双曲线习题
x 2y 2x 2y 2
+=1(m n 0)与双曲线-【例1】若椭圆=1(a b 0) 有相同的焦点F ，F ，P 是两条曲m n a b
1
2
线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是 （ ）
A. m -a B. 双曲线的实半轴为
1
(m -a ) C. m 2-a 2 D. m -a
2
∴PF 1+PF 2=(1)
(2)
∴PF 1-PF 2=±(1)-(2)
22
：4PF 1⋅PF 2=4(m -a )⇒PF 1⋅PF 2=m -a ，故选A.
x 2y 2
，F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PM +1PF 最小，-=1与点M （5，3）
9272
N ′
N 【例2】已知双曲线则P 点的坐标为
【解析】双曲线的右焦点F （6，0）3
右准线为l ：x =. 作MN ⊥l 于N ，交双曲线右支于P ，
2
1
PF . 此时 连FP ，则PF =e PN =2PN ⇒PN =2
PM
137+PF =PM +PN =MN =5-=为最小. 225
22
2x y 在取x =. 所求P 点的坐标
为 x 0，
∴-=1中，令y =3，
得x =12⇒x =927
. （3）
（2）渐近线——双曲线与直线相约天涯
对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.
双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围. 由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.
【例3】过点（1，3）且渐近线为
1
y =±x 的双曲线方程是
2
x 2
-y 2=k 【解析】设所求双曲线为4
点（1，3）代入：k
(1)
=
135
-9=-. 代入（1）： 44
x 2354y 2x 22
-y =-⇒-=1即为所求. 443535
x 2y 2x 2y 2x y
=0即为其渐近线. 根据这一点，可以简洁地设待求【评注】在双曲线2-2=1中，令2-2=0⇒±
a b a b a b
x 2y 2
双曲线为2-2=k ，而无须考虑其实、虚轴的位置.
a b
（3）共轭双曲线—— 虚、实易位的孪生弟兄
x 2y 2x 2y 2
将双曲线2-2=1的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：2-2=1. 这两个双曲线就是互相共轭的双曲线. 它
a b b a
们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.
【例4】两共轭双曲线的离心率分别为e 1, e 2，证明：
11
+2e 12e 2
=1.
x 2y 2c c 2a 2+b 22
【证明】双曲线2-2=1的离心率e 1=⇒e 1=2=
a a a 2a b x 2y 2c c 2a 2+b 22
双曲线2-2=1的离心率e 2=⇒e 2=2=
b b b 2b a
.
；
11a 2b 2
∴2+2=2+=1. e 1e 2a +b 2a 2+b 2
（4）等轴双曲线——和谐对称 与圆同美
实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.
【例5】设CD 是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角. 【证明】如图设等轴双曲线方程为x 直线CD ：y=m.代入（1）
：x =2
-y 2=a 2
(1)，
. 故有：
C m , D
取双曲线右顶点B
(
)m
)
.
A B
X
(a ,0). 那么：
BC =a , m , BD =
(
)a , m
)
2222
⎤ BC ⋅BD =⎡⎣a -(a +m )⎦+m =0, ∴BC ⊥BD . 即∠CBD=90°.
同理可证：∠CAD=90°.
● 通法 特法 妙法
（1）方程法——为解析几何正名
解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.
x 2y 2
【例6】如图，F 1和F 2分别是双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以O
F 1
a b
为
半径的圆与该
双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双 曲线的离心率为（ ）
（A ）
3 （B ）5 （C ）
5
（D ）1+3 2
【解析1】设AB 交x 轴于M ，并设双曲线半焦距为c ，∵△F 2
AB 是等边三角形，∴
c OM =, MA =
. 点
2⎛c ⎫
A -2⎪⎪代入双曲线方程： ⎝⎭
c 23
b ⋅-a 2⋅c 2=a 2b 2⇒c 2(c 2-a 2)-3a 2c 2=4a 2(c 2-a 2). 化简得：
44
2
c 4-8a 2c 2+4a 4=0⇒e 4-8e 2+4=0⇒e 2=4+e =1.
（∵e ＞1
，∴e
2
=4-
e =1舍去）故选D.
