0 引 言
在物理学中，如何选择适当的参照系是非常重要的，在力学中通常选用惯性系，但有时也可选用非惯性系。功能原理在惯性系中成立，在非惯性系中作适当处理后也成立，有时用它解题很方便。本文就给出这样的例题。关于非惯性系参照系中，在《理论力学》中只是研究动力学方程，缺少的是非惯性系中的功能原理。本文经过推导得出质点系非惯性系的功能原理。
1 功能原理的研究
1.1 质点系的动能定理
质点系也是实际物体的一种理想模型，它可以当作有限个质点组成的一个系统。设一个质点系有N 个质点组成，其中第i 个质点的质量为m i ，第j 个质点作用在m i 上的力（内力）为f ij ，这N 个质点以外的其他物体作用在m i 上的合力（外力）为f i ，则由牛顿运动定律
N
dv i m i =f i +∑(1-δij )f ij （1-1）
dt j =1
式中v i 是m i 的速度，而
δij =⎨
⎧1， 当i =j
（1-2）
⎩0， 当i ≠j
当m i 的位移为dr i 时，以dr i 点乘上式便得
f i dr i +∑(1-δij )f ij dr i =d
j =1
N
(
12
m i v i 2 （1-3）
)
将上式对所有的N 个质点求和，便得
⎛N 1⎫
f i dr i +∑∑(1-δij )f ij dr i =d ∑2m i v i 2⎪ （1-4） ∑i =1i =1j =1⎝i =1⎭
令
dA 外=
N N N
∑f dr ， （1-5）
i
i
i =1
N
dA 内=∑∑(1-δij )f ij dr i ， （1-6）
i =1j =1
N N
分别代表外力和内力作的功，则（1-4）可写作：
⎛N 1⎫
dA 外+dA 内=d ∑2m i v i 2⎪。 （1-7）
⎝i =1⎭
这就是质点系的动能定理。
1.2质点系统的功能原理
质点系的内力可以分为保守内力和非保守内力。例如，质点系内各质点的万有引力是保守内力；
质点间的摩擦力是非保守内力。因而，质点系内力的功A 内可以写成保守内力的功（用符号A 表内保
示）和非保守内力的功（用符号A 表示）之和 内非保
（1-8） A +A 内=A 内保内非保
由系统内保守内力所作的功，数量上等于相应势能增量的负值（或相应势能的减少量）。（李乃伯，1994）
（1-9） A =-（E P 2-E P 1）内保把（1-9）代入上式，得
（1-10） A （E P 2-E P 1）+A 内=-内非保
再有在有限的路程上，一切外力和内力作功的代数和，在数量上等于质点系动能的增量。用符号A 外表示所有外力作的功的代数和，A 内表示所有内力作功的代数和，则：
（1-11） A 外+A 内=E K 2-E K 1
把（1-10）代入（1-11）并整理得：
（1-12） A 外+A =（E K 2+E P 2）-（E K 1+E P 1）内非保
在上式中，E K 1和E K 2表示质点系初、末两状态的动能；E P 1和E P 2表示质点系初、末两状态的势能。系统内有几种保守力，E P 就包含有几种势能。
动能和势能是力学意义下的能量。通常把系统中所有动能和势能之和称为质点系的机械能，用
符号E m 表示：
E m =E K +E P （1-13）
于是，式（1-12）可表示为：
A 外+A 内非保=E m 2-E m （1-14）
1
式（1-12）和（1-14）表明，质点系中，所有外力和保守内力作功的代数和，在数量上等于质点系机械能的增量。这就是质点系的功能原理。
功能原理指出，质点系力学的范畴的能量——机械能的增多或减少，取决于系统外物体作功和系统中非保守力作功的代数和。外力作功，系统内机械能和系统外物体的某种能量发生相应的转换；非保守内力作功，在系统内则产生机械能和非机械能的转换。 1.3 系统在动惯性系中的功能原理
设地面参照系（静参照系）为s ，相对于s 以恒速U(U《C) 运动的动惯性系为s '，物体在s , s '两系中的位矢分别r ,r ',s '系的坐标原点在s 系中的位矢为r 0，则：
'r =r 0+r ' d r =d r 0+d r (1-15)
(dr 可称为动惯性系的位移) 设物体与地球这一系统内保守力为F 内保，非保守内力F 内非保并不受外力。
在s ，s '两系中分别运用有定理得到：
在s 系中有内保守力和非内保守力做功的下式：
⎰F ⎰F
⎰F
内保
内保
d r +⎰F 内非保 d r =E k 2-E k 1 (1-16) '2-E k '1 (1-17) d r +⎰F 内非保 d r =E k
在s '系中有内保守力和非内保守力做功的下式：
内保
(1-15)式代入（1-16）式并考虑到（1-17）式得到:
