反馈干扰系统的自校正控制方法

第22卷 第6期 2010年12月 海军工程大学学报

JO U RN A L OF NA V A L U NI VERSIT Y O F EN GIN EERIN G Vo l. 22 No. 6 Dec. 2010

DOI:10. 3969/j. issn. 1009 3486. 2010. 06. 002反馈干扰系统的自校正控制方法

袁为素, 何汉林, 李卫军

(海军工程大学理学院, 武汉430033)

摘 要:为实现系统跟踪期望输出及系统未知参数的在线闭环辨识, 针对带反馈干扰的未知参数系统, 结合最小方差控制算法和增广最小二乘法设计了自校正调节器。首先通过对反馈通道干扰的分析, 给出了系统的等效模型; 其次, 按系统输出最小方差的原理设计了控制器, 实现了系统跟踪期望输出; 第三, 运用增广最小二乘法对系统参数的辨识, 给出未知参数的无偏一致估计, 实现了参数的在线闭环辨识。通过对未知参数的辨识, 用所辨识的参数计算调节器的参数, 完成对控制律的修改, 实现了系统跟踪期望输出和参数的在线闭环辨识。最后, 利用该方法对实例进行了仿真研究。仿真结果表明:所提方法简单可行。

关键词:自校正控制; 在线闭环辨识; 最小方差控制

中图分类号:T P273 文献标志码:A 文章编号:1009-3486(2010) 06-0005-04

Self tuning control method of feedback disturbance system

YU AN Wei su, H E H an lin, LI Wei jun

(College of Science, Naval U niv. o f Eng ineer ing, Wuhan 430033, China)

Abstract:Considering a sy stem w ith unknow n parameter s which ar e disturber s in the feedback chan nel, a new equiv alent model w as established by analyzing the distur bance at first. Secondly, the mini m um variance theor y w as used to desig n the controller to realize the ex pecting output of the sy stem tr acking. T hirdly, the recursive ex tended least square metho d w as applied to identify the unknow n parameter s in closed lo op. In co nclusion, this paper fulfilled the ex pecting output of the sy stem track ing by amending the contr ol fo rmula which w as calculated by the par am eters identification in closed loop. Several simulation results prove the simplicity and feasibility of this m ethod.

Key words:self tuning control; closed loop identification; m inimum variance control

在工业控制过程中, 控制对象的参数往往随着工作环境的变化而发生变化, 当控制对象的参数不全已知时, 控制器必须能够自动地适应这种不确定性, 这就涉及到系统参数的辨识问题。常用的参数辨识方法有很多, 如最小二乘法、极大似然法、梯度校正参数辨识法、预报误差法等, 其中最小二乘类参数辨识方法计算量小且易于工程实际应用, 所以它是应用最广泛的方法。为了使得系统能实现期望的输出, 在控制工程中常常对系统添加一个控制器[4-6]。对于最小相位系统, 文献[4-5]运用了最小方差控制方法, 实现了系统较好的跟踪期望输出。文献[6]结合增广最小二乘法和加权最小方差控制算法, 应用Labv iew 和Matlab 的混合编程对自校正控制系统进行了仿真。然而, 这些都只考虑了在前向通道上存在噪声干扰的情况, 在实际的控制过程中, 反馈通道上往往也存在着噪声的干扰。文中综合实际情况, 对含有反馈噪声的最小相位系统运用最小方差自校正控制方法设计了控制器。通过观测系统实

收稿日期:2010 05 20; 修回日期:2010 09 10。

基金项目:国家自然科学基金资助项目(60974136) 。

作者简介:袁为素(1987-) , 男, 硕士生, 主要研究方向为系统辨识、控制与应用, E mail:yw s44118@163. com;

何汉林(1962-) , 男, 教授, 博士生导师, 主要研究方向为系统控制、优化与应用, E mail:hanlinhe62@si na. com 。[1-3]

∃6∃海 军 工 程 大 学 学 报 第22卷

[7]际的输入输出序列, 利用递推增广最小二乘法闭环在线辨识系统参数, 再利用辨识出的系统参数重新

设计控制律, 实现了系统的自校正控制。仿真实例表明:这种方法简单可行, 具有一定的理论与实用价值。

1 问题的描述

设被控对象模型为带有反馈干扰噪声的CARMA 模型, 则系统可以表示为

A (z -1) y (k) =z B (z -d -1) (u (k) + (k) ) +C (z -1) (k) 。(1)

