47、直线和圆（5）—圆的综合问题
【知识要点】
1、直线与圆相切、相交问题的处理
2、两圆的公共弦直线方程、公共弦长的求法
3、与圆有关最值问题的处理
【课前预习】
221、集合A ={(x , y ) |x +y =4},B ={(x , y ) |x (-23) +y (-2r >0，若4) =2r ，其中}
A ⋂B 中有且仅有一个元素，则r 的值是__________
2、与圆x 2+(y -2) 2=1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有_________条
53
22
11最长弦长为a n ，若公差d ∈(, ]，则n 的取值集合为____________ 633、在圆内x 2+y 2=5x ，过点(, ) 有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a 1，
4、已知P 为直线y =x +1上的一点，M , N 分别为圆C 1:(x -4) 2+(y -1) 2=4与圆C 2:x 2+(y -2) 2=1上的点，则PM -PN 的最大值为__________
5、设圆C :x +y =3，直线l :x +3y -6=0，点P (x 0, y 0) ∈l ，使得存在点Q ∈C ，使
，则x 0的取值范围是__________ ∠OPQ =60︒（O 为坐标原点）
【典例剖析】
例1、已知圆x +y +2ax -2ay +2a -4a =0(0
（1）若m =4，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值
（2）若直线l 是圆心C 下方的切线，当a 在(0,4]变化时，求m 的取值范围
22222
例2、已知圆C :(x +2) 2+y 2=4，相互垂直的两条直线l 1, l 2都过点A (a ,0)
（1）当a =2时，若圆心为M (1,m ) 的圆和圆C 外切线且与直线l 1, l 2都相切，求圆M 的方程；
（2）当a =-1时，求l 1, l 2被圆C 所截得弦长之和的最大值，并求此时直线l 1的方程；
例3、平面直角坐标系xOy 中, 已知C 1:(x +3) 2+(y -1) 2=4和C 2:(x -4) 2+(y -5) 2=4
（1）设直线l 过点A (4,0)，且被圆C
1截得的弦长为l 的方程；
（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别于圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标
【作业反馈】
1、两圆x 2+y 2-4x -3y =0与x 2+y 2-3x -y -5=0公共弦所在的直线方程为________
2、已知直线y =mx +
3m 和曲线y =
________
3、由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA , PB ，切点分别为A , B ，∠APB =60︒，则动点P 的轨迹方程为____________
4、设点M (x 0,1) ，若在圆O :x 2+y 2=1上存在一点N ，使得∠OMN =45︒，则x 0的取值范围是_________
5、如果圆x 2+y 2=
k 2至少覆盖函数f (x ) =则k 的取值范围是___________
6、已知点P (2,1)在圆C :x 2+y 2+ax -2y +b =0上，点P 关于直线x +y -1=0的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为__________、半径为____________
7、已知圆C :x 2+(y -1) 2=5，直线l :mx -y +1-m =0
（1）求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点;
（2）设l 与圆C 交于A,B
两点，若|AB |=，求l 的倾斜角
8、已知点P (x , y ) 为圆C :x +y -4x +3=0上一点，C 为圆心 22m 的取值范围是πx k 的图象的一个最大值与一个最小值，
y （1）求PC ⋅PO （O 我为坐标原点）的取值范围； （2）求的最大值 x
9、已知圆C :x 2+(y -a ) 2=4，点A (1,0)
（1）当过点A 的切线存在时，求实数a 的取值范围； （2）设AM , AN 分别为圆C 的两条切线，点M , N
为切点，当MN =
时，求MN 所在直线的方程 10、如图，在直角坐标系xOy 中，∆AOB 和∆COD 为等腰直角三角形，A (-2,0), C (a ,0)(a >0) ，设∆AOB 和∆COD 的外接圆圆心分别为M,N
（1）若圆M 与直线CD 相切，求直线CD 的方程；
（2）若直线AB 截圆N 所得弦长为4，求圆N 的标准方程
（3）是否存在这样的圆N ，使得圆N 上有且仅有三个点到直线AB
求此时圆N 的标准方程；若不存在，说明理由
47、直线和圆（5）—圆的综合问题
【知识要点】
