7-6 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动
以上主要就单个渐开线齿轮进行了研究，下面将讨论一对渐开线齿轮啮合 传动的情况。 1．一对渐开线齿轮正确啮合的条件 前面我们已经知道，渐开线齿廓能满足定传动比传动，而且有很多优点，但 这并不等于说任意两个渐开线齿轮都能搭配起来正确地传动。譬如说，一个齿轮 的齿距很小， 而另一个齿轮的齿距却很大， 显然， 这两个齿轮是无法搭配传动的。 那末，一对渐开线齿轮要正确啮合传动，应该具备什么条件呢？为此，我们来对
图 7-24 所示的一对齿轮进行分析。
如前所述，一对渐开线齿轮在传动时，它们的齿廓啮合点都应在啮合线 上。 因此， 如图所示， 要使处于啮合线上的各对轮齿都能正确地进入啮合， 两齿轮的相邻两齿同侧齿廓间的法向齿距应相等。即
又因 ，将其代入式（
）后，可得两齿轮正确啮合的条件为： （7-22）
式中
、
及
、
分别为两轮的模数和压力角。如前所述由于模数和压力
角都已标准化了，所以要满足式（7-22），则应使 （7-23） 这就是说： 渐开线齿轮正确啮合的条件是： 两轮的模数和压力角应分别相等。 2．齿轮传动的中心距及啮合角 2.1 外啮合传动
图 7-25 所示为一对标准齿轮外啮合传动的情况，在确定其中心距时，应满
足以下两点要求： 1）保证两轮的齿侧间隙为零 齿侧间隙为零。在一对齿轮传动时，为了便于在相互啮合的 齿侧间隙为零 齿廓间进行润滑，及避免由于制造和装配误差，以及轮齿受力变形和因摩擦发热 而膨胀所引起的挤轧现象，在两轮的非工作齿侧间总要留有一定的间隙。但为了 减小或避免轮齿间的冲击，这种齿侧间隙一般都很小，通常是由制造公差来保证
的。而在计算齿轮的公称尺寸时，都按侧隙为零来考虑。而由图可见，一对齿轮 传动时，其侧隙的大小与中心距的大小有关。 2）保证两轮的顶隙 C 为标准值。在一对齿轮传动时，为了避免一轮的齿顶 与另一轮的齿根过渡曲线相抵触，并且为了有一些空隙以便储存润滑油，故在一 轮的齿顶圆与另一轮的齿根圆之间应留有一定的间隙，称为顶隙 顶隙，顶隙的标准值 顶隙 为 。而由图可见，当两轮的中心距不同时，其顶隙的大小也不同。 当顶隙为标准值 时，设两轮的中心距为 a，则
（7-24） 即两轮的中心距 a 应等于两轮分度圆半径之和， 我们把这种中心距称为标准中心 标准中心 距。 我们知道一对齿轮啮合时，两轮的节圆总是相切的，即两轮的中心距总是等 于两轮节圆半径之和。当两轮按标准中心距安装时，由上式可知两轮的分度圆也 是相切的，又由于 和 ，这说明在此情况
下，
两轮的节圆分别与其分度圆相重合。但在这里必须指出分度圆和节圆的区别：我 们知道， 节圆是当一对齿轮啮合传动时， 两齿轮上在节点处相切的一对圆。 所以， 只有当两齿轮啮合传动时才有节圆。对于一个单一的齿轮来说是不存在节圆的。 而且两齿轮节圆的大小显然是随其中心距的变化而变化的。 而齿轮的分度圆则是 一个大小完全确定的圆 （其直径 d ＝ mz） 不论这个齿轮是否与另一齿轮啮合， ， 也不论两轮的中心距如何变化，每个齿轮都有一个唯一的大小完全确定的分度 圆。两者不可混淆。 上面我们已经说明，当一对标准齿轮按标准中心距安装时，其顶隙可保证为 标准值，然而这时是否能满足侧隙为零的要求呢？我们知道一对齿轮在传动时， 其节圆作纯滚动，因此，欲使两齿轮的侧隙为零，需使一个齿轮在节圆上的齿厚 等于另一个齿轮在节圆上的齿槽宽。即 分度圆重合，因此有 安装时，无齿侧间隙的要求也能得到满足。 下面我们再来介绍啮合角的概念。 所谓齿轮传动的啮合角 是指两轮传动时 齿轮传动的啮合角， 齿轮传动的啮合角 其节点 P 的圆周速度方向与啮合线 之间产所夹的锐角。通常以 表示。根 及 。今两轮的节圆与其