'2-E k '1) (1-18) d r 0+⎰F 内非保 d r 0=(E k 2-E k 1) -(E k
讨论（1-16）式；若在s 系中非保守内力不做功，
⎰F ⎰F
内非保
d r =0
即由保守内力作的功等于势能的减少，（程守洙、江之永，1998）即
内保
d r =E P 1-E P 2 (1-19)
考虑到s ，s '两系中系统势能变化相同，（程守洙、江之永，1998）
' E p 1-E p 2=E 'p 1-E p 2 (1-20)
将（1-19）（1-20）两式综合代入（1-17）式得到：
⎰F
内保
''''' d r 0+⎰F 内非保 d r 0=(E 'p 1+E k 1) -(E p 2+E k 2) =E 1-E 2 (1-21)
即我们推导得到的动惯性的功能原理，可叙述为：如果系统在静惯性系中仅有保守内力对物体作功，
那么，内力在动惯性系的位移上作的功等于系统在动惯性系中的机械能的减少。（郑理，2002）
显然，如此在静，动惯性系中结合研究，结论简明，应用也就自然简便。最主要的是要弄清内保守力，内力，静惯性中物体的位移dr 动惯性的位移dr ，动惯性系物体的位移dr 0、力在动惯性系的位移上作的功等概念。
1.4系统在非惯性系中的功能原理
如图所示, 如果参照系K 是以匀加速直线运动的非惯性系, 在此参照系上选一点0 为坐标原点, 水平向右为X 轴正向, 使OX 轴方向与a 的方向一致, 在此坐标系中有一质量为m 的物体, 在外力F 作用下, 沿曲线从A 运动到B 。要在此坐标中沿用牛顿运动定律处理运动物体的运动问题, 必须假想物体除受真实力F 作用外, 还受一个惯性力f 的作用: |f∣(即f 的大小) = ma , 其方向与非惯性参照系加速度a 的方向相反, 因此在此坐标系里, 由m 与地球组成的系统, 其功能原理就写成
图1-2 非惯性系
⎰F d s +⎰f
2 应用举例
惯
d s +⎰f 内非保 d s =E B '-E A '=(E 'PB +E 'KB ) -(E 'PA +E 'KA ) (1-22)
式子中E B ′、E A ′为系统在非惯性系中, 末初两态的机械能。E PB ′、E PA ′为系统在非惯性系中末初 两态的势能, E KB ′、E KA ′为系统在非惯性系中未初两态的动能。（许艳，2002）
例1一汽车的速度v 0=36km/h，驶至一斜率为0.01的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦力为车重G 的0.05倍，问汽车能冲上斜坡多远？
解：取汽车和地球这一系统为研究对象，则系统内只有汽车受到f 阻和N 两个外力的作用，斜面与地面的夹角为α。运用系统的功能原理有：
2
-f 阻s =（0+Gs sin α）-(1mv +0) 2
即
2μG s =1mv -G s sin α 2
上式说明，汽车在上坡前动能和势能（设为零）的总和大于上坡后动能（为零）和势能的总和，汽
车在上坡中机械能减少了，它所减小的能量等于反抗摩擦力所作的功。代入已知数字，解得s =85m 。 例2. 如右图所示, 质量为M 的斜面装置, 可在水平桌面上无摩擦地滑动, 斜面倾角为α, 斜面受一水平向右的力F 0的作用, 斜面上放一质量为m 的木块, 与斜面之间的滑动摩擦系数为μ, 求:木块从斜面顶点以初速度为v O 下滑到斜面底部的瞬时速率。
图2-1(a) 图2-1(b)
解:选m 和地球为一系统, 并选斜面为参考系, 因斜面向右以a =F 0/(m + M) 作匀加速运动, 所以斜面参考系为一非惯性系。系统受的外力有摩擦力f μ、支持力N 。重力属保守内力。质量为m 的木块共受三个真实力:支持力N 、摩擦力f μ、重力mg 和一个虚拟力f 惯的作用(如图(b) ) , 因支持力不做功, 重力是保守内力, 做功不必考虑，所以系统只有f μ 和f 惯做功。
系统在A 态时的机械能: E A = m vA 2/2+ mgh ( v A = v O , h = L sin α)
2
系统在B 态时的机械能: EB = m vB /2 (选B 点为势能O 点) 由非惯性系中的功能原理有: A f + A f 惯= E B– E A
22
即: -μmgcos α L - mF0 OB /(M+ m) = m vB /2- m vA /2- mgh
式中:OB = Lcosα , vB 为所求, vA = v0 有:
22-μmgcos α L - mF0 Lcos α/(M+ m) = m vB /2- m vA /2- mgLsinα解得:
v B =v o +2gL sin α-2μL cos α-
2
2F 0L cos M +m 即为所求.
