上海中学数学・２０１４年第１０期
高考数列中裂项求和的模型
２０００９２
上海市杨浦高级中学彭家麒
２０１２０９上海第二工业大学
罗
琳
数列求和中的裂项相消法是高考热点之一，是将原数列每一项拆为两项（或几项）之后，在求和过…一咒＝一丛旦≠旦，所以去一一ｉ万当可一一２（去程中，中间的大部分项都互相抵消了，只剩下有限的几项．笔者通过对近几年高考中常见的裂项方式分一茅１＿），所以数列｛去｝的前咒项和为一２Ｅ（１一虿１）
析，归纳出常见模型．
＋‘可１一了１）＋…＋‘ｉ１一而１）］一一２（１一茅ｂ）一
１
多项式型
一兰生
行＋１’
数列，则：（１）数列｛—三一｝的通项可化为・÷＝
模型１设数列｛口。｝是公差为ｄ（ｄ≠０）的等差
模型２
如果数列‘ｉ等＝｝满足．口一＋ｔ一口”一
“Ｈ“”＋＾
“ｎ“ｎ＋＾
ｐ６。（ｐ为非零常数，ｎ，ｋ∈Ｎ‘），那么
１一一—Ｌ）（竹，是∈Ｎ＊）．
—ｋ一上．竺！±！二坠一土（三一ｊＬ）．口ｎｎ
ｎ＋女Ｐ
口ｎ口ｎ＋＾Ｐｎ”
ａｎ＋ｋ
（２）数列｛＿＝－＿Ｌ—Ｆ二）的通项可化为
、／乜。十、／ｎ。＋女
例２（２０１３江西）正项数列｛乜。）的前项和Ｓ。
满足：Ｓ：一（７２２＋ｎ－－１）Ｓ。一（咒２＋７ｚ）＝０．
万Ｆ１￣／口。＋￣／口。＋＾
ｉ一等等半一磁１（瓜一厄）口”＋ｔ一口Ｈ
定ｄ
（咒，惫∈Ｎ。）．
例１（２０１１全国）等比数列｛ｎ。）的各项均为正（２）令ｂ－－赫，数列｛６０的前竹项和为
（１）求数列｛口。）的通项公式ｎ。；
数，且２口１＋３ａ２—１，ｎ；一９ａ２ｎ６．
（１）求数列｛口。｝的通项公式．
丁。．证明：对于任意的ｎＣＮ’，都有Ｔｎ＜兹・
（２）设ｂｎ—ｌ０９３院１＋ｌ０９３乜２＋…＋ｌ０９３口。，求数列｛÷）的前行项和．
（２）由（１）知沪赫５赫，因
解析：（１）Ｓ。一卵２＋Ｔ／，ｎ。一２ｎ（过程略）．
Ｊ。口：
４７ｚ。Ｌ
７２十二Ｊ。
解析：（１）丑。一寺（过程略）．
为（竹＋２）２＿＿１，１２—４（咒＋１），所以玩＝关揣一
Ｌ行十Ｚ（２）因为ｌ０９３乜。一ｌ０９３寺一一挖，ｂ。一一１—２一
１，１
１
１
１６Ｌ＂２
（竹＋２）２Ａ’
＋ｃ２，原点到直线ＡＢ的距离为＿兰，根据以上√息。十ｌ
＋口２，原点到直线ＡＢ的距离为‘南’根据以上
性质可知丽Ｃ２一孝等，解得志２一吾争篑≥ｏ，所性质可知丽Ｃ２一矛等，解得是２一矿ａ２研ｃ２－－ｂ４一以ｎ渤２，于是孚≤羽．笔等≥ｏ，所以悉６２，于是已≥华．
例２过双曲线等一ｙ６２－一１（６＞ｎ＞ｏ）的一个焦
考虑直线ＡＢ不可能跟渐近线平行，即是２≠矿ａ２，
点Ｆ引直线交双曲线于Ａ，Ｂ两不同点，０为坐标原从而得到Ｐ≠压，综上，双曲线离心率ｅ的取值范围
点，若ＯＡ上ＯＢ，求双曲线离心率ｅ的取值范围．
解：设直线ＡＢ方程为Ｔ＝ｋｙ－－ｃ，其中Ｃ２一ｂ２
是Ｐ≥丛善且Ｐ≠瓶
万方数据
上海中学数学・２０１４年第ｌＯ期
所以Ｔ．＝１Ｅｌ一壶＋酽１一矿１十矿１一酽１＋…＋
——Ｌ了一石Ｆ吕伊＋嘉一石乒ｂ］＝
１）２
（尢＋）２’，ｚ２－１－ｎ（行＋２）２（Ｊ
１６１
２ｉ一２
石｛Ⅳ一石｛矛］＜去（，＋古）一矗．
例３（２０１０湖南）给出下面的数表序列：其中表咒（行一１，２，３…）有咒行，第１行的竹个数是１，３，５，…，２ｎ－－１，从第２行起，每行中的每个数都等于它肩ｋ的两数之和（如图１）．
表１
表２
表３
