第11讲 常见的量及探索规律
第一部分 知识点梳理
1. 长度、面积、体积（容积）、质量单位及其进率
2. 常用的时间单位及其关系
注意：是4的倍数的公历年份称为闰年，当公历年份是整百时，必须是400的倍数才是闰年，否则是平年。
3. 人民币的单位及其进率 人民币的单位是：元、角、分。 1元=10角 1角=10分 4. 名数的概念及其改写
（1）名数：把数量和单位名称合在一起叫作名数。如：60分米，5千克等。 （2）名数的分类：名数分为单名数和复名数。
单名数：由一个数和一个单位名称组成的数称为单名数。如：4吨，2厘米等。 复名数：有两个或两个以上的数及单位名称组成的名数叫作复名数。如：5元3角。
（3）名数的改写方法： 除以进率
低级单位名数高级单位名数 乘以进率 5. 探索规律
（1）算式中的规律：数学算式中的规律，应认真观察算式、结果中的特点，再根据规律完成这一类题型。
（2）数列中的规律：按照一定的次序排列的一列数叫作数列。 ①规律蕴含在相邻两数的差或倍数中；
②以数列的前几项为一组，以组为单位找出关系和规律； ③需将数列分解，通过对比找出规律。
（3）数图形中的规律：应该按照一定的顺序去数，做到不遗漏，不重复。 ①数线段的规律：公式为
n (n 1)
（n 为端点数） 2
②数长方形的规律：长边上的线段条数乘以宽边上的线段条数等于长方形的总个数。 ③数正方形的规律：n ×n+(n-1)(n-)+„+2×2+1×1(n为正方形一边上的小格数）。
（4）方阵中的规律：方阵中每边的人或物体的数量相等，相邻两层、每边上的数量相差2，四边形四条边上的数量相差8。
①方阵问题每边上的数量与四周的数量关系：四周的数量=（每边数-1）×4 ②空心方阵中的数量关系：总数=（外层每边的数量-层数）×层数×4 ③实心方阵中的数量关系：总数=外层每边数×外层每边数
（5）周期中的规律：先找出周期的数量，再用总数除以周期的数量，如果正好是整数，结果是周期的最后一个数；如果是整数个周期且多了n 个，结果是周期数的第n 个数；如果不是第一个开始循环，可以用总量减去不是循环的个数后再进行计算。
（6）搭配中的规律：类似于乘法原理。
第二部分 精讲点拨
例1 填空
（1）1050毫升=（ ）升 （2）5
5
公顷=（ ）平方米 8
3
时=（ ）时（ ）分（ ）秒 4
举一反三：
1. 在括号里填上适当的数。
13
日=（ ）小时 81
（2）2.04公顷=（ ）平方米 1立方分米=（ ）毫升
2
（1）0.65小时=（ ）分 2. 在括号里填上适当的数。 （1）5
5
时=（ ）时（ ）分 4.75千米=（ ）千米（ ）米 6
（2）3000050克=（ ）吨（ ）克 6吨6千克=（ ）吨=（ ）千克 （3）5060立方厘米=（ ）立方分米=（ ）立方分米（ ）立方厘米 3. 把下列各组数量按从大到小的顺序排列。 （1）500毫米 5
33
分米 米 55
（2）4050立方分米 4.5立方分米 4立方米5立方分米
例2 王军每天早上7:45到校，中午11:05放学；下午2:20到校，5:00放学。王军一天的在校时间是多少天？ 举一反三：
1. 填空题
（1）2011年12月31日24时就是（ ）年（ ）月（ ）日的零时。 （2）2011年第一季度是（ ）天，2012年第一季度是（ ）天。 2. 判断题
