指数函数和对数函数
重点、难点：
重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。
x
难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y 在=a ，y =l o g a x
a >1及0
定义：函数y =aa x
(>0且a ≠1)
叫指数函数。
定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y =a
x
中的a 必须a >0且a ≠1
。 因为若a
，当x =
1
4
时，函数值不存在。 a =0
，y =0x
，当x ≤0，函数值不存在。
a =1
时，y =1x
对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y =1x 的反函数不存在， 因为要求函数y =a x
中的
a >0且a ≠1。
x
1、对三个指数函数y =2x ，y =⎛1⎫x
⎝2
⎪⎭，
y =10的图象的认识。
图象特征与函数性质：
对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：
①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y =2和y =10相交于(0，1) ，当x >0时，y =10
x
2
2
x x x
-2-2的图象在y =2的图象的上方，当x 2及10
⎛1⎫x
②y =2与y = ⎪的图象关于y 轴对称。
⎝2⎭
⎛1⎫x
③通过y =2，y =10，y = ⎪三个函数图象，可以画出任意一个函数y =a （a >）的0且a ≠1
⎝2⎭
x
x
x
x
⎛1⎫x x x
示意图，如y =3的图象，一定位于y =2和y =10两个图象的中间，且过点(0，1) ，从而y = ⎪也由
⎝3⎭⎛1⎫
关于y 轴的对称性，可得y = ⎪的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
⎝3⎭
2、对数：
定义：如果a =N (a >0且a ≠1) ，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b =（a 是底数，N 是l o g a N
b
x
x
真数，lo g a N 是对数式。）
由于N 故lo g a N 中N 必须大于0。 =a >0
当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。
由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如： 求log 0. 32
b
⎛52⎫
⎪ 4⎝⎭
⎛2⎫
log 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成⎪=x ，再改写为指数式就0. 32
⎝4⎭⎛⎫
解：设log 0. 32 ⎪=x
4⎝⎭
比较好办。
则0. 32x =
x
524
-12
⎛8⎫⎛8⎫即 ⎪= ⎪⎝25⎭⎝25⎭∴x =-
1
2
⎛2⎫1
即log 0. 32 ⎪=-
2⎝4⎭
评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。
x
如求3=5中的x ，化为对数式x =log 35即成。
（2）对数恒等式：
由a =N (1) b =l o g N (2) a 将（2）代入（1）得a
l o g a N
b
=N
运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算：
3)
-log 12
3
解：原式=3
1l o g 122
3
⎛1⎫=⎪⎝3⎭
l o g 212
3
。
（3）对数的性质：
①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则：
①l o g M N =l o g M +l o g N M ，N ∈R ()a a a
+
()
=l o g M -l o g N M ，N ∈R ②l a a
③l o g N =n l o g N N ∈R a a
o l o g NNR ∈ ④l N a
M
N
n
(
+
+
)
()(
+
)
1n
()
3、对数函数：
定义：指数函数y =a (a >0且a ≠1) 的反函数
x
∈(0, +∞) 叫做对数函数。 y =l o g a x x
=l o g ，y =l o g ，1、对三个对数函数y 2x 1x
2
y =lg x 的图象的认识。
图象特征与函数性质：
对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：
（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是y =与y =lg x 在点（1,0）曲线是交叉的，即当x >0l o g 2x
时，y =的图象在y =lg x 的图象上方；而0时，y =的图象在y =lg x 的图象的下方，l g 1. 5o g 0. 1
（2）y =的图象与y =log 1x 的图象关于x 轴对称。 l o g 2x
2
（3）通过y =，y =lg x ，y =log 1x 三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如l o g 2x
2
作y =的图象，它一定位于y =和y =lg x 两个图象的中间，且过点（1,0），x >0时，在y =lg x l o g l o g 3x 2x 的上方，而位于y =的下方，0时，刚好相反，则对称性，可知y =log 1x 的示意图。
3
因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 4、对数换底公式：
l o g a N l o g N b
l o g a b
LN =l o g (其中e =2. 71828…) 称为N 的自然对数n e N
LN =l o g 称为常数对数g 10N
由换底公式可得：
l g N l g N
L N =2. 303l g N n
l g e 0. 4343
由换底公式推出一些常用的结论：
（1）l o g 1
a b l o g 或l o g a b ·l o g b
a =1 b a （2）log m
a n b
=
m
n
log a b （3）l o g n
a
n b =l o g a b
（4）lo g a n a m
=
m
n
5、指数方程与对数方程*
定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。
在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。
由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。
指数方程的题型与解法：