…
．
１
１３
ｌ
３５
４４８１２
图１
（１）写出表４，验证表４各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表竹（咒≥３）（不要求证明）；
（２）每个数列中最后一行都只有一个数，它们
构成数列１，４，１２，…记此数列为｛抚．），求和：丽０３＋
去＋．一＋彘渤∈Ｎ＊）．
解析：（１）表４略，表竹中各行中数的平均数按从上到下的顺序构成首项为竹、公比为２的等比数
列．
杀糯，因为‰＝４（ｈ，一¨所以
（２）由（１）知玩一竹‘２”１，杀一
＂”＋ｌ
ｂｂ．ｂｎ＋１
‘、ｎ
ｂ
ｂｎ＋１７’’７。“、ｌ
ｂｂ２ｂ２ｂ３
＋．．．＋杀一４［ｃ南一南，＋ｃ南一
丽１）＋…＋‘ｉ又≥可一
（咒＋１）×２”
）］＝４［１
１
］
（咒＋１）×２一‘
例４（２０１４山东）已知等差数列｛ａ。）的公差为２，前竹项和为Ｓ。，且Ｓ。、Ｓ：、Ｓ；成等比数列．
（１）求数列｛盘。｝的通项公式；
（２）令玩一（一１）ｎ一・—丝一，求数列｛玩）的前行
Ⅱｎ“月＋１
项和Ｔ。．
解析：（１）口。一２咒一１（过程略）．
可焉二ｊ‰，ｉｌｉｉ（２咒＋１）＋（２ｎ－－１）＝４咒，所以
（２）因为ｂ。一（一１）ｎ一・—生一（一１）ｎ一１
万方数据
玩＝（一１）”１‘西圭可＋西当丁），
所以当行为偶数时，Ｌ一（１＋丢）一（÷＋ｉ１）＋（ｉ１十丁１）一…＋‘西圭巧＋西圭可）一‘西圭ｉ＋
上、：１一上一旦
２ｎ＋１
７
２ｎ＋１２ｎ＋１’
当ｎ为奇数时，Ｔ－－－－（Ｉ＋１）一（÷＋吉）＋（告
＋卜一ｃ志＋击川嘉＋南，＝
１＋—上一—２ｎ＋—２
１。２ｎ＋１
２ｎ＋１’
…一摩：ｌ丽川刀荀双
２通项与前咒项和关系型
模型３利用数列｛口。）的前”项和Ｓ。与通项
口。的关系裂项，如数列｛要妾丢）的通项可化为
Ｓ。Ｓ。＋ｌ
垒！±！一曼！±！二鱼！一上一上
Ｓ。Ｓ。＋ｌ‘
Ｓ。
Ｓ。＋１‘
例５设等差数列｛口。）的前ｎ项和为Ｓ。，等比数列｛ｂ。）的前７ｚ项和为Ｔ。，已知玩＞０（咒∈Ｎ。），
口１＝６１＝１，口２＋ｂ３＝口３，Ｓ５—５（Ｔ３＋ｂ２）．
（１）求数列｛口。），｛ｂ。｝的通项公式；
（２）求和：亍．ｂ忑ｌ＋＿丽５２＋…＋ｆ妄毫．
解析：（１）ｎ。一４ｎ－－３，ｂ。一２”１（过程略）．
㈩蚴志一恕一磊鲁一
≯１瓦１一ｉ１），
所以丽ｂｌ＋丽５２＋…＋亍ｊ毫一丢［（Ｔ。一
Ｌ）＋（瓦一Ｔ３）＋…＋（去一ｚｌｉ）］＝丢（去一
ｚ１…＝１（１一歹ｂ）．
例６
（２０１０全国）已知数列｛ｎ。）的前项和
Ｓ。一（７２２＋７ｚ）・３”．
（１）求墅妾；
（２）证明：堕１
２一＿－－丝２２＋－－…＋》＞３”．
解析：（１）墅。贾ａｎ一。ｌ—ｉｒａ旦亏｝ｌ－－一ｌｉｍ。。（１～
上海中学数学・２０１４年第１０期
詈）＿１一墅导，
２Ｚ…ｌｉｍ导一墅逝鼍繁笋一
坚篙｝・可１一＿了１，所以墅蚤一了２．
（２）当ｎ＝ｌ时，ａ订ｌ—Ｓｌ＝６＞３；
…＋学一（÷一刍）ｓ。＋（古一当）ｓ。＋…＋
当咒≥２时，ａＦｌ十矿ａ２＋…＋窘＝鲁＋量云垒＋
［石兰Ⅳ一≯１］ｓ㈠＋嘉ｓ。＞≯Ｓｎ一－－鱼半＞
３”，所以，当ｎＥＮ。时，睾＋参＋…＋窘＞３“．
３三角公式型
模型４利用三角公式裂项，如数列｛ａ。）是公差为ｄ（ｄ≠ｏ）的等差数列，则
（１）数列｛———二—一）的通项公式可化为
ｃｏｓａ。‘ｃｏｓａ。＋＾
