数学期末考试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、与向量a =(1,-3, 2) 平行的一个向量的坐标是 （ ）
A ．（
13
，1，1）
12
B ．（－1，－3，2） D ．（2，－3，－22）
C ．（－，
32
，－1）
2、设命题p ：方程x 2+3x -1=0的两根符号不同；命题q ：方程x 2+3x -1=0的两根之和为3，判断命题“⌝p ”、“⌝q ”、“p ∧q ”、“p ∨q ”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、“a ＞b ＞0”是“ab ＜
a
2
+b 2
2
”的 （ ）
A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4、椭圆
x
2
m
+
y
2
4
则m 的值等于 （ ）. =1的焦距为2，
A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或8
5、已知空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，点M 在OA 上，且OM=2MA，
N 为BC 中点，则MN = （ ）
A ．C ．
1212a -a +
2312b +b -
2
1212
c c
B ．-D ．
23
23
a +
12
b +
12
c
a +
23
b -
12
c
6、抛物线y =4x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为 （ ）
A ．
1716
B ．
1516
C ．
78
D ．0
7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为 （ ） A.5或
54
2
C.
2
D.5或
3
5
8、若不等式|x －1|
9、已知a =(1-t , 1-t , t ), b =(2, t , t ) ，则|a -b |的最小值为 （ ）
55
555
355
115
A ． B ． C ． D ．
10、已知动点P(x 、y ) 满足10(x -1) 2+(y -2) 2＝|3x ＋4y ＋2|，则动点P 的轨迹是
（ ） A ．椭圆
B ．双曲线 C ．抛物线
n +1
2
D ．无法确定
11、已知数列{a n }的通项公式为a n =log
n +2
(n ∈N *) ，设其前n 项和为S n ，则使
S n
A ．有最大值63 B ．有最小值63 C ．有最大值32 D ．有最小值32 12、设过点P (x , y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP =2PA ，且OQ ⋅AB =1，则P 点的轨迹方程是（ ） A.
32x
2
2
+3y 32y
=1(x >0, y >0) B.
32
x
2
2
-3y +32y
2
=1(x >0, y >0) =1(x >0, y >0)
C. 3x 2-
2
=1(x >0, y >0) D. 3x
2
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
2
13、命题：∃x ∈R , x -x +1=0的否定是
14、若双曲线 x 2-4y 2=4的左、右焦点是F 1、F 2，过F 1的直线交左支于A 、B 两点，
若|AB|=5，则△AF 2B 的周长是15、若a =(2, 3, -1) ，则a , b 为邻边的平行四边形的面积为 b =(-2, 1, 3) ，16、以下四个关于圆锥曲线的命题中：
x
2
①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，|PA |+|PB |=k ，则动点P 的轨迹为椭圆；
②双曲线
25
-
y
2
9
=1与椭圆
x
2
35
+y =1有相同的焦点；
2
③方程2x 2-5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④和定点A (5, 0) 及定直线l :x =
254
的距离之比为
54
的点的轨迹方程为
x
2
16
-
y
2
9
=1．
其中真命题的序号为 _________． 三、解答题（本大题共5小题，共56分） 17、（本题满分10分）已知命题p ：方程
x
2
2m
-
y
2
m -1
=1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题
q ：双曲线围．
y
2
5
-
x
2
m
=1的离心率e ∈(1, 2) ，若p , q 只有一个为真，求实数m 的取值范
18. 在∆A B C 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c , B =
π
6
，cos A =
35
, b =2。
（1）求sin C 的值； （2）求∆A B C 的面积. 19、（本题满分10分）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB =90 ，侧棱
AA 1=2，Ｄ，Ｅ分别是CC 1与A 1B 的中点
(1)求A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值； (2)求点A 1到平面AED 的距离.
20、（本题满分12分）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，
51
本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
14
. （注：lg 2=0. 3）(1)设n 年内(本年度为第一年) 总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n , b n 的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？21、（本题满分12分）设F 1，F 2, 分别是椭圆E ：x +
2
y b
22
=1（0﹤b ﹤1）的左、右焦
点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列。（Ⅰ）求|AB |；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值。
数学期末考试卷
1、C 2、C 3、A 4、C 5、B 6、B 7、B 8、D 9、C 10、A 11、B 12、A
13、∀x ∈R , x 2-x +1≠0 14、18 15、65 16、②③
17、p :0
3
113
≤m
故m 的取值范围为≤m
3
1
18. 解：（1）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且B =
π
6
, cos A =
35
，∴C =
5π6
-A , sin A =
45
，
⎛5π⎫1∴sin C =sin . -A ⎪=cos A +A =
210⎝6⎭2
（2
）由（Ⅰ）知sin A =
45
, sin C =
10b s s
A i
， 又∵B =
π
66
, b =2，∴在△ABC 中，由正
弦定理，得
12
165
∴a =
n
=B i n
.
