一、向量的内积
第三节 向量的内积与正交矩阵
向量的内积 向量组的正交规范化 正交矩阵与正交变换
1. 向量的定义与性质
设有 n 维向量 定义（P124 定义（ P124） ）
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ x = ⎜ ⎟, ⎜ ⎜x ⎟ ⎟ ⎝ n⎠
⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y2 ⎟ y = ⎜ ⎟, ⎜ ⎜y ⎟ ⎟ ⎝ n⎠
令
[ x , y ] = x1 y1 + x2 y2 +
+ x n yn = x T y
称 [ x , y ]为向量
x 与 y 的 内积 .
内积的性质（P124）
(其中 x , y , z 为n维向量, λ为实数 ) : (1) [ x , y ] = [ y , x ];
( 2)
(3)
2. 向量的长度及性质（P124） 定义 令 x =
[x , x ] =
2 x12 + x2 +
2 + xn ,
[x + y, z ] = [x, z ] + [y, z ]; [λx, y ] = λ [x, y ];
+ xn 2
称 x 为 n 维向量 x 的长度（或模或范数）.
注 (1) 当 x = 1 时, 称 x 为单位向量 . 记作 作x
x =
0
0
(4) [ x, x] ≥ 0, 且当x ≠ 0时有[ x, x] > 0.
2 2 即 [ x , x ] = x1 + x2 +
x ( x ≠ o) x
(2) 当 x
≠ 0, y ≠ 0时, θ = arccos
[x , y]
x y
称为n维向量 x与y的夹角.
例1 求向量 α = (1, 2, 2, 3 )与 β = (3,1,5,1)的夹角 .
α, β ] 18 2 解 ∵ cos θ = [ = = 2 3 2 ⋅6 α β π ∴θ = .
4
二、施密特正交化
1. 正交向量组的概念及求法
１) 正交的概念 当[ x , y ] = 0时 , 称向量 x与 y 正交 .
由定义知, 若 x = 0, 则 x 与任何向量都正交 .
向量的长度具有下述性质（P124性质5）
1. 非负性
２) ) 正交向量组的概念 交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 3) 标准正交向量组的概念 由单位向量组成的正交向量组称为 标准正交向量组．
当 x ≠ 0 时, x > 0; 当 x = 0 时, x = 0;
2. 齐次性
λx = λ x ;
x+ y ≤ x + y.
x
x+ y
y
3. 三角不等式
1
2.正交向量组的性质
定理 若n维非零向量 α1 , α 2 , , α r 是正交向量组， 则 α1 , α 2 , , α r 线性无关． （P125） 证明 设有 λ1 , λ2 , , λr 使 λ1α 1 + λ2α 2 + + λα r = 0
3.施密特正交化
通过线性组合，可以构造成一组标准正交向量组， 这个正交化过程称为向量组的正交规范化 （或称为施密特正交化方法）。 具体过程分两步：正交化、单位化
λ1α 1 α 1 = 0 以 aT 1 左乘上式两端 , 得
T
若α 1 , α 2 ,
, α r为 为一组线性无关的向量 组线性无关的向量 组 ,
由 α1 ≠ 0 ⇒ α1 α1 = α1
T
2
≠ 0, 从而有 λ1 = 0 .
（1）正交化，取 β 1 = α 1 ， β 2
α2
β2
β1 ( = α1 )
同理可得 λ2 = = λr = 0. 故α 1 ,α 2 , ,α r 线性无关 . 注：反之不成立，即一组线性无关的向量组 未必是正交向量组。
β2 = α2 − ⎣
⎡ β 1 ,α 2 ⎦ ⎤ ⎡β 1 , β1 ⎦ ⎤ ⎣
β1 ,
β3 = α3 − ⎣
βr = αr − ⎣
则
⎡ β 1 ,α 3 ⎦ ⎤ ⎡ ⎣β1 , β1 ⎤ ⎦
β1 − ⎣
⎡ ⎣β 2 , β 2 ⎤ ⎦
⎡ β 2 ,α 3 ⎦ ⎤
β2 ,
⎡ β r -1 ,α r ⎤ ⎦ β , − ⎣ r -1 ⎡ β r -1 , β r -1
⎦ ⎤ ⎣
例2 将α 1 = ⎜ 2 ⎟, α 2 = ⎜ 3 ⎟, α 3 = ⎜ − 1 ⎟正交规范化 .
⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟
⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟
⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟
⎡ β 1 ,α r ⎤ ⎦ ⎡β1 , β1 ⎦ ⎤ ⎣
β1 − ⎣
⎡β 2 , β 2 ⎦ ⎤ ⎣
⎡ β 2 ,α r ⎤ ⎦
解
β2 −
取β 1 = α 1 ;
β1 , β 2 ,
, β r 两两正交。
⎜ ⎟ 4⎜ ⎟ 5⎜ ⎟ ⎡ β ,α ⎤ β 2 = α 2 − ⎣ 1 2 ⎦ β 1 = ⎜ 3 ⎟ − ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 1 ⎟; , β β ⎡ ⎤ ⎣ 1 1⎦ ⎜ ⎟ 6⎜ ⎟ 3⎜ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ − 1⎠ ⎝ 1 ⎠
⎡ β ,α ⎤ ⎡ β ,α ⎤ β 3 = α 3 − ⎣ 1 3 ⎦ β1 − ⎣ 2 3 ⎦ β 2 ⎡β1 , β1 ⎦ ⎤ ⎡β 2 , β 2 ⎦ ⎤ ⎣ ⎣
⎛ − 1⎞
⎛ 1 ⎞
⎛ − 1⎞
（2）单位化，取
β i0 =
0 0 则 β1 , β 2 ,
βi ( i = 1, 2, βi
, r)
, β r0 为标准正交向量组。
⎛ 1⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ 5⎜ ⎟ = ⎜ − 1 ⎟ − ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ = 2⎜ 0 ⎟. 3 3 ⎜ 1⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
再把它们单位化，取
β1 =
0
三、正交矩阵与正交变换
⎛ − 1⎞ 1 ⎜ ⎟ β 0 β2 = 2 = ⎜ 1 ⎟, β2 3⎜ ⎟ ⎝ 1 ⎠
β1 β1
⎛ 1 ⎞ 1 ⎜ ⎟ = ⎜ 2 ⎟, 6⎜ ⎟ ⎝ − 1⎠
定义(P127) 若n阶方阵 A满足 AT A = E (即A− 1 = AT ), 则 称A为 正交矩阵 . ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 −1 ⎞ ⎟, ⎜ ⎟, 正交矩阵的性质： 如 ⎜
⎝ 0 −1 ⎠ ⎝ −1 0 ⎠
⎛ 1⎞ β 0 ⎟ β3 = 3 = 1 ⎜ ⎜ 0 ⎟. β3 2⎜ ⎟ ⎝ 1⎠
设 A, B 为 n 阶正交矩阵，则
(1) | A |= ±1 (2) A T , A − 1 , A ∗ 也是正交矩阵； (3) AB 也是正交矩阵。
β1 , β 2 , β 3 即为所求.
0 0 0
2
定理（P127） A为正交矩阵的充要条件是 A的列 （行）向量组是标准正交向量组。 证明
⎛ α 1T ⎞ ⎜ T⎟ ⎜α ⎟ AT A = E ⇔ ⎜ 2 ⎟ (α 1 , α 2 , , α n ) = E ⎜ ⎟ ⎜ T⎟ ⎝α n ⎠ T ⎛ α 1T α 1 α 1T α 2 α1 α n ⎞ ⎟ ⎜ T T T ⎜α α α2 α2 α2 αn ⎟ ⇔⎜ 2 1 ⎟=E ⎟ ⎜ T ⎜ α Tα α Tα αn αn ⎟ n 2 ⎠ ⎝ n 1
定义（P128） 设变量 x1 , x2 , y1 , y2 , , ym 线性表示，即
, xm能用变量
⎧ x1 = a11 y1 + a12 y2 + + a1n yn , ⎪ ⎪ x2 = a21 y1 + a22 y2 + + a2 n yn , ⎨ ⎪ ⎪x = a y + a y + + a y , m1 1 m2 2 mn n ⎩ m
其中 aij ( i = 1, ,m; j = 1, ,n ) 为常数。这 种从变量 y1 , y2 , , ym 到变量 x1 , x2 , , xm 的变换叫做线性变换。线性变换的系数所构成 的矩阵 A = ( aij ) 称为线性变换的系数矩阵。显 然，线性变换可以写成 x = Ay ，其中 T T x = ( x 1 , x 2 , , x m ) , y = ( y1 , y 2 , , y m )
⎧1, 当 i = j; T ⇔ αi α j = ⎨ ⎩ 0, 当i ≠ j
(i, j = 1,2,
, n)
例3 判别下列矩阵是否为正交阵． 定义(P129)若P为正交阵，则 y = Px 称为正交变换． 性质 正交变换保持向量的长度、向量间夹角不变．
（正交变换保持向量的几何特征不变）
−
1 2 1 3⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ (1) ⎜ − 1 2 1 1 2 ⎟ ⎜ 13 1 2 − 1⎟ ⎠ ⎝
证明 设y = Px为正交变换 ,
则有 y = cos θ = yT y = x T P T Px P = xT x = x .
