专题九 指数函数
【高频考点解读】
1. 了解指数函数模型的实际背景．
2. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3. 理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4. 知道指数函数是一类重要的函数模型． 【热点题型】
题型一 指数函数性质的考查 例1、求下列函数的定义域和值域． 2－|x ＋1|2
(1)y ＝；(2)y ＝(3)y ＝
32＋1
x
.
【提分秘籍】
解决与指数函数的性质问题时应注意
(1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断． (2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用． 【举一反三】 已知函数f (x ) ＝
.
(1)若a ＝－1，求f (x ) 的单调区间； (2)若f (x ) 有最大值3，求a 的值．
【热点题型】
题型二 指数函数的图象及应用
例2、(1)已知函数f (x ) ＝(x －a )·(x －b )(其中a >b ) ，若f (x ) 的图象如图所示，则函数g (x ) ＝a x ＋b 的图象是(
)
(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．
【答案】 (1)A (2)[－1,1] 【提分秘籍】
1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
2．y ＝a x ，y ＝|a x |，y ＝a |x |(a >0且a ≠1)三者之间的关系： y ＝a x 与y ＝|a x |是同一函数的不同表现形式．
函数y ＝a |x |与y ＝a x 不同，前者是一个偶函数，其图象关于y 轴对称，当x ≥0时两函数图象相同．
【举一反三】
当a≠0时, 函数y=ax+b和y=bax 的图象只可能是下图中的(
)
【热点题型】
题型三 分类讨论思想在指数函数中的应用
例3、设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．
【提分秘籍】
分类讨论思想在指数函数中主要是涉及单调性问题，一般情况下，当指数函数的底数不明确时，要分a >1或0
本题主要考查换元法求二次函数最值及指数函数的单调性，解题时，换元后由于底数a 取值不定故要分两种情况进行讨论．
【举一反三】
若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________.
【高考风向标】
1．（2014·福建卷）若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是(
)
图1-
1
A
B
C
D
2．（2014·江西卷）已知函数f (x ) ＝5|x |，g (x ) ＝ax 2－x (a ∈R) ．若f [g (1)]＝1，则a ＝( )
A ．1 B ．2 C ．3 D ．－1
【答案】A
【解析】g (1)＝a －1，由f [g (1)]＝1，得5|a 1|＝1，所以|a －1|＝0，故a ＝1.
－
1111
3．（2014·辽宁卷）已知a ＝2b ＝log 2c ＝ ( )
3323A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a 【答案】C
111111
【解析】因为0log＝1，所以c >a >b .
332322
4．（2014·山东卷）设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( ) A ．[0，2] B ．(1，3) C ．[1，3) D ．(1，4) 【答案】C
【解析】根据已知得，集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{y |1≤y ≤4}，所以A ∩B ＝{x |1≤x ＜3}．故选C.
5．（2014·山东卷）已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1) ，则下列关系式恒成立的是( ) A.
11
＞ B. ln(x 2＋1) ＞ln(y 2＋1) x ＋1y ＋1
C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 3
6．（2014·陕西卷）下列函数中，满足“f (x ＋y ) ＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( )
1
A ．f (x ) ＝x B ．f (x ) ＝x 3
21x
C ．f (x ) ＝⎛ D ．f (x ) ＝3 ⎝2x
7．（2014·陕西卷）已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．
【答案】10
111
【解析】由4a ＝2，得a ＝lg x ＝a ，得lg x ＝，那么x ＝10 ＝10.
222
⎪1
8．（2013·安徽卷）已知一元二次不等式f(x)2，则f(10x )>0
⎪的解集为( )
A ．{x|x－lg 2} B ．{x|－1－lg 2} D ．{x|x
11
【解析】根据已知可得不等式f(x)>0的解是－1
229． （2013·湖南卷）设函数f(x)＝a x ＋b x －c x ，其中c>a>0，c>b>0.
(1)记集合M ＝{(a，b ，c)|a，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b}，则(a，b ，c) ∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为________；
(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
①②
∈(－∞，1) ，f(x)>0；
∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长；
∈(1，2) ，使f(x)＝0.
③若△ABC 为钝角三角形，则
10．（2013·浙江卷）已知x ，y 为正实数，则( )
A ．2lg x
＋lg y
＝2lg x＋2lg y B ．2lg(x
＋y)
＝2lg x·2lg y
lg y
C ．2lg x·＝2lg x＋2lg y D ．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
【答案】D
【解析】∵lg(xy)＝lg x＋lg y，∴2lg(xy)＝2lg x
＋lg y
＝2lgx 2lgy ，故选择D.