！
：
！
．！ｉ丛鱼±！二鱼！：
ｃｏｓａｎ・ｃｏｓａ．＋＾
ｓｉｎ（如＋＾一％）
ｃｏｓａｍ‘ｃｏｓａ．＋＾
——！。一．！ｉ呈垒！±！：！竺！竺！二！旦！垒！±！：！ｉ！丝！：
！
ｓｉｎｋｄ
ｃｏｓａ。・ｃｏｓａ。＋＾
ｓｉｎｋｄ
（ｔａｎａ。＋ｔ—ｔａｎａ。）（挖，ｋ∈Ｎ。）．
・枞一辈篇＿１一（２）数列｛ｔａｎａ。・ｔａｎａ。＋＾）的通项可化为ｔａｎａ。
。
１ｔａｎ
ｎ＋＾２——●————＿一ｌ
ｎ＋＾一Ｈ，ａ（ｎａｔａ
２——Ｌａｎａｔ（ＪＬ－－－＊ｔａｎ／ｃａ枞一
ｎ＋＾一
ｔａｎａ＾）一１（７ｚ，ｋ∈Ｎ’）．
例７（２０１１安徽）在数１和１００之间插入ｎ个实数，使得这，ｚ＋２个数构成递增的等比数列，将这行＋２个数的乘积记作Ｌ，再令ａ。＝ｌｇ：Ｌ（行≥１）．
（１）求数列｛ａ。｝的通项公式；
（２）设玩＝ｔａｎａ。・ｔａｎａ。＋１，求数列｛玩）的前竹项和Ｓ。．
解析：（１）ａ。一ｎ＋２（过程略）．
（２）由（１）知，ｂ。一ｔａｎａ。・ｔａｎａ。＋ｌ＝ｔａｎ（竹＋２）
・ｔａｎ（ｎ＋３），
因为ｔａｎ［（７ｚ＋３）一（ｒ／＋２）］＝
订忑忑吾丙Ｆ百承丽２‘ａｎｌ，
ｔａｎ（ｎ＋３）一ｔａｎ（７ｚ＋２）
．
所以ｔａｎ（咒＋２）
・ｔａｎ（竹＋３）＝
—ｔａ—ｎ—（—ｎ—＋——３—）—－－＿ｔ－ａ—ｎ—（—ｎ—＋一２）一１，
ｔａｎｌ
所以数列｛玩）的前咒项和为Ｓ。一ｔａｎ３・ｔａｎ４＋
ｔａｎ４・ｔａｎ５＋…＋ｔａｎ（竹＋２）・ｔａｎ（竹＋３）
万方数据
ｔａｎ４一ｔａｎ３
ｔａｎ５一ｔａｎ４
ｔａｎｌ
ｔａｎｌ
ｔａｎ（ｎ＋３）一ｔａｎ（ｎ＋２）ｔａｎ（ｎ＋３）一ｔａｎ３
ｔａｎｌ
ｔａｎｌ
４差比积型
模型５设数列｛ａ。）是等差数列，数列｛玩）是公比为ｑ的等比数列，那么数列｛ａ，ｂ。）的前咒项和可用错位相减法求得，也可用裂项相消法计算．设通项ａ．ｂ。＝，（行）一，（ｎ一１），其中，（行）一矿（户行＋ｒ），Ｐ，ｒ由ａｌｂｌ，ａ２ｂ２确定．
例８（２０１１辽宁）已知等差数列｛％）满足ａ。一
０，ｎ６＋ａ８＝一１０．
（１）求数列｛口。｝的通项公式；
（２）求数列｛熹｝的前咒项和．
解析：（１）口。＝２－－ｎ（过程略）．
（２）舞＝（２一九）・（丢）ｎ－－１，设，（以）一（丢）“
（户行＋ｒ），且（２－－ｎ）（寺）”一１一厂（咒）－－ｆ（ｎ－－１），
由竹＝１，得１＝丢（ｐ＋ｒ）一专ｒ＝虿１ｐ，］ｉ）ｉ：１）ｇ
ｐ＝２；
由行＝２，ｏ＝ｌ（２ｐ＋ｒ）一丢（ｐ＋ｒ）一一百１
ｒ，
所以ｒ＝Ｏ．
于是厂（咒）一２ｎ（吾）”．所以数列｛告）的前竹
项和为Ｉｆ（１）一ｆ（０）］＋Ｅｆ（２）一ｆ（１）］＋…＋
Ｉｆ（ｎ）－－ｆ（ｎ－－１）］＝，（咒）一，（ｏ）一２ｎ（寺）”一。一
万＝Ｔ‘
例９（２０１２天津）已知｛ａ。）是等差数列，其前７ｚ项和为Ｓ。，｛６。｝是等比数列，且ａ。一６・一２，ａｔ＋ｂｔ
＝２７，Ｓ４一ｂ４—１０．
（１）求数列（口。｝与｛ｂｎ｝的通项公式；
（２）记Ｌ—ｎ。ｂｌ＋ａ。一１ｂｚ＋…＋ａ１玩，７ｚ∈Ｎ＋，证明Ｌ＋１２＝一２ａ。＋１０ｂ。（竹∈Ｎ’）．
解析：（１）ａ。一３ｎ一１，玩一２”（咒∈Ｎ’）（过程略）．
（２）由（１）知ａｎ＋ｌ－ｋｂｔ一［一３忌＋（３竹＋２）３・２‘
（志一１，２，…，竹）．
