第4讲 函数y =A sin(ωx+φ) 的图象及应用
知 识 梳 理
1.“五点法”作函数y =A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0)的简图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x 轴相交的三个交点,作图时的一般步骤为: (1)定点:如下表所示.
一个周期内的图象.
(3)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得y =A sin(ωx+φ) 在R 上的图象. 2.函数y =sin x 的图象经变换得到y =A sin(ωx+φ) 的图象的两种途径
3.函数y =A sin(ωx+φ) 的物理意义
2π
当函数y =A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0),x ∈[0,+∞) 表示一个振动时,A 叫做振幅,T =ω1
做周期,f =ωx+φ叫做相位,φ叫做初相.
T
辨 析 感 悟
1.对图象变换的认识
(1)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中向左或向右平移的长度一样.
ππ⎛2x - (2)将y =sin 2x 的图象向右平移3个单位,得到y =sin 的图象. 3⎝⎭
(3)(2013·湖北卷改编) 将函数y =3cos x +sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m >0) 个单位长度π
后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是62.对函数f (x ) =A sin(ωx+φ) 性质的认识
(4)函数f (x ) =A sin(ωx+φ)(A ≠0) 的最大值为A ,最小值为-A .
(5)函数f (x ) =A sin(ωx+φ) 的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期.
*
⎛π⎫
(6))若函数y =cos ωx(ω∈N ) 的一个对称中心是 6,0⎪,则ω的最小值为3.
⎝⎭
考点一 函数y =A sin(ωx+φ) 的图象画法与变换
π⎛
【例1】 (1)已知f (x ) =sin ωx+3(ω>0) 的图象与y =-1的图象的相邻两交点间的距离为
⎝⎭π,要得到y =f (x ) 的图象,只需把y =cos 2x 的图象
( ) .
ππ
A .向左平移12个单位 B .向右平移12 5π5π
C .向左平移12 D .向右平移12 π⎫⎛
(2)已知函数y =2sin 2x +3⎪.
⎝⎭
①求它的振幅、周期、初相;
②用“五点法”作出它在一个周期内的图象;
π⎛
③说明y =2sin 2x +3的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变换而得到.
⎝⎭
π
【训练1】 (1)将函数f (x ) =A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0) 的图象向左平移2的图象与函数y =f (x ) 的图象关于x 轴对称,则ω的值不可能是
( ) .
A .2 B .4 C .6 D .
10
π3⎛⎫⎛π⎫
(2)设函数f (x ) =cos(ωx+φ) ω>0,-2φ<0⎪的最小正周期为π,且f 4⎪=2.
⎝⎭⎝⎭①求ω和φ的值;
②在给定坐标系中作出函数f (x ) 在[0,π]上的图象.
考点二 由图象求函数y =A sin(ωx+φ) 的解析式
【例2】 函数f (x ) =A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)的部分图象 如图所示,则函数f (x ) 的解析式为
________.
ππ
【训练2】 函数f (x ) =2sin(ωx+φ)(ω>0,-2
ππ
A .2,-3 B .2,-6ππ
C .4,-6 D .4,3
考点三 函数y =A sin(ωx+φ) 的性质应用
π
【例3】 已知函数f (x ) =A sin(ωx+φ)(x ∈R ,ω,A >0,0
2π
π,直线x =6是其图象的一条对称轴. (1)求函数f (x ) 的解析式;
π⎛π⎛
(2)求函数g (x ) =f x -12-f x +12的单调递增区间.
⎝⎭⎝⎭
【训练3】 已知函数f (x ) =3sin(ωx+φ) -cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0) 为偶函数,且函数π
y =f (x ) 图象的两相邻对称轴间的距离为2⎛π(1)求f 8的值;
⎝⎭
⎛π(2)求函数y =f (x ) +f x +4的最大值及对应的x 的值.
⎝⎭
( ) .
易错辨析5——三角函数图象平移变换时因自变量系数致误
π
【典例】 将函数y =sin(2x +φ) 的图象沿x 轴向左平移8个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为
( ) .
3ππ3ππA. 4 B. 4 C. 8 D 4
【自主体验】
π
将函数y =sin 2x +cos 2x 的图象向左平移4个单位长度,所得图象对应的函数解析式可以是 ( ) .