。故知标准齿轮在按标准中心距
据啮合角的定义可知，啮合角就等于节圆压力角。对于标准齿轮，当其按标准中 心距安装时， 由于节圆与分度圆重合， 故啮合角也等于分度圆压力角， 即 。
当两轮的实际中心距 将原来的中心距 a 增大至
与标准中心距不相一致时，如图 7-25，b 所示，设 ，这时两轮的分度圆就不再相切而是相互分离开一
段距离。 节圆与分度圆也就不再重合， 两轮的节圆半径将大于各自的分度圆半径， 其啮合角 也将大于分度圆的压力角 ，轮 2 的基圆半径
而由图 7-25，a 可知，轮 1 的基圆半径 ，故有：
（a） 同理，由图 b 可得：
（b） 由（a）、（b）两式可求得齿轮的中心距与啮合角的关系式为：
（7-25）
2．2 齿轮与齿条啮合传动
图 7-26 为齿轮与齿条啮合传动的情况。其啮合线
于点
与齿轮的基圆相切 在无穷远处。
， 由于齿条的基圆为无穷大， 故啮合线与齿条基圆的切点
过齿轮轴心而与齿条分度线垂直的直线与啮合线的交点 P 即为传动的节点。 当齿轮与齿条标准安装（即齿轮的分度圆与齿条的分度线相切）时，齿轮的节圆 与分度圆重合，齿条的节线与分度线重合。故传动啮合角 力角，也等于齿条的齿形角。 当齿条沿径向线 远离或靠近齿轮（相当于中心距的改变）时，由于齿 等于齿轮分度圆压
条的齿廓是直线，所以不论齿条的位置如何改变，齿条的
齿廓总是与原始位置时 的齿廓平行的。又由于啮合线 装，啮合线 与齿廓垂直，所以不论齿轮齿条是否标准安 恒
的位置也总是不变的。因此齿轮与齿条啮合时，其啮合角
等于齿轮的分度圆压力角 此外，由于啮合线
（即齿条的齿形角）。 的位置不变，所以节点 P 的位置也不变，因此齿轮
节圆的大小也不变，而且恒与分度圆相重合。 总之，齿轮与齿条啮合时，不论是否标准安装，其啮合角 恒等于齿轮分
度圆的压力角 ；齿轮的节圆也恒与其分度圆重合。只是在非标准安装时，齿 条的节线与其分度线将不再重合而已。 3． 一对轮齿的啮合过程 如图 7-27 所示，为一对满足正确啮合条件的渐开线齿轮的啮合情况，设轮 1 为主动轮，以角速度 顺时针方向回转；轮 2 为从动轮，以角速度 为啮合线 逆时针
方向回转。两轮轮齿在啮合起始点
与从动轮齿顶圆的交
点）开始啮合。这时为主动轮的齿根与从动轮的齿顶接触。随着传动的进行，两 齿廓的啮合点将沿着啮合线 移动。而同时啮合点将分别沿着主动轮的齿
廓，由齿根逐渐走向齿顶；沿着从动轮的齿廓，由齿顶逐渐移向齿根。当啮合进 行到主动轮的齿顶圆与啮合线的交点 时，两轮齿即将脱离接触，故点 为两
轮轮齿的啮合终止点。从一对轮齿的啮合过程来看，啮合点实际所走过的轨迹只 是啮合线 上的一段 ，故特把 称为实际啮合线段 实际啮合线段。若将两齿轮的 实际啮合线段 ， 因而实
齿顶圆加大， 则点
将分别趋近于啮合线与两基圆的切点
际啮合线段将加长。但因基圆以内没有渐开线，所以两轮的齿顶圆与啮合线 的交点不得超过点 及 。因此，啮合线 、 是理论上可能的最长啮
合线段，特称为理论啮合线段 理论啮合线段，而点 理论啮合线段
则称为啮合极限点 啮合极限点。 啮合极限点
根据上面的分析可知，在两轮轮齿啮合的过程中，轮齿的齿廓并非全部都能 参加工作，而是只限于从齿顶到齿根的一段齿廓参加接触。实际上参加接触的这 一段齿廓称为齿廓的实际工作段，如图中影线部分所示。