其中:{u (k) }和{y (k) }分别为模型的输入和输出序列; { (k ) }为零均值不相关的高斯白噪声序列; d 为

-1对象延迟且d 1, 其值是采样周期的整数倍; A (z ) =1+a 1z -1+a 2z -2+ +a n a z -n a ; B (z -1) =b 0+

b 1z -1+b 2z -2+ +b n b z -n b ; C (z -1) =1+c 1z -1+c 2z -2+ +c n c z -n c 。则由自校正调节器组成的闭环控制系统结构图可以用图1表示, 其中G c (k ) 为反馈通道上的传递函数, 图1中为了方便, 将A (z -1) 、B (z -1) 、C (z -1) 简写为A 、B 、C ,

以下同。

图1 受扰闭环控制系统结构图

F ig. 1 Dist ur bed structure diagr am of clo sed loop contro l system

2对被控对象作如下假设:! (k ) 为均值为0、方差为 的高斯白噪声序列; ∀多项式B 的所有零点

都在z 平面的单位圆之内。

2 最小方差控制

式(1) 所描述的系统可以写成:

y (k +d) =(B/A) u (k) +(F /A ) (k +d) 。

其中:

(F /A ) (k +d) =z -d (B /A ) (k +d) +(C /A ) (k +d) ,

且F =f 0+f 1z -1(2) (3) + +f n f z -n f (n f =m ax (n b -d, n c ) ) (这里要求多项式F 的零点在z 平面的单位圆

(4) 内) 。将F/A 按照丢番图方程进行如下变换, 令F/A =D +z -d E/A ,

式(3) 可以写作其中:D (z -1) =1+d 1z -1+ +d n d z -n d (n d =d -1) ; E (z -1) =e 0+e 1z -1+ +e n e z -n e (n e =n a -1) 。则

(F/A ) (k +d) =D (k +d) +z (E/A ) (k +d) 。(5)

式(5) 中等号右边的两部分是相互独立的, 这样丢番图方程将(F/A ) (k +d) 分成了两个相互独立的部分, (F/A ) (k +d) 的最优预报值可以由其中第二部分得到。将式(5) 、(3) 代入式(2) 可得

y (k +d) =(B/A ) u (k) +[z

#-d -d (E/A ) (k +d) +D (k +d ) ]。-d (6) 由于 (k +d) =(A/F ) y (k +d ) -(B/F ) u (k ) , 考虑到方程(F/A ) =D +z

#(E/A ) , 则y (k +d) =(BD/F ) u (k) +(E/F ) y (k) +D (k +d) 。(7) #式中y (k +d) 即为y (k +d) 的预报值, 取性能指标J =E {[y (k +d) -y r (k +d) ]2}, 将式(7) 代入性能指标J , 考虑到D (k +d) 与u (k) 、y (k ) 、y r (k +d) 均不相关, 可得

E {[y (k +d) -y r (k+d) ]2}=E {[D (k +d)]2}+E {[(BD/F ) u (k) +(E/F ) y (k) -y r (k+d) ]2}。(8) #

第6期 袁为素等:反馈干扰系统的自校正控制方法 ∃7∃令(BD/F ) u(k) +(E/F ) y (k) -y r (k +d) =0, 则可得

u (k ) =[Fy r (k +d) -Ey (k) ]/(BD ) 。(9)

3 自校正调节器

对于式(2) 所示的系统, 由式(3) 知, F 是首一多项式, 将式(2) 写成最小二乘形式, 则

y (k) = (k) T ! +b 0u (k) + (k) 。(10)

其中: (k ) =[-y (k -1) , , -y (k -n a ) , u (k -1) , , u(k -n b ) , (k -1) , , (k -n f ) ]T ; ! =

[a 1, , a n a , b 1, , b n b , f 1, , f n f ]T 。采用RLS 类似推导方法, 可以得到递推增广最小二乘法[7]参数估

计公式:#! (k ) =! (k -1) +K (k) [y (k) - (k) T ! (k -1) -b 0u (k) ];

#

#####K (k) =P (k -1) (k) /[1+ (k) P (k -1) (k) ];

P (k) =[I -K (k) (k) ]P (k -1) 。

式中:

#

#T T #(11) (k ) =[-y (k -1) , , -y (k -n a ) , u (k -1) , , u (k -n b ) , (k -1) , , (k -n f ) ]; ! =[a 1, , a n a , b 1, , b n b , f 1, , f n f ]T ,

#

#########T (k) =y (k) - (k) ! 。##

#####T 此时, A 、B 、F 即为k 时刻参数的估计值, 可得控制律为u (k ) =[F y r (k +d) -E y (k) ]/(B D ) 。(12)

4 仿真实例

设被控对象为y (k) -1. 7y (k -1) +0. 7y (k -2) =u (k -1) +0. 5u (k -2) + (k ) -0. 8 (k -1) -0. 5 (k -2) 。式中: (k) 为零均值、方差为0. 1的白噪声, d =1。当存在反馈通道干扰 (k) 时, 计算可得D =1, E =1. 9-0. 7z -1, 控制律为u (k) =[y r (k +1) +0. 2y r (k ) -1.

9y (k) +0. 7y (k -1) ]/(1+0. 5z -1) 。设置初值! 0=0. 001、P 0=106, 期望输出y r (k +d) 为幅值是10的方波信号, 可得Matlab R2009a 环境下的仿真图(见2、3) 。由图2(a ) 可知, 系统输出能较好地跟踪期望输出, 由图2(b ) 可知控制量幅值在仿真进行20步瞬态响应后进入稳态响应。图3为用增广的最小二乘法辨识参数的效果图, 由图3(b ) 可以看出, 参数f 收敛速度相对较慢, 这是由于对白噪声估计值不精确造成的, 可以通过增加仿真步数来提高辨识精度。

图2 输出效果和控制曲线图

Fig. 2 O ut put and contro l diag ram

∃8∃海 军 工 程 大 学 学 报 第22卷

图3 参数辨识

Fig. 3 P arameters identificatio n

5 结束语

针对带有反馈噪声干扰的未知参数系统, 通过对反馈控制通道的噪声进行分析处理, 给出了自校正控制的方法并进行了实例仿真。仿真结果表明:该方法取得了较好的效果。但文中不足之处在于所考虑的噪声系统较简单, 当前向通道的噪声与反馈通道的噪声均为有色噪声时结构就变得比较复杂, 具体的自校正控制方法还有待于进一步的研究解决。

参考文献(References) :

[1] M EN SL ER M , JO E S, KA W ABE T. Ident ificatio n o f atoro idal continuously v ariable t ransm ission using co nti

nuo us time sy stem identification metho ds [J]. Contr ol Eng ineer ing P ractice, 2006, 14(1) :45-58.

[2] 史振宇, 吴旭升, 李宗阳. 基于线对线突然短路的同步电机瞬态参数辨识[J]. 海军工程大学学报, 2009, 21(5) :18-

21.

SH I Zhen y u, WU Xu sheng , L I Zong y ang. P arameter s identificatio n o f sy nchro no us electr ic machine based on line to line sudden shor t circuit [J]. Journal of N aval U niv ersity o f Eng ineer ing, 2009, 21(5) :18-21. (in Chi nese)

[3] 吴旭升, 陈新刚. 直流衰减静测法局部辨识同步电机参数研究[J].海军工程大学学报, 2008, 20(6) :1-3.

WU Xu sheng, CH EN Xin g ang. Par tial identificat ion o f sy nchro no us machine pa rameters by D C cur rent decay test w ith ro tor standst ill [J].Journal o f Nav al U niv ersity of Engineer ing , 2008, 20(6) :1-3. (in Chinese)

[4] 陈瑞川, 陈国聪. 最小方差自适应控制在并条机自调匀整中的应用[J].重庆大学学报, 2003, 26(3) :122-125.

CHEN Rui chuan, CHEN Guo cong. M inimum erro r va riance adapt ive contro lling technique applied on the auto reg ulatio n sy st em o f the dr aw fr ames [J]. Jour nal of Chongqing U niv ersity , 2003, 26(3) :122-125. (in Chinese)

[5] 张立群, 邵惠鹤. 基于最小方差控制的闭环辨识信号设计[J].上海交通大学学报, 2004, 38(4) :521-523.