【解析2】连AF 1，则△AF 1F 2为直角三角形，且斜边F 1F 2之长为2c. 令
AF 1=r 1, AF 2=r 2. 由直角三角形性质知：
⎧r 2-r 1=2a
⎧r 1=c ⎪
⇒. ⎨1⎨
r 2⋅2c =r 1r 2⎩r 2=2a +c ⎪⎩2
∵r 1
2
+r 22=4c 2, ∴(2a +c )+c 2=4c 2⇒2a 2+2ac -c 2=0⇒e 2-2e -2=0.
2
∵e ﹥1
，∴取e =1. 选D.
【评注】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段.
（2）转换法——为解题化归立意
x 2y 2
【例7】直线l 过双曲线2-2=1的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离
a b
心率e 的范围是 （ ）
A .e >
2 B.15
【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就 考虑转换吧. 其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握， 但是和两条渐近线都有交点却很好掌握. 其二，因为已知直线 的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的 渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与 之相交. 故有如下妙解.
【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线
F
X
l
m 的倾斜角为β. 显然。当β＞α时直线l 与双曲线的两
个交点分别在左右两支上. 由
b c 2-a 2
β>α⇒tan β>tan α⇒>2⇒>4⇒e 2>5. 2
a a
∵双曲线中e
（3）几何法——使数形结合带上灵性
>1，故取e >5. 选D.
y 2
=1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，【例8】设P 为双曲线x -若|PF 则△PF 1|:|PF 2|=3:2，1F 212
2
的面积为（ ）
A
．
B ．12
C. D ．24
【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是
：
a =1, b =3c . 设； 13
PF 1=3r , PF 2=2r . PF 1-PF 2=2a =2, ∴r =2.
于是
PF 1=6, PF 2=4. PF 1+PF 2=52=F 1F 2
222
，
故知△PF 1F 2是直角三角形，∠F 1P F2=90°.
∴S ∆PF F
12
=
11
PF 1⋅PF 2=⨯6⨯4=12. 选B. 22
【评注】解题中发现△PF 1F 2是直角三角形，是事前 不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能 临场发现的.
将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维 能力，这正是命题人的高明之处.
（4）设而不求——与借舟弃舟同理
减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求. 请看下例： 【例9】双曲线x A.
2
，则此弦所在的直线方程为 （ ） -y 2=1的一弦中点为（2，1）
y =2x -1 B. y =2x -2 C. y =2x -3 D. y =2x +3
【解析】设弦的两端分别为A
(x y ), B (x
1, 1
2,
y 2). 则有：
.
⎧x 12-y 12=1y 1-y 2x 1+x 22222⇒x -x -y -y =0⇒=()()⎨212122
x -x y 1+y 212⎩x 2-y 2=1
∵弦中点为（2，1），∴⎨
⎧x 1+x 2=4y -y 2x 1+x 2
. 故直线的斜率k =1==2.
x 1-x 2y 1+y 2⎩y 1+y 2=2
则所求直线方程为：
y -1=2(x -2)⇒y =2x -3，故选C.
“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.
但是，“设而不求”的手段应当慎用. 不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子. 请看：
y 2
=1上，是否存在被点M （1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，【例10】在双曲线x -2
2
请说明理由.
如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：
【错解】假定存在符合条件的弦AB ，其两端分别为：A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）. 那么：
⎧212
x 1-y 1=1⎪1⎪2
⇒x -x x +x -()()(y 1-y 2)(y 1+y 2)=0⎨1212
2⎪x 2-1y 2=1
22⎪⎩2
∵M （1，1）为弦AB 的中点， ∴⎨
(1).
⎧x 1+x 2=2⎩y 1+y 2=2
代入(1)：2(x 1-x 2)-(y 1-y 2)=0，∴k AB =
y 1-y 2
=2
x 1-x 2
故存在符合条件的直线AB ，其方程为：
y -1=2(x -1)，即y =2x -1.
这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：
11y 2
=1，发现左式=1-=＜1，故点M （1，1）在双曲线的外部；其二：所其一：将点M （1，1）代入方程x -
222
2
求直线AB 的斜率k AB 得结论也是荒唐的.