T
( y1 , y2 ) y y = 1 2 y1 ⋅ y2 x1 ⋅ x2
T (x , x ) ( Px1 )T ( Px2 ) x1 P T Px2 = 1 2 = x1 ⋅ x2 x1 ⋅ x2 x1 ⋅ x2
=
⎛ 1 ⎜ ⎜ 9 (2 ) ⎜ − 8 ⎜ 9 ⎜ 4 ⎜− ⎝ 9
8 9 1 9 4 − 9 −
4⎞ ⎟ 9⎟ 4⎟ − . 9⎟ 7 ⎟ ⎟ 9 ⎠ −
解
(1) ⎜ − 1 2
⎜ 13 ⎝
⎛ 1 ⎜
− 1 2 1 3⎞ ⎟ 1 1 2⎟ 1 2 − 1⎟ ⎠
考察矩阵的第一列和第二列， 由于
1 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 × ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ × 1 + × ≠ 0, 3 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
由于
⎛ 1 ⎜ ⎜ 9 (2 ) ⎜ − 8 ⎜ 9 ⎜ 4 ⎜− ⎝ 9
8 9 1 9 4 − 9
8 9 1 9 4 − 9 − −
4⎞ ⎟ 9⎟ 4⎟ − 9⎟ 7 ⎟ ⎟ 9 ⎠
4⎞ ⎟ 9⎟ 4⎟ − 9⎟ 7 ⎟ ⎟ 9 ⎠ −
所以它不是正交矩阵．
⎛ 1 ⎜ ⎜ 9 ⎜− 8 ⎜ 9 ⎜ 4 ⎜− ⎝ 9
−
⎛ 1 ⎜ 9 ⎜−8 9 ⎜ ⎜−4 ⎝ 9
8 9 1 9 4 − 9
−
4 ⎞ 9⎟ ⎛1 ⎜ 4 − ⎟ = ⎜0 9 ⎜0 7 ⎟ ⎟ ⎝ 9 ⎠
T
−
0 1 0
0⎞ ⎟ 0⎟ 1⎟ ⎠
所以它是正交矩阵．
3
一、向量的内积
第三节 向量的内积与正交矩阵
向量的内积 向量组的正交规范化 正交矩阵与正交变换
1. 向量的定义与性质
设有 n 维向量 定义（P124 定义（ P124） ）
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ x = ⎜ ⎟, ⎜ ⎜x ⎟ ⎟ ⎝ n⎠
⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y2 ⎟ y = ⎜ ⎟, ⎜ ⎜y ⎟ ⎟ ⎝ n⎠
令
[ x , y ] = x1 y1 + x2 y2 +
+ x n yn = x T y
称 [ x , y ]为向量
x 与 y 的 内积 .
内积的性质（P124）
(其中 x , y , z 为n维向量, λ为实数 ) : (1) [ x , y ] = [ y , x ];
( 2)
(3)
2. 向量的长度及性质（P124） 定义 令 x =
[x , x ] =
2 x12 + x2 +
2 + xn ,
[x + y, z ] = [x, z ] + [y, z ]; [λx, y ] = λ [x, y ];
+ xn 2
称 x 为 n 维向量 x 的长度（或模或范数）.
注 (1) 当 x = 1 时, 称 x 为单位向量 . 记作 作x
x =
0
0
(4) [ x, x] ≥ 0, 且当x ≠ 0时有[ x, x] > 0.
2 2 即 [ x , x ] = x1 + x2 +
x ( x ≠ o) x
(2) 当 x
≠ 0, y ≠ 0时, θ = arccos
[x , y]
x y
称为n维向量 x与y的夹角.
例1 求向量 α = (1, 2, 2, 3 )与 β = (3,1,5,1)的夹角 .
α, β ] 18 2 解 ∵ cos θ = [ = = 2 3 2 ⋅6 α β π ∴θ = .
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二、施密特正交化
1. 正交向量组的概念及求法
１) 正交的概念 当[ x , y ] = 0时 , 称向量 x与 y 正交 .
由定义知, 若 x = 0, 则 x 与任何向量都正交 .