1
5
∴△ABC 的面
积
S =
12
ab sin C =⨯⨯2⨯
10
=
50
.
19、(略)
20. 解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－) 万元，„第n 年投入为
51
800×(1－
－1
15
) n －1万元，所以，n 年内的总投入为a n =800+800×(1－
15
k －1
15
)+„+800×(1－
15
) n
n
=∑800×(1－
k =1
) =4000×［1－(
45
) ］
n
第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+入400×(1+
14
k －1
n
14
) ，„，第n 年旅游业收
14
14
) n －1万元. 所以，n 年内的旅游业总收入为b n =400+400×(1+
54
)+„+400×
(1+)
=∑400×(
k =1
) k －1. =1600×［(
54
) n －1］
(2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即：
1600×［(
54
) －1］－4000×［1－(
25
n
45
) ］＞0，令x =(
45
n
45
) ，代入上式得：5x －7x +2＞0.
n 2
解此不等式，得x ＜，或x ＞1(舍去). 即(
) n ＜
25
，由此得n ≥5. ∴至少经过5年，旅游
业的总收入才能超过总投入.
21、（1）由椭圆定义知
2|A B |=|A F 2|+|BF 2|,得|A B |=
43
|AF 2|+|AB|+|BF 2|=4
。 又
（2）L 的方程式为y=x+c,
其中c =
设A (x 1，y 1),B(x 1，y 1) , 则A ，B 两点坐标满足
方程组
-2c 1-2b y =x +c 222
{ 化简得则x +x =, x x =. (1+b ) x +2cx +1-2b =0. 1212222y 1+b 1+b x 2+=1
b 4
因为直线AB 的斜率为1
，所以|AB|=x 2-x 1| 即
=x 2-x 1| .
3
2
则
89
=(x 1+x 2) -4x 1x 2=
2
4(1-b ) (1+b )
2
2
2
-
4(1-2b ) 1+b
2
2
=
8b
42
1+b
解得
b =
2
.
数学期末考试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、与向量a =(1,-3, 2) 平行的一个向量的坐标是 （ ）
A ．（
13
，1，1）
12
B ．（－1，－3，2） D ．（2，－3，－22）
C ．（－，
32
，－1）
2、设命题p ：方程x 2+3x -1=0的两根符号不同；命题q ：方程x 2+3x -1=0的两根之和为3，判断命题“⌝p ”、“⌝q ”、“p ∧q ”、“p ∨q ”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、“a ＞b ＞0”是“ab ＜
a
2
+b 2
2
”的 （ ）
A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4、椭圆
x
2
m
+
y
2
4
则m 的值等于 （ ）. =1的焦距为2，
A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或8
5、已知空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，点M 在OA 上，且OM=2MA，
N 为BC 中点，则MN = （ ）
A ．C ．
1212a -a +
2312b +b -
2
1212
c c
B ．-D ．
23
23
a +
12
b +
12
c
a +
23
b -
12
c
6、抛物线y =4x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为 （ ）
A ．
1716
B ．
1516
C ．
78
D ．0
7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为 （ ） A.5或
54
2
C.
2
D.5或
3
5
8、若不等式|x －1|
9、已知a =(1-t , 1-t , t ), b =(2, t , t ) ，则|a -b |的最小值为 （ ）
55
555
355
115
A ． B ． C ． D ．
10、已知动点P(x 、y ) 满足10(x -1) 2+(y -2) 2＝|3x ＋4y ＋2|，则动点P 的轨迹是
（ ） A ．椭圆
B ．双曲线 C ．抛物线
n +1
2
D ．无法确定
11、已知数列{a n }的通项公式为a n =log
n +2
(n ∈N *) ，设其前n 项和为S n ，则使
S n
A ．有最大值63 B ．有最小值63 C ．有最大值32 D ．有最小值32 12、设过点P (x , y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP =2PA ，且OQ ⋅AB =1，则P 点的轨迹方程是（ ） A.
32x
2
2
+3y 32y
=1(x >0, y >0) B.
