第九章 多元函数的微分法及其应用
§ 1 多元函数概念
1、设答案：
.
2、求下列函数的定义域： (1)
(2)
3、求下列极限：
(1) （0）
(2)
(0)
§ 2 偏导数
1、设z= , 验证
证明：，
2、求空间曲线在点（）处切线与x 轴正向夹角()
3、设, 求 ( 1)
4、设u=(x2+yz3) 3，求及.
解: =3(x2+yz3)2 2x=6x(x2+yz3)2 ， =3(x2+yz3)2 z3=3z3(x2+yz3)2
3(x2+yz3)2 3yz2=9yz2(x2+yz3)2
5、设，证明 :
6、设，求。
解：
7、设函数在点处的偏导数存在，求
§ 3 全微分
1、单选题
（1）二元函数在点处连续是它在该点处偏导数存在的 D .
(A) 必要条件而非充分条件 (B)充分条件而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 （2）对于二元函数
，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是 B 。
(A)偏导数不连续，则全微分必不存在 （B ）偏导数连续，则全微分必存在 (C)全微分存在，则偏导数必连续 （D ）全微分存在，而偏导数不一定存在 2、求下列函数的全微分：
(1) 设求dz
解:
(2) 设函数
(
为常数且
）求
.
解:；
；
；
(3) 解：
3、设，求dz½(1,1)
解: ,
4、设, 求：
5、讨论函数偏导数、可微性。
在(0,0)点处的连续性、
解：，所以在(0,0)点处连续。
，所以可微。
§4 多元复合函数的求导法则
１、设，求
解：
2、设，求
3、设, ，其中具有二阶连续偏导数，求。
解：；
4、设，其中具有二阶连续偏导数，求，，
解： ,
=
,
,
5、设，其中对各变元具有二阶连续偏导数，求。
解：
6、设，，证明：。
证：
；
类似可求得；。
所以
。
§ 5 隐函数的求导公式
1、设，求
解：令，
2、设是由方程确定，求。
解：
=
3、设, 其中可微。证明:
解：;
=+y=
4、设，求，
( ，)
5、设由方程
所确定，可微，求
解
：
令
，
6、设函数
是由方程
所确定，求
。
解： Þ
Þ
则
7、设由方程所确定，证明：。
证：；
所以
§6 微分法在几何中的应用
1、求螺旋线在对应于处的切线及法平面方程
解：切线方程为
法平面方程
2、求曲线在（3，4，5）处的切线及法平面方程
解：切线方程为 3、求曲面解：设
；
，法平面方程：
上点(1,1,1)处的切平面和法线方程。
，则 ；
。
在点(1,1,1)处
切平面方程是：
；；，所以法向量
，即；
法线方程是：
§7 方向导数与梯度
1、设函数
，(1)求该函数在点(1,3)处的梯度。2) 在点(1,3)处沿着方
向的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向 解：梯度为
到
最小值的方向为2、求函数
, 方向导数达到最大值的方向为，方向导数达
。
在(1,2,-1)处沿方向角为
的方向导
数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。
解：方向导数为，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向
，此时最大值为
3、求函数
在(1,1,-1)处沿曲线
在(1,1,1)处的切线正方向(
对应
于增大的方向) 的方向导数。
解：，，
所以该函数在点(1,1,-1)处的方向导数为4、求函数
在(1,1,-1)处的梯度。
。
解：，
§8 多元函数的极值及求法
1、求函数
的极值。
答案：（，）极小值点 2、设函数
由方程
确定，求函数的驻点。
解：
设
驻点是(0,0)。 3、求
Þ
的极值。
解：；。令=0,=0，得
Þ
=2；=-1；=1； ，=1，
。 在条件
下的条件极值。
>0,函数在(1,0)点处有极值，且由
在(1,0)点处=2，于A=2>0取极小值4、求函数解：
，
极小值为
5、欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。 （长和宽2米，高3米） 6、旋转抛物面解：设
,
设
被
为椭圆上的点，原点
。
截成一椭圆，求原点到椭圆的最大与最小距离。 到
的距离为
，且满足条件：
令得方程组：
解得：，
,
,
根据实际问题，最大距离和最小距离存在，所以
为最小距离；
为最大距离。
7、在第一卦限内作椭球面面体体积最小，求切点坐标。
的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四
解：椭球面上的点。设，则
在点的切平面法向量是，切平面方程：
切平面在轴上的截距是：；切平面在轴上的截距是：；切平面在轴
上的截距是：；
三坐标面与切平面所围的四面体的体积是：
。要求体积的最小值，只要求
在条件下的最大值即可。
设：
, , , 令=0,=0,=0，并与条件
联立解得由于根据实际情况，体积的最小值
存在，且所求得驻点唯一，所以
即为所求。
第九章 自测题
一、选择题：（每题2分，共14分）
1、设有二元函数A 、B 、C 、D 、2、函数
在
存在； 不存在； 存在，且存在，且
则 [ B ]
在(0,0)处不连续； 在(0,0)处连续。
在
连续的[ B ]
各一阶偏导数存在且连续是
A 、必要条件； B 、充分条件；
C 、充要条件； D 、既非必要也非充分条件。
3、函数 在(0,0)点处 [ D ]
A 、极限值为1； B 、极限值为-1； C 、连续； D 、无极限。 4、