=2，而双曲线的渐近线为y =. 2，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所
问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件. 【正解】在上述解法的基础上应当加以验证. 由
⎧2y 2
=12⎪x -
⇒2x 2-(2x -1)=2⇒2x 2-4x +3=02⎨
⎪y =2x -1⎩
这里∆
此外，上述解法还疏忽了一点：只有当x 1曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.
结论；不存在符合题设条件的直线.
（5）设参消参——换元自如 地阔天宽
(2)
=16-24 0，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.
≠x 2时才可能求出k=2.若x 1=x 2，必有y 1=y 2=0. 说明这时直线与双
一道难度较大的解析几何综合题，往往牵涉到多个变量. 要从中理出头绪，不能不恰当地处理那些非主要的变量，这就要用到参数法，先设参，再消参.
【例11】如图，点F 为双曲线C 的左焦点，左准线l 交线段PF 的中点M 在双曲线C 的左支上.
（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程；
（Ⅱ）若过点F 的直线m 与双曲线C 的左右
x 轴于点Q ，点P 是l 上的一点，已知|PQ |=|FQ |=1，且
两支分别交于
A 、B 两点，设FB =λFA ，当
λ∈[6, +∞) 时，求直线m 的斜率k 的取值范围.
【分析】第（Ⅰ）问中，线段PF 的中点M 的坐标是主要变量，其它都是辅助变量. 注意到
点M 是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向
第（Ⅱ）中，直线m 的斜率k 是主要变量，其它包括λ都是辅助变量. 斜率k 的几何意义是有关直线倾斜角θ的正切，所以设置直线m 的参数方程，而后将参数λ用θ的三角式表示，是一个不错的选择.
【解析】（Ⅰ）设所求双曲线为：x 2a -y 2a 2
2b 2=1. 其左焦点为F （-c 。0）；左准线：x =-
c .
由|PQ |=1，得P （-
a 2
，1）；由|FQ |=1⇒c -a 2b 2
c
c =1⇒c
=1⇒b 2=c . (1)
2
2
2
2FP 的中点为M ⎛ ⎝
-c +a c , 1⎫(c +a )2
2⎪. 代入双曲线方程：⎭4c 2a 2
-1
4c =1 ⇒(c 2
+a
2)2
-a 2
c =4c 2
a 2
⇒(c 2
-a
2)
2
=a 2c ⇒b 4=a 2c
(2)
根据（1）与（2）c =a 2
=b 2
, ∴c =a 2
c
+1=2. 所求双曲线方程为x 2-y 2=2. （Ⅱ）设直线m 的参数方程为：⎨
⎧x =-2+t cos α=t sin α
. 代入x 2-y 2
=2得：
⎩y (-2+t cos α)-(t sin α)=2⇒t 2cos2α-4t cos α+2=0
(3)
当
cos 2α≠0时， ∆=16cos 2α-8(2cos 2α-1)=8 0
，方程（3）总有相异二实根，⎧
t t ⎪⎪t 1+t 2=4cos αcos 2α
1，2. 那么⎨
⎪(4).