（1）4.45小时就是4小时45分。 （ ） （2）3时15分的时候，时针和分针重合在一起。 （ ） （3）晚上8时，用24小时计时法写作20:00。 （ ）
3. 叔叔乘火车从甲城到乙城，2011年2月28日晚10时25分开车，经过35小时45分到达乙城，叔叔到乙城是什么时间？
例3 小华今年9岁了，可她只过了两个生日。你能说出小华的生日是几月几日吗？
1. 小明的爷爷今年65岁了，可他只过了16个生日，今年是2009年，爷爷是哪一年，那一月，哪一日出生的？
2. 贝贝的生日是2月29日，当她26岁的时侯，她一共过了多少个生日？
3. 小明一家四口人的生日之和是147岁，爷爷比爸爸答8岁，妈妈比小明大27岁，爷爷的年龄是小明与妈妈年龄之和的2倍。问小明一家四口人的年龄各是多少岁？
例4 12时整，钟面上的时针、分针和秒针刚好重合。那么，再过多长时间，钟面上的时针和分针再次重合，重合时，时针和分针分别走了几圈几格？
举一反三：
1. 在7时和8时之间，分针和时针何时成一条直线？
2.6时时，分针与时针反向成一条直线，再反向成一条直线时过了多长时间？
3.9时时，分针与时针恰好成直角，下一次两指针成直角时过了多长时间？
例5 找规律填空：1,1,2,3,5,8，（ ），（ ），„
1. （1）4,9,16,25，（ ），（ ），64,81，„ （2）10,14,22,38,70,134，（ ），（ ），„
2513
，，，（ ），（ ），„ 38211111
（2），，，，（ ），（ ），„
251017
2. （1）1，
3. 有一列数为1,2,3,2,3,4,3,4,5，„则这列数中第50个数是（ ）。
例6 观察下面的算式：
1+2+1=4 1+2+3+2+1=9
1+2+3+4+3+2+1=16 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25 „
用你发现的规律计算1+2+3+4+5+„+99+100+99+„+5+4+3+2+1的值是多少？ 举一反三：
1. 根据前三道算式的值写出后四道算式的值。
142857×1=142857 142857×2=285714 142857×3=428571
142857×4= 142857×5=
例7 按照下列的方式，用火柴搭成正方形。
（1）当正方形的个数是7
个时，火柴棒的根数是（ ）根。 （2）当正方形的个数是n 个时，火柴棒的根数是（ ）根。 举一反三：
1.如下图所示，根据图形和字母的关系，将ad 的图补上。
2. 如右上图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要( )枚棋子, 第n 个“小屋子”要（ ）枚棋子。
3.用小棒按照如图方式摆放，摆第8个图形需要（ ）根小棒，摆第n 个图形需要（ ）个小棒。
例8 将自然数1、2、3、4^按如图排列：从1开始，下面写2，然后向右转写3、4，然后向上转写5、6、7，依次写下去，这样第一次转弯是2，第2次转弯是4，第3次转弯是7，第4次转弯是11„
（1）第10次转弯是几？
（2）第2011次转弯是几？
举一反三：
1.自然数按右下图的规律排列，回答下列问题：
（
1）求上起第l0行，左起第l3列的数是多少？ （2）数127应在上起第几行、左起第几列?
