数学知识点强化练习题
1、设a ∈R ，函数f (x ) =(x 2-ax -a ) e x .
（Ⅰ）若a=1，求曲线y =f (x ) 在点(0, f (0)) 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f (x ) 在[-2, 2]上的最小值。
2、已知两点F 1(-2, 0), F 2(2, 0) ，曲线C 上的动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=2|F 1F 2|，直线MF 2与曲线C 交于另一点P 。
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）设N （－4，0），若S ∆M NF 2:S ∆PN F 2=3:2，求直线MN 的方程。
3、数列{an }满足：a n +1=3a n -3a 2
n ，n=1，2，3，….
（Ⅰ）若数列{an }为常数列，求a 1的值； 123，求证：
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列{a 2n }单调递减。 （Ⅱ）若a 1=
4、已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，
∠BAC ＝90°，AB=AA1=2，AC=1，M ，N
分别是A 1B 1，BC 的中点。
（Ⅰ）证明：AB ⊥AC 1；
（Ⅱ）证明：MN//平面ACC 1A 1；
（Ⅲ）求二面角M －AN －B 的余弦值。
5、已知平面向量a =(3，-1) ，b =(
＝a +(t 2-3) b ，y ＝-k a ＋t b ，且x ⊥y ．
（1）试求函数关系式k =f (t ) ； 1，) ，若存在不同时为零的实数k 和t ，使x 22
（2）求使f (t ) >0的t 的取值范围．
6、如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 和BC 的中点，EF 交BD 于H ．
（1）求二面角β1-EF -B 的正切值；
（2）试在棱B 1B 上找一点M ，使D 1M ⊥平面EFB 1，并证明你的结论；
（3）求点D 1到平面EFB 1的距离．
7、是否存在一个椭圆同时满足以下三个条件：
（1）中心在坐标原点，焦点在x 轴上；
（2）它的一个焦点为F ，M 是椭圆上任意一点，|MF |的最大值和最小值的几何平均数是2； （3）椭圆上存在着以直线y ＝x 为轴的两个对称点M 1和M 2，且|M 1M 2|=
4．若存在，请求出方程，若不存在，请说明理由． 3
8、已知a ＝（2sinx ，2cosx ），b ，cosx ），f (x)＝a ·b
⑴求f (x)的最小正周期；
⑵当x ∈[0，
π]时，求f (x)的最小值； 4
9、已知函数
1. 的图象与直线相切，切点的横坐标为
（1）求函数f(x)的表达式和直线的方程；（2）求函数f(x)的单调区间；
（3）若不等式f(x)≥2x+m对f(x)定义域内的任意x 恒成立，求实数m 的取值范围.
10、已知函数f (x ) =ln x ，g (x ) =a ，设F (x ) =f (x ) +g (x ) ． x
（Ⅰ）当a =1时，求函数F (x ) 的单调区间；
（Ⅱ）若以函数y =F (x )(0
1恒成立，求实数a 的最小值． 2
x 2y 2611、已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的离心率为. 3a b
（I ）若原点到直线x +y -b =0的距离为2, 求椭圆的方程；
（II ）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45︒的直线l 和椭圆交于A ，B 两点．
（i ）当|AB |=3，求b 的值；
（ii ）对于椭圆上任一点M ，若OM =λOA +μOB ，求实数λ, μ满足的关系式．
数学知识点强化练习题
1、设a ∈R ，函数f (x ) =(x 2-ax -a ) e x .
（Ⅰ）若a=1，求曲线y =f (x ) 在点(0, f (0)) 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f (x ) 在[-2, 2]上的最小值。
2、已知两点F 1(-2, 0), F 2(2, 0) ，曲线C 上的动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=2|F 1F 2|，直线MF 2与曲线C 交于另一点P 。
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）设N （－4，0），若S ∆M NF 2:S ∆PN F 2=3:2，求直线MN 的方程。
3、数列{an }满足：a n +1=3a n -3a 2
n ，n=1，2，3，….
（Ⅰ）若数列{an }为常数列，求a 1的值； 123，求证：
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列{a 2n }单调递减。 （Ⅱ）若a 1=
4、已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，
∠BAC ＝90°，AB=AA1=2，AC=1，M ，N
分别是A 1B 1，BC 的中点。
（Ⅰ）证明：AB ⊥AC 1；
（Ⅱ）证明：MN//平面ACC 1A 1；
（Ⅲ）求二面角M －AN －B 的余弦值。
5、已知平面向量a =(3，-1) ，b =(
＝a +(t 2-3) b ，y ＝-k a ＋t b ，且x ⊥y ．
（1）试求函数关系式k =f (t ) ； 1，) ，若存在不同时为零的实数k 和t ，使x 22
（2）求使f (t ) >0的t 的取值范围．
6、如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 和BC 的中点，EF 交BD 于H ．
（1）求二面角β1-EF -B 的正切值；
（2）试在棱B 1B 上找一点M ，使D 1M ⊥平面EFB 1，并证明你的结论；
（3）求点D 1到平面EFB 1的距离．
7、是否存在一个椭圆同时满足以下三个条件：
（1）中心在坐标原点，焦点在x 轴上；
（2）它的一个焦点为F ，M 是椭圆上任意一点，|MF |的最大值和最小值的几何平均数是2； （3）椭圆上存在着以直线y ＝x 为轴的两个对称点M 1和M 2，且|M 1M 2|=
4．若存在，请求出方程，若不存在，请说明理由． 3
8、已知a ＝（2sinx ，2cosx ），b ，cosx ），f (x)＝a ·b
⑴求f (x)的最小正周期；
⑵当x ∈[0，
π]时，求f (x)的最小值； 4
9、已知函数
1. 的图象与直线相切，切点的横坐标为
（1）求函数f(x)的表达式和直线的方程；（2）求函数f(x)的单调区间；
（3）若不等式f(x)≥2x+m对f(x)定义域内的任意x 恒成立，求实数m 的取值范围.
10、已知函数f (x ) =ln x ，g (x ) =a ，设F (x ) =f (x ) +g (x ) ． x
（Ⅰ）当a =1时，求函数F (x ) 的单调区间；
（Ⅱ）若以函数y =F (x )(0
1恒成立，求实数a 的最小值． 2
x 2y 2611、已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的离心率为. 3a b
（I ）若原点到直线x +y -b =0的距离为2, 求椭圆的方程；
（II ）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45︒的直线l 和椭圆交于A ，B 两点．
（i ）当|AB |=3，求b 的值；
（ii ）对于椭圆上任一点M ，若OM =λOA +μOB ，求实数λ, μ满足的关系式．