微积分大牛张辰采访录
整理者：SCIbird
我们原本打算采访数学系学霸级高手蓝明月的，但被她婉言谢绝采访，转而推荐另一位高手张辰。有意思的是，尽管与数学系一起上数学分析，但是张辰一直坚称他学的是微积分，所以本采访中微积分和数学分析两个词经常混用。文章中涉及的数学公式由笔者根据张辰的手稿以及自己的理解整理而成。插图则是笔者提供，图片出自网上。
SCIbird：很高兴，学霸张辰同学能接受我们的数学专访。
张辰：学霸称呼不敢当。一般被称作学霸的必要不充分条件是偏科不超过两门，我偏科三门以上，配不上学霸二字。顶多算是微积分方面有些独到见解吧。
SCIbird：那称作微积分大牛可否妥当？
张辰：客套话就别说了，咱们还是直接进入主题吧。
SCIbird：听说你是工科出身，却选了数学系的数学分析课程，这门课可不好上。不是说T大人选课都尽量避免选那些巨难无比的课程。
张辰：对，我来自机械学院。选课方面，“都”字不准确，还是有少数人哪门课难选哪门，这些人大多因为自己对课程感兴趣。
SCIbird：能否简单谈谈你的数学分析学习经历。
张辰：我个人学习微积分经历有所不同。最初听过微积分这个词应该是在初一，当时班级门口走廊挂着牛顿的画像，上面写着他的三大贡献万有引力定律、光的色散和微积分，前两者我了解一些，但微积分不懂。我是牛顿的粉丝，所以一直想搞明白微积分是什么？在知道微积分是一种数学方法之前，我一直以为微积分是物理呢。到了高中，老师告诉我大学才学微积分，我实在等不及了，就把学校图书馆里翻了个遍，然后找到两本与微积分有关的书，一本是数学手册，另一本是一元微积分教材（很薄的一本）。我主要是看的后一本教材自学。
SCIbird：高一时刚刚有点函数概念吧，自学微积分难度是不是有点大？ 张辰：那是那是相当的大。最初看了好几天微积分，愣是没看懂，况且学校也不准图书外借。于是决定抄书，每天抄一个半小时，抄完回家去看。前前后后大概抄了两个月，然后不知不觉地懂单元微积分了，这大概算是重剑无锋，大巧不工吧。现在回想起来，那时肯定不理解ε−δ语言的深刻性，我想那时自己使用几何无穷小来理解微积分。
SCIbird：既然提到了ε−δ语言，你如今怎么看？
张辰：我内心实际上将“ε−δ语言”视作“ε−δ极限公理系统”。在我看来，极限是一个无穷过程，而ε−δ语言相当于把极限的无穷过程“变成”了有限过程。尽管我在写数学文章也用ε−δ语言，但我其实不太热衷，我更喜欢分析中的无穷小方法，充满灵性，它与物理中广泛使用的微元法交相辉映。
SCIbird：对了，高一时你看的是哪本微积分教材？
张辰：惭愧惭愧，不记得了，而且当初那些抄书微积分笔记也丢了。我后来看到隔壁P大出了一套数学分析教材，作者是彭立中和谭小江，书中的第1册从排版来看很像我高一看的那本微积分教材。
SCIbird：你说的P大那本数分教材我也听说过，好像网上评价不高，说P大怎么出了这么一本屌丝数分教材。
张辰：其实那本书第1册作为微积分入门书挺好的，特别适合高中生。后两册书难度上去了，特别是第三册，有一定难度。
SCIbird：这么说，你在高一时就懂微积分了。
张辰：严格说，那时只懂点单元微积分知识。但是，并不全面，比如当时理解不了中值定理和洛比达法则（证明使用了柯西中值定理），不明白干什么用，即不能求极值，也不能求面积。
SCIbird：高一学了微积分之后，对你理解高中数学有没有帮助？
张辰：我个人看法是微积分对高中初等数学没啥帮助，不过倒是对物理帮助很大。比如用牛顿-莱布尼茨公式
∫b
af′(x)dx=f(b)−f(a)
计算变力做功问题。记得好像有一道电磁场方面的物理竞赛题，原解答用巧妙的几何方法求出环形区域面积微元ΔS=2πrΔr，其实对面积S=πr2直接求微分即得dS=2πrdr. 类似很巧妙的微元技巧，在微积分中看来是显然的。
SCIbird：小声说，据说“显然”这个词是那些上数学课的同学们最害怕的词汇。
张辰：呵呵，确实。我曾经看过一本数学书，里面有个地方作者说“显然”，然后我想了一礼拜。
SCIbird：微积分对你的高中数学成绩有没有直接影响？
张辰：我认为影响不大。尽管现在高考也考导数，但是那些高考题人为拼凑痕迹太明显，也体现不出微积分的强大。不过有一件事情，我挺自豪的。高中图书馆里有一本精彩的小书叫《形形色色的曲线》，里边不少章节涉及积分内容，我想那时的同学中，除了我之外，应该没有人能看懂这本书。
SCIbird：所以上大学后，你觉得工科微积分没意思，于是选了数学分析课程？
张辰：不能说没意思。只是工科的微积分课程里很多定理不讲证明过程，而我这人有打破沙锅问到底的习惯。后来听说数学系会讲详细证明，于是才选了数学分析课程。
SCIbird：听了数学系的课程是否茅塞顿开，解惑了？
张辰：恰恰相反，产生了更多的疑惑。
SCIbird：此话怎讲？
张辰：一方面是数学的广度，你学的越多，越会感到自己的无知，越会对数学产生了敬畏。比如有些人以为学了微积分和线性代数，大学数学就OK了？那只是大学数学最基础的地方。特别是大学微积分的内容，基本都是200多年前的数学了。另一方面来自个人思维特点，我发现自己最感兴趣的是这个定理或证明的想法是怎么发现的。很遗憾，教材不讲怎么发现的，老师大多也说不清。后来，我读一些历史上那些数学大师的原文时，发现他们也不讲是怎么发现的。
SCIbird：你第二点说得有道理。不过当老师也不容易，很多时候想多说几句，多解释一下，结果反而越多说，学生越糊涂。
张辰：你说的对，第二点只能靠个人领悟。
SCIbird：你能举一个个人领悟的例子吗？
张辰：数学这东西不好用嘴说，这又不能写板书。
SCIbird：没关系，我已经把笔和纸带来了，你在这上面写就行了。
张辰：kao，你们采访可真专业。
SCIbird：这不是逼得嘛。我们采访了不少大牛，很多人总说数学哲学，大道至简之类的，或者说运气，甚至牛人装弱。读者们很有意见，说干货太少了。
张辰：所谓干货指什么？
SCIbird：最好是举例子。
张辰：这样啊，那我们谈谈Riemann-Lebesgue引理的推广形式
设黎曼可积函数f(x),g(x)，这里g(x+T)=g(x)是周期函数。则
TT1Tf(x)g(nx)dx=∫g(x)dx∫f(x)dx limn→∞∫00T0
这个定理结论是“显然”的。
SCIbird：嗯……不是说好的，不要用“显然”这个词儿吗。
张辰：呵呵，张式幽默，没听出来？
SCIbird：唉，大牛的幽默总是那么高深。
张辰：对学过Fourier级数的人来说，可以看出这是
n→∞lim∫f(x)sinnxdx=lim∫f(x)cosnxdx=0 an→∞abb
的自然推广，用一般的周期函数g(x)代替三角函数sinx.
