y =2y ⎩y =2y ⎪y =y ⎪y =y
22⎩⎩
4. 直线y =2x +1的参数方程是（ ）
2
⎧
A. ⎨x =t （t 为参数）
2
⎩y =2t +1
⎧x =2t -1B. ⎨（t 为参数）
⎩y =4t +1
x =sin θ⎧x =t -1
C. ⎨（t 为参数） D. ⎧（θ为参数） ⎨
⎩y =2t -1⎩y =2sin θ+1
1⎧
x =t +（t 为参数）表示的曲线是（ ）5. 方程⎪． ⎨t ⎪⎩y =2A. 一条直线 B. 两条射线 C. 一条线段 D. 抛物线的一部分
⎧x =2+sin 2θ
6. 参数方程⎨（θ为参数）化为普通方程是（ ）．
⎩y =-1+cos 2θ
A. 2x -y +4=0 B. 2x +y -4=0
C. 2x -y +4=0 x ∈[2, 3] D. 2x +y -4=0 x ∈[2, 3]
7. 设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）
35
π） B. （-32，π） 4453
C. （3，π） D. （－3，π）
44
A. （32，
8. 在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：y +kx +2=0与曲线C ：
ρ=2cos θ相交，则k 的取值范围是（ ）．
A. k
33
B. k ≥- C. k ∈R D. k ∈R 但k ≠0 44
9. 已知过曲线为
{
x =3cos θ
()y =4sin θθ为参数，0≤θ≤π上一点P 原点O 的直线PO 的倾斜角
π，则P 点坐标是
4
A. （3，4） C. （－3，－4）
B. (-12, -12)
55
D. (12, 12)
55
10. 若圆的方程为⎨
⎧x =-1+2cos θ⎧x =2t -1
（θ为参数），直线的方程为⎨（t 为参数），
⎩y =3+2sin θ⎩y =6t -1
则直线与圆的位置关系是（ ）．
A. 相交过圆心 B. 相交而不过圆心 C. 相切 D. 相离
a πa
) 为圆心，为半径的圆的方程是 ． 222
12. 在极坐标中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cos θ于A 、B 两点，
11. 在极坐标系中，以(, 则|AB|＝ ．
t ⎧
x =2+⎪2（t 为参数）13. 设直线参数方程为⎪，则它的斜截式方程为 ． ⎨
3⎪y =3+t ⎪2⎩
极坐标与参数方程
知识要点：
（一）直角坐标系
背景：
为了确保宇宙飞船能在预定轨道上运行，完成各项任务，飞船控制中心需要随时测定飞船在空中的位置和其运动的轨迹.
侦查兵如何向我方炮兵提供敌人的火力点的位置？ 这都涉及到如何刻画一个几何图形的位置： 1、数轴
2、直角坐标系 3、空间直角坐标系
（二）极坐标系
1、上述问题若采用直角坐标系，不仅坐标轴难以选择，而且点的坐标也不便测定. 为了简便地表示上面问题中点的位置，应如何创建坐标系？
一般地：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系，其中O 点称为极点，射线OX 称为极轴．
设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线OX 为始边，射线OM 为终边所成的角，那么有序数对M （ρ，θ）称为点M 的极坐标，ρ称为点Ｍ的极径，θ称为点Ｍ的极角．
由点Ｍ的极径的几何意义知：ρ≥０ ， 点Ｍ的极角θ的范围为［０，２π］
我们约定极点Ｏ的极坐标是极径ρ＝０，极角θ可取任意值．
为了研究方便，在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角也可以取任意的正角或负角， 当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM ＝|ρ|．
例：写出图中各点的极坐标．
A （4，0），B （2，（6，
5πππ4π
），C （3，），D （1，），E （3.5，π），F （6，），G
6423
5π
） 3
一般地，如果（ρ，θ）是点M 的极坐标，那么（ρ，θ＋2k π）或（－ρ，θ＋（2k ＋1）π），k ∈Z 都可以作为点M 的极坐标. 但这样建立的极坐标系，平面上的点与它的极坐标之间就不是一一对应关系. 2、曲线的极坐标方程
（1）定义：如果极坐标系中的曲线C 和方程f （ρ，0）＝0之间建立了如下关系： ①曲线C 上任一点的无穷多个极坐标中至少有一个适合方程f （ρ，θ）＝0；
②坐标满足f （ρ，θ）＝0的点都在曲线C 上，那么方程f （ρ，θ）＝0叫做曲线C 的极坐标方程．
（2）求曲线极坐标方程的步骤：
①用（ρ，θ）表示曲线上任意一点M 的坐标； ②写出适合条件ρ的点M 的集合P ＝｛M|p（M ）｝； ③用坐标表示条件ρ（M ），列出方程f （ρ，θ）＝0； ④化方程f （ρ，θ）＝0为最简形式． （3）直线的极坐标方程
若直线l 经过点M (ρ0, θ0) ，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程为
ρsin(θ-α) =ρ0sin(θ0-α)
（4）圆心是A （ρ0，，半径r 的圆的极坐标方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0) +ρ02-r 2＝θ0）0
特殊位置的圆的极坐标方程
