高中数学竞赛模拟试题二
一、选择题：
1. 设a 、b 、c 为实数，4a -2b +c >0, a +b +c
2222（A ）b ≤ac （B ）b >ac （C ）b >ac 且a >0（D ）b >ac 且a
2提示：若a =0, 则b ≠0, 则b >ac =0. 若a ≠0, 则对于二次函数f (x ) =ax 2-bx +c , 由
f (2) >0, f (-1)
2. 在△ABC 中，若∠A =45, AB =2, BC =a ，则a =0 2是△ABC 只有一解的 （ A ）
（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件
3. 已知向量=(m , cos 2x +2sin x -1), =(3-cos 2x +4sin x , -1) , 定义函数f (x ) =⋅. 若对任意的x ∈[0, π
2]，不等式f (x ) >0恒成立，则m 的取值范围是 （ A ） 1
818（A ）(, +∞) （B ）[0, ) （C ）(, 2) （D ）(2, +∞)
4. 设E 、F 、G 分别是正四面体ABCD 的棱AB 、BC 、CD 的中点，则二面角C —FG —E 的大小是 （ D ）
（A ）arcsin
5. 把数列{2n +1}依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为 （ A ）
（A ）1992 （B ）1990 （C ）1873 （D ）1891
6. 设x i ∈{1, 2, , n },i =1, 2, , n ，满足18π6π（B ）+（C ）-arctan 23232（D ）π-arc cot 2 2∑x i =
i =1n n (n +1) ，使x 1，…，x 2，x 1⋅x 2⋅ ⋅x n =n ! ，2
x n 一定是1, 2, , n 的一个排列的最大数n 是 （ C ）
（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9
二、填空题：
7. 若实数x 、y 满足条件x 2-y 2=1，则12y +的取值范围是___________________. x x 2
【答案】(-2, 2) . 提示:令x =sec α, y =tan α.
248. 对于给定的正整数n ≥4，等式C m 成立，则所有的m 一定形如_____________.（用=3C n
n 的组合数表示）
224n ≥4). 提示:由C m 【答案】m =C n 得(2m -1) 2=(n 2-3n +1) 2, =3C n -1(
2n ≥4). 从而m =C n -1(
9. 一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数ξ的数学期望E ξ=_________________.
111C 9C 3C 939【答案】0. 3 提示: ξ取值为0,1,2,3，且有P (ξ=0) =1=，P (ξ=1) =，=244C 1242C 12
131C 32C 9C 3C 991，. P (ξ=2) ==P (ξ=3) ==342202202C 122C 12
∴E ξ=0⨯3991+1⨯+2⨯+3⨯=0. 3 . 444220220
10. 设点F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点、以F 2为焦点。设P 点为椭圆与抛物线的一个交点。如果椭圆E 的离心率e 满足PF 则e 的值为_______. 1=e PF 2，
【答案】3 3
-x 2=, 则这个方程有相异实根的个数情况是11. 已知t >0, 关于x 的方程x +
_________________.
【答案】0或2或3或4. 提示：令C 1:y =x -
当02时，方程无实数根；
当t =1时，方程有2个实数根；
当t =2时，方程有3个实数根；
当1
x 2
12. 函数f (x ) =（x ∈R , 且x ≠1）的单调递增区间是______________________. x -1
【答案】(-∞, 0],[2, +∞) . 提示：y =2+(x -1) +
本题也可直接依函数的单调性定义来分析。
三、解答题： 1（x ≠1），利用典型函数来分析； x -1
13. 向量OP ===1，试判1、OP 2、OP 3满足条件OP
1+OP 2+OP 3=0断△P 1P 2P 3的形状，并加以证明。
解:∵OP ∴OP ∴OP 1=OP 2+OP 3+2OP 2⋅OP 3. 1+OP 2+OP 3=0，1=-OP 2-OP 3，222
=OP 3=1，∴OP 2⋅OP 3=-又
∵1=OP 2===1，∴OP
∴cos ∠P 2OP 3=-
=2221，21，在△P 2OP 3
=.
23=3. ∴△P 1P 2P 3为正三角形.
*14. 设数列{a n }满足a 1=1，求证：，a n +1⋅a n =n +1（n ∈N ）1≥2(n +1-1) . ∑k =1a k n
证明:由题意知a 2=2, a n >0, n ∈N *. 当n =1时, 1=1>2(2-1) , 命题成立； a 1
1=a n +1-a n -1，a n 当n ≥2时，由a n +1⋅a n =n +1，得a n ⋅a n -1=n ，∴a n (a n +1-a n -1) =1n n 11从而有∑=+∑(a k +1-a k -1) =a n +1+a n -2≥2a n +1a n -2≥2(n +1-1) . a a 1k =2k =1k
15. 设函数f (x ) =+x -λx ，其中λ>0.
（1）求λ的取值范围，使得函数f (x ) 在[0, +∞) 上是单调递减函数；
（2）此单调性能否扩展到整个定义域(-∞, +∞) 上？
（3）求解不等式2x -+x
解：（1）设0≤x 1
(1+x 1) ++x 1⋅+x 2+(1+x 2) 22-λ]. 设M =(1+x 1) 2++x 1⋅+x 2+(1+x 2) 2，则显然M >3.