我第一次看见那个推广形式右侧表达式时惊为天人，怎想出来的呢？我心中原本猜想的是
n→∞lim∫f(x)g(nx)dx=0 0T
当时内心想法是：别说证明了，能猜出那个推广形式右侧表达式的人一定是天才。后来发现，自己当时距离最终答案其实就差一层窗户纸。
假定推广形式
n→∞lim∫f(x)g(nx)dx=0 0T
工科生看见数学表达式一般都习惯从物理、几何角度找一些直观的东西来辅助思考。Fourier级数中的Riemann引理很好理解，当n→∞时，sinnx的图像上下剧烈振荡，所以一积分都“抵消”了。接下来，就要弄明白图像剧烈振荡对应的“抵消”，其数学含义是什么？对一般的周期函数g(x)，我理解的抵消含义对应的数学表达式是
∫T
0g(x)dx=0
理由很简单，令f(x)≡1，由周期函数性质，有
TTT1nT∫0f(x)g(nx)dx=∫0g(nx)dx=n∫0g(t)dt=∫0g(t)dt
上式的极限是0，因此只能是
∫
但是，一般情况下 T0g(x)dx=0
∫
g(x)
↓T0g(x)dx≠0 比如g(x)=1+sinx. 我的想法关键在于“化归”思想，其思路见下面图表： →∫
∫T0g(x)dx≠0↓ ψ(x)=g(x)+C?←T
0ψ(x)dx=0
通俗地说，将周期函数g(x)适当向上（或向下）平移C个单位之后，得到的新周期函数ψ(x)=g(x)+C满足周期积分为0，即
∫
T
0T0ψ(x)dx=0 如何确定这个常数C很简单，对ψ(x)=g(x)+C两边积分，得 0=∫ψ(x)dx=∫g(x)dx+∫Cdx 00TT
由此得到，
1C=−T
前面，我们曾经猜想
n→∞T∫T0g(x)dx lim∫f(x)ψ(nx)dx=0 0
T于是
n→∞lim∫f(x)g(nx)dx=lim∫f(x)[ψ(nx)−C]dx0n→∞0
TT
0n→∞0T=lim∫f(x)ψ(nx)dx−lim∫C⋅f(x)dxn→∞
1=T∫T
0g(x)dx∫f(x)dx0
TT这说明，我们只需要考虑满足 ∫0g(x)dx=0
的周期函数g(x)即可，这就是为什么我说“距离最终答案其实就差一层窗户纸”。很多事情你搞明白之后，就会明白原来如此“显然”，当初困扰不堪，其实没想象中那么难。至于Riemann-Lebesgue引理的数学证明，可以参考《数学分析问题研究与评注》。
SCIbird：听君一席话，胜读十年书啊！对了，你那个图表怎么看起来像交换代数里经常出现的交换图表？
张辰：就是交换图表，只不过我这是山寨版的。
SCIbird：上面的思路看起来不难，但也不好往那个地方想啊，你是怎么想出来的？
张辰：有一天坐在树下看书，然后树上掉下一个苹果砸脑袋上了，然后就想出来了。
SCIbird：这个……太假了。
张辰：总比鸡汤好吧，开玩笑呢。想法来自物理，大学物理中会讲刚体运动，可以分解为：
刚体运动 = 平动 + 转动
受此启发，我联想到周期函数“很像”刚体转动，效仿刚体运动分解，将周期函数g(x)适当向上（或向下）平移C个单位之后，得到的新周期函数满足周期积分为0，这里的平移C相当于平动。这个问题其实想了很长时间才明白。
SCIbird：你的想法果然与众不同，不走寻常路。
张辰：蓝明月也是像你这样说的。
由此得到，
1C=−T
前面，我们曾经猜想
n→∞T∫T0g(x)dx lim∫f(x)ψ(nx)dx=0 0
T于是
n→∞lim∫f(x)g(nx)dx=lim∫f(x)[ψ(nx)−C]dx0n→∞0
TT
0n→∞0T=lim∫f(x)ψ(nx)dx−lim∫C⋅f(x)dxn→∞
1=T∫T
0g(x)dx∫f(x)dx0
TT这说明，我们只需要考虑满足 ∫0g(x)dx=0
的周期函数g(x)即可，这就是为什么我说“距离最终答案其实就差一层窗户纸”。很多事情你搞明白之后，就会明白原来如此“显然”，当初困扰不堪，其实没想象中那么难。至于Riemann-Lebesgue引理的数学证明，可以参考《数学分析问题研究与评注》。
SCIbird：听君一席话，胜读十年书啊！对了，你那个图表怎么看起来像交换代数里经常出现的交换图表？
张辰：就是交换图表，只不过我这是山寨版的。
SCIbird：上面的思路看起来不难，但也不好往那个地方想啊，你是怎么想出来的？
张辰：有一天坐在树下看书，然后树上掉下一个苹果砸脑袋上了，然后就想出来了。
SCIbird：这个……太假了。
张辰：总比鸡汤好吧，开玩笑呢。想法来自物理，大学物理中会讲刚体运动，可以分解为：
刚体运动 = 平动 + 转动
受此启发，我联想到周期函数“很像”刚体转动，效仿刚体运动分解，将周期函数g(x)适当向上（或向下）平移C个单位之后，得到的新周期函数满足周期积分为0，这里的平移C相当于平动。这个问题其实想了很长时间才明白。
SCIbird：你的想法果然与众不同，不走寻常路。
张辰：蓝明月也是像你这样说的。
SCIbird：对了，蓝明月是数学系出身的，怎么会和你一起写《从三角函数到椭圆函数》论文，难道因为你们是GFBF关系？
张辰：那篇文章是周老师留的数分3大作业，那时我们还不是GFBF关系。我想大概是因为我的想法与众不同，不走寻常路。
SCIbird：那个……做人要谦虚，不带自吹自擂的。
张辰：不是你说的吗？现在的读者很讨厌大牛装弱。开个玩笑。
SCIbird：我真跟不上你的思维变化。咱们还是说点干货吧。
张辰：我想蓝明月决定和我一起写那篇论文，可能因为我之前在QQ上跟她说过，我打算写一篇与第一类椭圆积分有关的文章。而懂椭圆积分的人多半也了解椭圆函数。
SCIbird：大二学生小论文就敢写椭圆函数，你们胆子是不是太大了？ 张辰：你有所不知，现在的高中生给丘成桐中学数学奖投稿，论文连解析数论都出来了，写点椭圆函数算什么。而且在T大，有些牛人大三已经参加了研究生讨论班了。其实，大家把椭圆函数想的太难了，完全可以把椭圆函数当做数分里常见的Γ函数和B函数之类的。蓝明月和我实际上只讨论了一类特殊的椭圆函数snu（雅可比椭圆正弦函数），没有广撒网。文章类比了三角函数sinx，通过它来理解椭圆函数snu就容易多了。
SCIbird：还远没有其它原因。
张辰：有，我听蓝明月说她的数学偶像是阿贝尔，学数学的女生也有偏好。
后来她还提过，当时她准备了三个题材，除了椭圆函数外，其余两个是前面说过的Riemann-Lebesgue引理和重积分变元代换公式：
设Ω⊂Rm是一个开集，
ϕ:Ω→Rm
是一个连续可微映射，E⊂Ω是一个闭若尔当可测集。如果
（1） 雅可比行列式detDϕ(t)≠0,∀t∈intE；
（2） ϕ在intE中是单射。
那么ϕ(E)也是一个闭若尔当可测集，并且对于任何在ϕ(E)上连续的函数f(x)都有
∫ϕ(E)f(x)dx=∫f(ϕ(t))|detDϕ(t)|dt. E