A .y =cos 2x +sin 2x C .y =sin 2x -cos 2x
B .y =cos 2x -sin 2x D .y =sin x cos x
基础巩固题组
一、选择题
1⎛π1.把函数y =sin x +6图象上各点的横坐标缩短到原来的2纵坐标不变) ,再将图象向右
⎝⎭π
平移3( ) . ππππ
A .x =-2 B .x =-4 C .x =8 D .x =42.如果函数f (x ) =sin(πx +θ)(0<θ<2π)的最小正周期为T ,且当x =2时,f (x ) 取得最大值,
那么( ) .
A .T =2,θ=π
2 B .T =1,θ=π C .T =2,θ=π D .T =1,θ=π
2
3.已知函数y =A sin(ωx+φ) +k 的最大值为4,最小值为0,最小正周期为π,直线x =π
23是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为( ) . A .y =4sin ⎛ π⎛
π⎝4x +6⎭ B .y =2sin ⎝2x +3⎭+2
C .y =2sin ⎛ ⎝4x +π3⎭+2 D .y =2sin ⎛
π⎝4x +6⎭
+2
4.函数f (x ) =sin(2x +φ) ⎛ ⎝|φ|<π2⎫⎪⎭π⎡
⎢π6个单位后是奇函数,则函数f (x ) 在⎣0,2⎦上的最
小值为( ) .
A .-3 B .-113
22 C. 2 D. 25.如图是函数y =sin(ωx+φ) ⎛ ⎝ω>0,0<φ<π2⎫⎪⎡π5π⎤
⎭在区间⎢⎣6,6⎥⎦上的图象,将该图象向右平移m (m >0) 个单位后,所得图象关于直线x =π
4m 的最小值为( ) . A. π B. πππ126 4 D. 3二、填空题
6. 函数y =A sin(ωx+φ)(A ,ω,φ为常数,A >0,ω>0) 在闭区间[-π,0]上的图象如图所示,
则ω=________.
7.已知函数y =g (x ) 的图象由f (x ) =sin 2x 的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位得到,这两个函数的部分图象如图所示,则
φ=
________.
π⎫⎛
8.设函数f (x ) =sin 2x +6⎪,则下列命题:
⎝⎭
π⎛π⎫
①f (x ) 的图象关于直线x 3对称;②f (x ) 的图象关于点 60⎪对称;③f (x ) 的最小正周期为π,
⎝⎭ππ⎡
且在⎢0,12上为增函数;④把f (x ) 的图象向右平移12
⎣⎦其中正确的命题为________(把所有正确命题的序号都填上) . 三、解答题
π⎛
其中A >0,ω>0,0<φ< 9.已知函数f (x ) =A sin(ωx+φ) 的周期为π,且图象上有一个2⎝⎭⎛2π⎫
最低点为M 33⎪.
⎝⎭(1)求f (x ) 的解析式;
3
(2)求使f (x ) <2x 的取值集合.
10.已知函数f (x ) =23sin x cos x +2sin 2 x -1,x ∈R . (1)求函数f (x ) 的最小正周期和单调递增区间;
1
(2)将函数y =f (x ) 的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的2π⎡ππ图象向左平移6y =g (x ) 的图象,求函数y =g (x ) 在区间⎢-612上
⎣⎦的值域.
能力提升题组
一、选择题
⎪sin 2x cos 2x ⎪π⎪a 1 a 2⎪
⎪=a 1a 4-a 2a 3,⎪,1.定义⎪若函数f (x ) =⎪则将f (x ) 的图象向右平移3个
⎪a 3 a 4⎪⎪1 3⎪单位所得曲线的一条对称轴的方程是( ) . πππ
A .x =6 B .x =4 C .x =2 D .x =π
2.函数f (x ) =A sin(ωx+φ)(A ,ω,φ是常数,A >0,ω>0) 的部分图象如图所示,下列结论:
①最小正周期为π;
π
②将f (x ) 的图象向左平移6个单位,所得到的函数是偶函数; ③f (0)=1; ⎛12π⎛14π⎫④f 11<f 13⎪; ⎝⎭⎝⎭⎛5π⎫
⑤f (x ) =-f 3x ⎪.
