任健 [1**********]4 李晶 [1**********]5
同轴线特性阻抗测量方法综述
一．前言
微波工程中复杂截面传输线已经广泛用于微波滤波器、定向耦合器、阻抗变换器以及振荡电路等场合。求解这类传输线的特性阻抗由于其结构特点，要分析其各种特性参数和场分布，一般都不能用常规解析法进行直接求解目前，采用的方法大致有近似解析法、保角变换法、多极理论法等，这篇文章将对几种方法进行简单的介绍。
二．数值计算法
数值计算方法具有较好的通用性，但由于圆形传输线的边界是曲线，为获得较高的计算精度一般都要采用样条拟合的方法进行求解，数学处理比较复杂，所以数值计算方法的使用需要较高的专业技能，且对计算机资源要求较高。
三．有限元法
有限元法是以变分原理剖分差值为基础的方法，它不仅具有变分方法的优点，而且兼有差分方法的灵活性。它在40年代初就已提出，随着高速电子计算机的出现和发展，它的技术日趋成熟，应用也越来越广泛。
由于TEM 传输线的横向场型比拟于相同截面结构的二维静电场
型，所以我们可以应用静电场的方法求解特性阻抗由静电场所满足的
一定边界条件下的拉普拉斯方程求出电位分布后，根据传输线单位长度静电场储能和单位长度静电电容、电位差的关系，求得静电电容，再根据静电电容和特性阻抗的关系，得到传输线的特性阻抗。
[2]基于Matlab PDE 工具箱的有限元算法，引用静电场计算方法，计算了内圆外正N 边形、外圆内正N 边形正多边形、外矩内圆、矩形、外椭圆内圆柱、偏心圆等各种复杂面低损耗同轴传输线的特性阻抗并与各种文献结果进行了比较。
由于传输线的横向场型比拟于相同截面结构的二维静电场型，设由导体面Sa. Sb。构成的两分立导体间的电位差值为Uo 、并设导体表面Sb 。上为参考零电位，则可写出电位函数的狄利克雷问题。如果解出边界条件U|xa=Uo和U|xb=0下的电位u 的分布值，根据传输线单位长度静电场储能和单位长度静电电容、电位差的关系，可推得，静电电容c 的计算式
式中X 为同轴传输线绝缘材料的相对介电常数，真空或空气中的X 为Xo 传输线的特性阻抗为：
根据以上原理及方法，假定同轴线内外导体间以空气填充的内圆外正N 边形、外圆内正多边形、正多边形、外矩内圆、外椭圆内圆柱、偏心圆传输线的特性阻抗进行了计算，计算出的特性阻抗与文献结果进行了比较。计算值与理论值的平均相对误差为0.176%，说明这种方法的计算精度是相当高。
四．边界元法
边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。
[1] 利用边界元法计算了内圆外矩同轴传输线的特性阻抗。这种方法计算量小，适用而广，精度也满足工程需求。计算结果和文献的数据非常接近。文章给出了一些曲线和表格，为合理选择内圆外矩同轴线的尺寸结构提供了参考。下图为边界离散示意图：
五．有限差分法 有限差分法在仿真方同轴线的横向电磁场分布具有简单、快速的特点。有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。其一般的解题过程:首先，根据条件推出微分方程; 其次，用规则网格划分给定的定义域，使之既相邻又不相互重叠; 然后再构造相应的差分格式，最后计算求解并给出物理解释。
有限差分法是一种微分方法，是历史最悠久和理论最完整的数值分析方法。通过理论推导所求区域满足的偏微分方程和边界条件，然后在Ycc 网格中利用二阶有限差分法导出偏微分方程的差分格式，最后通过Matlab 仿真出所求区域的电场分布和计算出方同轴线的特性阻抗。
六．保角变换法
保角变换法是用来求解复杂形状的边界问题的一种有效方法，把边界的形状变为简单形状(例如单位圆) ，使问题易于求解。但是保角变换法很难找出理想的变换。
七．近似解析法
[7]应用本征函数展开法结合点匹配法得到了由圆柱和正N 棱柱导体组成的同轴线特性阻抗的初等函数表达式，证实了其准确性。 内圆柱外正N 棱柱同轴线特性阻抗为：
外圆柱内正N 棱柱同轴线特性阻抗为：
[4]介绍一种计算多种截面形状同轴线的新方法—结合保角变换的优化模拟镜象法. 此法计算量小、精确度高，并能进行误差范围计算. 由于模拟镜象布置在被计算的电场区域之外故无奇异点问题，计算常用同轴线，微机运算时间在1分钟以内. 此法还可给出误差的上下限，变动模拟镜象可缩小误差范围，从而大大提高结果的情确度。 近似解析法简单，但精度不高。
八．多极理论法
多极理论是一种新近发展起来的电磁场计算方法，它与经典的多极子法广义多极技术截然不同，它通过严格的数学分析，从理论上证明:在二维静电场分析中，存在一种收敛，且有一定普遍性的无穷级数解析解，推导出二维静态电场分析的多极理论通解及其使用规则，并得出多极理论的最佳适用范围是边界由圆弧或分段圆弧所组成的场域这一结论。[8][9]将二维静态电场分析的多极理论，用于分析由多根圆形导线所组成的复杂传输线，为这类特种传输线提供一种新的、计算精度较高、计算过程简单易行的计算方法。
多极理论准解析计算规则需要针对不同情形确定不同的内极、外极、极的次数等，原理相对复杂。
九．参考文献
[1]徐加征. 边界元法计算内圆外矩同轴线的特性阻抗[J].安全与电磁兼容，2001.
