§12．3 几何概型
1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积) 成比例，则称这样的概率
模型为几何概率模型，简称为几何概型．
2．几何概型中，事件A 的概率的计算公式
构成事件A 的区域长度(面积或体积)
P (A ) ＝．
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法
(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．
(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代
M
表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A ) ＝作为所求概率的近似
N 值．
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．
( √ )
(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．
( √ )
( √ ) ( √ )
(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形． (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．
2．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是
123A ． B ． C ．
555
4D ．5
( )
答案 B
302
解析 以时间的长短进行度量，故P ＝＝
755
3．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧 AB 的长度小于1的概率为________．
2答案 3
解析 如图可设l ＝1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则 2
其概率是．
3
AB
4．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0，1]的概率为________．
1答案 3
|CD |1
解析 如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P ＝．
|AB |3
5．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2,3]，则直线在y 轴上的截距大于1的概率是________．
2答案 5解析 区域D 为区间[－2,3]，d 为区间(1,3]，而两个区间的长度分别为5,2．故所求概率P ＝2．
5
题型一 与长度、角度有关的几何概型
π1
例1 (1)在区间[－1,1]上随机取一个数x ，求cos 的值介于0到之间的概率．
22(2) 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM
π
解 (1)由函数y ＝cos x 的图象知，
2
22
当－1
33π10
22由概率的几何概型知：
231π1
cos x 的值介于0到＝
2223(2)因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°， 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，
AD
所以BD ＝1，∠BAD ＝30°．
tan 60°
记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM
30°2
由几何概型的概率公式，得P (N ) ＝
75°5
思维升华 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围．当考查对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考查对象为线时，一般用角度比计算．事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长) 之比．
(1)若在例1(2)中“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一
点M ”则结果为________．
(2)在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．
3－11
答案 (1) (2)
22
解析 (1)由∠B ＝60°，∠C ＝45°，AD ＝3得， AD BD ＝1，DC ＝AD ＝，
tan B
－11
则BM
23＋1
(2) 记事件A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长(此时F 为OE 中点) ，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型公式得：
1221P (A ) ＝．
22
题型二 与面积、体积有关的几何概型
⎧⎪0≤x ≤2，
例2 (1)(2012·北京) 设不等式组⎨表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，
⎪0≤y ≤2⎩
则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 π－2ππ
A ． B ． C ．
426
4－πD ．4
( )
(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1
的概率为________．
思维启迪 平面区域内的几何概型，一般用面积求概率，空间区域内的几何概型，一般用体
积求概率． 2
答案 (1)D (2)
3
解析 (1)根据题意作出满足条件的几何图形求解． 如图所示，
正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π．因此满足条件
4－π
的概率是，所以选D ．
4(2)先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为
142
球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球×13＝π．则点P 到点O 的距离小
233
2π3112
于或等于1的概率为P 到点O 的距离大于1的概率为1－．
2π333思维升华 求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解．
(1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x ) ＝x 2＋2ax －b 2＋π2
有零点的概率为
π
A ．1－
8π
C ．1－
2
( )
π
B ．1－
43π
D ．1－
4
(2)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．
π
答案 (1)B (2)1－
12解析 (1)由函数f (x ) ＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a ) 2－4(－b 2＋π2) ≥0，整理得a 2＋b 2≥π2， 如图所示，(a ，b ) 可看成坐标平面上的点， 试验的全部结果构成的区域为 Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}， 其面积S Ω＝(2π) 2＝4π2． 事件A 表示函数f (x ) 有零点，
所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}， 即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，
23
S 4π－ππ
故P (A ) ＝＝＝1－，所以选B ． S Ω4π4
142
(2)V 正＝23＝8，V 半球＝π×13，
233
V 半球2πππ