ZH A NG L i qun, SH AO H ui he. Design o f identification ex per iment sig nal for minimum v ariance co ntr ol [J]. Jour nal of Shang hai Jiaoto ng U niver sity , 2004, 38(4) :521-523. (in Chinese)

[6] 王浩宇, 张云生, 张果. 系统辨识及自适应控制系统算法仿真实现[J]. 控制工程, 2008, 15(S1) :77-80.

W AN G H ao yu, ZH A NG Yun sheng, ZH AN G G uo. Implementatio n o n sy stem identification and adaptiv e co ntr ol system simulation alg or ithm [J].Contro l Engineering of China, 2008, 15(S1) :77-80. (in Chinese)

[7] 方崇智, 萧德云. 过程辨识[M ].北京:清华大学出版社, 1988.

第22卷 第6期 2010年12月 海军工程大学学报

JO U RN A L OF NA V A L U NI VERSIT Y O F EN GIN EERIN G Vo l. 22 No. 6 Dec. 2010

DOI:10. 3969/j. issn. 1009 3486. 2010. 06. 002反馈干扰系统的自校正控制方法

袁为素, 何汉林, 李卫军

(海军工程大学理学院, 武汉430033)

摘 要:为实现系统跟踪期望输出及系统未知参数的在线闭环辨识, 针对带反馈干扰的未知参数系统, 结合最小方差控制算法和增广最小二乘法设计了自校正调节器。首先通过对反馈通道干扰的分析, 给出了系统的等效模型; 其次, 按系统输出最小方差的原理设计了控制器, 实现了系统跟踪期望输出; 第三, 运用增广最小二乘法对系统参数的辨识, 给出未知参数的无偏一致估计, 实现了参数的在线闭环辨识。通过对未知参数的辨识, 用所辨识的参数计算调节器的参数, 完成对控制律的修改, 实现了系统跟踪期望输出和参数的在线闭环辨识。最后, 利用该方法对实例进行了仿真研究。仿真结果表明:所提方法简单可行。

关键词:自校正控制; 在线闭环辨识; 最小方差控制

中图分类号:T P273 文献标志码:A 文章编号:1009-3486(2010) 06-0005-04

Self tuning control method of feedback disturbance system

YU AN Wei su, H E H an lin, LI Wei jun

(College of Science, Naval U niv. o f Eng ineer ing, Wuhan 430033, China)

Abstract:Considering a sy stem w ith unknow n parameter s which ar e disturber s in the feedback chan nel, a new equiv alent model w as established by analyzing the distur bance at first. Secondly, the mini m um variance theor y w as used to desig n the controller to realize the ex pecting output of the sy stem tr acking. T hirdly, the recursive ex tended least square metho d w as applied to identify the unknow n parameter s in closed lo op. In co nclusion, this paper fulfilled the ex pecting output of the sy stem track ing by amending the contr ol fo rmula which w as calculated by the par am eters identification in closed loop. Several simulation results prove the simplicity and feasibility of this m ethod.

Key words:self tuning control; closed loop identification; m inimum variance control

在工业控制过程中, 控制对象的参数往往随着工作环境的变化而发生变化, 当控制对象的参数不全已知时, 控制器必须能够自动地适应这种不确定性, 这就涉及到系统参数的辨识问题。常用的参数辨识方法有很多, 如最小二乘法、极大似然法、梯度校正参数辨识法、预报误差法等, 其中最小二乘类参数辨识方法计算量小且易于工程实际应用, 所以它是应用最广泛的方法。为了使得系统能实现期望的输出, 在控制工程中常常对系统添加一个控制器[4-6]。对于最小相位系统, 文献[4-5]运用了最小方差控制方法, 实现了系统较好的跟踪期望输出。文献[6]结合增广最小二乘法和加权最小方差控制算法, 应用Labv iew 和Matlab 的混合编程对自校正控制系统进行了仿真。然而, 这些都只考虑了在前向通道上存在噪声干扰的情况, 在实际的控制过程中, 反馈通道上往往也存在着噪声的干扰。文中综合实际情况, 对含有反馈噪声的最小相位系统运用最小方差自校正控制方法设计了控制器。通过观测系统实

收稿日期:2010 05 20; 修回日期:2010 09 10。

基金项目:国家自然科学基金资助项目(60974136) 。

作者简介:袁为素(1987-) , 男, 硕士生, 主要研究方向为系统辨识、控制与应用, E mail:yw s44118@163. com;