⎪⎩
t 1⋅t 2=2cos 2αB
已知直线m 与双曲线C 的左右两支分别交于A 、两点，∴FB 与FA 同向，
2
故λ=FB FA =t 2
t 0，. 于是：λ+1=t 2+t 1=t 2+t 221=(t 1+t 2)-2 1λt 1t 2t 1t 2t 1t 2
2
2
. 注意到λ
+
1
λ
在λ∈[6, +∞) 上是增函数，
∴(t 1+t 2
)-2≥6+1
⇒(t 1+t 2)49t 1t 2
6t t ≥
(5)
126
2
（4）代入（5）：6⎛
4c o s α⎫⎪2
⇒48c o s
⎝o c s 2α⎭≥49o c
s 2⋅α
4922
c o s α≥1
(
50c o s 2α4-9
)⇒
2
α≤
设为
⇒sec 2α≥
∵双曲线x
50111⇒tan 2α≥⇒k ≥或k ≤- 494977
2
-y 2=2的渐近线斜率为±1，故直线m 与双曲线C
的左右两支分别交必须
1⎤⎡1⎫
-1，-⋃⎢，1⎪. k ∈(-11，). 综合得直线m 的斜率k 的取值范围是k ∈⎛ ⎥7⎦⎣7⎭⎝
双曲线
1已知中心在原点，顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率e =
的双曲线过点P (6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l 经过△3
A 1PA 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M 、N ，问是否存在直线l , 使G 平分线段MN ，证明你的结论
x 2y 26262a 2+b 2212
=, 解得a 2=9,b 2=12所以所求双曲(1)如图，设双曲线方程为2-2由已知得2-2=1, e =2
3a b a b a
x 2y 2
-线方程为=1 912
(2)P 、A 1、A 2的坐标依次为(6,6)、(3，0) 、(－3，0），∴其重心G 的坐标为(2，2） 假设存在直线l ，使G (2，2) 平分线段MN ，设M (x 1, y 1) ，N (x 2, y 2则有
⎧x 1+x 2=4⎧y 1-y 2124⎪12x -9y =1084
, ⇒==，∴k =∴l 的方程为 l ⎨⎨22
y +y =43x -x 93⎪⎩1212⎩12x 2-9y 2=108
⎧12x 2-9y 2=1084⎪y = (x －2)+2,由⎨, 消去y , 整理得x 2－4x +28=0∵Δ=16－4×28＜0, ∴所求43⎪y =(x -2)
3⎩
2121
直线l 不存在
y 2
=1, 问过点A （1，1）能否作直线l , 使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？2．已知双曲线x -2
2
若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由。
错解 设符合题意的直线l 存在，并设P (x 1, x 2) 、Q (x 2, y 2)
⎧2y 12
=1(1) ⎪x 1-1⎪2 则⎨ （1）-(2) 得(x 1-x 2)(x 1+x 2) =(y 1-y 2)(y 1+y 2) (3) 因为A （1，22⎪x 2-y 2=1(2)
2⎪2⎩
1）为线段PQ 的中点， 所以⎨
⎧x 1+x 2=2(4) 1
将(4)、(5)代入（3）得 x 1-x 2=(y 1-y 2)
2⎩y 1+y 2=2(5)
k =
y 1-y 2
=2 所以符合题设条件的直线l
x 1-x 2
存在。 其方程为
若
x 1≠x 2，则直线l
的斜率
2x -y -1=0 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所
求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。 应在上述解题的基础上，再由
⎧y =2x -1⎪2
得2x -4x +3=0 根据∆=-8
=1⎪x -2⎩
1y 2
=1于A 、B 两点，且=(+) （1）求直线AB 的方程；3已知点N （1，2），过点N 的直线交双曲线x -
22
2
（2）若过N 的直线l 交双曲线于C 、D 两点，且⋅=0，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？
y 2
=1得 (2-k 2) x 2-2k (2-k ) x -(2-k ) 2-2=0 （＊）解：（1）设直线AB ：y =k (x -1) +2代入x - 2
2k (2-k ) 2
令A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1、x 2是方程的两根 ∴ 2-k ≠0 且 x 1+x 2=
2-k 2
1x +x
(+) ∴ N 是AB 的中点 ∴12=1 ∵ =22
2
∴ k (2-k ) =-k +2 k = 1 ∴AB 方程为：y = x + 1
2
（2）将k = 1代入方程（＊）得x -2x -3=0 x =-1或x =3 由y =x +1得y 1=0，y 2=4 ∴
2
A (-1, 0) ，B (3, 4) ∵ ⋅=0 ∴ CD 垂直平分AB ∴ CD 所在直线方程为
y =-(x -1) +2即y =3-x 代入双曲线方程整理得x +6x -11=0 令C (x 3, y 3) ，D (x 4, y 4) 及CD 中点
2
M (x 0, y 0) 则x 3+x 4=-6，x 3⋅x 4=-11， ∴x 0=
|CD | =4，|MC |=|MD |=
x 3+x 4
=-3， y 0=6 2
1
|CD |=2 |MA |=|MB |=2，即A 、B 、C 、D 到M 距离相等 2
∴ A 、B 、C 、D 四点共圆
双曲线习题
x 2y 2x 2y 2
+=1(m n 0)与双曲线-【例1】若椭圆=1(a b 0) 有相同的焦点F ，F ，P 是两条曲m n a b
1
2
线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是 （ ）
A. m -a B. 双曲线的实半轴为
1
(m -a ) C. m 2-a 2 D. m -a
2
∴PF 1+PF 2=(1)
(2)
∴PF 1-PF 2=±(1)-(2)
22
：4PF 1⋅PF 2=4(m -a )⇒PF 1⋅PF 2=m -a ，故选A.