2.把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的3个数，竖的3个数，这9个数的和是162。如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的9个数。
（1） 当正方形左上角的数是100时，这9个数的和是多少？ （2） 当正方形中9个数的和是1557时，最大的数是多少？
1815
22
291623
3101724
4111825
5121926
6132027
7142128
195196
[1**********]0
11的矩形，接着把面积为的22
111
矩形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如
448
11111111
此进行下去，试利用图形提示的规律计算：+++的值。 ++++
[**************]
3．如图，把一个面积为1的正方形分等分成两个面积为
第三部分 过关检测
一、填空题
1. 请你把小明收到的2013年元旦祝福信息补充完整。
祝你一年（ ）天，天天开心！( ）小时，时时快乐！（ ）分，分分精彩！（ ）秒，秒秒幸福！
2.在（ )里填上适当的计量单位。
一种保温瓶的容量是1.2（ ） 一辆卡车的载重约是2（ ） 小丽步行1200米约用15（ ） 长江约长6300（ ）
3.钟面上分针转动一圈的时间是（ ）小时，时针转动一圈的时间是（ ）小时，时针转动的速度是分针速度的（ ）。
4.（ ）平方分米=2.4平方米 （ ）吨（ ）千克=3.05吨 5.找规律填空。
（1）1，4，10，22，46，（ ），190。 （2）1，3，7，15，31，（ ），（ ）。 6.观察下图规律，则A=（ ）。
7.观察1＋3＝4，4＋5＝9，9＋7＝16，16＋9＝25，25＋11＝36这五道算式，找出规律，然后填空:2000＋（ ）＝2001。
8.1＋2＋3＝4＋5－3，6＋7＋8＋9＝10＋11＋12－3，13＋14＋15＋16＋17＝18＋19＋20＋21－3„„第78个算式的左右两边的结果是（ ）
9.如下图是用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字6个棋子，第二个“上”字10个棋子，第三个“上”字14个棋子，如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：第90个“上”字需用（ ）个棋子。
2
2
10.用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式摆下去，第10个图形需要（ ）根火柴棒，搭第n 个图形需要（ ）根火柴棒。
„„
二、选择题
1.一个正方体的体积是1立方分米，它的棱长是（ ），它的一个面的面积是（ ）。
A．1分米 B．10分米 C．1平方分米 D．10平方分米
2.一个汽油桶，最多可装汽油180升，我们就说这个油桶的（ ）是180升。 A．质量 B．容积 C．体积
3.如果10月份恰好有四个星期日，那么10月1日不可能是（ ）。 A．星期五 B．星期四 C．星期一
4.从1990年至2012年之间，2月是29天的年份共计有（ ）。 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5.下面的时间最接近你的年龄的是（ ）。
A．600分 B．600时 C．600月 D．600周 6.2012年2月1日是星期三，这年的6月1日是星期（ ）。 A．六 B．五 C．日 D．二 7.从1写到100，一共写了（ ）个数字“5”。 A．19 B．20 C．21 D．25 8.将
1
化成小数后，小数点后第2008位上的数字是（ ）。 7
A．2 B．4 C．6 D．8
9.在一条直线上依次共有四个不同的点，则这条直线上的线段共有（ ）条。
A．4 B．5 C．6 D．7
10.节日的公园挂起了一盏盏彩灯，彩灯按黄、红、绿、黄、红、绿„„的次序有规律地连接在一起，那么第2009盏彩灯的颜色是（ ）。
A．红色 B．黄色 C．绿色 D．无法确定 三、判断题