设，（是）一２‘（户走＋ｒ），口。＋１一ｋｂｋ＝厂（愚）一ｆ（ｋ一１），则２‘［一３走＋（３竹＋２）］一２‘（ｐ志＋ｒ）一２卜１［ｐ（志一１）＋ｒ］，令挖一１，２，得
１２（３ｎ一１）＝２（ｐ＋ｒ）一ｒ
．
１
４（３ｎ－－４）＝４（２夕＋ｒ）－－２（ｐ＋ｒ）’
２２
上海中学数学・２０１４年第１０期
问题中孕育思想
探究中增长智慧
——以基本不等式求最值教学为例
２２２０００
江苏省连云港市新海高级中学
顾淑建
ｌ
基本情况值是瓦赢ｚ＜２ｎ，则函数厂（ｚ）一Ｔ（２ｎ—ｚ）的
１．１学情分析
最大值为
．
授课的班级为四星级重点高中普通理化班，学
生整体水平较高，大部分学生思维活跃而且严谨，能（３）已知ｚ＞１，则函数．厂（ｚ）＝ｚ＋—三的最小
很好地参与教学互动．
值是
．
１．２教学内容地位及作用
设计意图：以针对性的小练习帮助学生回顾旧本节课是在学习基本不等式后开设的一节探究知，唤醒已掌握的结构知识，为新的认知冲突做准提高课，重点是如何利用基本不等式求最值，是在学备，引导学生对公式变形、适用条件的思考：如问题生掌握了基础知识的前提下进行的巩固和提升．
１（２）函数变为，（ｚ）＝２ａｘ—ｚ２如何求最值；问题
１．３教学目标分析
１（３）函数变为厂（ｚ）一￡二字土如何求最值，提高
（１）知识与技能：能将所给表达式进行恰当的变形与转化，再利用基本不等式求最值．
学生转化与化归的能力．
（２）过程与方法：通过问题串设计，层递式地提生１讲述小题答案及解答过程．
出问题、揭示课题，鼓励和引导学生自主地提出问师：非常正确！请同学们归纳一下，基本不等式题，不断激发学生探究欲望，促进合作交流，体验知求最值需要注意哪些问题？
生２：需要同时满足三个条件，“一正数”，“二定识与规律的形成过程．
值”，“三相等”，缺一不可．
（３）情感态度价值观：在学习和解决问题的过２．２问题引领铺设情境
程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养师：同学们对基本不等式的内容、变形及应用时学生主动提出问题、善于观察、勇于探索的良好习惯该注意的问题有了一定的认识，下面请看问题２．
和严谨的科学态度．
１．４教学重点、难点
（１）重点：利用基本不等式求最值．
Ａ．型≥２．问题２下面四个命题中哪个正确？
Ｂ．ｚ２＋与≥４．
（２）难点：基本不等式求最值的三个条件的使用，化归思想在解题中应用．ｃ．函数厂（Ｔ）一￣／ｚ２＋４＋＿杀的最小值为
√ｚ‘十４
２教学过程
峨．
２．１问题导入温故知新
师：上节课我们学习了基本不等式及其简单应（学）２一鱼｛笪，无最大值．
Ｄ．若ｚ∈（０，１］，函数，（ｚ）一ｚ（３—２ｘ）≤
用，下面让我们简单回顾一下．
设计意图：以上四个选项是基本不等式求最值问题１求下列函数的最值：
中常见类型．以错题辨析形式考查，有助于学生对所（１）若ｚ＞ｏ，ｙ）Ｏ，且ｚｙ＝１６，则ｚ＋ｙ的最小
学知识点的准确把握及前后贯通，让学生在提高思
解得ｆ墨：ｏ
厂（，ｚ）一厂（行一１）一厂（咒）－－ｆ（Ｏ）一２”（一６，ｚ＋６行＋１０）
一（６咒＋１０）一１０・２”一６ｎ一１０．
故厂（惫）一２Ⅱ一６ｋ＋（６行＋１０）］．
又一２口。＋ｌＯｂ。一一２（３ｎ一１）＋１０・２”＝１０・
所以丁。一，（１）一，（０）＋厂（２）一厂（１）＋…＋
２”一６ｎ＋２，所以Ｌ＋１２＝一２ａ。＋ｌＯｂ。．
万方数据