最终，蓝明月选择了椭圆函数这个题材。
SCIbird：她是椭圆函数，你是椭圆积分，两个椭圆倒是有缘啊。
张辰：承您贵言，其实我也是这么想的。不过要讨论椭圆函数的本质必须涉及复变函数，特别是Riemann曲面，所以我们俩合写的那篇文章其实是个半科普性质的介绍。
SCIbird：是否方便简单谈谈你的那篇论文。
张辰：我的那篇论文是关于算术-几何平均数列与第一类椭圆积分之间关系的。算术-几何平均数列
⎧an+bn⎪⎪a=⎪n+12 ⎨⎪⎪⎪⎪⎩bn+1=其中a0=a,b0=b(a>b>0)。由均值不等式，得an≥bn，进而得到
a≥a1≥a2≥"≥an≥bn≥"≥b1≥b
再由单调有界数列必有极限，知两数列必有极限，记为
n→∞liman=limbn=:M(a,b) n→∞
高斯证明了极限M(a,b)与第一类椭圆积分之间的关系
12=∫M(1+k,1−k)π0其中
π2
M(1+k,1−k)=M(1,=M(1,b/a)=M(a,b)/a
我曾在菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》上看过上面那个积分表达式的证明。等价于证明
12=∫M(a,b)π0π2
不过，那个证明相当于已经知道极限M(a,b)的积分表达式。但是，这个表达式很难猜出来，于是我就想有没有文献，指出如何从“算术-几何平均数列”本身推出来极限M(a,b)的积分表达式。后来在Cox的一篇文章和《高斯全集》里找到了答案。
SCIbird：是否方便说说你的发现。
张辰：求解过程就是级数展开，然后一顿暴力硬算，细节很琐碎。采访之后，我在把材料发给你吧。
SCIbird：好的。（以下是张辰给出的资料证明思路）
可以归纳出极限M(a,b)的三条性质：
1. M(a,a)=a；
2. M(ta,tb)=tM(a,b),t≥0（齐次性）；
a+b3. M(a,b)=M(,, 此为函数的加法公式，相当于说 2
M(a,b)=M(a1,b1)=M(a2,b2)="
摘自《高斯全集》第三卷
将上式右边各项做二项级数展开，并与左边比较各项系数，计算出相应的系数（待定系数法）。高斯一直计算到倒数关系
119256=1+x2+x4+x+" M(1+x,1−x)464256
根据勒让德等人在椭圆积分方面的研究结果，第一类椭圆积分的标准型为
E(k)=∫0π2其中参数0
E(k)=
于是
⎞π⎛1294256⎟⎜1+k+k+k+" ⎟⎜⎟⎜⎠2⎝464256
12=∫M(1+k,1−k)π0 以上大致是张辰论文的思路。
SCIbird：没记错的话，《高斯全集》是用拉丁文写的，一般人读不懂吧。 张辰：我也看不懂拉丁文，但是数学符号基本能看懂。你找几篇高斯全集里的小论文英译本，然后对照高斯全集原文，基本能搞懂那些数学符号的含义了。不过高斯全集里很多数学思想是用文字表述的，因为看不懂拉丁文而看不懂，可惜了。
SCIbird：T大大神这么多，压力很大吧。
张辰：确实，每年特等奖学金评选都能惊掉下巴，很多人本科时就在本专业核心期刊上发表了好几篇论文。不少大神本科时就头角峥嵘，只能仰望。
SCIbird：如何自我调节呢？
张辰：放弃不现实的，把握能把握的，忘记与大神们比的心理，尽量做我自己。数学这门学科很特殊，现代数学离本科教学太远，比如我们现在学的微积分，基本是欧拉、高斯那个年代的成果，200百多年前啊。拿代数基本定理举例，当年牛顿和欧拉都没有证明出来，后来高斯把它作为博士论文题目证明出来。如今，代数基本定理只是复变函数课程里的一道课后习题，证明就两句话：假设非常数多项式p(z)无零根，即p(z)≠0，则 π2
11=常数，矛盾！ 是全平面上的有界解析函数，根据刘维尔定理知p(z)p(z)
日本数学大师小平邦彦在《赫尔曼·外尔先生》这篇文章里举了一个外尔定理例子，内容说：若θ是无理数，则点列{e2πniθ:n=1,2,3"}在单位圆周上均
匀分布。外尔对小平邦彦说：“过去这么简单的东西就是大发现了，你们今天却不得不干很难的工作，真可怜！”很多人都想在本科阶段搞出一个大发现，其实挺难的，而且运气因素极大。
SCIbird：你是说换一种心态，摆正自我？
张辰：差不多是这种心境。
SCIbird：我们换个轻松一点的话题吧，你对学霸与大神有何高见？
张辰：有句话叫“学霸可以复制，大神只是传说”，我很认同。大神的想法太特殊，一般人难以理解，不知道他在神游哪个时空。学霸相对更亲切一些，容易学习。我曾问过学霸蓝明月的学习秘诀，她告诉我是科学分配时间，提高学习效率，减少短板（很少犯低级错误，没有太明显的瘸腿科目）。
SCIbird：那么如何与学霸和大神打交道呢？
张辰：分人吧。如果是同班同学，大家抬头不见低头见的，相对好说话。如果是外班或外系的，看情况而定。学霸也不是所有难题都会的，不少难题也做不出来。如果学霸某题不会，你做出来了，那么可以就此和学霸交流，大多数学霸都是很愿意取长补短的人。大神则不一样，基本不存在这题大神不会做你会做的情况。以前面说过的Riemann-Lebesgue引理为例
TT1Tlimf(x)g(nx)dx=∫g(x)dx∫f(x)dx n→∞∫00T0
这题基本难不住大神们。所以想与大神交流，你必须想到大神们想不到的地方。比如前面提到的思维图表展现如何猜出上面的结果：
g(x)
↓→∫
∫T0g(x)dx≠0↓ ψ(x)=g(x)+C?←T
0ψ(x)dx=0
这里分享点经验，大神们的脾气一般不太好，如果不是特别熟，说话还是要谨慎，以免遭大神烦。
SCIbird：有没有其它方法同大神拉近关系的？
张辰：有啊，很多的。比如你学习比不过大神，但游戏玩得比大神好，也能和大神成为好朋友；或者你足球踢得好，和某大神是队友等。大神们也是人。
SCIbird：关于大神们，你还有什么补充的？
张辰：我想澄清一个误区，很多人以为大神就是那种天赋异禀，一猜一个准儿，解答问题的方法奇思妙想。这种观点绝对是误区。我看过一些大神的试卷解答，坦白说奇思妙想没那么多，很多解法还很暴力。个人感觉，大神主要还是牛在硬推理上面。那些自称学渣的人们也别灰心，大神也不一定总是一猜
一个准儿。举一个2007年IMO试题例子：
n为给定正整数，S={(x,y,z)|x,y,z∈{0,1,2,",n},x+y+z>0}是三维空间中(n+1)3−1个点的集合。试求其并集包含S但不含(0,0,0)的平面个数的最小值。
这道题其实挺漂亮的，但是长得不像高中竞赛题，反倒像大学竞赛题。本题满分7分，当年中国IMO代表队得分是111000，得1分的三个人是因为他们猜出了这个最小值是3n，但无法证明。
实际上，很多自称学渣的人也能猜出最小值是3n，这就是1分！你可以构造3n个平面：x−i=0,y−j=0,z−k=0,1≤i,j,k≤n. 显然满足其并集包含S但不含(0,0,0).