何汉林(1962-) , 男, 教授, 博士生导师, 主要研究方向为系统控制、优化与应用, E mail:hanlinhe62@si na. com 。[1-3]

∃6∃海 军 工 程 大 学 学 报 第22卷

[7]际的输入输出序列, 利用递推增广最小二乘法闭环在线辨识系统参数, 再利用辨识出的系统参数重新

设计控制律, 实现了系统的自校正控制。仿真实例表明:这种方法简单可行, 具有一定的理论与实用价值。

1 问题的描述

设被控对象模型为带有反馈干扰噪声的CARMA 模型, 则系统可以表示为

A (z -1) y (k) =z B (z -d -1) (u (k) + (k) ) +C (z -1) (k) 。(1)

其中:{u (k) }和{y (k) }分别为模型的输入和输出序列; { (k ) }为零均值不相关的高斯白噪声序列; d 为

-1对象延迟且d 1, 其值是采样周期的整数倍; A (z ) =1+a 1z -1+a 2z -2+ +a n a z -n a ; B (z -1) =b 0+

b 1z -1+b 2z -2+ +b n b z -n b ; C (z -1) =1+c 1z -1+c 2z -2+ +c n c z -n c 。则由自校正调节器组成的闭环控制系统结构图可以用图1表示, 其中G c (k ) 为反馈通道上的传递函数, 图1中为了方便, 将A (z -1) 、B (z -1) 、C (z -1) 简写为A 、B 、C ,

以下同。

图1 受扰闭环控制系统结构图

F ig. 1 Dist ur bed structure diagr am of clo sed loop contro l system

2对被控对象作如下假设:! (k ) 为均值为0、方差为 的高斯白噪声序列; ∀多项式B 的所有零点

都在z 平面的单位圆之内。

2 最小方差控制

式(1) 所描述的系统可以写成:

y (k +d) =(B/A) u (k) +(F /A ) (k +d) 。

其中:

(F /A ) (k +d) =z -d (B /A ) (k +d) +(C /A ) (k +d) ,

且F =f 0+f 1z -1(2) (3) + +f n f z -n f (n f =m ax (n b -d, n c ) ) (这里要求多项式F 的零点在z 平面的单位圆

(4) 内) 。将F/A 按照丢番图方程进行如下变换, 令F/A =D +z -d E/A ,

式(3) 可以写作其中:D (z -1) =1+d 1z -1+ +d n d z -n d (n d =d -1) ; E (z -1) =e 0+e 1z -1+ +e n e z -n e (n e =n a -1) 。则

(F/A ) (k +d) =D (k +d) +z (E/A ) (k +d) 。(5)

式(5) 中等号右边的两部分是相互独立的, 这样丢番图方程将(F/A ) (k +d) 分成了两个相互独立的部分, (F/A ) (k +d) 的最优预报值可以由其中第二部分得到。将式(5) 、(3) 代入式(2) 可得

y (k +d) =(B/A ) u (k) +[z

#-d -d (E/A ) (k +d) +D (k +d ) ]。-d (6) 由于 (k +d) =(A/F ) y (k +d ) -(B/F ) u (k ) , 考虑到方程(F/A ) =D +z

#(E/A ) , 则y (k +d) =(BD/F ) u (k) +(E/F ) y (k) +D (k +d) 。(7) #式中y (k +d) 即为y (k +d) 的预报值, 取性能指标J =E {[y (k +d) -y r (k +d) ]2}, 将式(7) 代入性能指标J , 考虑到D (k +d) 与u (k) 、y (k ) 、y r (k +d) 均不相关, 可得

E {[y (k +d) -y r (k+d) ]2}=E {[D (k +d)]2}+E {[(BD/F ) u (k) +(E/F ) y (k) -y r (k+d) ]2}。(8) #

第6期 袁为素等:反馈干扰系统的自校正控制方法 ∃7∃令(BD/F ) u(k) +(E/F ) y (k) -y r (k +d) =0, 则可得

u (k ) =[Fy r (k +d) -Ey (k) ]/(BD ) 。(9)

3 自校正调节器

对于式(2) 所示的系统, 由式(3) 知, F 是首一多项式, 将式(2) 写成最小二乘形式, 则

y (k) = (k) T ! +b 0u (k) + (k) 。(10)