在
处
，
存在是函数在该点可微分的[ A ]
（A ）必要条件； （B ）充分条件；
（C ）充要条件； （D ）既非必要亦非充分条件。 5、点
是函数
的 [ B ]
（A ）极小值点； （ B ）驻点但非极值点； （C ）极大值点； （D ）最大值点。 6、曲面（A ）（C ）
在点P(2,1,0)处的切平面方程是[ C ] ； （B ）； （D ）
；
7、已知函数 (A)(C)
; (B) ; (D)
;
均有一阶连续偏导数，那么[ B ]
二、填空题：（每题３分，共18分）
1、（ 0 ）
２、设，则（ ）
３、设４、设
，则在点
则( 0 )
)。
处的全微分dz=(
５、曲线在点处的切线方程为( )
６、曲线
三、计算题（每题6分）
在点(1,1,1)处的切线方程为( )
1、设，求的一阶偏导数。
解：2、设
，求的二阶偏导数。
解：, ,
, ,
,
3、设具有各二阶连续偏导数，求
解：
４、设 求和。
解：存在。
不存在，故不存在，同理，也不
当时，有
5、设，求：。
解：1+ Þ
6、设，且具有二阶连续偏导数，求：，，。
解：
，
7、，求：。
解：，
，
=
=
四、试分解正数为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。
解：设三个正数为，则，记，令
则由
解出。
第十章 重积分
§ 1 二重积分的概念与性质
1、设D 由圆求 的值
解：由于D 的面积为, 故=
2、由二重积分的几何意义求二重积分的值
其中D 为：
( 解：=
和曲面
)
所围的
3、设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面
立体的体积可用二重积分表示为 （ ）
4、设D 为圆域若二重积分=，求a 的值。
解： 5、设D ：
=
，
解：在D 上，
, 故
，比较与的大小关系
§ 2 二重积分的计算法
1、设，其中D 是由抛物线与直线y=x-4所围成的平面闭区域区域，
则I=（ A ） A ：
B ：
C ：
D ：
2、设D 是由不等式所确定的有界区域，则二重积分为
（ B ）
A ：0 B ： C ： D： 1 3、设D 是由直线x=0,y=2及y=x所围成的区域，则二重积分
的值为（ C ）
A ： B ： C ： D ：
4、 设f(x,y)是连续函数，则二次积分交换积分次序后为（ D A B
C D
5、设有界闭域D1、D2关于oy 轴对称，f 是域D=D1+D2上的连续函数，则二重 积分为（ A ）
A B
C D
6、设D1是由ox 轴、oy 轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f 是域D:|x|+|y|≤1
上的连续函数，则二重积分为（ B ）
）
A B
C D
7、设f(x,y)为连续函数，则 交换积分次序的结果为( C )
A B
C
D
8、设I=, 交换积分次序后I 为：( D )
9、改变二次积分的次序：
（ =）
10、求 ，其中 由x=2,y=x,xy=1所围成.
（)
11、设 D={(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1} , 求的值
解：=
12、计算二重积分，其中D={(x,y)| 0≤x ≤1,0≤y ≤1}
解： =
13、计算二重积分，其中D 是圆域
解：=
14、设 I=, 其中D 是由x2+y2=Rx所围城的区域，求I
（解：I=)
15、计算二重积分，D ： 围成的闭区域
（ 解：=
）
§ 3 三重积分
1、设是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则化为三次
定积分的结果为( A )
A B
C 2、设
D
是由曲面x2+y2=2z , 及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分
表示为累次积分，则I=（ B ）
A B
C D
3、设是由所确定的有界闭域，求三重积分
解：先二后一法，==2
4、设是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所围成的空间区域，求
()
5、设是球域：，求
是球域关于xoy 面对称，所以原式=0)
(利用偶倍奇零法。因函数关于z 为奇函数，区域
6、计算 其中为：平面z=2与曲面所围成的
区域 (
)
7、计算其中是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x2所围成的闭区域
(
2/27))
§4 重积分的应用
1、求由曲面
=2x,
=4x,y=x,y=0
所围成的图形面积 A
2、求曲面
包含在圆柱
内部的那部分面积
解：3、求圆柱体 体的体积
包含在抛物面
和xoy 平面之间那部分立
解：4、 曲面
将球面
分割成三部分，由上至下依次记
这三部分曲面的面积为 s1, s2, s3, 求s1:s2:s3
解：
第十章 自测题
一、选择题: （40分）
1、=( D )
A B
C D .
2、设为, 当( C ) 时, .
A 1 B C D
3、设, 其中由所围成, 则=( B ).
A; B
C D
.
4、设是由三个坐标面与平面=1所围成的空间区域, 则
=( A ).
A B C D .
5 、设为连续函数，则 ( A ).
A B
C D .
6、计算, 围成的立体, 则正确的为(B )和（C ）
A B
C 7、曲面 A
B
D .
包含在圆柱 C
D
内部的那部分面积.