⎝⎭其中正确的是( ) . A .①②③ B .②③④ C .①④⑤ D .②③⑤ 二、填空题
ππ⎫⎛
ω>0,-≤φ≤ 3.已知函数f (x ) =sin(ωx+φ) 的图象上的两个相邻的最高点和最低点22⎪⎝⎭1⎛
的距离为2,且过点 2,-2,则函数解析式f (x ) =________.
⎝⎭三、解答题
4.已知函数f (x ) =3sin ωx·cos ωx+ 1π
cos 2ωx-2ω>0) ,其最小正周期为2. (1)求f (x ) 的表达式;
π
(2)将函数f (x ) 的图象向右平移8再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐π⎡
标不变) ,得到函数y =g (x ) 的图象,若关于x 的方程g (x ) +k =0在区间⎢0,2上有且只有
一个实数解,求实数k 的取值范围.
三角函数及三角函数的图象与性质 一、选择题
1.若角α的终边经过点P (1,-2) ,则tan 2α的值为( ) . A .-43 B. 43 C. 34 D .-3
42.函数y =(sin x +cos x )(sin x -cos x ) 是( ) .
A .奇函数且在⎡⎢⎣0,π2⎦上单调递增 B .奇函数且在⎡⎢π⎤
⎣2π⎥⎦上单调递增C .偶函数且在⎡⎢π⎡⎣0,⎦上单调递增 D .偶函数且在⎢π2⎣2π⎤
⎥⎦上单调递增3.) 函数f (x ) =sin x sin ⎛ π⎝x +2⎭的最小正周期为( ) .
A .4π B .2π C .π D. π
2
4.要得到函数y =sin ⎛
⎝2x -π4⎭的图象,只要将函数y =sin 2x 的图象( A .向左平移π B .向右平移π
4单位4 C .向右平移π D .向左平移π
88 5.
⎣⎦) .
已知f (x ) =2sin(ωx +φ) 的部分图象如图所示,则f (x ) 的表达式为( ) . ⎛3π⎛35πA .f (x ) =2sin 2+4 B .f (x ) =2sin 2+4
⎝⎭⎝⎭⎛42π⎛425⎫
C .f (x ) =2sin 3+9 D .f (x ) =2sin 3+18⎪
⎝⎭⎝⎭
ππ⎛
6.将函数f (x ) =3sin 4x +6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移6⎝⎭位长度,得到函数y =g (x ) 的图象,则y =g (x ) 图象的一条对称轴是( ) . πππ2π
A .x =12 B .x =6C .x =3 D .x =3
7.已知函数f (x ) 3sin ωx+cos ωx(ω>0) ,y =f (x ) 的图象与直线y =2的两个相邻交点的距离等于π,则f (x ) 的单调递增区间是( ) .
π5π⎤5π11π⎡⎡
A. ⎢k π-12k π+12⎥,k ∈Z B. ⎢k π+12k π+12,k ∈Z ⎣⎦⎣⎦ππ⎤π2π⎡⎡
C. ⎢k π-3,k π+6⎥,k ∈Z D. ⎢k π+6k π+3,k ∈Z ⎣⎦⎣⎦
π⎛
2x +8.设函数f (x ) =|sin |,则下列关于函数f (x ) 的说法中正确的是( ) . 3⎝⎭A .f (x ) 是偶函数 B .f (x ) 的最小正周期为π
⎛π⎫⎡π7πC .f (x ) 的图象关于点 -60⎪对称 D .f (x ) 在区间⎢312上是增函数
⎝⎭⎣⎦
πx +9.函数y =cos 4的图象沿x 轴向右平移a 个单位(a >0) ,所得图象关于y 轴对称,⎝⎭
2⎛
则a 的最小值为( ) . 3πππ
A .π B. 4 C. 2 4
π
10.已知函数f (x ) =A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<2的图象在y 轴上的截距为1,在相邻3⎛⎫
两最值点(x 0, 2) , x 0+2,-2⎪(x 0>0) 上f (x ) 分别取得最大值和最小值.若函数g (x ) =af (x )
⎝⎭+b 的最大值和最小值分别为6和2,则|a |+b 的值为( ) .