官方提供的本题解法很复杂，后来貌似林常老师给出了一个差分法妙解，赏心悦目！
解：记多项式p(x)次数为N，定义差分算子Δ满足Δp(x)=p(x+1)−p(x)，记I为恒等算子。根据拉格朗日中值定理可知
Δp(x)=p(x+1)−p(x)=p′(ξ)
说明每做一次差分，次数降低1。设n>N，则n次差分之后Δ(n)p(x)=0.
令Ap(x)=p(x+1)，则Δ=A−I，于是
iΔp(x)=(A−I)p(x)=∑(−1)n−iCnA(i)p(x)(n)n
i=0
i=∑(−1)n−iCnp(x+i)
i=0nn
设有m个平面aix+biy+ciz−di=0满足题意，其中di≠0.令
f(x,y,z)=∏(aix+biy+ciz−di)
i=1m
则f(x,y,z)在S的每个点上都为0，但f(0,0,0)≠0.
如果m
(n)(n)(n)ΔxΔyΔzf=
(i,j,k)∈S∪{0,0,0}∑(−1)3n−i−j−kijkCnCnCnf(x+i,y+j,z+k)=0
取x=y=z=0，得
f(0,0,0)=
(i,j,k)∈S∑(−1)i+j+k+1ijkCnCnCnf(i,j,k)=0
这与f(0,0,0)≠0矛盾。从而m≥3n，而等号成立的例子见前面。
SCIbird：张大神，你举的例子难度太大了，技巧性太高，咱们还是聊点接地气的例子吧。
张辰：呵呵，怪我了，推导公式经常一推就上瘾。我来说点有意思的事情吧，数学分析里边有一个定理叫达布定理或者导数介值定理。说是函数f(x)可导，则任取μ介于f′(a)与f′(b)之间，则存在ξ∈(a,b)满足f′(ξ)=μ. 我把这个问题给我好几个工科同学看了，他们都说这道题缺条件吧，还差导函数f′(x)连续条件。
SCIbird：这个达布定理是挺有意思的，导函数不连续时，介值性也成立。 张辰：对，这说明连续只是介值性成立的充分不必要条件，但很多工科生都以为是充要条件。也有人以为连续函数的不可导点只有有限个。
SCIbird：你后面说得其实是存在处处连续处处不可导函数的例子吧。 张辰：是的，你说的那个例子可以在张筑生老师的《数学分析新讲》第3册里找到，不过这个例子对于工科生太难了。达布定理的证明并不难，其实应该收录到工科微积分教材里的。由达布定理可以得到两个很有用的推论：
1、导数若变号，则导数必有零点；2、导数无零点，则函数必单调。 SCIbird：能不能再举一个，工科思维与数学系思维差异明显的例子。 张辰：可以。那是一道智力题，其一般化的表述为：
在区间(0,1)内随机选取n个数，求这n个数中最小的数的期望。
数学系一般会这样思考：每个数在(0,1)都服从均匀分布，即这n个数是独立同分布的。记第i个数对应的随机变量是Xi，则原问题转化为求最小数的概
率分布或概率密度
P{min(X1,⋅⋅⋅,Xn)≤x}=?
首先，由独立同分布可知
P{min(X1,⋅⋅⋅,Xn)≤x}=1−P{min(X1,⋅⋅⋅,Xn)>x}
=1−P{X1>x,⋅⋅⋅,Xn>x}=1−P{X1>x}⋅⋅⋅P{Xn>x}
其次由独立随机变量Xi服从(0,1)上的均匀分布
1 P{Xi>x}=∫du=1−x x
由上面可求出这n个的联合分布函数
Fmin(x)=P{min(X1,⋅⋅⋅,Xn)≤x}=1−(1−x)n, x∈(0,1)
于是其对应的概率密度函数为
′(x)=n(1−x)n−1 fmin(x)=Fmin
所求最小数X=min(X1,⋅⋅⋅,Xn)的数学期望为
EX=∫nx(1−x)n−1dx=nB(2,n)=011 n+1
注：计算中用到了Γ函数与B函数的一些基本性质。
B(p,q)=Γ(p)Γ(q) 以及 Γ(n+1)=n! Γ(p+q)
工科生看到这类问题，一般会先设法简化一下问题，比如借助几何直观找找物理感觉之类的，最后才求助数学。对于这道题，我后来找到了一个火腿肠解法，那是去C楼地下超市买火腿肠时想起来的。
原问题：在区间(0,1)内随机选取n个数，求这n个数中最小的数的期望。我将这个问题转化为一个火腿肠模型，将一根长度为1的火腿肠，切n刀，问最左边那根火腿肠长度期望值是多少？（最小数对应最左边的火腿肠长度）
n刀切火腿肠模型
将上面n+1段火腿肠调整一下顺序得到了另一个“n刀切”，由此可知道这n+1段火腿肠彼此地位是平等的，也就是它们的期望全相等。不难求出
EX=1 n+1
SCIbird：巧妙的解法！看起来很像“冯·诺依曼、苍蝇与级数”那个段子，不过看起来你好像在黑数学系。
张辰：冯·诺依曼那个级数段子是真的，好像出自《美国数学月刊》。千万别这么说，要是让蓝明月知道，我就惨了，我可不敢。其实，我想说的是工科生看见问题，一般不是先从数学上化简问题的，这种化简很多时候依赖物理直觉。我认识一些T大工科大牛，他们数学层次也不算很高，但是那些基本方法玩得很转，物理直觉更是好的一塌糊涂，令人羡慕。
SCIbird：时间不早了，采访快要结束了。就提最后一个问题，你觉得通过数学分析课程，你有什么收获。
张辰：这个问题有点大，我想是获得一种普适性与完备性体验吧。举个例子，说说牛顿-莱布尼茨公式
∫b
af′(x)dx=f(b)−f(a)
从普适性角度看，自然想推广到一般形式，比如Lebesgue积分版本。
Volteraa曾经构造了一个著名的反例f(x)，其导函数f′(x)处处存在且有界，
但f(x)却不是Riemann可积的。这个例子中，f(x)的间断点的集合测度非零，所以不是Riemann可积的。反例的构造细节请参考《数学分析问题研究与评注》。 Rudin在《实分析与复分析》中给出一个强力版本：
设f(x)∈C[a,b]是连续函数，导函数f′(x)存在且是Lebesgue可积的，则
∫b
af′(x)dx=f(b)−f(a)
我们自然会问：如果去掉一些例外点（对应点集记为A），在C[a,b]−A上导函数f′(x)存在且是Lebesgue可积的，那么牛顿-莱布尼茨公式是否成立呢？如果要求A是零测集，答案是否定的，康托函数的反例表明牛顿-莱布尼茨公式不成立。这个反例一般可在实变函数教材里找到。
但是，零测集包含两类：不可数集与可数集。康托函数反例中不可导点构成一个不可数集，而当A是可数零测集时，牛顿-莱布尼茨公式成立。
N-L定理：
设F(x)∈C[a,b]是连续函数，f(x)∈L[a,b]是Lebesgue可积的，若至多除去一个可数集之外，有F′(x)=f(x)，则
∫b
af(x)dx=F(b)−F(a)
因为康托函数反例的存在表明例外点集A不能加强为零测集，所以上面的定理可以称作为“最强微积分基本定理”。我理解的完备性是广义的，也暗含最强形式。
上述N-L定理的证明引自下述文献，推荐大家读一读。
SCIbird：感谢微积分大牛张辰同学的热心接受我们的采访。看来蓝明月同学所言非虚啊，这一趟下来我的收获也不少。相信读者们也如此。