(D )
二、计算下列二重积分:（20分）
1、, 其中是闭区域:
(原式=)
2、, 其中是由直线及圆周, 所围
成的在第一象 限内的闭区域 . (原式)
3、, 其中是由 围成的闭区域
( 原式)
4、, 其中:.
(
三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: （15分）
)
1、 （）
2、 (=)
3、 (=)
四、计算下列三重积分:（15分）
1、其中是由平面上曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面
所围成的区域。 ()
2、:所围成的闭区域
(原式)
（或用球坐标计算，原式=)
五、（5分）设
为连续函数，且 所围成的区域，求
，其中 D 是由
解：设，则
六
、
（
5
分
）
设
在
上
连
续
,
试
证:
==
第十一章曲线积分与曲面积分
§ 1 对弧长的曲线积分
1、设关于轴对称，
表示在轴上侧的部分，当
关于是偶函数时，
A.0 B. C. D.ABC都不对
2、设是以点
A. 4 B.2 C.
D.
为顶点的正方形边界, 则
=
3、有物质沿曲线： 的质量
分布，其线密度为，则它
A. B. C. D.
4．求其中L 为由所围区域的整个边界。
解：
5．其中L 为双纽线。
解：原积分=
6．其中L 为。
原积分
7．解：将
其中L 为球面代入方程
得
与平面
于是
的交线。
L 的参数方程：，又
原积分=
§2 对坐标的曲线积分
1. 设关于轴对称，
表示在轴上侧的部分，当
关于是偶函数
时， A.0 B. C. D.ABC都不对
2．设为的正向，则 A.0 B.4 C.2 D.-2
3．为的正向， A.2 B.-2 C.0 D.
4． 解：
到
方向
，其中由曲线从
5． 其中是正向圆周曲线
解：由奇偶对称性，：
6．其中为从点到的有向线段
解：方程：7、过
和
的曲线族
， ，求曲线
使沿该曲线从
到
的积分的值最小
解：
。
8、将积分
化为对弧长的积分,
其中L 沿上半圆周
最小，此时
解：
，于是
§3 格林公式及其应用
1. 若是上半椭圆取顺时针方向, 则=
A.0 B. C.. D
2. 设为的正向，则
A ．2 B.-2 C.0 D.
3. 设为曲线的正向，则
A ．9 B.-18 C. -9 D.0
4. 设是圆取逆时针方向，则
解：将方程代入被积函数在由格林公式得
5．其中为点到的抛物线
的弧段
解：因故积分与路径无关，取
6．求，为(1) (2) 正方形边界的正向
解：(1)直接用格林公式=0 (2) 设为圆周：
取逆时针方向，其参数方程
原积分为所以
7、验证
在
面上是某函数
的全微分，求出
解：
8、设曲线积分
，，
与路径无关，其中
具有连续的导数，且
，计算
解：取路径：沿
从
到
的值 ；再沿
从
到
则
或
§4 对面积的曲面积分
1、计算曲面积分 ，其中是平面在第一卦限的部分
解：
2、求曲面积分
，其中是界于平面z=0和z=H之间的圆柱面
解：
=2
3、求曲面积分
，其中是锥面
所截得的有限部分
被柱面
解：=
=
§ 5 对坐标的曲面积分 1. 设关于
面对称反向，
是在
面的前侧部分，若关于
为偶函数，则
（ ）
A.0 B. 2. 设为球面
取外侧,
C. D.ABC都不对
为其上半球面, 则有（ ）
A. B. C. D. 0
3．其中由及三个坐标面所围成闭曲面的外侧
4．其中为锥面被平面所截部分的外侧
5.
分，其法向量与z 轴成锐角
其中为被平面所截部
6、用两类曲面积分之间的关系计算
（1）求
是的外法线的方向余弦
其中是柱面在部分，
（2）为平面
在第四卦限部分的上侧
其中为连续函数，
§6 高斯公式
=
1. 设是抛物面介于及之间部分的下侧，求
解：做补面：
取上侧，则
构成一个封闭曲面，取外侧，由高斯公式知：原
式==
2. 设为平面在第一卦限部分的上侧，则
=
解：由轮换对称性知
原式=
3. 求
，其中
所围立体的外侧
有连续的二阶导数，是
4. ，其中为取外侧
§7 斯托克斯公式
1、设为平面
2. 设为圆周 3、
依逆时针方向。
其中为圆周
若从 （
轴正向看依逆时针方向，则
）
若从
轴正向看
与坐标面交线，从z 轴看去为逆时针方向，求
（2）
综合练习
一、填空 1、设平面曲线
为下半圆周
，则曲线积分
（ ）
2、设为椭圆
3、设为正向圆周
，其周长为, 则(12)
在第一象限中的部分，则曲线积分
（
4、设
是由锥面
）
围成的空间区域，是
的
与半球面
整个边界的外侧，则二、选择题 1、 设
是在第一卦限部分. 则有（ ）
A ． B.
C. 2、设
D.
取上侧，则下述积分不正确的是（ ）
A ． B. C. D.