例3 如下图所示，一物体质量为2kg ，以速度3.0m/s从斜面A 点滑下。它与斜面间的摩擦力为8N ，到达B 点时，压缩弹簧20厘米至C 处，然后再被弹送上去, 求弹簧的屈强系数K 和物体最后能回到多高处。
图四（a ） 图四(b) 图四(c)
图2-2（a ） 图2-2（b ） 图2-2（c ）
解: 选择物体m 、地球、弹簧三个物体为系统, 则此系统受外力有斜面支持力N 、摩擦力f μ (将 斜面看成是地球的一部份时为非保守内力) , 而重力mg 和m 与弹簧接触时受到的弹性力均为保 守内力。物体A 的受力情况如图2-2( b ) 所示。因支持力N 不做功, 保守内力做功不必考虑, 只有摩擦 力对系统做功A f =-f μ AC , 选择C 点为重力势能零点, 系统在A 态的机械能:
1
mv A 2+mgh A (式中h A =AC sin θ=5sin θ) 2
121212
系统在C 态的机械能:E C =mv c +kx =kx （因为v c =0）
222
E A =
系统从A →C 的过程中，由功能原理得：
11
A 外+A 非内=E C -E A ，即A f =kx 2-(mv A 2+mgh A ) =-f μ AC
22
代入数据计算得K=1390Nm
若再求物体的回弹高度时，系统和中立势能零点的选取仍与前面相同。但运动过程可选为由C
-1
点开始弹出至物体能回到的高度h 止。则在此过程中（见图2-2（C ）） 摩擦力f 做功： A f =-f μ L =-f μh sin θ
12kx 2
D 处的（终态）机械能： E=mgh
C 处的（始态）机械能： E0=
对系统在C →D 过程中列出功能关系式为：
h 12
=mgh -kx A f =E -E 0即：-f μsin θ2
得：
h =
1
kx 2
f μmg +
将已知量x =0.2m , k =1390N /m , f =8N , θ=36.9 , m =2kg 代入可求得：h =0.85m
3. 结语
通过本文对功能原理的研究，使我们对功能原理有了更进一步的认识。同时我们也可以看出功能原理在求解问题中的应用。
参考文献
[1] 许艳. 功能原理和机械能守恒及转换定律[J].保山师专报.2002，21（5）
[2] 郑理. 动惯性系中的功能原理及机械能守恒定律[J].河北能源职业技术学院学报.2002，3 [3] 周衍柏编. 理力学教程第二版[M]. 北京:高等教育出版社, 1987
[4] 程守洙、江之永. 《普通物理学》第一册第五版[M].高等教育出版社.1999，110 [5] 曾令宏. 动能定理与功能原理的关系及其有关问题[J].柳州师专报2002，17（4） [6] 李乃伯主编. 物理学. 高等教育出版社. 1994 31～35
[7] 复旦大学 上海师范大学物理系编. 物理学，上海科学技术出版社.1982 202～203
致 谢
半年的时间，论文的写作已经完毕，由于经验不足，难免在写作中有瑕疵之处。如果没有指导老师的指导和同学们的帮忙，想要完成这篇论文是特别困难的。
首先感谢我的指导老师李祖海老师, 在我的论文写作过程中从资料的查找以及论文雏形的修改都给了我悉心的指导, 才使得我的论文得以顺利完成，还有李老师对教学和科研的不倦精神都对我以后的工作和学习生活有积极的影响。
再要感谢在我学习过程中的所有老师，给予我基础课程学习的帮助。还要感谢我的同窗们，给予我的鼓励。因为你们的帮助和鼓励才使得我的论文顺利完成。
0 引 言
在物理学中，如何选择适当的参照系是非常重要的，在力学中通常选用惯性系，但有时也可选用非惯性系。功能原理在惯性系中成立，在非惯性系中作适当处理后也成立，有时用它解题很方便。本文就给出这样的例题。关于非惯性系参照系中，在《理论力学》中只是研究动力学方程，缺少的是非惯性系中的功能原理。本文经过推导得出质点系非惯性系的功能原理。
1 功能原理的研究
1.1 质点系的动能定理