x 2y 2
，F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PM +1PF 最小，-=1与点M （5，3）
9272
N ′
N 【例2】已知双曲线则P 点的坐标为
【解析】双曲线的右焦点F （6，0）3
右准线为l ：x =. 作MN ⊥l 于N ，交双曲线右支于P ，
2
1
PF . 此时 连FP ，则PF =e PN =2PN ⇒PN =2
PM
137+PF =PM +PN =MN =5-=为最小. 225
22
2x y 在取x =. 所求P 点的坐标
为 x 0，
∴-=1中，令y =3，
得x =12⇒x =927
. （3）
（2）渐近线——双曲线与直线相约天涯
对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.
双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围. 由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.
【例3】过点（1，3）且渐近线为
1
y =±x 的双曲线方程是
2
x 2
-y 2=k 【解析】设所求双曲线为4
点（1，3）代入：k
(1)
=
135
-9=-. 代入（1）： 44
x 2354y 2x 22
-y =-⇒-=1即为所求. 443535
x 2y 2x 2y 2x y
=0即为其渐近线. 根据这一点，可以简洁地设待求【评注】在双曲线2-2=1中，令2-2=0⇒±
a b a b a b
x 2y 2
双曲线为2-2=k ，而无须考虑其实、虚轴的位置.
a b
（3）共轭双曲线—— 虚、实易位的孪生弟兄
x 2y 2x 2y 2
将双曲线2-2=1的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：2-2=1. 这两个双曲线就是互相共轭的双曲线. 它
a b b a
们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.
【例4】两共轭双曲线的离心率分别为e 1, e 2，证明：
11
+2e 12e 2
=1.
x 2y 2c c 2a 2+b 22
【证明】双曲线2-2=1的离心率e 1=⇒e 1=2=
a a a 2a b x 2y 2c c 2a 2+b 22
双曲线2-2=1的离心率e 2=⇒e 2=2=
b b b 2b a
.
；
11a 2b 2
∴2+2=2+=1. e 1e 2a +b 2a 2+b 2
（4）等轴双曲线——和谐对称 与圆同美
实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.
【例5】设CD 是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角. 【证明】如图设等轴双曲线方程为x 直线CD ：y=m.代入（1）
：x =2
-y 2=a 2
(1)，
. 故有：
C m , D
取双曲线右顶点B
(
)m
)
.
A B
X
(a ,0). 那么：
BC =a , m , BD =
(
)a , m
)
2222
⎤ BC ⋅BD =⎡⎣a -(a +m )⎦+m =0, ∴BC ⊥BD . 即∠CBD=90°.
同理可证：∠CAD=90°.
● 通法 特法 妙法
（1）方程法——为解析几何正名
解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.
x 2y 2
【例6】如图，F 1和F 2分别是双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以O
F 1
a b
为
半径的圆与该
双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双 曲线的离心率为（ ）
（A ）
3 （B ）5 （C ）
5
（D ）1+3 2
【解析1】设AB 交x 轴于M ，并设双曲线半焦距为c ，∵△F 2
AB 是等边三角形，∴
c OM =, MA =
. 点
2⎛c ⎫
A -2⎪⎪代入双曲线方程： ⎝⎭
c 23
b ⋅-a 2⋅c 2=a 2b 2⇒c 2(c 2-a 2)-3a 2c 2=4a 2(c 2-a 2). 化简得：
44
2
c 4-8a 2c 2+4a 4=0⇒e 4-8e 2+4=0⇒e 2=4+e =1.
（∵e ＞1
，∴e
2
=4-
e =1舍去）故选D.