向量的长度具有下述性质（P124性质5）
1. 非负性
２) ) 正交向量组的概念 交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 3) 标准正交向量组的概念 由单位向量组成的正交向量组称为 标准正交向量组．
当 x ≠ 0 时, x > 0; 当 x = 0 时, x = 0;
2. 齐次性
λx = λ x ;
x+ y ≤ x + y.
x
x+ y
y
3. 三角不等式
1
2.正交向量组的性质
定理 若n维非零向量 α1 , α 2 , , α r 是正交向量组， 则 α1 , α 2 , , α r 线性无关． （P125） 证明 设有 λ1 , λ2 , , λr 使 λ1α 1 + λ2α 2 + + λα r = 0
3.施密特正交化
通过线性组合，可以构造成一组标准正交向量组， 这个正交化过程称为向量组的正交规范化 （或称为施密特正交化方法）。 具体过程分两步：正交化、单位化
λ1α 1 α 1 = 0 以 aT 1 左乘上式两端 , 得
T
若α 1 , α 2 ,
, α r为 为一组线性无关的向量 组线性无关的向量 组 ,
由 α1 ≠ 0 ⇒ α1 α1 = α1
T
2
≠ 0, 从而有 λ1 = 0 .
（1）正交化，取 β 1 = α 1 ， β 2
α2
β2
β1 ( = α1 )
同理可得 λ2 = = λr = 0. 故α 1 ,α 2 , ,α r 线性无关 . 注：反之不成立，即一组线性无关的向量组 未必是正交向量组。
β2 = α2 − ⎣
⎡ β 1 ,α 2 ⎦ ⎤ ⎡β 1 , β1 ⎦ ⎤ ⎣
β1 ,
β3 = α3 − ⎣
βr = αr − ⎣
则
⎡ β 1 ,α 3 ⎦ ⎤ ⎡ ⎣β1 , β1 ⎤ ⎦
β1 − ⎣
⎡ ⎣β 2 , β 2 ⎤ ⎦
⎡ β 2 ,α 3 ⎦ ⎤
β2 ,
⎡ β r -1 ,α r ⎤ ⎦ β , − ⎣ r -1 ⎡ β r -1 , β r -1
⎦ ⎤ ⎣
例2 将α 1 = ⎜ 2 ⎟, α 2 = ⎜ 3 ⎟, α 3 = ⎜ − 1 ⎟正交规范化 .
⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟
⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟
⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟
⎡ β 1 ,α r ⎤ ⎦ ⎡β1 , β1 ⎦ ⎤ ⎣
β1 − ⎣
⎡β 2 , β 2 ⎦ ⎤ ⎣
⎡ β 2 ,α r ⎤ ⎦
解
β2 −
取β 1 = α 1 ;
β1 , β 2 ,
, β r 两两正交。
⎜ ⎟ 4⎜ ⎟ 5⎜ ⎟ ⎡ β ,α ⎤ β 2 = α 2 − ⎣ 1 2 ⎦ β 1 = ⎜ 3 ⎟ − ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 1 ⎟; , β β ⎡ ⎤ ⎣ 1 1⎦ ⎜ ⎟ 6⎜ ⎟ 3⎜ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ − 1⎠ ⎝ 1 ⎠
⎡ β ,α ⎤ ⎡ β ,α ⎤ β 3 = α 3 − ⎣ 1 3 ⎦ β1 − ⎣ 2 3 ⎦ β 2 ⎡β1 , β1 ⎦ ⎤ ⎡β 2 , β 2 ⎦ ⎤ ⎣ ⎣
⎛ − 1⎞
⎛ 1 ⎞
⎛ − 1⎞
（2）单位化，取
β i0 =
0 0 则 β1 , β 2 ,
βi ( i = 1, 2, βi
, r)
, β r0 为标准正交向量组。
⎛ 1⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ 5⎜ ⎟ = ⎜ − 1 ⎟ − ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ = 2⎜ 0 ⎟. 3 3 ⎜ 1⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
再把它们单位化，取
β1 =
0
三、正交矩阵与正交变换
⎛ − 1⎞ 1 ⎜ ⎟ β 0 β2 = 2 = ⎜ 1 ⎟, β2 3⎜ ⎟ ⎝ 1 ⎠
β1 β1
⎛ 1 ⎞ 1 ⎜ ⎟ = ⎜ 2 ⎟, 6⎜ ⎟ ⎝ − 1⎠
定义(P127) 若n阶方阵 A满足 AT A = E (即A− 1 = AT ), 则 称A为 正交矩阵 . ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 −1 ⎞ ⎟, ⎜ ⎟, 正交矩阵的性质： 如 ⎜
⎝ 0 −1 ⎠ ⎝ −1 0 ⎠
⎛ 1⎞ β 0 ⎟ β3 = 3 = 1 ⎜ ⎜ 0 ⎟. β3 2⎜ ⎟ ⎝ 1⎠
设 A, B 为 n 阶正交矩阵，则
(1) | A |= ±1 (2) A T , A − 1 , A ∗ 也是正交矩阵； (3) AB 也是正交矩阵。
β1 , β 2 , β 3 即为所求.