指数函数和对数函数
重点、难点：
重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。
x
难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y 在=a ，y =l o g a x
a >1及0
定义：函数y =aa x
(>0且a ≠1)
叫指数函数。
定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y =a
x
中的a 必须a >0且a ≠1
。 因为若a
，当x =
1
4
时，函数值不存在。 a =0
，y =0x
，当x ≤0，函数值不存在。
a =1
时，y =1x
对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y =1x 的反函数不存在， 因为要求函数y =a x
中的
a >0且a ≠1。
x
1、对三个指数函数y =2x ，y =⎛1⎫x
⎝2
⎪⎭，
y =10的图象的认识。
图象特征与函数性质：
对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：
①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y =2和y =10相交于(0，1) ，当x >0时，y =10
x
2
2
x x x
-2-2的图象在y =2的图象的上方，当x 2及10
⎛1⎫x
②y =2与y = ⎪的图象关于y 轴对称。
⎝2⎭
⎛1⎫x
③通过y =2，y =10，y = ⎪三个函数图象，可以画出任意一个函数y =a （a >）的0且a ≠1
⎝2⎭
x
x
x
x
⎛1⎫x x x
示意图，如y =3的图象，一定位于y =2和y =10两个图象的中间，且过点(0，1) ，从而y = ⎪也由
⎝3⎭⎛1⎫
关于y 轴的对称性，可得y = ⎪的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
⎝3⎭
2、对数：
定义：如果a =N (a >0且a ≠1) ，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b =（a 是底数，N 是l o g a N
b
x
x
真数，lo g a N 是对数式。）
由于N 故lo g a N 中N 必须大于0。 =a >0
当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。
由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如： 求log 0. 32
b
⎛52⎫
⎪ 4⎝⎭
⎛2⎫
log 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成⎪=x ，再改写为指数式就0. 32
⎝4⎭⎛⎫
解：设log 0. 32 ⎪=x
4⎝⎭
比较好办。
则0. 32x =
x
524
-12
⎛8⎫⎛8⎫即 ⎪= ⎪⎝25⎭⎝25⎭∴x =-
1
2
⎛2⎫1
即log 0. 32 ⎪=-
2⎝4⎭
评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。
x
如求3=5中的x ，化为对数式x =log 35即成。
（2）对数恒等式：
由a =N (1) b =l o g N (2) a 将（2）代入（1）得a
l o g a N
b
=N
运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算：
3)
-log 12
3
解：原式=3
1l o g 122
3
⎛1⎫=⎪⎝3⎭
l o g 212
3
。
（3）对数的性质：
①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则：
①l o g M N =l o g M +l o g N M ，N ∈R ()a a a
+
()
=l o g M -l o g N M ，N ∈R ②l a a
③l o g N =n l o g N N ∈R a a
o l o g NNR ∈ ④l N a
M
N
n
(
+
+
)
()(
+
)
1n
()
3、对数函数：
定义：指数函数y =a (a >0且a ≠1) 的反函数
x
∈(0, +∞) 叫做对数函数。 y =l o g a x x
=l o g ，y =l o g ，1、对三个对数函数y 2x 1x
2
y =lg x 的图象的认识。
图象特征与函数性质：
对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：
（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是y =与y =lg x 在点（1,0）曲线是交叉的，即当x >0l o g 2x
时，y =的图象在y =lg x 的图象上方；而0时，y =的图象在y =lg x 的图象的下方，l g 1. 5o g 0. 1
（2）y =的图象与y =log 1x 的图象关于x 轴对称。 l o g 2x
2
（3）通过y =，y =lg x ，y =log 1x 三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如l o g 2x
2
作y =的图象，它一定位于y =和y =lg x 两个图象的中间，且过点（1,0），x >0时，在y =lg x l o g l o g 3x 2x 的上方，而位于y =的下方，0时，刚好相反，则对称性，可知y =log 1x 的示意图。
3
因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 4、对数换底公式：
l o g a N l o g N b
l o g a b
LN =l o g (其中e =2. 71828…) 称为N 的自然对数n e N
LN =l o g 称为常数对数g 10N
由换底公式可得：
l g N l g N
L N =2. 303l g N n
l g e 0. 4343
由换底公式推出一些常用的结论：
（1）l o g 1
a b l o g 或l o g a b ·l o g b
a =1 b a （2）log m
a n b
=
m
n
log a b （3）l o g n
a
n b =l o g a b
（4）lo g a n a m
=
m
n
5、指数方程与对数方程*
定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。
在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。
由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。
指数方程的题型与解法：