A .5 B .6 C .7 D .8
二、填空题
11.函数y =sin(x +10°) +cos(x +40°)(x ∈R ) 的最大值=________.
12.
π⎛如图所示的是函数y =A sin(ωx+φ) A >0,ω>0,|φ|<2图象的一部分,则其函数解析式⎝⎭
是________.
13.已知函数f (x ) =A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)的图象与直线y =b (0<b <A ) 的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则f (x ) 的单调递增区间是________.
14.下面有五个命题:
①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π.
②终边在y ⎧⎪⎪k π轴上的角的集合是⎨α⎪α=2k ∈Z ⎪⎩⎪ ⎫⎪⎬. ⎪⎭
③在同一坐标系中,函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点.
ππ⎛④把函数y =3sin 2x +3的图象向右平移6个单位得到y =3sin 2x 的图象. ⎝⎭
⎛π⑤函数y =sin x -2在(0,π)上是减函数. ⎝⎭
其中真命题的序号是________.
三、解答题
π⎡15.设向量a =3sin x ,sin x ) ,b =(cos x ,sin x ) ,x ∈⎢0,2. ⎣⎦
(1)若|a |=|b |,求x 的值;
(2)设函数f (x ) =a ·b ,求f (x ) 的最大值.
16.已知函数f (x ) =1+sin x cos x .
(1)求函数f (x ) 的最小正周期和单调递减区间;
(2)若tan x =2,求f (x ) 的值.
17.已知函数f (x ) =m sin x +2m -1cos x .
(1)若m =2,f (α) =3,求cos α;
π⎡(2)若f (x ) 的最小值为-2,求f (x ) 在⎢-π,6上的值域. ⎣⎦
⎛π18.已知m =(a sin x ,cos x ) ,n =(sin x ,b sin x ) ,其中a ,b ,x ∈R . 若f (x ) =m ·n 满足f 6⎝⎭
π=2,且f (x ) 的导函数f ′(x ) 的图象关于直线x =12对称.
(1)求a ,b 的值;
π⎡(2)若关于x 的方程f (x ) +log 2k =0在区间⎢0,2上总有实数解,求实数k 的取值范围. ⎣⎦
第4讲 函数y =A sin(ωx+φ) 的图象及应用
知 识 梳 理
1.“五点法”作函数y =A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0)的简图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x 轴相交的三个交点,作图时的一般步骤为: (1)定点:如下表所示.
一个周期内的图象.
(3)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得y =A sin(ωx+φ) 在R 上的图象. 2.函数y =sin x 的图象经变换得到y =A sin(ωx+φ) 的图象的两种途径
3.函数y =A sin(ωx+φ) 的物理意义
2π
当函数y =A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0),x ∈[0,+∞) 表示一个振动时,A 叫做振幅,T =ω1
做周期,f =ωx+φ叫做相位,φ叫做初相.
T
辨 析 感 悟
1.对图象变换的认识
(1)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中向左或向右平移的长度一样.
ππ⎛2x - (2)将y =sin 2x 的图象向右平移3个单位,得到y =sin 的图象. 3⎝⎭
(3)(2013·湖北卷改编) 将函数y =3cos x +sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m >0) 个单位长度π
后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是62.对函数f (x ) =A sin(ωx+φ) 性质的认识
(4)函数f (x ) =A sin(ωx+φ)(A ≠0) 的最大值为A ,最小值为-A .
(5)函数f (x ) =A sin(ωx+φ) 的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期.
*
⎛π⎫
(6))若函数y =cos ωx(ω∈N ) 的一个对称中心是 6,0⎪,则ω的最小值为3.
⎝⎭
考点一 函数y =A sin(ωx+φ) 的图象画法与变换
π⎛
【例1】 (1)已知f (x ) =sin ωx+3(ω>0) 的图象与y =-1的图象的相邻两交点间的距离为
⎝⎭π,要得到y =f (x ) 的图象,只需把y =cos 2x 的图象
( ) .
ππ
A .向左平移12个单位 B .向右平移12 5π5π
C .向左平移12 D .向右平移12 π⎫⎛
(2)已知函数y =2sin 2x +3⎪.
⎝⎭
①求它的振幅、周期、初相;
②用“五点法”作出它在一个周期内的图象;
π⎛
③说明y =2sin 2x +3的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变换而得到.