3、设L 是从点(0,0)沿折线、y=1-|x-1|至点A(2,0)的折线段，则曲线积分
为（ ） A 0 B -1 C 2 D –2 三、计算
1．计算曲面积分，其中为锥面在柱体 内的部分
2、计算曲线积分逆时针方向） 解：设
为圆周：
，其中是以为中心，为半径的圆周（取
取逆时针方向，其参数方程
原积分为
3、计算曲面积分面
的上侧。 （-）
解：取
的下侧，则
其中是曲
4．计算曲面积分其中Σ是由曲面与两平面
围成立体表面的外侧 （）
解：面，
==
第十二章 无穷级数
§ 1 常数项级数的概念和性质
1、设级数
，则其和为（ ）
A ． B .1 C. D.
2、若，则级数（ ）
A. 收敛且和为0 B .收敛但和不一定为0 C. 发散 D .可能收敛也可能发散
3 、若级数收敛于S ，则级数（ ）
C收敛于2S- D. 发散
A . 收敛于2S B. 收敛于2S+
4、若，, 求的值
解：
所以
5、若级数 解：由于
收敛，问数列{}是否有界
，故收敛数列必有界。
6、若 解：
，求级数的值
故
7、求 解：
的值
故=
8、求的和 (
9、对于级数是它收敛的__________条件（必要）
根据定义判断下列级数的敛散性
（1） (发散)
（2）（裂项相消 收敛）
（3）
（发散）
§ 2 常数项级数的审敛法
用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性
1、判定级数的敛散性
解：由于
2、判定敛散性
解：=
故>, 而级数发散，故发散
3、判定敛散性
收敛; 1, 发散
4、判定级数的敛散性
故发散
5、判定级数的敛散性
由于而收敛，故原级数收敛
用比值或根值审敛法判别下列级数的收敛性
6、判定级数的敛散性
解：>1,所以发散
7、判定级数的敛散性
解：，所以收敛
8、 收敛
9、 ， 收敛
10、 （收敛）
判别下列级数是否收敛。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
11、 （条件收敛）
12、 （条件收敛）
13、 （绝对收敛）
14、 （绝对收敛）
15、
解：||，用比值判别法知, 所以绝对收敛 §3 幂级数
1、设幂级数在x=3处收敛，则该级数在x=-1点处（ ）
A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C.发散 D. 可能收敛也可能发散
2、级数的收敛域 （0，4]
3、求幂级数的收敛半径 （）
4、若级数在x=-2处收敛，则此级数在x=5处是否收敛，若收敛，是否绝对收敛 （绝对收敛）
5、求幂级数的收敛域
解：首先判断其收敛区间为（-7，-3），当x=-7、-3时，级数发散，所以级数的收 敛域为（-7，-3）
6、求的收敛域 [-1,1]
7、求的收敛域 （-
8、求幂级数的收敛域
解：首先求得收敛区间为（-3，3），而级数在x=-3处发散，在x=3处收敛，所以 收敛域为（-3，3]
9、求幂级数的和函数 （ -1
10、求幂级数的和函数
解： = （-1
§ 4 函数展开成幂级数
1、将函数f(x)=展开成x 的幂级数
解：f(x)=
由
2、将函数f(x)=
展开式可得f(x)= 展开成x 的幂级数 x
解：而= x
两边积分得 x
3、将函数
解：
4、将
解：
5、将函数f(x)=展开成x 的幂级数
解：f(x)= 6、
解：=
x §7 傅里叶级数
1、设f(x)是周期为的周期函数，它在[-上的表达式为f(x)= 将f(x)展开成傅立叶级数
解： b =
试
再将所求得的系数代入傅立叶级数可得傅立叶级数展开式
2、将函数展开成正弦级数
3、将函数 展开成正弦级数和余弦级数
§8 一般周期函数的傅立叶级数
1、将f(x)=2+|x|(-1展开成以2为周期的傅立叶级数后求的值 解：展开f(x)=代x=0得
=+ 得
2、将f(x)=x-1(0) 展开成周期为4的余弦级数
解： f(x)=
3、将f(x)=x-1(0 (0) ) 展开成周期为4的正弦级数的和函数为s(x)，求s(8) 解：s(8)=s(0)=
综合练习
一选择题:
1、下列级数中, 收敛的是( ).
A． B. C. D.
2、下列级数中, 收敛的是( ).
A. B. C. D.
3、下列级数中, 收敛的是( )
A. B. C. D.
4、部分和数列有界是正项级数收敛的( )
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
5、设为非零常数, 则当( )时, 级数
A. B.收敛 . ； D. C.
6、幂级数
A. 的收敛区域是( ). B. C. （0,2） D. [0,2]
7、是级数收敛的( )
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
8、幂级数
A. 的收敛区间是( ) B. C. D.
二、判别下列级数的收敛性
1、； 2、
三、判别级数的敛散性 .
四、求极限
五、求下列幂级数的收敛区间: .
1、； 2、.
六、求幂级数的和函数 .
七、求数项级数的和 .
八、试将函数
展开成.
自测题答案
一、1、B ； 2、B ； 3、C ； 4、C ； 5、D ；
6、A ； 7、B ； 8、B.
二、1、发散； 2、收敛.
三、条件收敛.
四、. (提示:化成)
五、1、； 2、.
六、. 七、.
八、
九、
十、
.