1. 小华说：“我弟弟是2002年2月29日出生的。” （ ） 2.2011年2月28日24时，就是2011年3月1日零时。 （ ） 3. 面积单位比长度单位大。 （ ） 4.1900年是闰年，因为1900能被整除。 （ ） 5. 面积单位间的进率都是100。 （ ） 6.3时36分=3.36小时。 （ ） 四、解答题
1. 一块棉花地长28米，宽250米，合多少公顷？如果每公顷地产棉花960千克，那么这块地可产棉花多少吨？
2. 师傅对徒弟说：“我在你这个年龄时，你是2岁，等你到我这个年龄时，我就41岁了。”问师傅与徒弟各多少岁？
[1**********]322
×1×2,1+2=9=×2×3,1+2+3=36= ×3×4。 444
1333322
（1）猜想：1+2+3+„+n= ×( )×( )
4
3. 已知1=1=
3
（2）利用上述结果计算：2+3+4+„+20
3333
4.如图①是一个水平摆放的小正方体木块，图②、③是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是( )．
5. 若将类似于a 、b 、c 、d 四个图的图形称做平面图，则其顶点数、边数与区域数之间 存在某种关系．观察图b 和表中对应的数值，探究计数的方法并作答。
（1）数一数每个图中各有多少个顶点、多少条边，这些边围出多少个区域并填表：
（2）根据表中数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的一种关系为（ ）。 （3）如果一个平面图有20个顶点和11个区域，那么利用（2）中得出的关系可知这个平面图有（ ）条边。
顶点数（S ） 边数（M ） 区域数（N ）
7 9 3
图
a
b
c
d
第11讲 常见的量及探索规律
第一部分 知识点梳理
1. 长度、面积、体积（容积）、质量单位及其进率
2. 常用的时间单位及其关系
注意：是4的倍数的公历年份称为闰年，当公历年份是整百时，必须是400的倍数才是闰年，否则是平年。
3. 人民币的单位及其进率 人民币的单位是：元、角、分。 1元=10角 1角=10分 4. 名数的概念及其改写
（1）名数：把数量和单位名称合在一起叫作名数。如：60分米，5千克等。 （2）名数的分类：名数分为单名数和复名数。
单名数：由一个数和一个单位名称组成的数称为单名数。如：4吨，2厘米等。 复名数：有两个或两个以上的数及单位名称组成的名数叫作复名数。如：5元3角。
（3）名数的改写方法： 除以进率
低级单位名数高级单位名数 乘以进率 5. 探索规律
（1）算式中的规律：数学算式中的规律，应认真观察算式、结果中的特点，再根据规律完成这一类题型。
（2）数列中的规律：按照一定的次序排列的一列数叫作数列。 ①规律蕴含在相邻两数的差或倍数中；
②以数列的前几项为一组，以组为单位找出关系和规律； ③需将数列分解，通过对比找出规律。
（3）数图形中的规律：应该按照一定的顺序去数，做到不遗漏，不重复。 ①数线段的规律：公式为
n (n 1)
（n 为端点数） 2
②数长方形的规律：长边上的线段条数乘以宽边上的线段条数等于长方形的总个数。 ③数正方形的规律：n ×n+(n-1)(n-)+„+2×2+1×1(n为正方形一边上的小格数）。
（4）方阵中的规律：方阵中每边的人或物体的数量相等，相邻两层、每边上的数量相差2，四边形四条边上的数量相差8。
①方阵问题每边上的数量与四周的数量关系：四周的数量=（每边数-1）×4 ②空心方阵中的数量关系：总数=（外层每边的数量-层数）×层数×4 ③实心方阵中的数量关系：总数=外层每边数×外层每边数
（5）周期中的规律：先找出周期的数量，再用总数除以周期的数量，如果正好是整数，结果是周期的最后一个数；如果是整数个周期且多了n 个，结果是周期数的第n 个数；如果不是第一个开始循环，可以用总量减去不是循环的个数后再进行计算。
（6）搭配中的规律：类似于乘法原理。
第二部分 精讲点拨
例1 填空
（1）1050毫升=（ ）升 （2）5
5
公顷=（ ）平方米 8
3
时=（ ）时（ ）分（ ）秒 4
举一反三：
1. 在括号里填上适当的数。
13
日=（ ）小时 81