[2]张旭春. 复杂截面同轴线特性阻抗，截止波长的计算[J].光钎及电缆及其应用技术，2001.
[3]尹治强. 基于有限差分法的方同轴线的研究[J].现代电子技术，2012.
[4]佘显烨. 结合保角变换的优化模拟镜象法解多种截面形状同轴线的特性阻抗[J].电子科学学刊，1995.
[5]马建国. 一种特殊椭圆同轴线特性阻抗的计算[J].兰州大学学报，1985.
[6]林为干. 椭圆外导体、矩形内导体同轴线的特性阻抗[J].物理学报，1981.
[7]马西奎. 圆柱正N 棱柱同轴线特性阻抗的初等函数表达式[J].
[8]郑勤红. 用多极理论分析圆柱正N 边形内导体同轴传输线[J].微波学报，1999.
[9]郑勤红. 用多极理论分析特种截面传输线[J].微波学报, 1998, 1.
[10]潘生根. 圆形外导体复杂形状内导体同轴传输线特性阻抗的计算[J]电子科学学刊，1988.
任健 [1**********]4 李晶 [1**********]5
同轴线特性阻抗测量方法综述
一．前言
微波工程中复杂截面传输线已经广泛用于微波滤波器、定向耦合器、阻抗变换器以及振荡电路等场合。求解这类传输线的特性阻抗由于其结构特点，要分析其各种特性参数和场分布，一般都不能用常规解析法进行直接求解目前，采用的方法大致有近似解析法、保角变换法、多极理论法等，这篇文章将对几种方法进行简单的介绍。
二．数值计算法
数值计算方法具有较好的通用性，但由于圆形传输线的边界是曲线，为获得较高的计算精度一般都要采用样条拟合的方法进行求解，数学处理比较复杂，所以数值计算方法的使用需要较高的专业技能，且对计算机资源要求较高。
三．有限元法
有限元法是以变分原理剖分差值为基础的方法，它不仅具有变分方法的优点，而且兼有差分方法的灵活性。它在40年代初就已提出，随着高速电子计算机的出现和发展，它的技术日趋成熟，应用也越来越广泛。
由于TEM 传输线的横向场型比拟于相同截面结构的二维静电场
型，所以我们可以应用静电场的方法求解特性阻抗由静电场所满足的
一定边界条件下的拉普拉斯方程求出电位分布后，根据传输线单位长度静电场储能和单位长度静电电容、电位差的关系，求得静电电容，再根据静电电容和特性阻抗的关系，得到传输线的特性阻抗。
[2]基于Matlab PDE 工具箱的有限元算法，引用静电场计算方法，计算了内圆外正N 边形、外圆内正N 边形正多边形、外矩内圆、矩形、外椭圆内圆柱、偏心圆等各种复杂面低损耗同轴传输线的特性阻抗并与各种文献结果进行了比较。
由于传输线的横向场型比拟于相同截面结构的二维静电场型，设由导体面Sa. Sb。构成的两分立导体间的电位差值为Uo 、并设导体表面Sb 。上为参考零电位，则可写出电位函数的狄利克雷问题。如果解出边界条件U|xa=Uo和U|xb=0下的电位u 的分布值，根据传输线单位长度静电场储能和单位长度静电电容、电位差的关系，可推得，静电电容c 的计算式
式中X 为同轴传输线绝缘材料的相对介电常数，真空或空气中的X 为Xo 传输线的特性阻抗为：
根据以上原理及方法，假定同轴线内外导体间以空气填充的内圆外正N 边形、外圆内正多边形、正多边形、外矩内圆、外椭圆内圆柱、偏心圆传输线的特性阻抗进行了计算，计算出的特性阻抗与文献结果进行了比较。计算值与理论值的平均相对误差为0.176%，说明这种方法的计算精度是相当高。
四．边界元法
边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。