上海中学数学・２０１４年第１０期
高考数列中裂项求和的模型
２０００９２
上海市杨浦高级中学彭家麒
２０１２０９上海第二工业大学
罗
琳
数列求和中的裂项相消法是高考热点之一，是将原数列每一项拆为两项（或几项）之后，在求和过…一咒＝一丛旦≠旦，所以去一一ｉ万当可一一２（去程中，中间的大部分项都互相抵消了，只剩下有限的几项．笔者通过对近几年高考中常见的裂项方式分一茅１＿），所以数列｛去｝的前咒项和为一２Ｅ（１一虿１）
析，归纳出常见模型．
＋‘可１一了１）＋…＋‘ｉ１一而１）］一一２（１一茅ｂ）一
１
多项式型
一兰生
行＋１’
数列，则：（１）数列｛—三一｝的通项可化为・÷＝
模型１设数列｛口。｝是公差为ｄ（ｄ≠０）的等差
模型２
如果数列‘ｉ等＝｝满足．口一＋ｔ一口”一
“Ｈ“”＋＾
“ｎ“ｎ＋＾
ｐ６。（ｐ为非零常数，ｎ，ｋ∈Ｎ‘），那么
１一一—Ｌ）（竹，是∈Ｎ＊）．
—ｋ一上．竺！±！二坠一土（三一ｊＬ）．口ｎｎ
ｎ＋女Ｐ
口ｎ口ｎ＋＾Ｐｎ”
ａｎ＋ｋ
（２）数列｛＿＝－＿Ｌ—Ｆ二）的通项可化为
、／乜。十、／ｎ。＋女
例２（２０１３江西）正项数列｛乜。）的前项和Ｓ。
满足：Ｓ：一（７２２＋ｎ－－１）Ｓ。一（咒２＋７ｚ）＝０．
万Ｆ１￣／口。＋￣／口。＋＾
ｉ一等等半一磁１（瓜一厄）口”＋ｔ一口Ｈ
定ｄ
（咒，惫∈Ｎ。）．
例１（２０１１全国）等比数列｛ｎ。）的各项均为正（２）令ｂ－－赫，数列｛６０的前竹项和为
（１）求数列｛口。）的通项公式ｎ。；
数，且２口１＋３ａ２—１，ｎ；一９ａ２ｎ６．
（１）求数列｛口。｝的通项公式．
丁。．证明：对于任意的ｎＣＮ’，都有Ｔｎ＜兹・
（２）设ｂｎ—ｌ０９３院１＋ｌ０９３乜２＋…＋ｌ０９３口。，求数列｛÷）的前行项和．
（２）由（１）知沪赫５赫，因
解析：（１）Ｓ。一卵２＋Ｔ／，ｎ。一２ｎ（过程略）．
Ｊ。口：
４７ｚ。Ｌ
７２十二Ｊ。
解析：（１）丑。一寺（过程略）．
为（竹＋２）２＿＿１，１２—４（咒＋１），所以玩＝关揣一
Ｌ行十Ｚ（２）因为ｌ０９３乜。一ｌ０９３寺一一挖，ｂ。一一１—２一
１，１
１
１
１６Ｌ＂２
（竹＋２）２Ａ’
＋ｃ２，原点到直线ＡＢ的距离为＿兰，根据以上√息。十ｌ
＋口２，原点到直线ＡＢ的距离为‘南’根据以上
性质可知丽Ｃ２一孝等，解得志２一吾争篑≥ｏ，所性质可知丽Ｃ２一矛等，解得是２一矿ａ２研ｃ２－－ｂ４一以ｎ渤２，于是孚≤羽．笔等≥ｏ，所以悉６２，于是已≥华．
例２过双曲线等一ｙ６２－一１（６＞ｎ＞ｏ）的一个焦
考虑直线ＡＢ不可能跟渐近线平行，即是２≠矿ａ２，
点Ｆ引直线交双曲线于Ａ，Ｂ两不同点，０为坐标原从而得到Ｐ≠压，综上，双曲线离心率ｅ的取值范围
点，若ＯＡ上ＯＢ，求双曲线离心率ｅ的取值范围．
解：设直线ＡＢ方程为Ｔ＝ｋｙ－－ｃ，其中Ｃ２一ｂ２
是Ｐ≥丛善且Ｐ≠瓶
万方数据
上海中学数学・２０１４年第ｌＯ期
所以Ｔ．＝１Ｅｌ一壶＋酽１一矿１十矿１一酽１＋…＋
——Ｌ了一石Ｆ吕伊＋嘉一石乒ｂ］＝
１）２
（尢＋）２’，ｚ２－１－ｎ（行＋２）２（Ｊ
１６１
２ｉ一２
石｛Ⅳ一石｛矛］＜去（，＋古）一矗．
例３（２０１０湖南）给出下面的数表序列：其中表咒（行一１，２，３…）有咒行，第１行的竹个数是１，３，５，…，２ｎ－－１，从第２行起，每行中的每个数都等于它肩ｋ的两数之和（如图１）．
表１
表２
表３