7-6 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动
以上主要就单个渐开线齿轮进行了研究，下面将讨论一对渐开线齿轮啮合 传动的情况。 1．一对渐开线齿轮正确啮合的条件 前面我们已经知道，渐开线齿廓能满足定传动比传动，而且有很多优点，但 这并不等于说任意两个渐开线齿轮都能搭配起来正确地传动。譬如说，一个齿轮 的齿距很小， 而另一个齿轮的齿距却很大， 显然， 这两个齿轮是无法搭配传动的。 那末，一对渐开线齿轮要正确啮合传动，应该具备什么条件呢？为此，我们来对
图 7-24 所示的一对齿轮进行分析。
如前所述，一对渐开线齿轮在传动时，它们的齿廓啮合点都应在啮合线 上。 因此， 如图所示， 要使处于啮合线上的各对轮齿都能正确地进入啮合， 两齿轮的相邻两齿同侧齿廓间的法向齿距应相等。即
又因 ，将其代入式（
）后，可得两齿轮正确啮合的条件为： （7-22）
式中
、
及
、
分别为两轮的模数和压力角。如前所述由于模数和压力
角都已标准化了，所以要满足式（7-22），则应使 （7-23） 这就是说： 渐开线齿轮正确啮合的条件是： 两轮的模数和压力角应分别相等。 2．齿轮传动的中心距及啮合角 2.1 外啮合传动
图 7-25 所示为一对标准齿轮外啮合传动的情况，在确定其中心距时，应满
足以下两点要求： 1）保证两轮的齿侧间隙为零 齿侧间隙为零。在一对齿轮传动时，为了便于在相互啮合的 齿侧间隙为零 齿廓间进行润滑，及避免由于制造和装配误差，以及轮齿受力变形和因摩擦发热 而膨胀所引起的挤轧现象，在两轮的非工作齿侧间总要留有一定的间隙。但为了 减小或避免轮齿间的冲击，这种齿侧间隙一般都很小，通常是由制造公差来保证
的。而在计算齿轮的公称尺寸时，都按侧隙为零来考虑。而由图可见，一对齿轮 传动时，其侧隙的大小与中心距的大小有关。 2）保证两轮的顶隙 C 为标准值。在一对齿轮传动时，为了避免一轮的齿顶 与另一轮的齿根过渡曲线相抵触，并且为了有一些空隙以便储存润滑油，故在一 轮的齿顶圆与另一轮的齿根圆之间应留有一定的间隙，称为顶隙 顶隙，顶隙的标准值 顶隙 为 。而由图可见，当两轮的中心距不同时，其顶隙的大小也不同。 当顶隙为标准值 时，设两轮的中心距为 a，则
（7-24） 即两轮的中心距 a 应等于两轮分度圆半径之和， 我们把这种中心距称为标准中心 标准中心 距。 我们知道一对齿轮啮合时，两轮的节圆总是相切的，即两轮的中心距总是等 于两轮节圆半径之和。当两轮按标准中心距安装时，由上式可知两轮的分度圆也 是相切的，又由于 和 ，这说明在此情况
下，
两轮的节圆分别与其分度圆相重合。但在这里必须指出分度圆和节圆的区别：我 们知道， 节圆是当一对齿轮啮合传动时， 两齿轮上在节点处相切的一对圆。 所以， 只有当两齿轮啮合传动时才有节圆。对于一个单一的齿轮来说是不存在节圆的。 而且两齿轮节圆的大小显然是随其中心距的变化而变化的。 而齿轮的分度圆则是 一个大小完全确定的圆 （其直径 d ＝ mz） 不论这个齿轮是否与另一齿轮啮合， ， 也不论两轮的中心距如何变化，每个齿轮都有一个唯一的大小完全确定的分度 圆。两者不可混淆。 上面我们已经说明，当一对标准齿轮按标准中心距安装时，其顶隙可保证为 标准值，然而这时是否能满足侧隙为零的要求呢？我们知道一对齿轮在传动时， 其节圆作纯滚动，因此，欲使两齿轮的侧隙为零，需使一个齿轮在节圆上的齿厚 等于另一个齿轮在节圆上的齿槽宽。即 分度圆重合，因此有 安装时，无齿侧间隙的要求也能得到满足。 下面我们再来介绍啮合角的概念。 所谓齿轮传动的啮合角 是指两轮传动时 齿轮传动的啮合角， 齿轮传动的啮合角 其节点 P 的圆周速度方向与啮合线 之间产所夹的锐角。通常以 表示。根 及 。今两轮的节圆与其