⎝⎭
π
【训练1】 (1)将函数f (x ) =A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0) 的图象向左平移2的图象与函数y =f (x ) 的图象关于x 轴对称,则ω的值不可能是
( ) .
A .2 B .4 C .6 D .
10
π3⎛⎫⎛π⎫
(2)设函数f (x ) =cos(ωx+φ) ω>0,-2φ<0⎪的最小正周期为π,且f 4⎪=2.
⎝⎭⎝⎭①求ω和φ的值;
②在给定坐标系中作出函数f (x ) 在[0,π]上的图象.
考点二 由图象求函数y =A sin(ωx+φ) 的解析式
【例2】 函数f (x ) =A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)的部分图象 如图所示,则函数f (x ) 的解析式为
________.
ππ
【训练2】 函数f (x ) =2sin(ωx+φ)(ω>0,-2
ππ
A .2,-3 B .2,-6ππ
C .4,-6 D .4,3
考点三 函数y =A sin(ωx+φ) 的性质应用
π
【例3】 已知函数f (x ) =A sin(ωx+φ)(x ∈R ,ω,A >0,0
2π
π,直线x =6是其图象的一条对称轴. (1)求函数f (x ) 的解析式;
π⎛π⎛
(2)求函数g (x ) =f x -12-f x +12的单调递增区间.
⎝⎭⎝⎭
【训练3】 已知函数f (x ) =3sin(ωx+φ) -cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0) 为偶函数,且函数π
y =f (x ) 图象的两相邻对称轴间的距离为2⎛π(1)求f 8的值;
⎝⎭
⎛π(2)求函数y =f (x ) +f x +4的最大值及对应的x 的值.
⎝⎭
( ) .
易错辨析5——三角函数图象平移变换时因自变量系数致误
π
【典例】 将函数y =sin(2x +φ) 的图象沿x 轴向左平移8个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为
( ) .
3ππ3ππA. 4 B. 4 C. 8 D 4
【自主体验】
π
将函数y =sin 2x +cos 2x 的图象向左平移4个单位长度,所得图象对应的函数解析式可以是 ( ) .
A .y =cos 2x +sin 2x C .y =sin 2x -cos 2x
B .y =cos 2x -sin 2x D .y =sin x cos x
基础巩固题组
一、选择题
1⎛π1.把函数y =sin x +6图象上各点的横坐标缩短到原来的2纵坐标不变) ,再将图象向右
⎝⎭π
平移3( ) . ππππ
A .x =-2 B .x =-4 C .x =8 D .x =42.如果函数f (x ) =sin(πx +θ)(0<θ<2π)的最小正周期为T ,且当x =2时,f (x ) 取得最大值,
那么( ) .
A .T =2,θ=π
2 B .T =1,θ=π C .T =2,θ=π D .T =1,θ=π
2
3.已知函数y =A sin(ωx+φ) +k 的最大值为4,最小值为0,最小正周期为π,直线x =π
23是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为( ) . A .y =4sin ⎛ π⎛
π⎝4x +6⎭ B .y =2sin ⎝2x +3⎭+2
C .y =2sin ⎛ ⎝4x +π3⎭+2 D .y =2sin ⎛
π⎝4x +6⎭
+2
4.函数f (x ) =sin(2x +φ) ⎛ ⎝|φ|<π2⎫⎪⎭π⎡
⎢π6个单位后是奇函数,则函数f (x ) 在⎣0,2⎦上的最
小值为( ) .
A .-3 B .-113
22 C. 2 D. 25.如图是函数y =sin(ωx+φ) ⎛ ⎝ω>0,0<φ<π2⎫⎪⎡π5π⎤
⎭在区间⎢⎣6,6⎥⎦上的图象,将该图象向右平移m (m >0) 个单位后,所得图象关于直线x =π
4m 的最小值为( ) . A. π B. πππ126 4 D. 3二、填空题
6. 函数y =A sin(ωx+φ)(A ,ω,φ为常数,A >0,ω>0) 在闭区间[-π,0]上的图象如图所示,
则ω=________.