…
．
１
１３
ｌ
３５
４４８１２
图１
（１）写出表４，验证表４各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表竹（咒≥３）（不要求证明）；
（２）每个数列中最后一行都只有一个数，它们
构成数列１，４，１２，…记此数列为｛抚．），求和：丽０３＋
去＋．一＋彘渤∈Ｎ＊）．
解析：（１）表４略，表竹中各行中数的平均数按从上到下的顺序构成首项为竹、公比为２的等比数
列．
杀糯，因为‰＝４（ｈ，一¨所以
（２）由（１）知玩一竹‘２”１，杀一
＂”＋ｌ
ｂｂ．ｂｎ＋１
‘、ｎ
ｂ
ｂｎ＋１７’’７。“、ｌ
ｂｂ２ｂ２ｂ３
＋．．．＋杀一４［ｃ南一南，＋ｃ南一
丽１）＋…＋‘ｉ又≥可一
（咒＋１）×２”
）］＝４［１
１
］
（咒＋１）×２一‘
例４（２０１４山东）已知等差数列｛ａ。）的公差为２，前竹项和为Ｓ。，且Ｓ。、Ｓ：、Ｓ；成等比数列．
（１）求数列｛盘。｝的通项公式；
（２）令玩一（一１）ｎ一・—丝一，求数列｛玩）的前行
Ⅱｎ“月＋１
项和Ｔ。．
解析：（１）口。一２咒一１（过程略）．
可焉二ｊ‰，ｉｌｉｉ（２咒＋１）＋（２ｎ－－１）＝４咒，所以
（２）因为ｂ。一（一１）ｎ一・—生一（一１）ｎ一１
万方数据
玩＝（一１）”１‘西圭可＋西当丁），
所以当行为偶数时，Ｌ一（１＋丢）一（÷＋ｉ１）＋（ｉ１十丁１）一…＋‘西圭巧＋西圭可）一‘西圭ｉ＋
上、：１一上一旦
２ｎ＋１
７
２ｎ＋１２ｎ＋１’
当ｎ为奇数时，Ｔ－－－－（Ｉ＋１）一（÷＋吉）＋（告
＋卜一ｃ志＋击川嘉＋南，＝
１＋—上一—２ｎ＋—２
１。２ｎ＋１
２ｎ＋１’
…一摩：ｌ丽川刀荀双
２通项与前咒项和关系型
模型３利用数列｛口。）的前”项和Ｓ。与通项
口。的关系裂项，如数列｛要妾丢）的通项可化为
Ｓ。Ｓ。＋ｌ
垒！±！一曼！±！二鱼！一上一上
Ｓ。Ｓ。＋ｌ‘
Ｓ。
Ｓ。＋１‘
例５设等差数列｛口。）的前ｎ项和为Ｓ。，等比数列｛ｂ。）的前７ｚ项和为Ｔ。，已知玩＞０（咒∈Ｎ。），
口１＝６１＝１，口２＋ｂ３＝口３，Ｓ５—５（Ｔ３＋ｂ２）．
（１）求数列｛口。），｛ｂ。｝的通项公式；
（２）求和：亍．ｂ忑ｌ＋＿丽５２＋…＋ｆ妄毫．
解析：（１）ｎ。一４ｎ－－３，ｂ。一２”１（过程略）．
㈩蚴志一恕一磊鲁一
≯１瓦１一ｉ１），
所以丽ｂｌ＋丽５２＋…＋亍ｊ毫一丢［（Ｔ。一
Ｌ）＋（瓦一Ｔ３）＋…＋（去一ｚｌｉ）］＝丢（去一
ｚ１…＝１（１一歹ｂ）．
例６
（２０１０全国）已知数列｛ｎ。）的前项和
Ｓ。一（７２２＋７ｚ）・３”．
（１）求墅妾；
（２）证明：堕１
２一＿－－丝２２＋－－…＋》＞３”．
解析：（１）墅。贾ａｎ一。ｌ—ｉｒａ旦亏｝ｌ－－一ｌｉｍ。。（１～
上海中学数学・２０１４年第１０期
詈）＿１一墅导，
２Ｚ…ｌｉｍ导一墅逝鼍繁笋一
坚篙｝・可１一＿了１，所以墅蚤一了２．
（２）当ｎ＝ｌ时，ａ订ｌ—Ｓｌ＝６＞３；
…＋学一（÷一刍）ｓ。＋（古一当）ｓ。＋…＋
当咒≥２时，ａＦｌ十矿ａ２＋…＋窘＝鲁＋量云垒＋
［石兰Ⅳ一≯１］ｓ㈠＋嘉ｓ。＞≯Ｓｎ一－－鱼半＞
３”，所以，当ｎＥＮ。时，睾＋参＋…＋窘＞３“．
３三角公式型
模型４利用三角公式裂项，如数列｛ａ。）是公差为ｄ（ｄ≠ｏ）的等差数列，则
（１）数列｛———二—一）的通项公式可化为
ｃｏｓａ。‘ｃｏｓａ。＋＾