【解析2】连AF 1，则△AF 1F 2为直角三角形，且斜边F 1F 2之长为2c. 令
AF 1=r 1, AF 2=r 2. 由直角三角形性质知：
⎧r 2-r 1=2a
⎧r 1=c ⎪
⇒. ⎨1⎨
r 2⋅2c =r 1r 2⎩r 2=2a +c ⎪⎩2
∵r 1
2
+r 22=4c 2, ∴(2a +c )+c 2=4c 2⇒2a 2+2ac -c 2=0⇒e 2-2e -2=0.
2
∵e ﹥1
，∴取e =1. 选D.
【评注】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段.
（2）转换法——为解题化归立意
x 2y 2
【例7】直线l 过双曲线2-2=1的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离
a b
心率e 的范围是 （ ）
A .e >
2 B.15
【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就 考虑转换吧. 其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握， 但是和两条渐近线都有交点却很好掌握. 其二，因为已知直线 的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的 渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与 之相交. 故有如下妙解.
【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线
F
X
l
m 的倾斜角为β. 显然。当β＞α时直线l 与双曲线的两
个交点分别在左右两支上. 由
b c 2-a 2
β>α⇒tan β>tan α⇒>2⇒>4⇒e 2>5. 2
a a
∵双曲线中e
（3）几何法——使数形结合带上灵性
>1，故取e >5. 选D.
y 2
=1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，【例8】设P 为双曲线x -若|PF 则△PF 1|:|PF 2|=3:2，1F 212
2
的面积为（ ）
A
．
B ．12
C. D ．24
【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是
：
a =1, b =3c . 设； 13
PF 1=3r , PF 2=2r . PF 1-PF 2=2a =2, ∴r =2.
于是
PF 1=6, PF 2=4. PF 1+PF 2=52=F 1F 2
222
，
故知△PF 1F 2是直角三角形，∠F 1P F2=90°.
∴S ∆PF F
12
=
11
PF 1⋅PF 2=⨯6⨯4=12. 选B. 22
【评注】解题中发现△PF 1F 2是直角三角形，是事前 不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能 临场发现的.
将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维 能力，这正是命题人的高明之处.
（4）设而不求——与借舟弃舟同理
减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求. 请看下例： 【例9】双曲线x A.
2
，则此弦所在的直线方程为 （ ） -y 2=1的一弦中点为（2，1）
y =2x -1 B. y =2x -2 C. y =2x -3 D. y =2x +3
【解析】设弦的两端分别为A
(x y ), B (x
1, 1
2,
y 2). 则有：
.
⎧x 12-y 12=1y 1-y 2x 1+x 22222⇒x -x -y -y =0⇒=()()⎨212122
x -x y 1+y 212⎩x 2-y 2=1
∵弦中点为（2，1），∴⎨
⎧x 1+x 2=4y -y 2x 1+x 2
. 故直线的斜率k =1==2.
x 1-x 2y 1+y 2⎩y 1+y 2=2
则所求直线方程为：
y -1=2(x -2)⇒y =2x -3，故选C.
“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.
但是，“设而不求”的手段应当慎用. 不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子. 请看：
y 2
=1上，是否存在被点M （1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，【例10】在双曲线x -2
2
请说明理由.
如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：
【错解】假定存在符合条件的弦AB ，其两端分别为：A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）. 那么：
⎧212
x 1-y 1=1⎪1⎪2
⇒x -x x +x -()()(y 1-y 2)(y 1+y 2)=0⎨1212
2⎪x 2-1y 2=1
22⎪⎩2
∵M （1，1）为弦AB 的中点， ∴⎨
(1).
⎧x 1+x 2=2⎩y 1+y 2=2
代入(1)：2(x 1-x 2)-(y 1-y 2)=0，∴k AB =
y 1-y 2
=2
x 1-x 2
故存在符合条件的直线AB ，其方程为：
y -1=2(x -1)，即y =2x -1.
这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：
11y 2
=1，发现左式=1-=＜1，故点M （1，1）在双曲线的外部；其二：所其一：将点M （1，1）代入方程x -
222
2
求直线AB 的斜率k AB 得结论也是荒唐的.