【随堂巩固】
41
1．已知a a
－的结果是( )
4A. 4a －1 B ．－4a －1 C. 1－4a D ．－1－4a 【答案】C
1244
【解析】a
－＝－4a ＝(1－4a ) ＝1－4a .
2．设函数f (x ) ＝a
－|x |
(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( ) B ．f (－1)>f (－2)
A ．f (－2)>f (－1) C ．f (1)>f (2) D ．f (－2)>f (2)
a π
3．若点(a, 9) 在函数y ＝3x 的图像上，则tan 的值为( )
6A ．0 C. 1
3 3
D. 3
4．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图像可能是(
)
5．给出下列结论：
3 22
①当a
②a ＝|a |(n >1，n ∈N ＋，n 为偶数) ；
1 27
③函数f (x ) ＝(x －2) －(3x －7) 0的定义域是{x |x ≥2且x ≠}；
31
④若2x ＝16,3y ＝x ＋y ＝7.
27其中正确的是( )
A ．①② C ．③④
B ．②③ D ．②④
6．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为( ) 1A. 2
B ．2
1
C ．4 D.
4
7．设a >0且a ≠1，则“函数f (x ) ＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x ) ＝(2－a ) x 3在R 上是增函数”的( )
A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
131311
－ 424222
8．若x >0，则(2x ＋3 )(2x －3 ) －4x (x －x ) ＝________.
【答案】－23
1311111 1－－ 4222222223【解析】原式＝(2x ) －(3 ) －4x ＋4x ＝4x －3－4x ＋4＝－23.
9．若函数f (x ) ＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则a ＝
________.
10. 若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．
1x －2＋－x x 11．已知2x 2x ≤⎛，则函数y ＝2－2的值域是________． ⎝4
－2x ＋b 12．已知定义域为R 的函数f (x ) ＝＋是奇函数． 2＋a
(1)求a ，b 的值；
(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t ) ＋f (2t 2－k )
13．已知f (x ) ＝3x ，并且f (a ＋2) ＝18，g (x ) ＝3ax －4x 的定义域为[－1,1]．
(1)求函数g (x ) 的解析式；
(2)判断g (x ) 的单调性；
(3)若方程g (x ) ＝m 有解，求m 的取值范围．
专题九 指数函数
【高频考点解读】
1. 了解指数函数模型的实际背景．
2. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3. 理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4. 知道指数函数是一类重要的函数模型． 【热点题型】
题型一 指数函数性质的考查 例1、求下列函数的定义域和值域． 2－|x ＋1|2
(1)y ＝；(2)y ＝(3)y ＝
32＋1
x
.
【提分秘籍】
解决与指数函数的性质问题时应注意
(1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断． (2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用． 【举一反三】 已知函数f (x ) ＝
.
(1)若a ＝－1，求f (x ) 的单调区间； (2)若f (x ) 有最大值3，求a 的值．
【热点题型】
题型二 指数函数的图象及应用
例2、(1)已知函数f (x ) ＝(x －a )·(x －b )(其中a >b ) ，若f (x ) 的图象如图所示，则函数g (x ) ＝a x ＋b 的图象是(
)
(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．
【答案】 (1)A (2)[－1,1] 【提分秘籍】
1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
2．y ＝a x ，y ＝|a x |，y ＝a |x |(a >0且a ≠1)三者之间的关系： y ＝a x 与y ＝|a x |是同一函数的不同表现形式．
函数y ＝a |x |与y ＝a x 不同，前者是一个偶函数，其图象关于y 轴对称，当x ≥0时两函数图象相同．
【举一反三】
当a≠0时, 函数y=ax+b和y=bax 的图象只可能是下图中的(
)
【热点题型】
题型三 分类讨论思想在指数函数中的应用
例3、设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．
【提分秘籍】
分类讨论思想在指数函数中主要是涉及单调性问题，一般情况下，当指数函数的底数不明确时，要分a >1或0
本题主要考查换元法求二次函数最值及指数函数的单调性，解题时，换元后由于底数a 取值不定故要分两种情况进行讨论．
【举一反三】
若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________.
【高考风向标】
1．（2014·福建卷）若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是(
)
图1-
1
A
B
C
D
2．（2014·江西卷）已知函数f (x ) ＝5|x |，g (x ) ＝ax 2－x (a ∈R) ．若f [g (1)]＝1，则a ＝( )
A ．1 B ．2 C ．3 D ．－1
【答案】A
【解析】g (1)＝a －1，由f [g (1)]＝1，得5|a 1|＝1，所以|a －1|＝0，故a ＝1.