[1] 利用边界元法计算了内圆外矩同轴传输线的特性阻抗。这种方法计算量小，适用而广，精度也满足工程需求。计算结果和文献的数据非常接近。文章给出了一些曲线和表格，为合理选择内圆外矩同轴线的尺寸结构提供了参考。下图为边界离散示意图：
五．有限差分法 有限差分法在仿真方同轴线的横向电磁场分布具有简单、快速的特点。有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。其一般的解题过程:首先，根据条件推出微分方程; 其次，用规则网格划分给定的定义域，使之既相邻又不相互重叠; 然后再构造相应的差分格式，最后计算求解并给出物理解释。
有限差分法是一种微分方法，是历史最悠久和理论最完整的数值分析方法。通过理论推导所求区域满足的偏微分方程和边界条件，然后在Ycc 网格中利用二阶有限差分法导出偏微分方程的差分格式，最后通过Matlab 仿真出所求区域的电场分布和计算出方同轴线的特性阻抗。
六．保角变换法
保角变换法是用来求解复杂形状的边界问题的一种有效方法，把边界的形状变为简单形状(例如单位圆) ，使问题易于求解。但是保角变换法很难找出理想的变换。
七．近似解析法
[7]应用本征函数展开法结合点匹配法得到了由圆柱和正N 棱柱导体组成的同轴线特性阻抗的初等函数表达式，证实了其准确性。 内圆柱外正N 棱柱同轴线特性阻抗为：
外圆柱内正N 棱柱同轴线特性阻抗为：
[4]介绍一种计算多种截面形状同轴线的新方法—结合保角变换的优化模拟镜象法. 此法计算量小、精确度高，并能进行误差范围计算. 由于模拟镜象布置在被计算的电场区域之外故无奇异点问题，计算常用同轴线，微机运算时间在1分钟以内. 此法还可给出误差的上下限，变动模拟镜象可缩小误差范围，从而大大提高结果的情确度。 近似解析法简单，但精度不高。
八．多极理论法
多极理论是一种新近发展起来的电磁场计算方法，它与经典的多极子法广义多极技术截然不同，它通过严格的数学分析，从理论上证明:在二维静电场分析中，存在一种收敛，且有一定普遍性的无穷级数解析解，推导出二维静态电场分析的多极理论通解及其使用规则，并得出多极理论的最佳适用范围是边界由圆弧或分段圆弧所组成的场域这一结论。[8][9]将二维静态电场分析的多极理论，用于分析由多根圆形导线所组成的复杂传输线，为这类特种传输线提供一种新的、计算精度较高、计算过程简单易行的计算方法。
多极理论准解析计算规则需要针对不同情形确定不同的内极、外极、极的次数等，原理相对复杂。
九．参考文献
[1]徐加征. 边界元法计算内圆外矩同轴线的特性阻抗[J].安全与电磁兼容，2001.
[2]张旭春. 复杂截面同轴线特性阻抗，截止波长的计算[J].光钎及电缆及其应用技术，2001.
[3]尹治强. 基于有限差分法的方同轴线的研究[J].现代电子技术，2012.
[4]佘显烨. 结合保角变换的优化模拟镜象法解多种截面形状同轴线的特性阻抗[J].电子科学学刊，1995.
[5]马建国. 一种特殊椭圆同轴线特性阻抗的计算[J].兰州大学学报，1985.
[6]林为干. 椭圆外导体、矩形内导体同轴线的特性阻抗[J].物理学报，1981.
[7]马西奎. 圆柱正N 棱柱同轴线特性阻抗的初等函数表达式[J].
[8]郑勤红. 用多极理论分析圆柱正N 边形内导体同轴传输线[J].微波学报，1999.
[9]郑勤红. 用多极理论分析特种截面传输线[J].微波学报, 1998, 1.
[10]潘生根. 圆形外导体复杂形状内导体同轴传输线特性阻抗的计算[J]电子科学学刊，1988.