高中数学竞赛模拟试题二
一、选择题：
1. 设a 、b 、c 为实数，4a -2b +c >0, a +b +c
2222（A ）b ≤ac （B ）b >ac （C ）b >ac 且a >0（D ）b >ac 且a
2提示：若a =0, 则b ≠0, 则b >ac =0. 若a ≠0, 则对于二次函数f (x ) =ax 2-bx +c , 由
f (2) >0, f (-1)
2. 在△ABC 中，若∠A =45, AB =2, BC =a ，则a =0 2是△ABC 只有一解的 （ A ）
（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件
3. 已知向量=(m , cos 2x +2sin x -1), =(3-cos 2x +4sin x , -1) , 定义函数f (x ) =⋅. 若对任意的x ∈[0, π
2]，不等式f (x ) >0恒成立，则m 的取值范围是 （ A ） 1
818（A ）(, +∞) （B ）[0, ) （C ）(, 2) （D ）(2, +∞)
4. 设E 、F 、G 分别是正四面体ABCD 的棱AB 、BC 、CD 的中点，则二面角C —FG —E 的大小是 （ D ）
（A ）arcsin
5. 把数列{2n +1}依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为 （ A ）
（A ）1992 （B ）1990 （C ）1873 （D ）1891
6. 设x i ∈{1, 2, , n },i =1, 2, , n ，满足18π6π（B ）+（C ）-arctan 23232（D ）π-arc cot 2 2∑x i =
i =1n n (n +1) ，使x 1，…，x 2，x 1⋅x 2⋅ ⋅x n =n ! ，2
x n 一定是1, 2, , n 的一个排列的最大数n 是 （ C ）
（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9
二、填空题：
7. 若实数x 、y 满足条件x 2-y 2=1，则12y +的取值范围是___________________. x x 2
【答案】(-2, 2) . 提示:令x =sec α, y =tan α.
248. 对于给定的正整数n ≥4，等式C m 成立，则所有的m 一定形如_____________.（用=3C n
n 的组合数表示）
224n ≥4). 提示:由C m 【答案】m =C n 得(2m -1) 2=(n 2-3n +1) 2, =3C n -1(
2n ≥4). 从而m =C n -1(
9. 一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数ξ的数学期望E ξ=_________________.
111C 9C 3C 939【答案】0. 3 提示: ξ取值为0,1,2,3，且有P (ξ=0) =1=，P (ξ=1) =，=244C 1242C 12
131C 32C 9C 3C 991，. P (ξ=2) ==P (ξ=3) ==342202202C 122C 12
∴E ξ=0⨯3991+1⨯+2⨯+3⨯=0. 3 . 444220220
10. 设点F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点、以F 2为焦点。设P 点为椭圆与抛物线的一个交点。如果椭圆E 的离心率e 满足PF 则e 的值为_______. 1=e PF 2，
【答案】3 3
-x 2=, 则这个方程有相异实根的个数情况是11. 已知t >0, 关于x 的方程x +
_________________.
【答案】0或2或3或4. 提示：令C 1:y =x -
当02时，方程无实数根；
当t =1时，方程有2个实数根；
当t =2时，方程有3个实数根；
当1
x 2
12. 函数f (x ) =（x ∈R , 且x ≠1）的单调递增区间是______________________. x -1
【答案】(-∞, 0],[2, +∞) . 提示：y =2+(x -1) +
本题也可直接依函数的单调性定义来分析。
三、解答题： 1（x ≠1），利用典型函数来分析； x -1
13. 向量OP ===1，试判1、OP 2、OP 3满足条件OP
1+OP 2+OP 3=0断△P 1P 2P 3的形状，并加以证明。
解:∵OP ∴OP ∴OP 1=OP 2+OP 3+2OP 2⋅OP 3. 1+OP 2+OP 3=0，1=-OP 2-OP 3，222
=OP 3=1，∴OP 2⋅OP 3=-又
∵1=OP 2===1，∴OP
∴cos ∠P 2OP 3=-
=2221，21，在△P 2OP 3
=.
23=3. ∴△P 1P 2P 3为正三角形.
*14. 设数列{a n }满足a 1=1，求证：，a n +1⋅a n =n +1（n ∈N ）1≥2(n +1-1) . ∑k =1a k n
证明:由题意知a 2=2, a n >0, n ∈N *. 当n =1时, 1=1>2(2-1) , 命题成立； a 1
1=a n +1-a n -1，a n 当n ≥2时，由a n +1⋅a n =n +1，得a n ⋅a n -1=n ，∴a n (a n +1-a n -1) =1n n 11从而有∑=+∑(a k +1-a k -1) =a n +1+a n -2≥2a n +1a n -2≥2(n +1-1) . a a 1k =2k =1k
15. 设函数f (x ) =+x -λx ，其中λ>0.
（1）求λ的取值范围，使得函数f (x ) 在[0, +∞) 上是单调递减函数；
（2）此单调性能否扩展到整个定义域(-∞, +∞) 上？
（3）求解不等式2x -+x
解：（1）设0≤x 1
(1+x 1) ++x 1⋅+x 2+(1+x 2) 22-λ]. 设M =(1+x 1) 2++x 1⋅+x 2+(1+x 2) 2，则显然M >3.