第九章 多元函数的微分法及其应用
§ 1 多元函数概念
1、设答案：
.
2、求下列函数的定义域： (1)
(2)
3、求下列极限：
(1) （0）
(2)
(0)
§ 2 偏导数
1、设z= , 验证
证明：，
2、求空间曲线在点（）处切线与x 轴正向夹角()
3、设, 求 ( 1)
4、设u=(x2+yz3) 3，求及.
解: =3(x2+yz3)2 2x=6x(x2+yz3)2 ， =3(x2+yz3)2 z3=3z3(x2+yz3)2
3(x2+yz3)2 3yz2=9yz2(x2+yz3)2
5、设，证明 :
6、设，求。
解：
7、设函数在点处的偏导数存在，求
§ 3 全微分
1、单选题
（1）二元函数在点处连续是它在该点处偏导数存在的 D .
(A) 必要条件而非充分条件 (B)充分条件而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 （2）对于二元函数
，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是 B 。
(A)偏导数不连续，则全微分必不存在 （B ）偏导数连续，则全微分必存在 (C)全微分存在，则偏导数必连续 （D ）全微分存在，而偏导数不一定存在 2、求下列函数的全微分：
(1) 设求dz
解:
(2) 设函数
(
为常数且
）求
.
解:；
；
；
(3) 解：
3、设，求dz½(1,1)
解: ,
4、设, 求：
5、讨论函数偏导数、可微性。
在(0,0)点处的连续性、
解：，所以在(0,0)点处连续。
，所以可微。
§4 多元复合函数的求导法则
１、设，求
解：
2、设，求
3、设, ，其中具有二阶连续偏导数，求。
解：；
4、设，其中具有二阶连续偏导数，求，，
解： ,
=
,
,
5、设，其中对各变元具有二阶连续偏导数，求。
解：
6、设，，证明：。
证：
；
类似可求得；。
所以
。
§ 5 隐函数的求导公式
1、设，求
解：令，
2、设是由方程确定，求。
解：
=
3、设, 其中可微。证明:
解：;
=+y=
4、设，求，
( ，)
5、设由方程
所确定，可微，求
解
：
令
，
6、设函数
是由方程
所确定，求
。
解： Þ
Þ
则
7、设由方程所确定，证明：。
证：；
所以
§6 微分法在几何中的应用
1、求螺旋线在对应于处的切线及法平面方程
解：切线方程为
法平面方程
2、求曲线在（3，4，5）处的切线及法平面方程
解：切线方程为 3、求曲面解：设
；
，法平面方程：
上点(1,1,1)处的切平面和法线方程。
，则 ；
。
在点(1,1,1)处
切平面方程是：
；；，所以法向量
，即；
法线方程是：
§7 方向导数与梯度
1、设函数
，(1)求该函数在点(1,3)处的梯度。2) 在点(1,3)处沿着方
向的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向 解：梯度为
到
最小值的方向为2、求函数
, 方向导数达到最大值的方向为，方向导数达
。
在(1,2,-1)处沿方向角为
的方向导
数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。
解：方向导数为，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向
，此时最大值为
3、求函数
在(1,1,-1)处沿曲线
在(1,1,1)处的切线正方向(
对应
于增大的方向) 的方向导数。
解：，，
所以该函数在点(1,1,-1)处的方向导数为4、求函数
在(1,1,-1)处的梯度。
。
解：，
§8 多元函数的极值及求法
1、求函数
的极值。
答案：（，）极小值点 2、设函数
由方程
确定，求函数的驻点。
解：
设
驻点是(0,0)。 3、求
Þ
的极值。
解：；。令=0,=0，得
Þ
=2；=-1；=1； ，=1，
。 在条件
下的条件极值。
>0,函数在(1,0)点处有极值，且由
在(1,0)点处=2，于A=2>0取极小值4、求函数解：
，
极小值为
5、欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。 （长和宽2米，高3米） 6、旋转抛物面解：设
,
设
被
为椭圆上的点，原点
。
截成一椭圆，求原点到椭圆的最大与最小距离。 到
的距离为
，且满足条件：
令得方程组：
解得：，
,
,
根据实际问题，最大距离和最小距离存在，所以
为最小距离；
为最大距离。
7、在第一卦限内作椭球面面体体积最小，求切点坐标。
的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四
解：椭球面上的点。设，则
在点的切平面法向量是，切平面方程：
切平面在轴上的截距是：；切平面在轴上的截距是：；切平面在轴
上的截距是：；
三坐标面与切平面所围的四面体的体积是：
。要求体积的最小值，只要求
在条件下的最大值即可。
设：
, , , 令=0,=0,=0，并与条件
联立解得由于根据实际情况，体积的最小值
存在，且所求得驻点唯一，所以
即为所求。
第九章 自测题
一、选择题：（每题2分，共14分）
1、设有二元函数A 、B 、C 、D 、2、函数
在
存在； 不存在； 存在，且存在，且
则 [ B ]
在(0,0)处不连续； 在(0,0)处连续。
在
连续的[ B ]
各一阶偏导数存在且连续是
A 、必要条件； B 、充分条件；
C 、充要条件； D 、既非必要也非充分条件。
3、函数 在(0,0)点处 [ D ]
A 、极限值为1； B 、极限值为-1； C 、连续； D 、无极限。 4、