！
：
！
．！ｉ丛鱼±！二鱼！：
ｃｏｓａｎ・ｃｏｓａ．＋＾
ｓｉｎ（如＋＾一％）
ｃｏｓａｍ‘ｃｏｓａ．＋＾
——！。一．！ｉ呈垒！±！：！竺！竺！二！旦！垒！±！：！ｉ！丝！：
！
ｓｉｎｋｄ
ｃｏｓａ。・ｃｏｓａ。＋＾
ｓｉｎｋｄ
（ｔａｎａ。＋ｔ—ｔａｎａ。）（挖，ｋ∈Ｎ。）．
・枞一辈篇＿１一（２）数列｛ｔａｎａ。・ｔａｎａ。＋＾）的通项可化为ｔａｎａ。
。
１ｔａｎ
ｎ＋＾２——●————＿一ｌ
ｎ＋＾一Ｈ，ａ（ｎａｔａ
２——Ｌａｎａｔ（ＪＬ－－－＊ｔａｎ／ｃａ枞一
ｎ＋＾一
ｔａｎａ＾）一１（７ｚ，ｋ∈Ｎ’）．
例７（２０１１安徽）在数１和１００之间插入ｎ个实数，使得这，ｚ＋２个数构成递增的等比数列，将这行＋２个数的乘积记作Ｌ，再令ａ。＝ｌｇ：Ｌ（行≥１）．
（１）求数列｛ａ。｝的通项公式；
（２）设玩＝ｔａｎａ。・ｔａｎａ。＋１，求数列｛玩）的前竹项和Ｓ。．
解析：（１）ａ。一ｎ＋２（过程略）．
（２）由（１）知，ｂ。一ｔａｎａ。・ｔａｎａ。＋ｌ＝ｔａｎ（竹＋２）
・ｔａｎ（ｎ＋３），
因为ｔａｎ［（７ｚ＋３）一（ｒ／＋２）］＝
订忑忑吾丙Ｆ百承丽２‘ａｎｌ，
ｔａｎ（ｎ＋３）一ｔａｎ（７ｚ＋２）
．
所以ｔａｎ（咒＋２）
・ｔａｎ（竹＋３）＝
—ｔａ—ｎ—（—ｎ—＋——３—）—－－＿ｔ－ａ—ｎ—（—ｎ—＋一２）一１，
ｔａｎｌ
所以数列｛玩）的前咒项和为Ｓ。一ｔａｎ３・ｔａｎ４＋
ｔａｎ４・ｔａｎ５＋…＋ｔａｎ（竹＋２）・ｔａｎ（竹＋３）
万方数据
ｔａｎ４一ｔａｎ３
ｔａｎ５一ｔａｎ４
ｔａｎｌ
ｔａｎｌ
ｔａｎ（ｎ＋３）一ｔａｎ（ｎ＋２）ｔａｎ（ｎ＋３）一ｔａｎ３
ｔａｎｌ
ｔａｎｌ
４差比积型
模型５设数列｛ａ。）是等差数列，数列｛玩）是公比为ｑ的等比数列，那么数列｛ａ，ｂ。）的前咒项和可用错位相减法求得，也可用裂项相消法计算．设通项ａ．ｂ。＝，（行）一，（ｎ一１），其中，（行）一矿（户行＋ｒ），Ｐ，ｒ由ａｌｂｌ，ａ２ｂ２确定．
例８（２０１１辽宁）已知等差数列｛％）满足ａ。一
０，ｎ６＋ａ８＝一１０．
（１）求数列｛口。｝的通项公式；
（２）求数列｛熹｝的前咒项和．
解析：（１）口。＝２－－ｎ（过程略）．
（２）舞＝（２一九）・（丢）ｎ－－１，设，（以）一（丢）“
（户行＋ｒ），且（２－－ｎ）（寺）”一１一厂（咒）－－ｆ（ｎ－－１），
由竹＝１，得１＝丢（ｐ＋ｒ）一专ｒ＝虿１ｐ，］ｉ）ｉ：１）ｇ
ｐ＝２；
由行＝２，ｏ＝ｌ（２ｐ＋ｒ）一丢（ｐ＋ｒ）一一百１
ｒ，
所以ｒ＝Ｏ．
于是厂（咒）一２ｎ（吾）”．所以数列｛告）的前竹
项和为Ｉｆ（１）一ｆ（０）］＋Ｅｆ（２）一ｆ（１）］＋…＋
Ｉｆ（ｎ）－－ｆ（ｎ－－１）］＝，（咒）一，（ｏ）一２ｎ（寺）”一。一
万＝Ｔ‘
例９（２０１２天津）已知｛ａ。）是等差数列，其前７ｚ项和为Ｓ。，｛６。｝是等比数列，且ａ。一６・一２，ａｔ＋ｂｔ
＝２７，Ｓ４一ｂ４—１０．
（１）求数列（口。｝与｛ｂｎ｝的通项公式；
（２）记Ｌ—ｎ。ｂｌ＋ａ。一１ｂｚ＋…＋ａ１玩，７ｚ∈Ｎ＋，证明Ｌ＋１２＝一２ａ。＋１０ｂ。（竹∈Ｎ’）．
解析：（１）ａ。一３ｎ一１，玩一２”（咒∈Ｎ’）（过程略）．
（２）由（１）知ａｎ＋ｌ－ｋｂｔ一［一３忌＋（３竹＋２）３・２‘
（志一１，２，…，竹）．