－
1111
3．（2014·辽宁卷）已知a ＝2b ＝log 2c ＝ ( )
3323A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a 【答案】C
111111
【解析】因为0log＝1，所以c >a >b .
332322
4．（2014·山东卷）设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( ) A ．[0，2] B ．(1，3) C ．[1，3) D ．(1，4) 【答案】C
【解析】根据已知得，集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{y |1≤y ≤4}，所以A ∩B ＝{x |1≤x ＜3}．故选C.
5．（2014·山东卷）已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1) ，则下列关系式恒成立的是( ) A.
11
＞ B. ln(x 2＋1) ＞ln(y 2＋1) x ＋1y ＋1
C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 3
6．（2014·陕西卷）下列函数中，满足“f (x ＋y ) ＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( )
1
A ．f (x ) ＝x B ．f (x ) ＝x 3
21x
C ．f (x ) ＝⎛ D ．f (x ) ＝3 ⎝2x
7．（2014·陕西卷）已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．
【答案】10
111
【解析】由4a ＝2，得a ＝lg x ＝a ，得lg x ＝，那么x ＝10 ＝10.
222
⎪1
8．（2013·安徽卷）已知一元二次不等式f(x)2，则f(10x )>0
⎪的解集为( )
A ．{x|x－lg 2} B ．{x|－1－lg 2} D ．{x|x
11
【解析】根据已知可得不等式f(x)>0的解是－1
229． （2013·湖南卷）设函数f(x)＝a x ＋b x －c x ，其中c>a>0，c>b>0.
(1)记集合M ＝{(a，b ，c)|a，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b}，则(a，b ，c) ∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为________；
(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
①②
∈(－∞，1) ，f(x)>0；
∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长；
∈(1，2) ，使f(x)＝0.
③若△ABC 为钝角三角形，则
10．（2013·浙江卷）已知x ，y 为正实数，则( )
A ．2lg x
＋lg y
＝2lg x＋2lg y B ．2lg(x
＋y)
＝2lg x·2lg y
lg y
C ．2lg x·＝2lg x＋2lg y D ．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
【答案】D
【解析】∵lg(xy)＝lg x＋lg y，∴2lg(xy)＝2lg x
＋lg y
＝2lgx 2lgy ，故选择D.
【随堂巩固】
41
1．已知a a
－的结果是( )
4A. 4a －1 B ．－4a －1 C. 1－4a D ．－1－4a 【答案】C
1244
【解析】a
－＝－4a ＝(1－4a ) ＝1－4a .
2．设函数f (x ) ＝a
－|x |
(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( ) B ．f (－1)>f (－2)
A ．f (－2)>f (－1) C ．f (1)>f (2) D ．f (－2)>f (2)
a π
3．若点(a, 9) 在函数y ＝3x 的图像上，则tan 的值为( )
6A ．0 C. 1
3 3
D. 3
4．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图像可能是(
)
5．给出下列结论：
3 22
①当a
②a ＝|a |(n >1，n ∈N ＋，n 为偶数) ；
1 27
③函数f (x ) ＝(x －2) －(3x －7) 0的定义域是{x |x ≥2且x ≠}；
31
④若2x ＝16,3y ＝x ＋y ＝7.
27其中正确的是( )
A ．①② C ．③④
B ．②③ D ．②④
6．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为( ) 1A. 2
B ．2
1
C ．4 D.
4
7．设a >0且a ≠1，则“函数f (x ) ＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x ) ＝(2－a ) x 3在R 上是增函数”的( )
A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
131311
－ 424222
8．若x >0，则(2x ＋3 )(2x －3 ) －4x (x －x ) ＝________.
【答案】－23
1311111 1－－ 4222222223【解析】原式＝(2x ) －(3 ) －4x ＋4x ＝4x －3－4x ＋4＝－23.
9．若函数f (x ) ＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则a ＝
________.
10. 若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．
1x －2＋－x x 11．已知2x 2x ≤⎛，则函数y ＝2－2的值域是________． ⎝4
－2x ＋b 12．已知定义域为R 的函数f (x ) ＝＋是奇函数． 2＋a
(1)求a ，b 的值；
(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t ) ＋f (2t 2－k )
13．已知f (x ) ＝3x ，并且f (a ＋2) ＝18，g (x ) ＝3ax －4x 的定义域为[－1,1]．
(1)求函数g (x ) 的解析式；
(2)判断g (x ) 的单调性；
(3)若方程g (x ) ＝m 有解，求m 的取值范围．