在
处
，
存在是函数在该点可微分的[ A ]
（A ）必要条件； （B ）充分条件；
（C ）充要条件； （D ）既非必要亦非充分条件。 5、点
是函数
的 [ B ]
（A ）极小值点； （ B ）驻点但非极值点； （C ）极大值点； （D ）最大值点。 6、曲面（A ）（C ）
在点P(2,1,0)处的切平面方程是[ C ] ； （B ）； （D ）
；
7、已知函数 (A)(C)
; (B) ; (D)
;
均有一阶连续偏导数，那么[ B ]
二、填空题：（每题３分，共18分）
1、（ 0 ）
２、设，则（ ）
３、设４、设
，则在点
则( 0 )
)。
处的全微分dz=(
５、曲线在点处的切线方程为( )
６、曲线
三、计算题（每题6分）
在点(1,1,1)处的切线方程为( )
1、设，求的一阶偏导数。
解：2、设
，求的二阶偏导数。
解：, ,
, ,
,
3、设具有各二阶连续偏导数，求
解：
４、设 求和。
解：存在。
不存在，故不存在，同理，也不
当时，有
5、设，求：。
解：1+ Þ
6、设，且具有二阶连续偏导数，求：，，。
解：
，
7、，求：。
解：，
，
=
=
四、试分解正数为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。
解：设三个正数为，则，记，令
则由
解出。
第十章 重积分
§ 1 二重积分的概念与性质
1、设D 由圆求 的值
解：由于D 的面积为, 故=
2、由二重积分的几何意义求二重积分的值
其中D 为：
( 解：=
和曲面
)
所围的
3、设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面
立体的体积可用二重积分表示为 （ ）
4、设D 为圆域若二重积分=，求a 的值。
解： 5、设D ：
=
，
解：在D 上，
, 故
，比较与的大小关系
§ 2 二重积分的计算法
1、设，其中D 是由抛物线与直线y=x-4所围成的平面闭区域区域，
则I=（ A ） A ：
B ：
C ：
D ：
2、设D 是由不等式所确定的有界区域，则二重积分为
（ B ）
A ：0 B ： C ： D： 1 3、设D 是由直线x=0,y=2及y=x所围成的区域，则二重积分
的值为（ C ）
A ： B ： C ： D ：
4、 设f(x,y)是连续函数，则二次积分交换积分次序后为（ D A B
C D
5、设有界闭域D1、D2关于oy 轴对称，f 是域D=D1+D2上的连续函数，则二重 积分为（ A ）
A B
C D
6、设D1是由ox 轴、oy 轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f 是域D:|x|+|y|≤1
上的连续函数，则二重积分为（ B ）
）
A B
C D
7、设f(x,y)为连续函数，则 交换积分次序的结果为( C )
A B
C
D
8、设I=, 交换积分次序后I 为：( D )
9、改变二次积分的次序：
（ =）
10、求 ，其中 由x=2,y=x,xy=1所围成.
（)
11、设 D={(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1} , 求的值
解：=
12、计算二重积分，其中D={(x,y)| 0≤x ≤1,0≤y ≤1}
解： =
13、计算二重积分，其中D 是圆域
解：=
14、设 I=, 其中D 是由x2+y2=Rx所围城的区域，求I
（解：I=)
15、计算二重积分，D ： 围成的闭区域
（ 解：=
）
§ 3 三重积分
1、设是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则化为三次
定积分的结果为( A )
A B
C 2、设
D
是由曲面x2+y2=2z , 及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分
表示为累次积分，则I=（ B ）
A B
C D
3、设是由所确定的有界闭域，求三重积分
解：先二后一法，==2
4、设是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所围成的空间区域，求
()
5、设是球域：，求
是球域关于xoy 面对称，所以原式=0)
(利用偶倍奇零法。因函数关于z 为奇函数，区域
6、计算 其中为：平面z=2与曲面所围成的
区域 (
)
7、计算其中是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x2所围成的闭区域
(
2/27))
§4 重积分的应用
1、求由曲面
=2x,
=4x,y=x,y=0
所围成的图形面积 A
2、求曲面
包含在圆柱
内部的那部分面积
解：3、求圆柱体 体的体积
包含在抛物面
和xoy 平面之间那部分立
解：4、 曲面
将球面
分割成三部分，由上至下依次记
这三部分曲面的面积为 s1, s2, s3, 求s1:s2:s3
解：
第十章 自测题
一、选择题: （40分）
1、=( D )
A B
C D .
2、设为, 当( C ) 时, .
A 1 B C D
3、设, 其中由所围成, 则=( B ).
A; B
C D
.
4、设是由三个坐标面与平面=1所围成的空间区域, 则
=( A ).
A B C D .
5 、设为连续函数，则 ( A ).
A B
C D .
6、计算, 围成的立体, 则正确的为(B )和（C ）
A B
C 7、曲面 A
B
D .
包含在圆柱 C
D
内部的那部分面积.