＝，∴P ＝1
12V 正8×312
题型三 生活中的几何概型问题
例3 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．
思维启迪 当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决． 解 这是一个几何概型问题．设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即y －x ≥1或x －y ≥2．故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．
A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．
11
(24－1)2(24－2)2×
22A 的面积
所求概率为P (A ) ＝＝24Ω的面积
506.51 013＝ 5761 152思维升华 生活中的几何概型度量区域的构造方法： (1)审题：通过阅读题目，提炼相关信息． (2)建模：利用相关信息的特征，建立概率模型． (3)解模：求解建立的数学模型．
(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论．
张先生订了一份报纸，送报人在早上6：30－7：30之间把报纸送到他家，张先生
离开家去上班的时间在早上7：00－8：00之间，则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是________．
7答案 8
解析 以横坐标x 表示报纸送到时间，以纵坐标y 表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落到阴影部分，就表示张先生在离开家前能得到报纸，即所求事件A 发生，所以P (A )
1111×1－×2227
＝．
81×1
混淆长度型与面积型几何概型致误
典例：(12分) 在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率．
易错分析 不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率． 规范解答
解 设x 、y 表示三段长度中的任意两个． 因为是长度，所以应有0
即(x ，y ) 对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．[4分]
x ＋y >1－x －y ，⎧⎪
要形成三角形，由构成三角形的条件知⎨1－x －y >x －y ，
⎪⎩1－x －y >y －x ，
111
所以x ，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．[8分]
222
1
因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的，
4
1
故这三条线段能构成三角形的概率为．[12分]
4
温馨提醒 解决几何概型问题时，还有以下两点容易造成失分，在备考时要高度关注： (1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；
(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否等可能性导致错误．
方法与技巧
1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个． 2．转化思想的应用
对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．
(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型． 失误与防范
1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；
2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果
2015航班 概率与统计----几何概型
1．“抖空竹”是中国的传统杂技，表演者在两根直径约8～12毫米的杆上系一根长度为1 m的绳子，并在绳子上放一空竹，则空竹与两端距离都大于0.2 m的概率为
( )
1
A ．
2
3
B ．
5
2
C ．
5
2D ．3
2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为
11A ． B ．
63
2
C ．
3
4D ．5
( )
4．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为
1
A ．
6
1
B ．
3
1
C ．
2
2D ．3
( )
5．如图， 在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
21121
A ．1－ B ．－ C ． D ．π2πππ
6． 已知点A 在坐标原点，点B 在直线y ＝1上，点C (3,4)，若AB 10，则△ABC 的面积大于5的概率是 ( ) 1915A ． B ． C ．
24324
5
D ．27
7．在长为10 cm的线段AB 上任取一点G ，以AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π cm2到64π cm2的概率是________．
5
8．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为，则m ＝________．
6S
9．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，△PBC 的面积大于的概率为________．
410．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．
11．身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘A 、B 两列火车在郑州火车站会面，并约定先到者等待时间不超过10分钟．当天A 、B 两列火车正点到站的时间是上午9点，每列火车到站的时间误差为±15分钟，不考虑其他因素，那么姐弟俩在郑州火车站会面的概率为____． 12．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距
11
离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于24周末不在家看书的概率为________． ．
§12．3 几何概型
一、选择题
1．“抖空竹”是中国的传统杂技，表演者在两根直径约8～12毫米的杆上系一根长度为1 m的绳子，并在绳子上放一空竹，则空竹与两端距离都大于0．2 m的概率为
1322A ． B ． C ． D ．
2553答案 B
解析 与两端都大于0．2 m即空竹的运行范围为(1－0．2－0．2)m ＝0．6 m，记“空竹与两端
1－0.2－0.23
距离都大于0．2 m”为事件A ，则所求概率满足几何概型，即P (A ) ．
152．(2012·辽宁) 在长为12 cm的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为
1124A ． B ． C ． D ．
6335答案 C
解析 根据题意求出矩形面积为20 cm2时的各边长，再求概率． 设AC ＝x ，则BC ＝12－x ，所以x (12－x ) ＝20， 解得x ＝2或x ＝10．
( )
( )
12－2－22故P
1233．如图所示，
在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( ) 11A ． B ．
4511C ． D ．67答案 C
2312⎫⎪11解析 ∵S 阴影＝ʃ0(x －x )d x ＝⎛⎝32－2⎭⎪0 211
＝，又S 正方形OABC ＝1， 326
161
∴由几何概型知，P 恰好取自阴影部分的概率为＝．
16
4．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为