质点系也是实际物体的一种理想模型，它可以当作有限个质点组成的一个系统。设一个质点系有N 个质点组成，其中第i 个质点的质量为m i ，第j 个质点作用在m i 上的力（内力）为f ij ，这N 个质点以外的其他物体作用在m i 上的合力（外力）为f i ，则由牛顿运动定律
N
dv i m i =f i +∑(1-δij )f ij （1-1）
dt j =1
式中v i 是m i 的速度，而
δij =⎨
⎧1， 当i =j
（1-2）
⎩0， 当i ≠j
当m i 的位移为dr i 时，以dr i 点乘上式便得
f i dr i +∑(1-δij )f ij dr i =d
j =1
N
(
12
m i v i 2 （1-3）
)
将上式对所有的N 个质点求和，便得
⎛N 1⎫
f i dr i +∑∑(1-δij )f ij dr i =d ∑2m i v i 2⎪ （1-4） ∑i =1i =1j =1⎝i =1⎭
令
dA 外=
N N N
∑f dr ， （1-5）
i
i
i =1
N
dA 内=∑∑(1-δij )f ij dr i ， （1-6）
i =1j =1
N N
分别代表外力和内力作的功，则（1-4）可写作：
⎛N 1⎫
dA 外+dA 内=d ∑2m i v i 2⎪。 （1-7）
⎝i =1⎭
这就是质点系的动能定理。
1.2质点系统的功能原理
质点系的内力可以分为保守内力和非保守内力。例如，质点系内各质点的万有引力是保守内力；
质点间的摩擦力是非保守内力。因而，质点系内力的功A 内可以写成保守内力的功（用符号A 表内保
示）和非保守内力的功（用符号A 表示）之和 内非保
（1-8） A +A 内=A 内保内非保
由系统内保守内力所作的功，数量上等于相应势能增量的负值（或相应势能的减少量）。（李乃伯，1994）
（1-9） A =-（E P 2-E P 1）内保把（1-9）代入上式，得
（1-10） A （E P 2-E P 1）+A 内=-内非保
再有在有限的路程上，一切外力和内力作功的代数和，在数量上等于质点系动能的增量。用符号A 外表示所有外力作的功的代数和，A 内表示所有内力作功的代数和，则：
（1-11） A 外+A 内=E K 2-E K 1
把（1-10）代入（1-11）并整理得：
（1-12） A 外+A =（E K 2+E P 2）-（E K 1+E P 1）内非保
在上式中，E K 1和E K 2表示质点系初、末两状态的动能；E P 1和E P 2表示质点系初、末两状态的势能。系统内有几种保守力，E P 就包含有几种势能。
动能和势能是力学意义下的能量。通常把系统中所有动能和势能之和称为质点系的机械能，用
符号E m 表示：
E m =E K +E P （1-13）
于是，式（1-12）可表示为：
A 外+A 内非保=E m 2-E m （1-14）
1
式（1-12）和（1-14）表明，质点系中，所有外力和保守内力作功的代数和，在数量上等于质点系机械能的增量。这就是质点系的功能原理。
功能原理指出，质点系力学的范畴的能量——机械能的增多或减少，取决于系统外物体作功和系统中非保守力作功的代数和。外力作功，系统内机械能和系统外物体的某种能量发生相应的转换；非保守内力作功，在系统内则产生机械能和非机械能的转换。 1.3 系统在动惯性系中的功能原理
设地面参照系（静参照系）为s ，相对于s 以恒速U(U《C) 运动的动惯性系为s '，物体在s , s '两系中的位矢分别r ,r ',s '系的坐标原点在s 系中的位矢为r 0，则：
'r =r 0+r ' d r =d r 0+d r (1-15)
(dr 可称为动惯性系的位移) 设物体与地球这一系统内保守力为F 内保，非保守内力F 内非保并不受外力。
在s ，s '两系中分别运用有定理得到：
在s 系中有内保守力和非内保守力做功的下式：
⎰F ⎰F
⎰F
内保
内保