其中: (k ) =[-y (k -1) , , -y (k -n a ) , u (k -1) , , u(k -n b ) , (k -1) , , (k -n f ) ]T ; ! =

[a 1, , a n a , b 1, , b n b , f 1, , f n f ]T 。采用RLS 类似推导方法, 可以得到递推增广最小二乘法[7]参数估

计公式:#! (k ) =! (k -1) +K (k) [y (k) - (k) T ! (k -1) -b 0u (k) ];

#

#####K (k) =P (k -1) (k) /[1+ (k) P (k -1) (k) ];

P (k) =[I -K (k) (k) ]P (k -1) 。

式中:

#

#T T #(11) (k ) =[-y (k -1) , , -y (k -n a ) , u (k -1) , , u (k -n b ) , (k -1) , , (k -n f ) ]; ! =[a 1, , a n a , b 1, , b n b , f 1, , f n f ]T ,

#

#########T (k) =y (k) - (k) ! 。##

#####T 此时, A 、B 、F 即为k 时刻参数的估计值, 可得控制律为u (k ) =[F y r (k +d) -E y (k) ]/(B D ) 。(12)

4 仿真实例

设被控对象为y (k) -1. 7y (k -1) +0. 7y (k -2) =u (k -1) +0. 5u (k -2) + (k ) -0. 8 (k -1) -0. 5 (k -2) 。式中: (k) 为零均值、方差为0. 1的白噪声, d =1。当存在反馈通道干扰 (k) 时, 计算可得D =1, E =1. 9-0. 7z -1, 控制律为u (k) =[y r (k +1) +0. 2y r (k ) -1.

9y (k) +0. 7y (k -1) ]/(1+0. 5z -1) 。设置初值! 0=0. 001、P 0=106, 期望输出y r (k +d) 为幅值是10的方波信号, 可得Matlab R2009a 环境下的仿真图(见2、3) 。由图2(a ) 可知, 系统输出能较好地跟踪期望输出, 由图2(b ) 可知控制量幅值在仿真进行20步瞬态响应后进入稳态响应。图3为用增广的最小二乘法辨识参数的效果图, 由图3(b ) 可以看出, 参数f 收敛速度相对较慢, 这是由于对白噪声估计值不精确造成的, 可以通过增加仿真步数来提高辨识精度。

图2 输出效果和控制曲线图

Fig. 2 O ut put and contro l diag ram

∃8∃海 军 工 程 大 学 学 报 第22卷

图3 参数辨识

Fig. 3 P arameters identificatio n

5 结束语

针对带有反馈噪声干扰的未知参数系统, 通过对反馈控制通道的噪声进行分析处理, 给出了自校正控制的方法并进行了实例仿真。仿真结果表明:该方法取得了较好的效果。但文中不足之处在于所考虑的噪声系统较简单, 当前向通道的噪声与反馈通道的噪声均为有色噪声时结构就变得比较复杂, 具体的自校正控制方法还有待于进一步的研究解决。

参考文献(References) :

[1] M EN SL ER M , JO E S, KA W ABE T. Ident ificatio n o f atoro idal continuously v ariable t ransm ission using co nti

nuo us time sy stem identification metho ds [J]. Contr ol Eng ineer ing P ractice, 2006, 14(1) :45-58.

[2] 史振宇, 吴旭升, 李宗阳. 基于线对线突然短路的同步电机瞬态参数辨识[J]. 海军工程大学学报, 2009, 21(5) :18-

21.

SH I Zhen y u, WU Xu sheng , L I Zong y ang. P arameter s identificatio n o f sy nchro no us electr ic machine based on line to line sudden shor t circuit [J]. Journal of N aval U niv ersity o f Eng ineer ing, 2009, 21(5) :18-21. (in Chi nese)

[3] 吴旭升, 陈新刚. 直流衰减静测法局部辨识同步电机参数研究[J].海军工程大学学报, 2008, 20(6) :1-3.

WU Xu sheng, CH EN Xin g ang. Par tial identificat ion o f sy nchro no us machine pa rameters by D C cur rent decay test w ith ro tor standst ill [J].Journal o f Nav al U niv ersity of Engineer ing , 2008, 20(6) :1-3. (in Chinese)

[4] 陈瑞川, 陈国聪. 最小方差自适应控制在并条机自调匀整中的应用[J].重庆大学学报, 2003, 26(3) :122-125.

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