1
A ．
6答案 C
解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包 含B 、E 点) 上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C 、F 点) 上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD
1＋21
为钝角三角形的概率为
625．(2012·湖北) 如图， 在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为 直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
2
A ．1－
π2
C ．
π答案 A
解析 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC ．
11B ．－
2π
1
D ．
π
( )
1
B ．
3
1
C ．
2
2D ．
3
( )
不妨令OA ＝OB ＝2，
则OD ＝DA ＝DC ＝1．
π1在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝×1×1－ 42
⎛π11×1⎫＝1， ⎝42⎭
所以整体图形中空白部分面积S 2＝2．
1又因为S 扇形OAB ＝×π×22＝π， 4
所以阴影部分面积为S 3＝π－2．
π－22所以P ＝＝1－ ππ
二、填空题
6．在长为10 cm的线段AB 上任取一点G ，以AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π cm2到64π cm2的概率是________．
1答案 5
解析
如图，以AG 为半径作圆，圆面积介于36π～64π cm2，则AG 的长度应介于6～8 cm之间．
21∴所求概率P (A ) 105
57．(2013·湖北) 在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为m ＝________． 6
答案 3
解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m ．
2m 5当m ≤2时，由题意得m ＝2．5，矛盾，舍去． 66
m －(－2)5当2
即m 的值为3．
x 2y 2
8．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程1表示焦点在x 轴上的椭m n 圆的概率是________．
1答案 2
x 2y 2
解析 ∵方程1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n ． m n 如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n ) ，点Q 落在阴影部
分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，
1∴所求的概率为P ＝．
2
9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距
11离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于24
周末不在家看书的概率为________． ．
13答案 16
1π×12－π×(223解析 ∵去看电影的概率P 1＝＝， 4π×11π×(241去打篮球的概率P 2 16π×13113∴不在家看书的概率为P ＝ 41616
三、解答题
10．已知向量a ＝(－2,1) ，b ＝(x ，y ) ．
(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6) 先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；
(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b
解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个) ； 由a ·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，
所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；
31故满足a ·b ＝－1的概率为＝． 3612
(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}； 满足a ·b
A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y
画出图形如图，
矩形的面积为S 矩形＝25，
1阴影部分的面积为S 阴影＝25－×2×4＝21， 2
21故满足a ·b
B 组 专项能力提升
πx 121．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则sin 与( ) 422
1125A ． B ． C ． D ． 4336
答案 D
ππx π
解析 ∵－1≤x ≤1，∴≤ 444
1πx 2ππx π由－≤sin ≤≤ 242644
21＋352即－≤x ≤1．故所求事件的概率为． 326
2． 如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭
圆外的黄豆数为96，则以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为
( )
A ．7．68 B ．16．32 C ．17．32 D ．8．68
答案 B
S 椭圆解析 根据几何概型的概率公式得黄豆落在椭圆内的概率P ＝， S 矩形
300－96而P ＝0．68，S 矩形＝24， 300
故S 椭圆＝P ·S 矩形＝0．68×24＝16．32．
3． 已知点A 在坐标原点，点B 在直线y ＝1上，点C (3,4)，若AB 10，
则△ABC 的面积大于5的概率是
191A ． B ． 243
55C ． D ． 2427
答案 C
3解析 设B (x, 1) ，根据题意知点D (，1) ， 4
15若△ABC 的面积小于或等于5，则×DB ×4≤5，即DB ≤， 22
713所以点B 的横坐标x ∈[－]，而AB ≤10， 44
所以点B 的横坐标x ∈[－3,3]，所以△ABC 的面积小于或等于5的概率为
73－(419P ＝＝， 624
5所以△ABC 的面积大于5的概率是1－P ＝． 24
S 4．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，△PBC 的面积大于的概率为________． 4
9答案 16
解析 如图，假设当点P 落在EF 上时(EF ∥BC ) ，恰好满足△PBC 的面积S 等于， 4
PG 1作PG ⊥BC ，AH ⊥BC ，则易知．符合要求的点P 可以落在
△
AEF
内AH 4 ( )
的任一部分，其概率为P ＝S △AEF 9． S △ABC 16
5．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．
1答案 3
1解析 如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为．
3
6．身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘A 、B 两列火车在郑州火车站会面，并约定先到者等待时间不超过10分钟．当天A 、B 两列火车正点到站的时间是上午9点，每列火车到站的时间误差为±15分钟，不考虑其他因素，那么姐弟俩在郑州火车站会面的概率为________．
5答案 9
解析 设姐姐到的时间为x ，弟弟到的时间为y ，建立坐标系如图，由题
11意可知，当y ≤x 时，姐弟俩会面，又正方形的面积为，阴影部分的面64
53655积为，所求概率P ＝＝ 3619
4