张辰：bird兄谬赞了。其实，T大数学高手不少，比如那些CMO金牌们，但是很可惜，多数人似乎没有去数学系读书，人各有志吧。
微积分大牛张辰采访录
整理者：SCIbird
我们原本打算采访数学系学霸级高手蓝明月的，但被她婉言谢绝采访，转而推荐另一位高手张辰。有意思的是，尽管与数学系一起上数学分析，但是张辰一直坚称他学的是微积分，所以本采访中微积分和数学分析两个词经常混用。文章中涉及的数学公式由笔者根据张辰的手稿以及自己的理解整理而成。插图则是笔者提供，图片出自网上。
SCIbird：很高兴，学霸张辰同学能接受我们的数学专访。
张辰：学霸称呼不敢当。一般被称作学霸的必要不充分条件是偏科不超过两门，我偏科三门以上，配不上学霸二字。顶多算是微积分方面有些独到见解吧。
SCIbird：那称作微积分大牛可否妥当？
张辰：客套话就别说了，咱们还是直接进入主题吧。
SCIbird：听说你是工科出身，却选了数学系的数学分析课程，这门课可不好上。不是说T大人选课都尽量避免选那些巨难无比的课程。
张辰：对，我来自机械学院。选课方面，“都”字不准确，还是有少数人哪门课难选哪门，这些人大多因为自己对课程感兴趣。
SCIbird：能否简单谈谈你的数学分析学习经历。
张辰：我个人学习微积分经历有所不同。最初听过微积分这个词应该是在初一，当时班级门口走廊挂着牛顿的画像，上面写着他的三大贡献万有引力定律、光的色散和微积分，前两者我了解一些，但微积分不懂。我是牛顿的粉丝，所以一直想搞明白微积分是什么？在知道微积分是一种数学方法之前，我一直以为微积分是物理呢。到了高中，老师告诉我大学才学微积分，我实在等不及了，就把学校图书馆里翻了个遍，然后找到两本与微积分有关的书，一本是数学手册，另一本是一元微积分教材（很薄的一本）。我主要是看的后一本教材自学。
SCIbird：高一时刚刚有点函数概念吧，自学微积分难度是不是有点大？ 张辰：那是那是相当的大。最初看了好几天微积分，愣是没看懂，况且学校也不准图书外借。于是决定抄书，每天抄一个半小时，抄完回家去看。前前后后大概抄了两个月，然后不知不觉地懂单元微积分了，这大概算是重剑无锋，大巧不工吧。现在回想起来，那时肯定不理解ε−δ语言的深刻性，我想那时自己使用几何无穷小来理解微积分。
SCIbird：既然提到了ε−δ语言，你如今怎么看？
张辰：我内心实际上将“ε−δ语言”视作“ε−δ极限公理系统”。在我看来，极限是一个无穷过程，而ε−δ语言相当于把极限的无穷过程“变成”了有限过程。尽管我在写数学文章也用ε−δ语言，但我其实不太热衷，我更喜欢分析中的无穷小方法，充满灵性，它与物理中广泛使用的微元法交相辉映。
SCIbird：对了，高一时你看的是哪本微积分教材？
张辰：惭愧惭愧，不记得了，而且当初那些抄书微积分笔记也丢了。我后来看到隔壁P大出了一套数学分析教材，作者是彭立中和谭小江，书中的第1册从排版来看很像我高一看的那本微积分教材。
SCIbird：你说的P大那本数分教材我也听说过，好像网上评价不高，说P大怎么出了这么一本屌丝数分教材。
张辰：其实那本书第1册作为微积分入门书挺好的，特别适合高中生。后两册书难度上去了，特别是第三册，有一定难度。
SCIbird：这么说，你在高一时就懂微积分了。
张辰：严格说，那时只懂点单元微积分知识。但是，并不全面，比如当时理解不了中值定理和洛比达法则（证明使用了柯西中值定理），不明白干什么用，即不能求极值，也不能求面积。
SCIbird：高一学了微积分之后，对你理解高中数学有没有帮助？
张辰：我个人看法是微积分对高中初等数学没啥帮助，不过倒是对物理帮助很大。比如用牛顿-莱布尼茨公式
∫b
af′(x)dx=f(b)−f(a)
计算变力做功问题。记得好像有一道电磁场方面的物理竞赛题，原解答用巧妙的几何方法求出环形区域面积微元ΔS=2πrΔr，其实对面积S=πr2直接求微分即得dS=2πrdr. 类似很巧妙的微元技巧，在微积分中看来是显然的。
SCIbird：小声说，据说“显然”这个词是那些上数学课的同学们最害怕的词汇。
张辰：呵呵，确实。我曾经看过一本数学书，里面有个地方作者说“显然”，然后我想了一礼拜。
SCIbird：微积分对你的高中数学成绩有没有直接影响？
张辰：我认为影响不大。尽管现在高考也考导数，但是那些高考题人为拼凑痕迹太明显，也体现不出微积分的强大。不过有一件事情，我挺自豪的。高中图书馆里有一本精彩的小书叫《形形色色的曲线》，里边不少章节涉及积分内容，我想那时的同学中，除了我之外，应该没有人能看懂这本书。
SCIbird：所以上大学后，你觉得工科微积分没意思，于是选了数学分析课程？
张辰：不能说没意思。只是工科的微积分课程里很多定理不讲证明过程，而我这人有打破沙锅问到底的习惯。后来听说数学系会讲详细证明，于是才选了数学分析课程。
SCIbird：听了数学系的课程是否茅塞顿开，解惑了？
张辰：恰恰相反，产生了更多的疑惑。
SCIbird：此话怎讲？
张辰：一方面是数学的广度，你学的越多，越会感到自己的无知，越会对数学产生了敬畏。比如有些人以为学了微积分和线性代数，大学数学就OK了？那只是大学数学最基础的地方。特别是大学微积分的内容，基本都是200多年前的数学了。另一方面来自个人思维特点，我发现自己最感兴趣的是这个定理或证明的想法是怎么发现的。很遗憾，教材不讲怎么发现的，老师大多也说不清。后来，我读一些历史上那些数学大师的原文时，发现他们也不讲是怎么发现的。
SCIbird：你第二点说得有道理。不过当老师也不容易，很多时候想多说几句，多解释一下，结果反而越多说，学生越糊涂。
张辰：你说的对，第二点只能靠个人领悟。
SCIbird：你能举一个个人领悟的例子吗？
张辰：数学这东西不好用嘴说，这又不能写板书。
SCIbird：没关系，我已经把笔和纸带来了，你在这上面写就行了。
张辰：kao，你们采访可真专业。
SCIbird：这不是逼得嘛。我们采访了不少大牛，很多人总说数学哲学，大道至简之类的，或者说运气，甚至牛人装弱。读者们很有意见，说干货太少了。
张辰：所谓干货指什么？
SCIbird：最好是举例子。
张辰：这样啊，那我们谈谈Riemann-Lebesgue引理的推广形式
设黎曼可积函数f(x),g(x)，这里g(x+T)=g(x)是周期函数。则
TT1Tf(x)g(nx)dx=∫g(x)dx∫f(x)dx limn→∞∫00T0
这个定理结论是“显然”的。
SCIbird：嗯……不是说好的，不要用“显然”这个词儿吗。
张辰：呵呵，张式幽默，没听出来？
SCIbird：唉，大牛的幽默总是那么高深。
张辰：对学过Fourier级数的人来说，可以看出这是
n→∞lim∫f(x)sinnxdx=lim∫f(x)cosnxdx=0 an→∞abb
的自然推广，用一般的周期函数g(x)代替三角函数sinx.