7.已知函数y =g (x ) 的图象由f (x ) =sin 2x 的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位得到,这两个函数的部分图象如图所示,则
φ=
________.
π⎫⎛
8.设函数f (x ) =sin 2x +6⎪,则下列命题:
⎝⎭
π⎛π⎫
①f (x ) 的图象关于直线x 3对称;②f (x ) 的图象关于点 60⎪对称;③f (x ) 的最小正周期为π,
⎝⎭ππ⎡
且在⎢0,12上为增函数;④把f (x ) 的图象向右平移12
⎣⎦其中正确的命题为________(把所有正确命题的序号都填上) . 三、解答题
π⎛
其中A >0,ω>0,0<φ< 9.已知函数f (x ) =A sin(ωx+φ) 的周期为π,且图象上有一个2⎝⎭⎛2π⎫
最低点为M 33⎪.
⎝⎭(1)求f (x ) 的解析式;
3
(2)求使f (x ) <2x 的取值集合.
10.已知函数f (x ) =23sin x cos x +2sin 2 x -1,x ∈R . (1)求函数f (x ) 的最小正周期和单调递增区间;
1
(2)将函数y =f (x ) 的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的2π⎡ππ图象向左平移6y =g (x ) 的图象,求函数y =g (x ) 在区间⎢-612上
⎣⎦的值域.
能力提升题组
一、选择题
⎪sin 2x cos 2x ⎪π⎪a 1 a 2⎪
⎪=a 1a 4-a 2a 3,⎪,1.定义⎪若函数f (x ) =⎪则将f (x ) 的图象向右平移3个
⎪a 3 a 4⎪⎪1 3⎪单位所得曲线的一条对称轴的方程是( ) . πππ
A .x =6 B .x =4 C .x =2 D .x =π
2.函数f (x ) =A sin(ωx+φ)(A ,ω,φ是常数,A >0,ω>0) 的部分图象如图所示,下列结论:
①最小正周期为π;
π
②将f (x ) 的图象向左平移6个单位,所得到的函数是偶函数; ③f (0)=1; ⎛12π⎛14π⎫④f 11<f 13⎪; ⎝⎭⎝⎭⎛5π⎫
⑤f (x ) =-f 3x ⎪.
⎝⎭其中正确的是( ) . A .①②③ B .②③④ C .①④⑤ D .②③⑤ 二、填空题
ππ⎫⎛
ω>0,-≤φ≤ 3.已知函数f (x ) =sin(ωx+φ) 的图象上的两个相邻的最高点和最低点22⎪⎝⎭1⎛
的距离为2,且过点 2,-2,则函数解析式f (x ) =________.
⎝⎭三、解答题
4.已知函数f (x ) =3sin ωx·cos ωx+ 1π
cos 2ωx-2ω>0) ,其最小正周期为2. (1)求f (x ) 的表达式;
π
(2)将函数f (x ) 的图象向右平移8再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐π⎡
标不变) ,得到函数y =g (x ) 的图象,若关于x 的方程g (x ) +k =0在区间⎢0,2上有且只有
一个实数解,求实数k 的取值范围.
三角函数及三角函数的图象与性质 一、选择题
1.若角α的终边经过点P (1,-2) ,则tan 2α的值为( ) . A .-43 B. 43 C. 34 D .-3
42.函数y =(sin x +cos x )(sin x -cos x ) 是( ) .
A .奇函数且在⎡⎢⎣0,π2⎦上单调递增 B .奇函数且在⎡⎢π⎤
⎣2π⎥⎦上单调递增C .偶函数且在⎡⎢π⎡⎣0,⎦上单调递增 D .偶函数且在⎢π2⎣2π⎤
⎥⎦上单调递增3.) 函数f (x ) =sin x sin ⎛ π⎝x +2⎭的最小正周期为( ) .
A .4π B .2π C .π D. π
2
4.要得到函数y =sin ⎛
⎝2x -π4⎭的图象,只要将函数y =sin 2x 的图象( A .向左平移π B .向右平移π
4单位4 C .向右平移π D .向左平移π
88 5.
⎣⎦) .