1、直线与圆相切、相交问题的处理
2、两圆的公共弦直线方程、公共弦长的求法
3、与圆有关最值问题的处理
【课前预习】
221、集合A ={(x , y ) |x +y =4},B ={(x , y ) |x (-23) +y (-2r >0，若4) =2r ，其中}
A ⋂B 中有且仅有一个元素，则r 的值是__________
2、与圆x 2+(y -2) 2=1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有_________条
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11最长弦长为a n ，若公差d ∈(, ]，则n 的取值集合为____________ 633、在圆内x 2+y 2=5x ，过点(, ) 有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a 1，
4、已知P 为直线y =x +1上的一点，M , N 分别为圆C 1:(x -4) 2+(y -1) 2=4与圆C 2:x 2+(y -2) 2=1上的点，则PM -PN 的最大值为__________
5、设圆C :x +y =3，直线l :x +3y -6=0，点P (x 0, y 0) ∈l ，使得存在点Q ∈C ，使
，则x 0的取值范围是__________ ∠OPQ =60︒（O 为坐标原点）
【典例剖析】
例1、已知圆x +y +2ax -2ay +2a -4a =0(0
（1）若m =4，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值
（2）若直线l 是圆心C 下方的切线，当a 在(0,4]变化时，求m 的取值范围
22222
例2、已知圆C :(x +2) 2+y 2=4，相互垂直的两条直线l 1, l 2都过点A (a ,0)
（1）当a =2时，若圆心为M (1,m ) 的圆和圆C 外切线且与直线l 1, l 2都相切，求圆M 的方程；
（2）当a =-1时，求l 1, l 2被圆C 所截得弦长之和的最大值，并求此时直线l 1的方程；
例3、平面直角坐标系xOy 中, 已知C 1:(x +3) 2+(y -1) 2=4和C 2:(x -4) 2+(y -5) 2=4
（1）设直线l 过点A (4,0)，且被圆C
1截得的弦长为l 的方程；
（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别于圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标
【作业反馈】
1、两圆x 2+y 2-4x -3y =0与x 2+y 2-3x -y -5=0公共弦所在的直线方程为________
2、已知直线y =mx +
3m 和曲线y =
________
3、由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA , PB ，切点分别为A , B ，∠APB =60︒，则动点P 的轨迹方程为____________
4、设点M (x 0,1) ，若在圆O :x 2+y 2=1上存在一点N ，使得∠OMN =45︒，则x 0的取值范围是_________
5、如果圆x 2+y 2=
k 2至少覆盖函数f (x ) =则k 的取值范围是___________
6、已知点P (2,1)在圆C :x 2+y 2+ax -2y +b =0上，点P 关于直线x +y -1=0的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为__________、半径为____________
7、已知圆C :x 2+(y -1) 2=5，直线l :mx -y +1-m =0
（1）求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点;
（2）设l 与圆C 交于A,B
两点，若|AB |=，求l 的倾斜角
8、已知点P (x , y ) 为圆C :x +y -4x +3=0上一点，C 为圆心 22m 的取值范围是πx k 的图象的一个最大值与一个最小值，
y （1）求PC ⋅PO （O 我为坐标原点）的取值范围； （2）求的最大值 x
9、已知圆C :x 2+(y -a ) 2=4，点A (1,0)
（1）当过点A 的切线存在时，求实数a 的取值范围； （2）设AM , AN 分别为圆C 的两条切线，点M , N
为切点，当MN =
时，求MN 所在直线的方程 10、如图，在直角坐标系xOy 中，∆AOB 和∆COD 为等腰直角三角形，A (-2,0), C (a ,0)(a >0) ，设∆AOB 和∆COD 的外接圆圆心分别为M,N
（1）若圆M 与直线CD 相切，求直线CD 的方程；
（2）若直线AB 截圆N 所得弦长为4，求圆N 的标准方程
（3）是否存在这样的圆N ，使得圆N 上有且仅有三个点到直线AB
求此时圆N 的标准方程；若不存在，说明理由