d r +⎰F 内非保 d r =E k 2-E k 1 (1-16) '2-E k '1 (1-17) d r +⎰F 内非保 d r =E k
在s '系中有内保守力和非内保守力做功的下式：
内保
(1-15)式代入（1-16）式并考虑到（1-17）式得到:
'2-E k '1) (1-18) d r 0+⎰F 内非保 d r 0=(E k 2-E k 1) -(E k
讨论（1-16）式；若在s 系中非保守内力不做功，
⎰F ⎰F
内非保
d r =0
即由保守内力作的功等于势能的减少，（程守洙、江之永，1998）即
内保
d r =E P 1-E P 2 (1-19)
考虑到s ，s '两系中系统势能变化相同，（程守洙、江之永，1998）
' E p 1-E p 2=E 'p 1-E p 2 (1-20)
将（1-19）（1-20）两式综合代入（1-17）式得到：
⎰F
内保
''''' d r 0+⎰F 内非保 d r 0=(E 'p 1+E k 1) -(E p 2+E k 2) =E 1-E 2 (1-21)
即我们推导得到的动惯性的功能原理，可叙述为：如果系统在静惯性系中仅有保守内力对物体作功，
那么，内力在动惯性系的位移上作的功等于系统在动惯性系中的机械能的减少。（郑理，2002）
显然，如此在静，动惯性系中结合研究，结论简明，应用也就自然简便。最主要的是要弄清内保守力，内力，静惯性中物体的位移dr 动惯性的位移dr ，动惯性系物体的位移dr 0、力在动惯性系的位移上作的功等概念。
1.4系统在非惯性系中的功能原理
如图所示, 如果参照系K 是以匀加速直线运动的非惯性系, 在此参照系上选一点0 为坐标原点, 水平向右为X 轴正向, 使OX 轴方向与a 的方向一致, 在此坐标系中有一质量为m 的物体, 在外力F 作用下, 沿曲线从A 运动到B 。要在此坐标中沿用牛顿运动定律处理运动物体的运动问题, 必须假想物体除受真实力F 作用外, 还受一个惯性力f 的作用: |f∣(即f 的大小) = ma , 其方向与非惯性参照系加速度a 的方向相反, 因此在此坐标系里, 由m 与地球组成的系统, 其功能原理就写成
图1-2 非惯性系
⎰F d s +⎰f
2 应用举例
惯
d s +⎰f 内非保 d s =E B '-E A '=(E 'PB +E 'KB ) -(E 'PA +E 'KA ) (1-22)
式子中E B ′、E A ′为系统在非惯性系中, 末初两态的机械能。E PB ′、E PA ′为系统在非惯性系中末初 两态的势能, E KB ′、E KA ′为系统在非惯性系中未初两态的动能。（许艳，2002）
例1一汽车的速度v 0=36km/h，驶至一斜率为0.01的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦力为车重G 的0.05倍，问汽车能冲上斜坡多远？
解：取汽车和地球这一系统为研究对象，则系统内只有汽车受到f 阻和N 两个外力的作用，斜面与地面的夹角为α。运用系统的功能原理有：
2
-f 阻s =（0+Gs sin α）-(1mv +0) 2
即
2μG s =1mv -G s sin α 2
上式说明，汽车在上坡前动能和势能（设为零）的总和大于上坡后动能（为零）和势能的总和，汽
车在上坡中机械能减少了，它所减小的能量等于反抗摩擦力所作的功。代入已知数字，解得s =85m 。 例2. 如右图所示, 质量为M 的斜面装置, 可在水平桌面上无摩擦地滑动, 斜面倾角为α, 斜面受一水平向右的力F 0的作用, 斜面上放一质量为m 的木块, 与斜面之间的滑动摩擦系数为μ, 求:木块从斜面顶点以初速度为v O 下滑到斜面底部的瞬时速率。
图2-1(a) 图2-1(b)