已知f (x ) =2sin(ωx +φ) 的部分图象如图所示,则f (x ) 的表达式为( ) . ⎛3π⎛35πA .f (x ) =2sin 2+4 B .f (x ) =2sin 2+4
⎝⎭⎝⎭⎛42π⎛425⎫
C .f (x ) =2sin 3+9 D .f (x ) =2sin 3+18⎪
⎝⎭⎝⎭
ππ⎛
6.将函数f (x ) =3sin 4x +6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移6⎝⎭位长度,得到函数y =g (x ) 的图象,则y =g (x ) 图象的一条对称轴是( ) . πππ2π
A .x =12 B .x =6C .x =3 D .x =3
7.已知函数f (x ) 3sin ωx+cos ωx(ω>0) ,y =f (x ) 的图象与直线y =2的两个相邻交点的距离等于π,则f (x ) 的单调递增区间是( ) .
π5π⎤5π11π⎡⎡
A. ⎢k π-12k π+12⎥,k ∈Z B. ⎢k π+12k π+12,k ∈Z ⎣⎦⎣⎦ππ⎤π2π⎡⎡
C. ⎢k π-3,k π+6⎥,k ∈Z D. ⎢k π+6k π+3,k ∈Z ⎣⎦⎣⎦
π⎛
2x +8.设函数f (x ) =|sin |,则下列关于函数f (x ) 的说法中正确的是( ) . 3⎝⎭A .f (x ) 是偶函数 B .f (x ) 的最小正周期为π
⎛π⎫⎡π7πC .f (x ) 的图象关于点 -60⎪对称 D .f (x ) 在区间⎢312上是增函数
⎝⎭⎣⎦
πx +9.函数y =cos 4的图象沿x 轴向右平移a 个单位(a >0) ,所得图象关于y 轴对称,⎝⎭
2⎛
则a 的最小值为( ) . 3πππ
A .π B. 4 C. 2 4
π
10.已知函数f (x ) =A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<2的图象在y 轴上的截距为1,在相邻3⎛⎫
两最值点(x 0, 2) , x 0+2,-2⎪(x 0>0) 上f (x ) 分别取得最大值和最小值.若函数g (x ) =af (x )
⎝⎭+b 的最大值和最小值分别为6和2,则|a |+b 的值为( ) .
A .5 B .6 C .7 D .8
二、填空题
11.函数y =sin(x +10°) +cos(x +40°)(x ∈R ) 的最大值=________.
12.
π⎛如图所示的是函数y =A sin(ωx+φ) A >0,ω>0,|φ|<2图象的一部分,则其函数解析式⎝⎭
是________.
13.已知函数f (x ) =A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)的图象与直线y =b (0<b <A ) 的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则f (x ) 的单调递增区间是________.
14.下面有五个命题:
①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π.
②终边在y ⎧⎪⎪k π轴上的角的集合是⎨α⎪α=2k ∈Z ⎪⎩⎪ ⎫⎪⎬. ⎪⎭
③在同一坐标系中,函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点.
ππ⎛④把函数y =3sin 2x +3的图象向右平移6个单位得到y =3sin 2x 的图象. ⎝⎭
⎛π⑤函数y =sin x -2在(0,π)上是减函数. ⎝⎭
其中真命题的序号是________.
三、解答题
π⎡15.设向量a =3sin x ,sin x ) ,b =(cos x ,sin x ) ,x ∈⎢0,2. ⎣⎦
(1)若|a |=|b |,求x 的值;
(2)设函数f (x ) =a ·b ,求f (x ) 的最大值.
16.已知函数f (x ) =1+sin x cos x .
(1)求函数f (x ) 的最小正周期和单调递减区间;
(2)若tan x =2,求f (x ) 的值.
17.已知函数f (x ) =m sin x +2m -1cos x .
(1)若m =2,f (α) =3,求cos α;
π⎡(2)若f (x ) 的最小值为-2,求f (x ) 在⎢-π,6上的值域. ⎣⎦
⎛π18.已知m =(a sin x ,cos x ) ,n =(sin x ,b sin x ) ,其中a ,b ,x ∈R . 若f (x ) =m ·n 满足f 6⎝⎭
π=2,且f (x ) 的导函数f ′(x ) 的图象关于直线x =12对称.
(1)求a ,b 的值;
π⎡(2)若关于x 的方程f (x ) +log 2k =0在区间⎢0,2上总有实数解,求实数k 的取值范围. ⎣⎦