§12．3 几何概型
1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积) 成比例，则称这样的概率
模型为几何概率模型，简称为几何概型．
2．几何概型中，事件A 的概率的计算公式
构成事件A 的区域长度(面积或体积)
P (A ) ＝．
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法
(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．
(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代
M
表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A ) ＝作为所求概率的近似
N 值．
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．
( √ )
(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．
( √ )
( √ ) ( √ )
(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形． (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．
2．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是
123A ． B ． C ．
555
4D ．5
( )
答案 B
302
解析 以时间的长短进行度量，故P ＝＝
755
3．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧 AB 的长度小于1的概率为________．
2答案 3
解析 如图可设l ＝1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则 2
其概率是．
3
AB
4．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0，1]的概率为________．
1答案 3
|CD |1
解析 如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P ＝．
|AB |3
5．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2,3]，则直线在y 轴上的截距大于1的概率是________．
2答案 5解析 区域D 为区间[－2,3]，d 为区间(1,3]，而两个区间的长度分别为5,2．故所求概率P ＝2．
5
题型一 与长度、角度有关的几何概型
π1
例1 (1)在区间[－1,1]上随机取一个数x ，求cos 的值介于0到之间的概率．
22(2) 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM
π
解 (1)由函数y ＝cos x 的图象知，
2
22
当－1
33π10
22由概率的几何概型知：
231π1
cos x 的值介于0到＝
2223(2)因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°， 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，
AD
所以BD ＝1，∠BAD ＝30°．
tan 60°
记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM
30°2
由几何概型的概率公式，得P (N ) ＝
75°5
思维升华 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围．当考查对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考查对象为线时，一般用角度比计算．事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长) 之比．
(1)若在例1(2)中“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一
点M ”则结果为________．
(2)在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．
3－11
答案 (1) (2)
22
解析 (1)由∠B ＝60°，∠C ＝45°，AD ＝3得， AD BD ＝1，DC ＝AD ＝，
tan B
－11
则BM
23＋1
(2) 记事件A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长(此时F 为OE 中点) ，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型公式得：
1221P (A ) ＝．
22
题型二 与面积、体积有关的几何概型
⎧⎪0≤x ≤2，
例2 (1)(2012·北京) 设不等式组⎨表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，
⎪0≤y ≤2⎩
则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 π－2ππ
A ． B ． C ．
426
4－πD ．4
( )
(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1
的概率为________．
思维启迪 平面区域内的几何概型，一般用面积求概率，空间区域内的几何概型，一般用体
积求概率． 2
答案 (1)D (2)
3
解析 (1)根据题意作出满足条件的几何图形求解． 如图所示，
正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π．因此满足条件
4－π
的概率是，所以选D ．
4(2)先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为
142
球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球×13＝π．则点P 到点O 的距离小
233
2π3112
于或等于1的概率为P 到点O 的距离大于1的概率为1－．
2π333思维升华 求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解．
(1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x ) ＝x 2＋2ax －b 2＋π2
有零点的概率为
π
A ．1－
8π
C ．1－
2
( )
π
B ．1－
43π
D ．1－
4
(2)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．
π
答案 (1)B (2)1－
12解析 (1)由函数f (x ) ＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a ) 2－4(－b 2＋π2) ≥0，整理得a 2＋b 2≥π2， 如图所示，(a ，b ) 可看成坐标平面上的点， 试验的全部结果构成的区域为 Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}， 其面积S Ω＝(2π) 2＝4π2． 事件A 表示函数f (x ) 有零点，
所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}， 即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，
23
S 4π－ππ
故P (A ) ＝＝＝1－，所以选B ． S Ω4π4
142
(2)V 正＝23＝8，V 半球＝π×13，
233
V 半球2πππ