(D )
二、计算下列二重积分:（20分）
1、, 其中是闭区域:
(原式=)
2、, 其中是由直线及圆周, 所围
成的在第一象 限内的闭区域 . (原式)
3、, 其中是由 围成的闭区域
( 原式)
4、, 其中:.
(
三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: （15分）
)
1、 （）
2、 (=)
3、 (=)
四、计算下列三重积分:（15分）
1、其中是由平面上曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面
所围成的区域。 ()
2、:所围成的闭区域
(原式)
（或用球坐标计算，原式=)
五、（5分）设
为连续函数，且 所围成的区域，求
，其中 D 是由
解：设，则
六
、
（
5
分
）
设
在
上
连
续
,
试
证:
==
第十一章曲线积分与曲面积分
§ 1 对弧长的曲线积分
1、设关于轴对称，
表示在轴上侧的部分，当
关于是偶函数时，
A.0 B. C. D.ABC都不对
2、设是以点
A. 4 B.2 C.
D.
为顶点的正方形边界, 则
=
3、有物质沿曲线： 的质量
分布，其线密度为，则它
A. B. C. D.
4．求其中L 为由所围区域的整个边界。
解：
5．其中L 为双纽线。
解：原积分=
6．其中L 为。
原积分
7．解：将
其中L 为球面代入方程
得
与平面
于是
的交线。
L 的参数方程：，又
原积分=
§2 对坐标的曲线积分
1. 设关于轴对称，
表示在轴上侧的部分，当
关于是偶函数
时， A.0 B. C. D.ABC都不对
2．设为的正向，则 A.0 B.4 C.2 D.-2
3．为的正向， A.2 B.-2 C.0 D.
4． 解：
到
方向
，其中由曲线从
5． 其中是正向圆周曲线
解：由奇偶对称性，：
6．其中为从点到的有向线段
解：方程：7、过
和
的曲线族
， ，求曲线
使沿该曲线从
到
的积分的值最小
解：
。
8、将积分
化为对弧长的积分,
其中L 沿上半圆周
最小，此时
解：
，于是
§3 格林公式及其应用
1. 若是上半椭圆取顺时针方向, 则=
A.0 B. C.. D
2. 设为的正向，则
A ．2 B.-2 C.0 D.
3. 设为曲线的正向，则
A ．9 B.-18 C. -9 D.0
4. 设是圆取逆时针方向，则
解：将方程代入被积函数在由格林公式得
5．其中为点到的抛物线
的弧段
解：因故积分与路径无关，取
6．求，为(1) (2) 正方形边界的正向
解：(1)直接用格林公式=0 (2) 设为圆周：
取逆时针方向，其参数方程
原积分为所以
7、验证
在
面上是某函数
的全微分，求出
解：
8、设曲线积分
，，
与路径无关，其中
具有连续的导数，且
，计算
解：取路径：沿
从
到
的值 ；再沿
从
到
则
或
§4 对面积的曲面积分
1、计算曲面积分 ，其中是平面在第一卦限的部分
解：
2、求曲面积分
，其中是界于平面z=0和z=H之间的圆柱面
解：
=2
3、求曲面积分
，其中是锥面
所截得的有限部分
被柱面
解：=
=
§ 5 对坐标的曲面积分 1. 设关于
面对称反向，
是在
面的前侧部分，若关于
为偶函数，则
（ ）
A.0 B. 2. 设为球面
取外侧,
C. D.ABC都不对
为其上半球面, 则有（ ）
A. B. C. D. 0
3．其中由及三个坐标面所围成闭曲面的外侧
4．其中为锥面被平面所截部分的外侧
5.
分，其法向量与z 轴成锐角
其中为被平面所截部
6、用两类曲面积分之间的关系计算
（1）求
是的外法线的方向余弦
其中是柱面在部分，
（2）为平面
在第四卦限部分的上侧
其中为连续函数，
§6 高斯公式
=
1. 设是抛物面介于及之间部分的下侧，求
解：做补面：
取上侧，则
构成一个封闭曲面，取外侧，由高斯公式知：原
式==
2. 设为平面在第一卦限部分的上侧，则
=
解：由轮换对称性知
原式=
3. 求
，其中
所围立体的外侧
有连续的二阶导数，是
4. ，其中为取外侧
§7 斯托克斯公式
1、设为平面
2. 设为圆周 3、
依逆时针方向。
其中为圆周
若从 （
轴正向看依逆时针方向，则
）
若从
轴正向看
与坐标面交线，从z 轴看去为逆时针方向，求
（2）
综合练习
一、填空 1、设平面曲线
为下半圆周
，则曲线积分
（ ）
2、设为椭圆
3、设为正向圆周
，其周长为, 则(12)
在第一象限中的部分，则曲线积分
（
4、设
是由锥面
）
围成的空间区域，是
的
与半球面
整个边界的外侧，则二、选择题 1、 设
是在第一卦限部分. 则有（ ）
A ． B.
C. 2、设
D.
取上侧，则下述积分不正确的是（ ）
A ． B. C. D.