设，（是）一２‘（户走＋ｒ），口。＋１一ｋｂｋ＝厂（愚）一ｆ（ｋ一１），则２‘［一３走＋（３竹＋２）］一２‘（ｐ志＋ｒ）一２卜１［ｐ（志一１）＋ｒ］，令挖一１，２，得
１２（３ｎ一１）＝２（ｐ＋ｒ）一ｒ
．
１
４（３ｎ－－４）＝４（２夕＋ｒ）－－２（ｐ＋ｒ）’
２２
上海中学数学・２０１４年第１０期
问题中孕育思想
探究中增长智慧
——以基本不等式求最值教学为例
２２２０００
江苏省连云港市新海高级中学
顾淑建
ｌ
基本情况值是瓦赢ｚ＜２ｎ，则函数厂（ｚ）一Ｔ（２ｎ—ｚ）的
１．１学情分析
最大值为
．
授课的班级为四星级重点高中普通理化班，学
生整体水平较高，大部分学生思维活跃而且严谨，能（３）已知ｚ＞１，则函数．厂（ｚ）＝ｚ＋—三的最小
很好地参与教学互动．
值是
．
１．２教学内容地位及作用
设计意图：以针对性的小练习帮助学生回顾旧本节课是在学习基本不等式后开设的一节探究知，唤醒已掌握的结构知识，为新的认知冲突做准提高课，重点是如何利用基本不等式求最值，是在学备，引导学生对公式变形、适用条件的思考：如问题生掌握了基础知识的前提下进行的巩固和提升．
１（２）函数变为，（ｚ）＝２ａｘ—ｚ２如何求最值；问题
１．３教学目标分析
１（３）函数变为厂（ｚ）一￡二字土如何求最值，提高
（１）知识与技能：能将所给表达式进行恰当的变形与转化，再利用基本不等式求最值．
学生转化与化归的能力．
（２）过程与方法：通过问题串设计，层递式地提生１讲述小题答案及解答过程．
出问题、揭示课题，鼓励和引导学生自主地提出问师：非常正确！请同学们归纳一下，基本不等式题，不断激发学生探究欲望，促进合作交流，体验知求最值需要注意哪些问题？
生２：需要同时满足三个条件，“一正数”，“二定识与规律的形成过程．
值”，“三相等”，缺一不可．
（３）情感态度价值观：在学习和解决问题的过２．２问题引领铺设情境
程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养师：同学们对基本不等式的内容、变形及应用时学生主动提出问题、善于观察、勇于探索的良好习惯该注意的问题有了一定的认识，下面请看问题２．
和严谨的科学态度．
１．４教学重点、难点
（１）重点：利用基本不等式求最值．
Ａ．型≥２．问题２下面四个命题中哪个正确？
Ｂ．ｚ２＋与≥４．
（２）难点：基本不等式求最值的三个条件的使用，化归思想在解题中应用．ｃ．函数厂（Ｔ）一￣／ｚ２＋４＋＿杀的最小值为
√ｚ‘十４
２教学过程
峨．
２．１问题导入温故知新
师：上节课我们学习了基本不等式及其简单应（学）２一鱼｛笪，无最大值．
Ｄ．若ｚ∈（０，１］，函数，（ｚ）一ｚ（３—２ｘ）≤
用，下面让我们简单回顾一下．
设计意图：以上四个选项是基本不等式求最值问题１求下列函数的最值：
中常见类型．以错题辨析形式考查，有助于学生对所（１）若ｚ＞ｏ，ｙ）Ｏ，且ｚｙ＝１６，则ｚ＋ｙ的最小
学知识点的准确把握及前后贯通，让学生在提高思
解得ｆ墨：ｏ
厂（，ｚ）一厂（行一１）一厂（咒）－－ｆ（Ｏ）一２”（一６，ｚ＋６行＋１０）
一（６咒＋１０）一１０・２”一６ｎ一１０．
故厂（惫）一２Ⅱ一６ｋ＋（６行＋１０）］．
又一２口。＋ｌＯｂ。一一２（３ｎ一１）＋１０・２”＝１０・
所以丁。一，（１）一，（０）＋厂（２）一厂（１）＋…＋
２”一６ｎ＋２，所以Ｌ＋１２＝一２ａ。＋ｌＯｂ。．
万方数据