=2，而双曲线的渐近线为y =. 2，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所
问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件. 【正解】在上述解法的基础上应当加以验证. 由
⎧2y 2
=12⎪x -
⇒2x 2-(2x -1)=2⇒2x 2-4x +3=02⎨
⎪y =2x -1⎩
这里∆
此外，上述解法还疏忽了一点：只有当x 1曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.
结论；不存在符合题设条件的直线.
（5）设参消参——换元自如 地阔天宽
(2)
=16-24 0，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.
≠x 2时才可能求出k=2.若x 1=x 2，必有y 1=y 2=0. 说明这时直线与双
一道难度较大的解析几何综合题，往往牵涉到多个变量. 要从中理出头绪，不能不恰当地处理那些非主要的变量，这就要用到参数法，先设参，再消参.
【例11】如图，点F 为双曲线C 的左焦点，左准线l 交线段PF 的中点M 在双曲线C 的左支上.
（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程；
（Ⅱ）若过点F 的直线m 与双曲线C 的左右
x 轴于点Q ，点P 是l 上的一点，已知|PQ |=|FQ |=1，且
两支分别交于
A 、B 两点，设FB =λFA ，当
λ∈[6, +∞) 时，求直线m 的斜率k 的取值范围.
【分析】第（Ⅰ）问中，线段PF 的中点M 的坐标是主要变量，其它都是辅助变量. 注意到
点M 是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向
第（Ⅱ）中，直线m 的斜率k 是主要变量，其它包括λ都是辅助变量. 斜率k 的几何意义是有关直线倾斜角θ的正切，所以设置直线m 的参数方程，而后将参数λ用θ的三角式表示，是一个不错的选择.
【解析】（Ⅰ）设所求双曲线为：x 2a -y 2a 2
2b 2=1. 其左焦点为F （-c 。0）；左准线：x =-
c .
由|PQ |=1，得P （-
a 2
，1）；由|FQ |=1⇒c -a 2b 2
c
c =1⇒c
=1⇒b 2=c . (1)
2
2
2
2FP 的中点为M ⎛ ⎝
-c +a c , 1⎫(c +a )2
2⎪. 代入双曲线方程：⎭4c 2a 2
-1
4c =1 ⇒(c 2
+a
2)2
-a 2
c =4c 2
a 2
⇒(c 2
-a
2)
2
=a 2c ⇒b 4=a 2c
(2)
根据（1）与（2）c =a 2
=b 2
, ∴c =a 2
c
+1=2. 所求双曲线方程为x 2-y 2=2. （Ⅱ）设直线m 的参数方程为：⎨
⎧x =-2+t cos α=t sin α
. 代入x 2-y 2
=2得：
⎩y (-2+t cos α)-(t sin α)=2⇒t 2cos2α-4t cos α+2=0
(3)
当
cos 2α≠0时， ∆=16cos 2α-8(2cos 2α-1)=8 0
，方程（3）总有相异二实根，⎧
t t ⎪⎪t 1+t 2=4cos αcos 2α
1，2. 那么⎨
⎪(4).