3、设L 是从点(0,0)沿折线、y=1-|x-1|至点A(2,0)的折线段，则曲线积分
为（ ） A 0 B -1 C 2 D –2 三、计算
1．计算曲面积分，其中为锥面在柱体 内的部分
2、计算曲线积分逆时针方向） 解：设
为圆周：
，其中是以为中心，为半径的圆周（取
取逆时针方向，其参数方程
原积分为
3、计算曲面积分面
的上侧。 （-）
解：取
的下侧，则
其中是曲
4．计算曲面积分其中Σ是由曲面与两平面
围成立体表面的外侧 （）
解：面，
==
第十二章 无穷级数
§ 1 常数项级数的概念和性质
1、设级数
，则其和为（ ）
A ． B .1 C. D.
2、若，则级数（ ）
A. 收敛且和为0 B .收敛但和不一定为0 C. 发散 D .可能收敛也可能发散
3 、若级数收敛于S ，则级数（ ）
C收敛于2S- D. 发散
A . 收敛于2S B. 收敛于2S+
4、若，, 求的值
解：
所以
5、若级数 解：由于
收敛，问数列{}是否有界
，故收敛数列必有界。
6、若 解：
，求级数的值
故
7、求 解：
的值
故=
8、求的和 (
9、对于级数是它收敛的__________条件（必要）
根据定义判断下列级数的敛散性
（1） (发散)
（2）（裂项相消 收敛）
（3）
（发散）
§ 2 常数项级数的审敛法
用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性
1、判定级数的敛散性
解：由于
2、判定敛散性
解：=
故>, 而级数发散，故发散
3、判定敛散性
收敛; 1, 发散
4、判定级数的敛散性
故发散
5、判定级数的敛散性
由于而收敛，故原级数收敛
用比值或根值审敛法判别下列级数的收敛性
6、判定级数的敛散性
解：>1,所以发散
7、判定级数的敛散性
解：，所以收敛
8、 收敛
9、 ， 收敛
10、 （收敛）
判别下列级数是否收敛。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
11、 （条件收敛）
12、 （条件收敛）
13、 （绝对收敛）
14、 （绝对收敛）
15、
解：||，用比值判别法知, 所以绝对收敛 §3 幂级数
1、设幂级数在x=3处收敛，则该级数在x=-1点处（ ）
A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C.发散 D. 可能收敛也可能发散
2、级数的收敛域 （0，4]
3、求幂级数的收敛半径 （）
4、若级数在x=-2处收敛，则此级数在x=5处是否收敛，若收敛，是否绝对收敛 （绝对收敛）
5、求幂级数的收敛域
解：首先判断其收敛区间为（-7，-3），当x=-7、-3时，级数发散，所以级数的收 敛域为（-7，-3）
6、求的收敛域 [-1,1]
7、求的收敛域 （-
8、求幂级数的收敛域
解：首先求得收敛区间为（-3，3），而级数在x=-3处发散，在x=3处收敛，所以 收敛域为（-3，3]
9、求幂级数的和函数 （ -1
10、求幂级数的和函数
解： = （-1
§ 4 函数展开成幂级数
1、将函数f(x)=展开成x 的幂级数
解：f(x)=
由
2、将函数f(x)=
展开式可得f(x)= 展开成x 的幂级数 x
解：而= x
两边积分得 x
3、将函数
解：
4、将
解：
5、将函数f(x)=展开成x 的幂级数
解：f(x)= 6、
解：=
x §7 傅里叶级数
1、设f(x)是周期为的周期函数，它在[-上的表达式为f(x)= 将f(x)展开成傅立叶级数
解： b =
试
再将所求得的系数代入傅立叶级数可得傅立叶级数展开式
2、将函数展开成正弦级数
3、将函数 展开成正弦级数和余弦级数
§8 一般周期函数的傅立叶级数
1、将f(x)=2+|x|(-1展开成以2为周期的傅立叶级数后求的值 解：展开f(x)=代x=0得
=+ 得
2、将f(x)=x-1(0) 展开成周期为4的余弦级数
解： f(x)=
3、将f(x)=x-1(0 (0) ) 展开成周期为4的正弦级数的和函数为s(x)，求s(8) 解：s(8)=s(0)=
综合练习
一选择题:
1、下列级数中, 收敛的是( ).
A． B. C. D.
2、下列级数中, 收敛的是( ).
A. B. C. D.
3、下列级数中, 收敛的是( )
A. B. C. D.
4、部分和数列有界是正项级数收敛的( )
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
5、设为非零常数, 则当( )时, 级数
A. B.收敛 . ； D. C.
6、幂级数
A. 的收敛区域是( ). B. C. （0,2） D. [0,2]
7、是级数收敛的( )
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
8、幂级数
A. 的收敛区间是( ) B. C. D.
二、判别下列级数的收敛性
1、； 2、
三、判别级数的敛散性 .
四、求极限
五、求下列幂级数的收敛区间: .
1、； 2、.
六、求幂级数的和函数 .
七、求数项级数的和 .
八、试将函数
展开成.
自测题答案
一、1、B ； 2、B ； 3、C ； 4、C ； 5、D ；
6、A ； 7、B ； 8、B.
二、1、发散； 2、收敛.
三、条件收敛.
四、. (提示:化成)
五、1、； 2、.
六、. 七、.
八、
九、
十、
.