。故知标准齿轮在按标准中心距
据啮合角的定义可知，啮合角就等于节圆压力角。对于标准齿轮，当其按标准中 心距安装时， 由于节圆与分度圆重合， 故啮合角也等于分度圆压力角， 即 。
当两轮的实际中心距 将原来的中心距 a 增大至
与标准中心距不相一致时，如图 7-25，b 所示，设 ，这时两轮的分度圆就不再相切而是相互分离开一
段距离。 节圆与分度圆也就不再重合， 两轮的节圆半径将大于各自的分度圆半径， 其啮合角 也将大于分度圆的压力角 ，轮 2 的基圆半径
而由图 7-25，a 可知，轮 1 的基圆半径 ，故有：
（a） 同理，由图 b 可得：
（b） 由（a）、（b）两式可求得齿轮的中心距与啮合角的关系式为：
（7-25）
2．2 齿轮与齿条啮合传动
图 7-26 为齿轮与齿条啮合传动的情况。其啮合线
于点
与齿轮的基圆相切 在无穷远处。
， 由于齿条的基圆为无穷大， 故啮合线与齿条基圆的切点
过齿轮轴心而与齿条分度线垂直的直线与啮合线的交点 P 即为传动的节点。 当齿轮与齿条标准安装（即齿轮的分度圆与齿条的分度线相切）时，齿轮的节圆 与分度圆重合，齿条的节线与分度线重合。故传动啮合角 力角，也等于齿条的齿形角。 当齿条沿径向线 远离或靠近齿轮（相当于中心距的改变）时，由于齿 等于齿轮分度圆压
条的齿廓是直线，所以不论齿条的位置如何改变，齿条的
齿廓总是与原始位置时 的齿廓平行的。又由于啮合线 装，啮合线 与齿廓垂直，所以不论齿轮齿条是否标准安 恒
的位置也总是不变的。因此齿轮与齿条啮合时，其啮合角
等于齿轮的分度圆压力角 此外，由于啮合线
（即齿条的齿形角）。 的位置不变，所以节点 P 的位置也不变，因此齿轮
节圆的大小也不变，而且恒与分度圆相重合。 总之，齿轮与齿条啮合时，不论是否标准安装，其啮合角 恒等于齿轮分
度圆的压力角 ；齿轮的节圆也恒与其分度圆重合。只是在非标准安装时，齿 条的节线与其分度线将不再重合而已。 3． 一对轮齿的啮合过程 如图 7-27 所示，为一对满足正确啮合条件的渐开线齿轮的啮合情况，设轮 1 为主动轮，以角速度 顺时针方向回转；轮 2 为从动轮，以角速度 为啮合线 逆时针
方向回转。两轮轮齿在啮合起始点
与从动轮齿顶圆的交
点）开始啮合。这时为主动轮的齿根与从动轮的齿顶接触。随着传动的进行，两 齿廓的啮合点将沿着啮合线 移动。而同时啮合点将分别沿着主动轮的齿
廓，由齿根逐渐走向齿顶；沿着从动轮的齿廓，由齿顶逐渐移向齿根。当啮合进 行到主动轮的齿顶圆与啮合线的交点 时，两轮齿即将脱离接触，故点 为两
轮轮齿的啮合终止点。从一对轮齿的啮合过程来看，啮合点实际所走过的轨迹只 是啮合线 上的一段 ，故特把 称为实际啮合线段 实际啮合线段。若将两齿轮的 实际啮合线段 ， 因而实
齿顶圆加大， 则点
将分别趋近于啮合线与两基圆的切点
际啮合线段将加长。但因基圆以内没有渐开线，所以两轮的齿顶圆与啮合线 的交点不得超过点 及 。因此，啮合线 、 是理论上可能的最长啮
合线段，特称为理论啮合线段 理论啮合线段，而点 理论啮合线段
则称为啮合极限点 啮合极限点。 啮合极限点
根据上面的分析可知，在两轮轮齿啮合的过程中，轮齿的齿廓并非全部都能 参加工作，而是只限于从齿顶到齿根的一段齿廓参加接触。实际上参加接触的这 一段齿廓称为齿廓的实际工作段，如图中影线部分所示。