我第一次看见那个推广形式右侧表达式时惊为天人，怎想出来的呢？我心中原本猜想的是
n→∞lim∫f(x)g(nx)dx=0 0T
当时内心想法是：别说证明了，能猜出那个推广形式右侧表达式的人一定是天才。后来发现，自己当时距离最终答案其实就差一层窗户纸。
假定推广形式
n→∞lim∫f(x)g(nx)dx=0 0T
工科生看见数学表达式一般都习惯从物理、几何角度找一些直观的东西来辅助思考。Fourier级数中的Riemann引理很好理解，当n→∞时，sinnx的图像上下剧烈振荡，所以一积分都“抵消”了。接下来，就要弄明白图像剧烈振荡对应的“抵消”，其数学含义是什么？对一般的周期函数g(x)，我理解的抵消含义对应的数学表达式是
∫T
0g(x)dx=0
理由很简单，令f(x)≡1，由周期函数性质，有
TTT1nT∫0f(x)g(nx)dx=∫0g(nx)dx=n∫0g(t)dt=∫0g(t)dt
上式的极限是0，因此只能是
∫
但是，一般情况下 T0g(x)dx=0
∫
g(x)
↓T0g(x)dx≠0 比如g(x)=1+sinx. 我的想法关键在于“化归”思想，其思路见下面图表： →∫
∫T0g(x)dx≠0↓ ψ(x)=g(x)+C?←T
0ψ(x)dx=0
通俗地说，将周期函数g(x)适当向上（或向下）平移C个单位之后，得到的新周期函数ψ(x)=g(x)+C满足周期积分为0，即
∫
T
0T0ψ(x)dx=0 如何确定这个常数C很简单，对ψ(x)=g(x)+C两边积分，得 0=∫ψ(x)dx=∫g(x)dx+∫Cdx 00TT
由此得到，
1C=−T
前面，我们曾经猜想
n→∞T∫T0g(x)dx lim∫f(x)ψ(nx)dx=0 0
T于是
n→∞lim∫f(x)g(nx)dx=lim∫f(x)[ψ(nx)−C]dx0n→∞0
TT
0n→∞0T=lim∫f(x)ψ(nx)dx−lim∫C⋅f(x)dxn→∞
1=T∫T
0g(x)dx∫f(x)dx0
TT这说明，我们只需要考虑满足 ∫0g(x)dx=0
的周期函数g(x)即可，这就是为什么我说“距离最终答案其实就差一层窗户纸”。很多事情你搞明白之后，就会明白原来如此“显然”，当初困扰不堪，其实没想象中那么难。至于Riemann-Lebesgue引理的数学证明，可以参考《数学分析问题研究与评注》。
SCIbird：听君一席话，胜读十年书啊！对了，你那个图表怎么看起来像交换代数里经常出现的交换图表？
张辰：就是交换图表，只不过我这是山寨版的。
SCIbird：上面的思路看起来不难，但也不好往那个地方想啊，你是怎么想出来的？
张辰：有一天坐在树下看书，然后树上掉下一个苹果砸脑袋上了，然后就想出来了。
SCIbird：这个……太假了。
张辰：总比鸡汤好吧，开玩笑呢。想法来自物理，大学物理中会讲刚体运动，可以分解为：
刚体运动 = 平动 + 转动
受此启发，我联想到周期函数“很像”刚体转动，效仿刚体运动分解，将周期函数g(x)适当向上（或向下）平移C个单位之后，得到的新周期函数满足周期积分为0，这里的平移C相当于平动。这个问题其实想了很长时间才明白。
SCIbird：你的想法果然与众不同，不走寻常路。
张辰：蓝明月也是像你这样说的。
由此得到，
1C=−T
前面，我们曾经猜想
n→∞T∫T0g(x)dx lim∫f(x)ψ(nx)dx=0 0
T于是
n→∞lim∫f(x)g(nx)dx=lim∫f(x)[ψ(nx)−C]dx0n→∞0
TT
0n→∞0T=lim∫f(x)ψ(nx)dx−lim∫C⋅f(x)dxn→∞
1=T∫T
0g(x)dx∫f(x)dx0
TT这说明，我们只需要考虑满足 ∫0g(x)dx=0
的周期函数g(x)即可，这就是为什么我说“距离最终答案其实就差一层窗户纸”。很多事情你搞明白之后，就会明白原来如此“显然”，当初困扰不堪，其实没想象中那么难。至于Riemann-Lebesgue引理的数学证明，可以参考《数学分析问题研究与评注》。
SCIbird：听君一席话，胜读十年书啊！对了，你那个图表怎么看起来像交换代数里经常出现的交换图表？
张辰：就是交换图表，只不过我这是山寨版的。
SCIbird：上面的思路看起来不难，但也不好往那个地方想啊，你是怎么想出来的？
张辰：有一天坐在树下看书，然后树上掉下一个苹果砸脑袋上了，然后就想出来了。
SCIbird：这个……太假了。
张辰：总比鸡汤好吧，开玩笑呢。想法来自物理，大学物理中会讲刚体运动，可以分解为：
刚体运动 = 平动 + 转动
受此启发，我联想到周期函数“很像”刚体转动，效仿刚体运动分解，将周期函数g(x)适当向上（或向下）平移C个单位之后，得到的新周期函数满足周期积分为0，这里的平移C相当于平动。这个问题其实想了很长时间才明白。
SCIbird：你的想法果然与众不同，不走寻常路。
张辰：蓝明月也是像你这样说的。
SCIbird：对了，蓝明月是数学系出身的，怎么会和你一起写《从三角函数到椭圆函数》论文，难道因为你们是GFBF关系？
张辰：那篇文章是周老师留的数分3大作业，那时我们还不是GFBF关系。我想大概是因为我的想法与众不同，不走寻常路。
SCIbird：那个……做人要谦虚，不带自吹自擂的。
张辰：不是你说的吗？现在的读者很讨厌大牛装弱。开个玩笑。
SCIbird：我真跟不上你的思维变化。咱们还是说点干货吧。
张辰：我想蓝明月决定和我一起写那篇论文，可能因为我之前在QQ上跟她说过，我打算写一篇与第一类椭圆积分有关的文章。而懂椭圆积分的人多半也了解椭圆函数。
SCIbird：大二学生小论文就敢写椭圆函数，你们胆子是不是太大了？ 张辰：你有所不知，现在的高中生给丘成桐中学数学奖投稿，论文连解析数论都出来了，写点椭圆函数算什么。而且在T大，有些牛人大三已经参加了研究生讨论班了。其实，大家把椭圆函数想的太难了，完全可以把椭圆函数当做数分里常见的Γ函数和B函数之类的。蓝明月和我实际上只讨论了一类特殊的椭圆函数snu（雅可比椭圆正弦函数），没有广撒网。文章类比了三角函数sinx，通过它来理解椭圆函数snu就容易多了。
SCIbird：还远没有其它原因。
张辰：有，我听蓝明月说她的数学偶像是阿贝尔，学数学的女生也有偏好。
后来她还提过，当时她准备了三个题材，除了椭圆函数外，其余两个是前面说过的Riemann-Lebesgue引理和重积分变元代换公式：
设Ω⊂Rm是一个开集，
ϕ:Ω→Rm
是一个连续可微映射，E⊂Ω是一个闭若尔当可测集。如果
（1） 雅可比行列式detDϕ(t)≠0,∀t∈intE；
（2） ϕ在intE中是单射。
那么ϕ(E)也是一个闭若尔当可测集，并且对于任何在ϕ(E)上连续的函数f(x)都有
∫ϕ(E)f(x)dx=∫f(ϕ(t))|detDϕ(t)|dt. E