＝，∴P ＝1
12V 正8×312
题型三 生活中的几何概型问题
例3 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．
思维启迪 当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决． 解 这是一个几何概型问题．设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即y －x ≥1或x －y ≥2．故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．
A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．
11
(24－1)2(24－2)2×
22A 的面积
所求概率为P (A ) ＝＝24Ω的面积
506.51 013＝ 5761 152思维升华 生活中的几何概型度量区域的构造方法： (1)审题：通过阅读题目，提炼相关信息． (2)建模：利用相关信息的特征，建立概率模型． (3)解模：求解建立的数学模型．
(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论．
张先生订了一份报纸，送报人在早上6：30－7：30之间把报纸送到他家，张先生
离开家去上班的时间在早上7：00－8：00之间，则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是________．
7答案 8
解析 以横坐标x 表示报纸送到时间，以纵坐标y 表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落到阴影部分，就表示张先生在离开家前能得到报纸，即所求事件A 发生，所以P (A )
1111×1－×2227
＝．
81×1
混淆长度型与面积型几何概型致误
典例：(12分) 在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率．
易错分析 不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率． 规范解答
解 设x 、y 表示三段长度中的任意两个． 因为是长度，所以应有0
即(x ，y ) 对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．[4分]
x ＋y >1－x －y ，⎧⎪
要形成三角形，由构成三角形的条件知⎨1－x －y >x －y ，
⎪⎩1－x －y >y －x ，
111
所以x ，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．[8分]
222
1
因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的，
4
1
故这三条线段能构成三角形的概率为．[12分]
4
温馨提醒 解决几何概型问题时，还有以下两点容易造成失分，在备考时要高度关注： (1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；
(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否等可能性导致错误．
方法与技巧
1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个． 2．转化思想的应用
对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．
(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型． 失误与防范
1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；
2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果
2015航班 概率与统计----几何概型
1．“抖空竹”是中国的传统杂技，表演者在两根直径约8～12毫米的杆上系一根长度为1 m的绳子，并在绳子上放一空竹，则空竹与两端距离都大于0.2 m的概率为
( )
1
A ．
2
3
B ．
5
2
C ．
5
2D ．3
2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为
11A ． B ．
63
2
C ．
3
4D ．5
( )
4．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为
1
A ．
6
1
B ．
3
1
C ．
2
2D ．3
( )
5．如图， 在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
21121
A ．1－ B ．－ C ． D ．π2πππ
6． 已知点A 在坐标原点，点B 在直线y ＝1上，点C (3,4)，若AB 10，则△ABC 的面积大于5的概率是 ( ) 1915A ． B ． C ．
24324
5
D ．27
7．在长为10 cm的线段AB 上任取一点G ，以AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π cm2到64π cm2的概率是________．
5
8．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为，则m ＝________．
6S
9．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，△PBC 的面积大于的概率为________．
410．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．
11．身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘A 、B 两列火车在郑州火车站会面，并约定先到者等待时间不超过10分钟．当天A 、B 两列火车正点到站的时间是上午9点，每列火车到站的时间误差为±15分钟，不考虑其他因素，那么姐弟俩在郑州火车站会面的概率为____． 12．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距
11
离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于24周末不在家看书的概率为________． ．
§12．3 几何概型
一、选择题
1．“抖空竹”是中国的传统杂技，表演者在两根直径约8～12毫米的杆上系一根长度为1 m的绳子，并在绳子上放一空竹，则空竹与两端距离都大于0．2 m的概率为
1322A ． B ． C ． D ．
2553答案 B
解析 与两端都大于0．2 m即空竹的运行范围为(1－0．2－0．2)m ＝0．6 m，记“空竹与两端
1－0.2－0.23
距离都大于0．2 m”为事件A ，则所求概率满足几何概型，即P (A ) ．
152．(2012·辽宁) 在长为12 cm的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为
1124A ． B ． C ． D ．
6335答案 C
解析 根据题意求出矩形面积为20 cm2时的各边长，再求概率． 设AC ＝x ，则BC ＝12－x ，所以x (12－x ) ＝20， 解得x ＝2或x ＝10．
( )
( )
12－2－22故P
1233．如图所示，
在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( ) 11A ． B ．
4511C ． D ．67答案 C
2312⎫⎪11解析 ∵S 阴影＝ʃ0(x －x )d x ＝⎛⎝32－2⎭⎪0 211
＝，又S 正方形OABC ＝1， 326
161
∴由几何概型知，P 恰好取自阴影部分的概率为＝．
16
4．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为