⎪⎩
t 1⋅t 2=2cos 2αB
已知直线m 与双曲线C 的左右两支分别交于A 、两点，∴FB 与FA 同向，
2
故λ=FB FA =t 2
t 0，. 于是：λ+1=t 2+t 1=t 2+t 221=(t 1+t 2)-2 1λt 1t 2t 1t 2t 1t 2
2
2
. 注意到λ
+
1
λ
在λ∈[6, +∞) 上是增函数，
∴(t 1+t 2
)-2≥6+1
⇒(t 1+t 2)49t 1t 2
6t t ≥
(5)
126
2
（4）代入（5）：6⎛
4c o s α⎫⎪2
⇒48c o s
⎝o c s 2α⎭≥49o c
s 2⋅α
4922
c o s α≥1
(
50c o s 2α4-9
)⇒
2
α≤
设为
⇒sec 2α≥
∵双曲线x
50111⇒tan 2α≥⇒k ≥或k ≤- 494977
2
-y 2=2的渐近线斜率为±1，故直线m 与双曲线C
的左右两支分别交必须
1⎤⎡1⎫
-1，-⋃⎢，1⎪. k ∈(-11，). 综合得直线m 的斜率k 的取值范围是k ∈⎛ ⎥7⎦⎣7⎭⎝
双曲线
1已知中心在原点，顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率e =
的双曲线过点P (6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l 经过△3
A 1PA 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M 、N ，问是否存在直线l , 使G 平分线段MN ，证明你的结论
x 2y 26262a 2+b 2212
=, 解得a 2=9,b 2=12所以所求双曲(1)如图，设双曲线方程为2-2由已知得2-2=1, e =2
3a b a b a
x 2y 2
-线方程为=1 912
(2)P 、A 1、A 2的坐标依次为(6,6)、(3，0) 、(－3，0），∴其重心G 的坐标为(2，2） 假设存在直线l ，使G (2，2) 平分线段MN ，设M (x 1, y 1) ，N (x 2, y 2则有
⎧x 1+x 2=4⎧y 1-y 2124⎪12x -9y =1084
, ⇒==，∴k =∴l 的方程为 l ⎨⎨22
y +y =43x -x 93⎪⎩1212⎩12x 2-9y 2=108
⎧12x 2-9y 2=1084⎪y = (x －2)+2,由⎨, 消去y , 整理得x 2－4x +28=0∵Δ=16－4×28＜0, ∴所求43⎪y =(x -2)
3⎩
2121
直线l 不存在
y 2
=1, 问过点A （1，1）能否作直线l , 使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？2．已知双曲线x -2
2
若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由。
错解 设符合题意的直线l 存在，并设P (x 1, x 2) 、Q (x 2, y 2)
⎧2y 12
=1(1) ⎪x 1-1⎪2 则⎨ （1）-(2) 得(x 1-x 2)(x 1+x 2) =(y 1-y 2)(y 1+y 2) (3) 因为A （1，22⎪x 2-y 2=1(2)
2⎪2⎩
1）为线段PQ 的中点， 所以⎨
⎧x 1+x 2=2(4) 1
将(4)、(5)代入（3）得 x 1-x 2=(y 1-y 2)
2⎩y 1+y 2=2(5)
k =
y 1-y 2
=2 所以符合题设条件的直线l
x 1-x 2
存在。 其方程为
若
x 1≠x 2，则直线l
的斜率
2x -y -1=0 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所
求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。 应在上述解题的基础上，再由
⎧y =2x -1⎪2
得2x -4x +3=0 根据∆=-8
=1⎪x -2⎩
1y 2
=1于A 、B 两点，且=(+) （1）求直线AB 的方程；3已知点N （1，2），过点N 的直线交双曲线x -
22
2
（2）若过N 的直线l 交双曲线于C 、D 两点，且⋅=0，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？
y 2
=1得 (2-k 2) x 2-2k (2-k ) x -(2-k ) 2-2=0 （＊）解：（1）设直线AB ：y =k (x -1) +2代入x - 2
2k (2-k ) 2
令A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1、x 2是方程的两根 ∴ 2-k ≠0 且 x 1+x 2=
2-k 2
1x +x
(+) ∴ N 是AB 的中点 ∴12=1 ∵ =22
2
∴ k (2-k ) =-k +2 k = 1 ∴AB 方程为：y = x + 1
2
（2）将k = 1代入方程（＊）得x -2x -3=0 x =-1或x =3 由y =x +1得y 1=0，y 2=4 ∴
2
A (-1, 0) ，B (3, 4) ∵ ⋅=0 ∴ CD 垂直平分AB ∴ CD 所在直线方程为
y =-(x -1) +2即y =3-x 代入双曲线方程整理得x +6x -11=0 令C (x 3, y 3) ，D (x 4, y 4) 及CD 中点
2
M (x 0, y 0) 则x 3+x 4=-6，x 3⋅x 4=-11， ∴x 0=
|CD | =4，|MC |=|MD |=
x 3+x 4
=-3， y 0=6 2
1
|CD |=2 |MA |=|MB |=2，即A 、B 、C 、D 到M 距离相等 2
∴ A 、B 、C 、D 四点共圆