最终，蓝明月选择了椭圆函数这个题材。
SCIbird：她是椭圆函数，你是椭圆积分，两个椭圆倒是有缘啊。
张辰：承您贵言，其实我也是这么想的。不过要讨论椭圆函数的本质必须涉及复变函数，特别是Riemann曲面，所以我们俩合写的那篇文章其实是个半科普性质的介绍。
SCIbird：是否方便简单谈谈你的那篇论文。
张辰：我的那篇论文是关于算术-几何平均数列与第一类椭圆积分之间关系的。算术-几何平均数列
⎧an+bn⎪⎪a=⎪n+12 ⎨⎪⎪⎪⎪⎩bn+1=其中a0=a,b0=b(a>b>0)。由均值不等式，得an≥bn，进而得到
a≥a1≥a2≥"≥an≥bn≥"≥b1≥b
再由单调有界数列必有极限，知两数列必有极限，记为
n→∞liman=limbn=:M(a,b) n→∞
高斯证明了极限M(a,b)与第一类椭圆积分之间的关系
12=∫M(1+k,1−k)π0其中
π2
M(1+k,1−k)=M(1,=M(1,b/a)=M(a,b)/a
我曾在菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》上看过上面那个积分表达式的证明。等价于证明
12=∫M(a,b)π0π2
不过，那个证明相当于已经知道极限M(a,b)的积分表达式。但是，这个表达式很难猜出来，于是我就想有没有文献，指出如何从“算术-几何平均数列”本身推出来极限M(a,b)的积分表达式。后来在Cox的一篇文章和《高斯全集》里找到了答案。
SCIbird：是否方便说说你的发现。
张辰：求解过程就是级数展开，然后一顿暴力硬算，细节很琐碎。采访之后，我在把材料发给你吧。
SCIbird：好的。（以下是张辰给出的资料证明思路）
可以归纳出极限M(a,b)的三条性质：
1. M(a,a)=a；
2. M(ta,tb)=tM(a,b),t≥0（齐次性）；
a+b3. M(a,b)=M(,, 此为函数的加法公式，相当于说 2
M(a,b)=M(a1,b1)=M(a2,b2)="
摘自《高斯全集》第三卷
将上式右边各项做二项级数展开，并与左边比较各项系数，计算出相应的系数（待定系数法）。高斯一直计算到倒数关系
119256=1+x2+x4+x+" M(1+x,1−x)464256
根据勒让德等人在椭圆积分方面的研究结果，第一类椭圆积分的标准型为
E(k)=∫0π2其中参数0
E(k)=
于是
⎞π⎛1294256⎟⎜1+k+k+k+" ⎟⎜⎟⎜⎠2⎝464256
12=∫M(1+k,1−k)π0 以上大致是张辰论文的思路。
SCIbird：没记错的话，《高斯全集》是用拉丁文写的，一般人读不懂吧。 张辰：我也看不懂拉丁文，但是数学符号基本能看懂。你找几篇高斯全集里的小论文英译本，然后对照高斯全集原文，基本能搞懂那些数学符号的含义了。不过高斯全集里很多数学思想是用文字表述的，因为看不懂拉丁文而看不懂，可惜了。
SCIbird：T大大神这么多，压力很大吧。
张辰：确实，每年特等奖学金评选都能惊掉下巴，很多人本科时就在本专业核心期刊上发表了好几篇论文。不少大神本科时就头角峥嵘，只能仰望。
SCIbird：如何自我调节呢？
张辰：放弃不现实的，把握能把握的，忘记与大神们比的心理，尽量做我自己。数学这门学科很特殊，现代数学离本科教学太远，比如我们现在学的微积分，基本是欧拉、高斯那个年代的成果，200百多年前啊。拿代数基本定理举例，当年牛顿和欧拉都没有证明出来，后来高斯把它作为博士论文题目证明出来。如今，代数基本定理只是复变函数课程里的一道课后习题，证明就两句话：假设非常数多项式p(z)无零根，即p(z)≠0，则 π2
11=常数，矛盾！ 是全平面上的有界解析函数，根据刘维尔定理知p(z)p(z)
日本数学大师小平邦彦在《赫尔曼·外尔先生》这篇文章里举了一个外尔定理例子，内容说：若θ是无理数，则点列{e2πniθ:n=1,2,3"}在单位圆周上均
匀分布。外尔对小平邦彦说：“过去这么简单的东西就是大发现了，你们今天却不得不干很难的工作，真可怜！”很多人都想在本科阶段搞出一个大发现，其实挺难的，而且运气因素极大。
SCIbird：你是说换一种心态，摆正自我？
张辰：差不多是这种心境。
SCIbird：我们换个轻松一点的话题吧，你对学霸与大神有何高见？
张辰：有句话叫“学霸可以复制，大神只是传说”，我很认同。大神的想法太特殊，一般人难以理解，不知道他在神游哪个时空。学霸相对更亲切一些，容易学习。我曾问过学霸蓝明月的学习秘诀，她告诉我是科学分配时间，提高学习效率，减少短板（很少犯低级错误，没有太明显的瘸腿科目）。
SCIbird：那么如何与学霸和大神打交道呢？
张辰：分人吧。如果是同班同学，大家抬头不见低头见的，相对好说话。如果是外班或外系的，看情况而定。学霸也不是所有难题都会的，不少难题也做不出来。如果学霸某题不会，你做出来了，那么可以就此和学霸交流，大多数学霸都是很愿意取长补短的人。大神则不一样，基本不存在这题大神不会做你会做的情况。以前面说过的Riemann-Lebesgue引理为例
TT1Tlimf(x)g(nx)dx=∫g(x)dx∫f(x)dx n→∞∫00T0
这题基本难不住大神们。所以想与大神交流，你必须想到大神们想不到的地方。比如前面提到的思维图表展现如何猜出上面的结果：
g(x)
↓→∫
∫T0g(x)dx≠0↓ ψ(x)=g(x)+C?←T
0ψ(x)dx=0
这里分享点经验，大神们的脾气一般不太好，如果不是特别熟，说话还是要谨慎，以免遭大神烦。
SCIbird：有没有其它方法同大神拉近关系的？
张辰：有啊，很多的。比如你学习比不过大神，但游戏玩得比大神好，也能和大神成为好朋友；或者你足球踢得好，和某大神是队友等。大神们也是人。
SCIbird：关于大神们，你还有什么补充的？
张辰：我想澄清一个误区，很多人以为大神就是那种天赋异禀，一猜一个准儿，解答问题的方法奇思妙想。这种观点绝对是误区。我看过一些大神的试卷解答，坦白说奇思妙想没那么多，很多解法还很暴力。个人感觉，大神主要还是牛在硬推理上面。那些自称学渣的人们也别灰心，大神也不一定总是一猜
一个准儿。举一个2007年IMO试题例子：
n为给定正整数，S={(x,y,z)|x,y,z∈{0,1,2,",n},x+y+z>0}是三维空间中(n+1)3−1个点的集合。试求其并集包含S但不含(0,0,0)的平面个数的最小值。
这道题其实挺漂亮的，但是长得不像高中竞赛题，反倒像大学竞赛题。本题满分7分，当年中国IMO代表队得分是111000，得1分的三个人是因为他们猜出了这个最小值是3n，但无法证明。
实际上，很多自称学渣的人也能猜出最小值是3n，这就是1分！你可以构造3n个平面：x−i=0,y−j=0,z−k=0,1≤i,j,k≤n. 显然满足其并集包含S但不含(0,0,0).