1
A ．
6答案 C
解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包 含B 、E 点) 上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C 、F 点) 上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD
1＋21
为钝角三角形的概率为
625．(2012·湖北) 如图， 在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为 直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
2
A ．1－
π2
C ．
π答案 A
解析 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC ．
11B ．－
2π
1
D ．
π
( )
1
B ．
3
1
C ．
2
2D ．
3
( )
不妨令OA ＝OB ＝2，
则OD ＝DA ＝DC ＝1．
π1在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝×1×1－ 42
⎛π11×1⎫＝1， ⎝42⎭
所以整体图形中空白部分面积S 2＝2．
1又因为S 扇形OAB ＝×π×22＝π， 4
所以阴影部分面积为S 3＝π－2．
π－22所以P ＝＝1－ ππ
二、填空题
6．在长为10 cm的线段AB 上任取一点G ，以AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π cm2到64π cm2的概率是________．
1答案 5
解析
如图，以AG 为半径作圆，圆面积介于36π～64π cm2，则AG 的长度应介于6～8 cm之间．
21∴所求概率P (A ) 105
57．(2013·湖北) 在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为m ＝________． 6
答案 3
解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m ．
2m 5当m ≤2时，由题意得m ＝2．5，矛盾，舍去． 66
m －(－2)5当2
即m 的值为3．
x 2y 2
8．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程1表示焦点在x 轴上的椭m n 圆的概率是________．
1答案 2
x 2y 2
解析 ∵方程1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n ． m n 如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n ) ，点Q 落在阴影部
分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，
1∴所求的概率为P ＝．
2
9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距
11离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于24
周末不在家看书的概率为________． ．
13答案 16
1π×12－π×(223解析 ∵去看电影的概率P 1＝＝， 4π×11π×(241去打篮球的概率P 2 16π×13113∴不在家看书的概率为P ＝ 41616
三、解答题
10．已知向量a ＝(－2,1) ，b ＝(x ，y ) ．
(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6) 先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；
(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b
解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个) ； 由a ·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，
所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；
31故满足a ·b ＝－1的概率为＝． 3612
(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}； 满足a ·b
A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y
画出图形如图，
矩形的面积为S 矩形＝25，
1阴影部分的面积为S 阴影＝25－×2×4＝21， 2
21故满足a ·b
B 组 专项能力提升
πx 121．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则sin 与( ) 422
1125A ． B ． C ． D ． 4336
答案 D
ππx π
解析 ∵－1≤x ≤1，∴≤ 444
1πx 2ππx π由－≤sin ≤≤ 242644
21＋352即－≤x ≤1．故所求事件的概率为． 326
2． 如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭
圆外的黄豆数为96，则以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为
( )
A ．7．68 B ．16．32 C ．17．32 D ．8．68
答案 B
S 椭圆解析 根据几何概型的概率公式得黄豆落在椭圆内的概率P ＝， S 矩形
300－96而P ＝0．68，S 矩形＝24， 300
故S 椭圆＝P ·S 矩形＝0．68×24＝16．32．
3． 已知点A 在坐标原点，点B 在直线y ＝1上，点C (3,4)，若AB 10，
则△ABC 的面积大于5的概率是
191A ． B ． 243
55C ． D ． 2427
答案 C
3解析 设B (x, 1) ，根据题意知点D (，1) ， 4
15若△ABC 的面积小于或等于5，则×DB ×4≤5，即DB ≤， 22
713所以点B 的横坐标x ∈[－]，而AB ≤10， 44
所以点B 的横坐标x ∈[－3,3]，所以△ABC 的面积小于或等于5的概率为
73－(419P ＝＝， 624
5所以△ABC 的面积大于5的概率是1－P ＝． 24
S 4．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，△PBC 的面积大于的概率为________． 4
9答案 16
解析 如图，假设当点P 落在EF 上时(EF ∥BC ) ，恰好满足△PBC 的面积S 等于， 4
PG 1作PG ⊥BC ，AH ⊥BC ，则易知．符合要求的点P 可以落在
△
AEF
内AH 4 ( )
的任一部分，其概率为P ＝S △AEF 9． S △ABC 16
5．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．
1答案 3
1解析 如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为．
3
6．身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘A 、B 两列火车在郑州火车站会面，并约定先到者等待时间不超过10分钟．当天A 、B 两列火车正点到站的时间是上午9点，每列火车到站的时间误差为±15分钟，不考虑其他因素，那么姐弟俩在郑州火车站会面的概率为________．
5答案 9
解析 设姐姐到的时间为x ，弟弟到的时间为y ，建立坐标系如图，由题
11意可知，当y ≤x 时，姐弟俩会面，又正方形的面积为，阴影部分的面64
53655积为，所求概率P ＝＝ 3619
4