图3－23：ρ＝2rcos θ； 图3－24：ρ＝－2rcos θ； 图3－25：ρ＝2rsin θ；
图3－26：ρ＝－2rsin θ． 2、极坐标与直角坐标的互化．
（三）参数方程 1、定义
一般地，在直角坐标系中如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数，反过来，对于t 的每个允许值，由函数式所确定的点P 都在曲线上，那么方程叫做曲线C 的参数方程．t 叫参变量． 2、直线参数方程的标准式 （1）过点P 0（x 0, y 0），倾斜角为α的直线l 的参数方程是
⎧x =x 0+t cos α
（t 为参数） ⎨
⎩
y =y 0+t sin α
t 的几何意义：有向直线l 上从已知点P 0（x 0, y 0）到 点P （x , y ）的有向线段的数量，且|P0P|＝|t| 当t ＞0时，点P 在点P 0的上方； 当
t ＝0时，点P 与点P 0重合； 当t ＜0时，点P 在点P 0的下方； 3、椭圆的参数方程
【典型例题】
例题1. 在极坐标系中，
（１）已知两点P (5, π), Q (1, ) ，求线段ＰＱ的长度 解：（1）PQ ＝5＋1＝6
例题2. 把点M 极坐标(8, 解：M （－4，
例3. 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线 ⑴⎨
5
4π4
2π
) 化为直角坐标 . 3
⎧x =1-3t ⎧x =5cos ϕ
（ϕ为参数）； ⑵⎨（t 为参数）
⎩y =4t ⎩y =4sin ϕ
⎧x =5cos ϕ
解：⑴．∵⎨
y =4sin ϕ⎩
⎧x
x 2y 2=cos ϕ⎪+=cos 2ϕ+sin 2ϕ ∴5两边平方相加，得
⎨y 2516⎪=sin ϕ⎩4
x 2y 2
+=1 即
2516
∴曲线是长轴在x 轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆 ⑵∵⎨
y y ⎧x =1-3t
∴由t =代入x =1-3t ，得 x =1-3⋅
44⎩y =4t
∴4x +3y -4=0 ∴它表示过（0，
4
）和（1， 0）的一条直线． 3
【模拟试题】
1. 曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化为直角坐标为（ ）． A. x +(y +2) =4
2
2
B. x +(y -2) =4
22
C. (x -2) 2+y 2=4 D. (x +2) 2+y 2=4
2. 已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ）．
11
D. ρ= cos θcos θ
3. 在同一坐标系中，将曲线y =2sin 3x 变为曲线y =sin x 的伸缩变换是（ ）
A. ρ=1
B. ρ=cos θ C. ρ=-
⎧x =3x ' ⎧x ' =3x ' '
⎧⎧⎪x =3x ⎪x =3x ⎪⎪
(D ) ⎨' (A ) ⎨1' (B ) ⎨' 1 (C ) ⎨'
⎪⎪⎩y =2y ⎩y =2y ⎪y =y ⎪y =y
22⎩⎩
4. 直线y =2x +1的参数方程是（ ）
2
⎧
A. ⎨x =t （t 为参数）
2
⎩y =2t +1
⎧x =2t -1B. ⎨（t 为参数）
⎩y =4t +1
x =sin θ⎧x =t -1
C. ⎨（t 为参数） D. ⎧（θ为参数） ⎨
⎩y =2t -1⎩y =2sin θ+1
1⎧
x =t +（t 为参数）表示的曲线是（ ）5. 方程⎪． ⎨t ⎪⎩y =2A. 一条直线 B. 两条射线 C. 一条线段 D. 抛物线的一部分
⎧x =2+sin 2θ
6. 参数方程⎨（θ为参数）化为普通方程是（ ）．
⎩y =-1+cos 2θ
A. 2x -y +4=0 B. 2x +y -4=0
C. 2x -y +4=0 x ∈[2, 3] D. 2x +y -4=0 x ∈[2, 3]
7. 设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）
35
π） B. （-32，π） 4453
C. （3，π） D. （－3，π）
44
A. （32，
8. 在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：y +kx +2=0与曲线C ：
ρ=2cos θ相交，则k 的取值范围是（ ）．
A. k
33
B. k ≥- C. k ∈R D. k ∈R 但k ≠0 44
9. 已知过曲线为
{
x =3cos θ
()y =4sin θθ为参数，0≤θ≤π上一点P 原点O 的直线PO 的倾斜角
π，则P 点坐标是
4
A. （3，4） C. （－3，－4）
B. (-12, -12)
55
D. (12, 12)
55
10. 若圆的方程为⎨
⎧x =-1+2cos θ⎧x =2t -1
（θ为参数），直线的方程为⎨（t 为参数），
⎩y =3+2sin θ⎩y =6t -1
则直线与圆的位置关系是（ ）．
A. 相交过圆心 B. 相交而不过圆心 C. 相切 D. 相离
a πa
) 为圆心，为半径的圆的方程是 ． 222
12. 在极坐标中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cos θ于A 、B 两点，
11. 在极坐标系中，以(, 则|AB|＝ ．
t ⎧
x =2+⎪2（t 为参数）13. 设直线参数方程为⎪，则它的斜截式方程为 ． ⎨
3⎪y =3+t ⎪2⎩