官方提供的本题解法很复杂，后来貌似林常老师给出了一个差分法妙解，赏心悦目！
解：记多项式p(x)次数为N，定义差分算子Δ满足Δp(x)=p(x+1)−p(x)，记I为恒等算子。根据拉格朗日中值定理可知
Δp(x)=p(x+1)−p(x)=p′(ξ)
说明每做一次差分，次数降低1。设n>N，则n次差分之后Δ(n)p(x)=0.
令Ap(x)=p(x+1)，则Δ=A−I，于是
iΔp(x)=(A−I)p(x)=∑(−1)n−iCnA(i)p(x)(n)n
i=0
i=∑(−1)n−iCnp(x+i)
i=0nn
设有m个平面aix+biy+ciz−di=0满足题意，其中di≠0.令
f(x,y,z)=∏(aix+biy+ciz−di)
i=1m
则f(x,y,z)在S的每个点上都为0，但f(0,0,0)≠0.
如果m
(n)(n)(n)ΔxΔyΔzf=
(i,j,k)∈S∪{0,0,0}∑(−1)3n−i−j−kijkCnCnCnf(x+i,y+j,z+k)=0
取x=y=z=0，得
f(0,0,0)=
(i,j,k)∈S∑(−1)i+j+k+1ijkCnCnCnf(i,j,k)=0
这与f(0,0,0)≠0矛盾。从而m≥3n，而等号成立的例子见前面。
SCIbird：张大神，你举的例子难度太大了，技巧性太高，咱们还是聊点接地气的例子吧。
张辰：呵呵，怪我了，推导公式经常一推就上瘾。我来说点有意思的事情吧，数学分析里边有一个定理叫达布定理或者导数介值定理。说是函数f(x)可导，则任取μ介于f′(a)与f′(b)之间，则存在ξ∈(a,b)满足f′(ξ)=μ. 我把这个问题给我好几个工科同学看了，他们都说这道题缺条件吧，还差导函数f′(x)连续条件。
SCIbird：这个达布定理是挺有意思的，导函数不连续时，介值性也成立。 张辰：对，这说明连续只是介值性成立的充分不必要条件，但很多工科生都以为是充要条件。也有人以为连续函数的不可导点只有有限个。
SCIbird：你后面说得其实是存在处处连续处处不可导函数的例子吧。 张辰：是的，你说的那个例子可以在张筑生老师的《数学分析新讲》第3册里找到，不过这个例子对于工科生太难了。达布定理的证明并不难，其实应该收录到工科微积分教材里的。由达布定理可以得到两个很有用的推论：
1、导数若变号，则导数必有零点；2、导数无零点，则函数必单调。 SCIbird：能不能再举一个，工科思维与数学系思维差异明显的例子。 张辰：可以。那是一道智力题，其一般化的表述为：
在区间(0,1)内随机选取n个数，求这n个数中最小的数的期望。
数学系一般会这样思考：每个数在(0,1)都服从均匀分布，即这n个数是独立同分布的。记第i个数对应的随机变量是Xi，则原问题转化为求最小数的概
率分布或概率密度
P{min(X1,⋅⋅⋅,Xn)≤x}=?
首先，由独立同分布可知
P{min(X1,⋅⋅⋅,Xn)≤x}=1−P{min(X1,⋅⋅⋅,Xn)>x}
=1−P{X1>x,⋅⋅⋅,Xn>x}=1−P{X1>x}⋅⋅⋅P{Xn>x}
其次由独立随机变量Xi服从(0,1)上的均匀分布
1 P{Xi>x}=∫du=1−x x
由上面可求出这n个的联合分布函数
Fmin(x)=P{min(X1,⋅⋅⋅,Xn)≤x}=1−(1−x)n, x∈(0,1)
于是其对应的概率密度函数为
′(x)=n(1−x)n−1 fmin(x)=Fmin
所求最小数X=min(X1,⋅⋅⋅,Xn)的数学期望为
EX=∫nx(1−x)n−1dx=nB(2,n)=011 n+1
注：计算中用到了Γ函数与B函数的一些基本性质。
B(p,q)=Γ(p)Γ(q) 以及 Γ(n+1)=n! Γ(p+q)
工科生看到这类问题，一般会先设法简化一下问题，比如借助几何直观找找物理感觉之类的，最后才求助数学。对于这道题，我后来找到了一个火腿肠解法，那是去C楼地下超市买火腿肠时想起来的。
原问题：在区间(0,1)内随机选取n个数，求这n个数中最小的数的期望。我将这个问题转化为一个火腿肠模型，将一根长度为1的火腿肠，切n刀，问最左边那根火腿肠长度期望值是多少？（最小数对应最左边的火腿肠长度）
n刀切火腿肠模型
将上面n+1段火腿肠调整一下顺序得到了另一个“n刀切”，由此可知道这n+1段火腿肠彼此地位是平等的，也就是它们的期望全相等。不难求出
EX=1 n+1
SCIbird：巧妙的解法！看起来很像“冯·诺依曼、苍蝇与级数”那个段子，不过看起来你好像在黑数学系。
张辰：冯·诺依曼那个级数段子是真的，好像出自《美国数学月刊》。千万别这么说，要是让蓝明月知道，我就惨了，我可不敢。其实，我想说的是工科生看见问题，一般不是先从数学上化简问题的，这种化简很多时候依赖物理直觉。我认识一些T大工科大牛，他们数学层次也不算很高，但是那些基本方法玩得很转，物理直觉更是好的一塌糊涂，令人羡慕。
SCIbird：时间不早了，采访快要结束了。就提最后一个问题，你觉得通过数学分析课程，你有什么收获。
张辰：这个问题有点大，我想是获得一种普适性与完备性体验吧。举个例子，说说牛顿-莱布尼茨公式
∫b
af′(x)dx=f(b)−f(a)
从普适性角度看，自然想推广到一般形式，比如Lebesgue积分版本。
Volteraa曾经构造了一个著名的反例f(x)，其导函数f′(x)处处存在且有界，
但f(x)却不是Riemann可积的。这个例子中，f(x)的间断点的集合测度非零，所以不是Riemann可积的。反例的构造细节请参考《数学分析问题研究与评注》。 Rudin在《实分析与复分析》中给出一个强力版本：
设f(x)∈C[a,b]是连续函数，导函数f′(x)存在且是Lebesgue可积的，则
∫b
af′(x)dx=f(b)−f(a)
我们自然会问：如果去掉一些例外点（对应点集记为A），在C[a,b]−A上导函数f′(x)存在且是Lebesgue可积的，那么牛顿-莱布尼茨公式是否成立呢？如果要求A是零测集，答案是否定的，康托函数的反例表明牛顿-莱布尼茨公式不成立。这个反例一般可在实变函数教材里找到。
但是，零测集包含两类：不可数集与可数集。康托函数反例中不可导点构成一个不可数集，而当A是可数零测集时，牛顿-莱布尼茨公式成立。
N-L定理：
设F(x)∈C[a,b]是连续函数，f(x)∈L[a,b]是Lebesgue可积的，若至多除去一个可数集之外，有F′(x)=f(x)，则
∫b
af(x)dx=F(b)−F(a)
因为康托函数反例的存在表明例外点集A不能加强为零测集，所以上面的定理可以称作为“最强微积分基本定理”。我理解的完备性是广义的，也暗含最强形式。
上述N-L定理的证明引自下述文献，推荐大家读一读。
SCIbird：感谢微积分大牛张辰同学的热心接受我们的采访。看来蓝明月同学所言非虚啊，这一趟下来我的收获也不少。相信读者们也如此。
张辰：bird兄谬赞了。其实，T大数学高手不少，比如那些CMO金牌们，但是很可惜，多数人似乎没有去数学系读书，人各有志吧。