解:选m 和地球为一系统, 并选斜面为参考系, 因斜面向右以a =F 0/(m + M) 作匀加速运动, 所以斜面参考系为一非惯性系。系统受的外力有摩擦力f μ、支持力N 。重力属保守内力。质量为m 的木块共受三个真实力:支持力N 、摩擦力f μ、重力mg 和一个虚拟力f 惯的作用(如图(b) ) , 因支持力不做功, 重力是保守内力, 做功不必考虑，所以系统只有f μ 和f 惯做功。
系统在A 态时的机械能: E A = m vA 2/2+ mgh ( v A = v O , h = L sin α)
2
系统在B 态时的机械能: EB = m vB /2 (选B 点为势能O 点) 由非惯性系中的功能原理有: A f + A f 惯= E B– E A
22
即: -μmgcos α L - mF0 OB /(M+ m) = m vB /2- m vA /2- mgh
式中:OB = Lcosα , vB 为所求, vA = v0 有:
22-μmgcos α L - mF0 Lcos α/(M+ m) = m vB /2- m vA /2- mgLsinα解得:
v B =v o +2gL sin α-2μL cos α-
2
2F 0L cos M +m 即为所求.
例3 如下图所示，一物体质量为2kg ，以速度3.0m/s从斜面A 点滑下。它与斜面间的摩擦力为8N ，到达B 点时，压缩弹簧20厘米至C 处，然后再被弹送上去, 求弹簧的屈强系数K 和物体最后能回到多高处。
图四（a ） 图四(b) 图四(c)
图2-2（a ） 图2-2（b ） 图2-2（c ）
解: 选择物体m 、地球、弹簧三个物体为系统, 则此系统受外力有斜面支持力N 、摩擦力f μ (将 斜面看成是地球的一部份时为非保守内力) , 而重力mg 和m 与弹簧接触时受到的弹性力均为保 守内力。物体A 的受力情况如图2-2( b ) 所示。因支持力N 不做功, 保守内力做功不必考虑, 只有摩擦 力对系统做功A f =-f μ AC , 选择C 点为重力势能零点, 系统在A 态的机械能:
1
mv A 2+mgh A (式中h A =AC sin θ=5sin θ) 2
121212
系统在C 态的机械能:E C =mv c +kx =kx （因为v c =0）
222
E A =
系统从A →C 的过程中，由功能原理得：
11
A 外+A 非内=E C -E A ，即A f =kx 2-(mv A 2+mgh A ) =-f μ AC
22
代入数据计算得K=1390Nm
若再求物体的回弹高度时，系统和中立势能零点的选取仍与前面相同。但运动过程可选为由C
-1
点开始弹出至物体能回到的高度h 止。则在此过程中（见图2-2（C ）） 摩擦力f 做功： A f =-f μ L =-f μh sin θ
12kx 2
D 处的（终态）机械能： E=mgh
C 处的（始态）机械能： E0=
对系统在C →D 过程中列出功能关系式为：
h 12
=mgh -kx A f =E -E 0即：-f μsin θ2
得：
h =
1
kx 2
f μmg +
将已知量x =0.2m , k =1390N /m , f =8N , θ=36.9 , m =2kg 代入可求得：h =0.85m
3. 结语
通过本文对功能原理的研究，使我们对功能原理有了更进一步的认识。同时我们也可以看出功能原理在求解问题中的应用。
参考文献
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致 谢
半年的时间，论文的写作已经完毕，由于经验不足，难免在写作中有瑕疵之处。如果没有指导老师的指导和同学们的帮忙，想要完成这篇论文是特别困难的。
首先感谢我的指导老师李祖海老师, 在我的论文写作过程中从资料的查找以及论文雏形的修改都给了我悉心的指导, 才使得我的论文得以顺利完成，还有李老师对教学和科研的不倦精神都对我以后的工作和学习生活有积极的影响。
再要感谢在我学习过程中的所有老师，给予我基础课程学习的帮助。还要感谢我的同窗们，给予我的鼓励。因为你们的帮助和鼓励才使得我的论文顺利完成。