（2）2.04公顷=（ ）平方米 1立方分米=（ ）毫升
2
（1）0.65小时=（ ）分 2. 在括号里填上适当的数。 （1）5
5
时=（ ）时（ ）分 4.75千米=（ ）千米（ ）米 6
（2）3000050克=（ ）吨（ ）克 6吨6千克=（ ）吨=（ ）千克 （3）5060立方厘米=（ ）立方分米=（ ）立方分米（ ）立方厘米 3. 把下列各组数量按从大到小的顺序排列。 （1）500毫米 5
33
分米 米 55
（2）4050立方分米 4.5立方分米 4立方米5立方分米
例2 王军每天早上7:45到校，中午11:05放学；下午2:20到校，5:00放学。王军一天的在校时间是多少天？ 举一反三：
1. 填空题
（1）2011年12月31日24时就是（ ）年（ ）月（ ）日的零时。 （2）2011年第一季度是（ ）天，2012年第一季度是（ ）天。 2. 判断题
（1）4.45小时就是4小时45分。 （ ） （2）3时15分的时候，时针和分针重合在一起。 （ ） （3）晚上8时，用24小时计时法写作20:00。 （ ）
3. 叔叔乘火车从甲城到乙城，2011年2月28日晚10时25分开车，经过35小时45分到达乙城，叔叔到乙城是什么时间？
例3 小华今年9岁了，可她只过了两个生日。你能说出小华的生日是几月几日吗？
1. 小明的爷爷今年65岁了，可他只过了16个生日，今年是2009年，爷爷是哪一年，那一月，哪一日出生的？
2. 贝贝的生日是2月29日，当她26岁的时侯，她一共过了多少个生日？
3. 小明一家四口人的生日之和是147岁，爷爷比爸爸答8岁，妈妈比小明大27岁，爷爷的年龄是小明与妈妈年龄之和的2倍。问小明一家四口人的年龄各是多少岁？
例4 12时整，钟面上的时针、分针和秒针刚好重合。那么，再过多长时间，钟面上的时针和分针再次重合，重合时，时针和分针分别走了几圈几格？
举一反三：
1. 在7时和8时之间，分针和时针何时成一条直线？
2.6时时，分针与时针反向成一条直线，再反向成一条直线时过了多长时间？
3.9时时，分针与时针恰好成直角，下一次两指针成直角时过了多长时间？
例5 找规律填空：1,1,2,3,5,8，（ ），（ ），„
1. （1）4,9,16,25，（ ），（ ），64,81，„ （2）10,14,22,38,70,134，（ ），（ ），„
2513
，，，（ ），（ ），„ 38211111
（2），，，，（ ），（ ），„
251017
2. （1）1，
3. 有一列数为1,2,3,2,3,4,3,4,5，„则这列数中第50个数是（ ）。
例6 观察下面的算式：
1+2+1=4 1+2+3+2+1=9
1+2+3+4+3+2+1=16 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25 „
用你发现的规律计算1+2+3+4+5+„+99+100+99+„+5+4+3+2+1的值是多少？ 举一反三：
1. 根据前三道算式的值写出后四道算式的值。
142857×1=142857 142857×2=285714 142857×3=428571
142857×4= 142857×5=
例7 按照下列的方式，用火柴搭成正方形。
（1）当正方形的个数是7
个时，火柴棒的根数是（ ）根。 （2）当正方形的个数是n 个时，火柴棒的根数是（ ）根。 举一反三：
1.如下图所示，根据图形和字母的关系，将ad 的图补上。
2. 如右上图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要( )枚棋子, 第n 个“小屋子”要（ ）枚棋子。
3.用小棒按照如图方式摆放，摆第8个图形需要（ ）根小棒，摆第n 个图形需要（ ）个小棒。
例8 将自然数1、2、3、4^按如图排列：从1开始，下面写2，然后向右转写3、4，然后向上转写5、6、7，依次写下去，这样第一次转弯是2，第2次转弯是4，第3次转弯是7，第4次转弯是11„
（1）第10次转弯是几？
（2）第2011次转弯是几？
举一反三：
1.自然数按右下图的规律排列，回答下列问题：
（
1）求上起第l0行，左起第l3列的数是多少？ （2）数127应在上起第几行、左起第几列?