32
x
2
2
-3y +32y
2
=1(x >0, y >0) =1(x >0, y >0)
C. 3x 2-
2
=1(x >0, y >0) D. 3x
2
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
2
13、命题：∃x ∈R , x -x +1=0的否定是
14、若双曲线 x 2-4y 2=4的左、右焦点是F 1、F 2，过F 1的直线交左支于A 、B 两点，
若|AB|=5，则△AF 2B 的周长是15、若a =(2, 3, -1) ，则a , b 为邻边的平行四边形的面积为 b =(-2, 1, 3) ，16、以下四个关于圆锥曲线的命题中：
x
2
①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，|PA |+|PB |=k ，则动点P 的轨迹为椭圆；
②双曲线
25
-
y
2
9
=1与椭圆
x
2
35
+y =1有相同的焦点；
2
③方程2x 2-5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④和定点A (5, 0) 及定直线l :x =
254
的距离之比为
54
的点的轨迹方程为
x
2
16
-
y
2
9
=1．
其中真命题的序号为 _________． 三、解答题（本大题共5小题，共56分） 17、（本题满分10分）已知命题p ：方程
x
2
2m
-
y
2
m -1
=1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题
q ：双曲线围．
y
2
5
-
x
2
m
=1的离心率e ∈(1, 2) ，若p , q 只有一个为真，求实数m 的取值范
18. 在∆A B C 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c , B =
π
6
，cos A =
35
, b =2。
（1）求sin C 的值； （2）求∆A B C 的面积. 19、（本题满分10分）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB =90 ，侧棱
AA 1=2，Ｄ，Ｅ分别是CC 1与A 1B 的中点
(1)求A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值； (2)求点A 1到平面AED 的距离.
20、（本题满分12分）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，
51
本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
14
. （注：lg 2=0. 3）(1)设n 年内(本年度为第一年) 总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n , b n 的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？21、（本题满分12分）设F 1，F 2, 分别是椭圆E ：x +
2
y b
22
=1（0﹤b ﹤1）的左、右焦
点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列。（Ⅰ）求|AB |；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值。
数学期末考试卷
1、C 2、C 3、A 4、C 5、B 6、B 7、B 8、D 9、C 10、A 11、B 12、A
13、∀x ∈R , x 2-x +1≠0 14、18 15、65 16、②③
17、p :0
3
113
≤m
故m 的取值范围为≤m
3
1
18. 解：（1）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且B =
π
6
, cos A =
35
，∴C =
5π6
-A , sin A =
45
，
⎛5π⎫1∴sin C =sin . -A ⎪=cos A +A =
210⎝6⎭2
（2
）由（Ⅰ）知sin A =
45
, sin C =
10b s s
A i
， 又∵B =
π
66
, b =2，∴在△ABC 中，由正
弦定理，得
12
165
∴a =
n
=B i n
.
1
5
∴△ABC 的面
积
S =
12
ab sin C =⨯⨯2⨯
10
=
50
.
19、(略)
20. 解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－) 万元，„第n 年投入为
51
800×(1－
－1
15
) n －1万元，所以，n 年内的总投入为a n =800+800×(1－
15
k －1
15
)+„+800×(1－
15
) n
n
=∑800×(1－
k =1
) =4000×［1－(
45
) ］
n
第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+入400×(1+
14
k －1
n
14
) ，„，第n 年旅游业收
14
14
) n －1万元. 所以，n 年内的旅游业总收入为b n =400+400×(1+
54
)+„+400×
(1+)
=∑400×(
k =1
) k －1. =1600×［(
54
) n －1］
(2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即：
1600×［(
54
) －1］－4000×［1－(
25
n
45
) ］＞0，令x =(
45
n
45
) ，代入上式得：5x －7x +2＞0.
n 2
解此不等式，得x ＜，或x ＞1(舍去). 即(
) n ＜
25
，由此得n ≥5. ∴至少经过5年，旅游
业的总收入才能超过总投入.
21、（1）由椭圆定义知
2|A B |=|A F 2|+|BF 2|,得|A B |=
43
|AF 2|+|AB|+|BF 2|=4
。 又
（2）L 的方程式为y=x+c,
其中c =
设A (x 1，y 1),B(x 1，y 1) , 则A ，B 两点坐标满足
方程组
-2c 1-2b y =x +c 222
{ 化简得则x +x =, x x =. (1+b ) x +2cx +1-2b =0. 1212222y 1+b 1+b x 2+=1
b 4
因为直线AB 的斜率为1
，所以|AB|=x 2-x 1| 即
=x 2-x 1| .
3
2
则
89
=(x 1+x 2) -4x 1x 2=
2
4(1-b ) (1+b )
2
2
2
-
4(1-2b ) 1+b
2
2
=
8b
42
1+b
解得
b =
2
.