0 0 0
2
定理（P127） A为正交矩阵的充要条件是 A的列 （行）向量组是标准正交向量组。 证明
⎛ α 1T ⎞ ⎜ T⎟ ⎜α ⎟ AT A = E ⇔ ⎜ 2 ⎟ (α 1 , α 2 , , α n ) = E ⎜ ⎟ ⎜ T⎟ ⎝α n ⎠ T ⎛ α 1T α 1 α 1T α 2 α1 α n ⎞ ⎟ ⎜ T T T ⎜α α α2 α2 α2 αn ⎟ ⇔⎜ 2 1 ⎟=E ⎟ ⎜ T ⎜ α Tα α Tα αn αn ⎟ n 2 ⎠ ⎝ n 1
定义（P128） 设变量 x1 , x2 , y1 , y2 , , ym 线性表示，即
, xm能用变量
⎧ x1 = a11 y1 + a12 y2 + + a1n yn , ⎪ ⎪ x2 = a21 y1 + a22 y2 + + a2 n yn , ⎨ ⎪ ⎪x = a y + a y + + a y , m1 1 m2 2 mn n ⎩ m
其中 aij ( i = 1, ,m; j = 1, ,n ) 为常数。这 种从变量 y1 , y2 , , ym 到变量 x1 , x2 , , xm 的变换叫做线性变换。线性变换的系数所构成 的矩阵 A = ( aij ) 称为线性变换的系数矩阵。显 然，线性变换可以写成 x = Ay ，其中 T T x = ( x 1 , x 2 , , x m ) , y = ( y1 , y 2 , , y m )
⎧1, 当 i = j; T ⇔ αi α j = ⎨ ⎩ 0, 当i ≠ j
(i, j = 1,2,
, n)
例3 判别下列矩阵是否为正交阵． 定义(P129)若P为正交阵，则 y = Px 称为正交变换． 性质 正交变换保持向量的长度、向量间夹角不变．
（正交变换保持向量的几何特征不变）
−
1 2 1 3⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ (1) ⎜ − 1 2 1 1 2 ⎟ ⎜ 13 1 2 − 1⎟ ⎠ ⎝
证明 设y = Px为正交变换 ,
则有 y = cos θ = yT y = x T P T Px P = xT x = x .
T
( y1 , y2 ) y y = 1 2 y1 ⋅ y2 x1 ⋅ x2
T (x , x ) ( Px1 )T ( Px2 ) x1 P T Px2 = 1 2 = x1 ⋅ x2 x1 ⋅ x2 x1 ⋅ x2
=
⎛ 1 ⎜ ⎜ 9 (2 ) ⎜ − 8 ⎜ 9 ⎜ 4 ⎜− ⎝ 9
8 9 1 9 4 − 9 −
4⎞ ⎟ 9⎟ 4⎟ − . 9⎟ 7 ⎟ ⎟ 9 ⎠ −
解
(1) ⎜ − 1 2
⎜ 13 ⎝
⎛ 1 ⎜
− 1 2 1 3⎞ ⎟ 1 1 2⎟ 1 2 − 1⎟ ⎠
考察矩阵的第一列和第二列， 由于
1 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 × ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ × 1 + × ≠ 0, 3 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
由于
⎛ 1 ⎜ ⎜ 9 (2 ) ⎜ − 8 ⎜ 9 ⎜ 4 ⎜− ⎝ 9
8 9 1 9 4 − 9
8 9 1 9 4 − 9 − −
4⎞ ⎟ 9⎟ 4⎟ − 9⎟ 7 ⎟ ⎟ 9 ⎠
4⎞ ⎟ 9⎟ 4⎟ − 9⎟ 7 ⎟ ⎟ 9 ⎠ −
所以它不是正交矩阵．
⎛ 1 ⎜ ⎜ 9 ⎜− 8 ⎜ 9 ⎜ 4 ⎜− ⎝ 9
−
⎛ 1 ⎜ 9 ⎜−8 9 ⎜ ⎜−4 ⎝ 9
8 9 1 9 4 − 9
−
4 ⎞ 9⎟ ⎛1 ⎜ 4 − ⎟ = ⎜0 9 ⎜0 7 ⎟ ⎟ ⎝ 9 ⎠
T
−
0 1 0
0⎞ ⎟ 0⎟ 1⎟ ⎠
所以它是正交矩阵．
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