2.把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的3个数，竖的3个数，这9个数的和是162。如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的9个数。
（1） 当正方形左上角的数是100时，这9个数的和是多少？ （2） 当正方形中9个数的和是1557时，最大的数是多少？
1815
22
291623
3101724
4111825
5121926
6132027
7142128
195196
[1**********]0
11的矩形，接着把面积为的22
111
矩形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如
448
11111111
此进行下去，试利用图形提示的规律计算：+++的值。 ++++
[**************]
3．如图，把一个面积为1的正方形分等分成两个面积为
第三部分 过关检测
一、填空题
1. 请你把小明收到的2013年元旦祝福信息补充完整。
祝你一年（ ）天，天天开心！( ）小时，时时快乐！（ ）分，分分精彩！（ ）秒，秒秒幸福！
2.在（ )里填上适当的计量单位。
一种保温瓶的容量是1.2（ ） 一辆卡车的载重约是2（ ） 小丽步行1200米约用15（ ） 长江约长6300（ ）
3.钟面上分针转动一圈的时间是（ ）小时，时针转动一圈的时间是（ ）小时，时针转动的速度是分针速度的（ ）。
4.（ ）平方分米=2.4平方米 （ ）吨（ ）千克=3.05吨 5.找规律填空。
（1）1，4，10，22，46，（ ），190。 （2）1，3，7，15，31，（ ），（ ）。 6.观察下图规律，则A=（ ）。
7.观察1＋3＝4，4＋5＝9，9＋7＝16，16＋9＝25，25＋11＝36这五道算式，找出规律，然后填空:2000＋（ ）＝2001。
8.1＋2＋3＝4＋5－3，6＋7＋8＋9＝10＋11＋12－3，13＋14＋15＋16＋17＝18＋19＋20＋21－3„„第78个算式的左右两边的结果是（ ）
9.如下图是用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字6个棋子，第二个“上”字10个棋子，第三个“上”字14个棋子，如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：第90个“上”字需用（ ）个棋子。
2
2
10.用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式摆下去，第10个图形需要（ ）根火柴棒，搭第n 个图形需要（ ）根火柴棒。
„„
二、选择题
1.一个正方体的体积是1立方分米，它的棱长是（ ），它的一个面的面积是（ ）。
A．1分米 B．10分米 C．1平方分米 D．10平方分米
2.一个汽油桶，最多可装汽油180升，我们就说这个油桶的（ ）是180升。 A．质量 B．容积 C．体积
3.如果10月份恰好有四个星期日，那么10月1日不可能是（ ）。 A．星期五 B．星期四 C．星期一
4.从1990年至2012年之间，2月是29天的年份共计有（ ）。 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5.下面的时间最接近你的年龄的是（ ）。
A．600分 B．600时 C．600月 D．600周 6.2012年2月1日是星期三，这年的6月1日是星期（ ）。 A．六 B．五 C．日 D．二 7.从1写到100，一共写了（ ）个数字“5”。 A．19 B．20 C．21 D．25 8.将
1
化成小数后，小数点后第2008位上的数字是（ ）。 7
A．2 B．4 C．6 D．8
9.在一条直线上依次共有四个不同的点，则这条直线上的线段共有（ ）条。
A．4 B．5 C．6 D．7
10.节日的公园挂起了一盏盏彩灯，彩灯按黄、红、绿、黄、红、绿„„的次序有规律地连接在一起，那么第2009盏彩灯的颜色是（ ）。
A．红色 B．黄色 C．绿色 D．无法确定 三、判断题
1. 小华说：“我弟弟是2002年2月29日出生的。” （ ） 2.2011年2月28日24时，就是2011年3月1日零时。 （ ） 3. 面积单位比长度单位大。 （ ） 4.1900年是闰年，因为1900能被整除。 （ ） 5. 面积单位间的进率都是100。 （ ） 6.3时36分=3.36小时。 （ ） 四、解答题
1. 一块棉花地长28米，宽250米，合多少公顷？如果每公顷地产棉花960千克，那么这块地可产棉花多少吨？
2. 师傅对徒弟说：“我在你这个年龄时，你是2岁，等你到我这个年龄时，我就41岁了。”问师傅与徒弟各多少岁？
[1**********]322
×1×2,1+2=9=×2×3,1+2+3=36= ×3×4。 444
1333322
（1）猜想：1+2+3+„+n= ×( )×( )
4
3. 已知1=1=
3
（2）利用上述结果计算：2+3+4+„+20
3333
4.如图①是一个水平摆放的小正方体木块，图②、③是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是( )．
5. 若将类似于a 、b 、c 、d 四个图的图形称做平面图，则其顶点数、边数与区域数之间 存在某种关系．观察图b 和表中对应的数值，探究计数的方法并作答。
（1）数一数每个图中各有多少个顶点、多少条边，这些边围出多少个区域并填表：
（2）根据表中数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的一种关系为（ ）。 （3）如果一个平面图有20个顶点和11个区域，那么利用（2）中得出的关系可知这个平面图有（ ）条边。
顶点数（S ） 边数（M ） 区域数（N ）
7 9 3
图
a
b
c
d