排列组合题型总结
排列组合问题千变万化, 解法灵活, 条件隐晦, 思维抽象, 难以找到解题的突破口. 因而在求解排列组合应用题时, 除做到:排列组合分清, 加乘原理辩明, 避免重复遗漏外, 还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解.
直接法
特殊元素法
例1用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数, 试求满足下列条件的四位数各有多少个
(1)数字1不排在个位和千位
(2)数字1不在个位, 数字6不在千位.
分析:(1)个位和千位有5个数字可供选择, 其余2位有四个可供选择, 由乘法原理:=240
2. 特殊位置法
(2)当1在千位时余下三位有=60,1不在千位时, 千位有种选法, 个位有种, 余下的有, 共有=192所以总共有192+60=252
间接法当直接法求解类别比较大时, 应采用间接法. 如上例中(2)可用间接法=252
例2 有五张卡片, 它的正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9, 将它们任意三张并排放在一起组成三位数, 共可组成多少个不同的三位数
分析:此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用, 且用此卡片又分使用0与使用1, 类别较复杂, 因而可使用间接计算:任取三张卡片可以组成不同的三位数个, 其中0在百位的有个, 这是不合题意的. 故共可组成不同的三位数-=432(个)
插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时, 宜用插空法.
例3 在一个含有8个节目的节目单中, 临时插入两个歌唱节目, 且保持原节目顺序, 有多少中插入方法
分析:原有的8个节目中含有9个空档, 插入一个节目后, 空档变为10个, 故有=100中插入方法. 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时, 宜用捆绑法.
4名男生和3名女生共坐一排, 男生必须排在一起的坐法有多少种
分析:先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法, 而男生之间又有种排法, 又乘法原理满足条件的排法有:×=576
练习1. 四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中, 若使每个盒子不空, 则不同的放法有 种() 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观, 但每天只能安排一所学校, 其中有一所学校人数较多, 要安排连续参观2天, 其余只参观一天, 则植物园30天内不同的安排方法有()(注意连续参观2天, 即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有其余的就是19所学校选28天进行排列)
隔板法 名额分配或相同物品的分配问题, 适宜采隔板用法
例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队, 这12个人由8个班的学生组成, 每班至少一人, 名额分配方案共 种 .
分析:此例的实质是12个名额分配给8个班, 每班至少一个名额, 可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板, 一种插法对应一种名额的分配方式, 故有种
练习1.(a+b+c+d)15有多少项
当项中只有一个字母时, 有种(即a.b.c.d 而指数只有15故).
当项中有2个字母时, 有而指数和为15, 即将15分配给2个字母时, 如何分, 闸板法一分为2, 即
当项中有3个字母时指数15分给3个字母分三组即可
当项种4个字母都在时 四者都相加即可.
练习2. 有20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子里, 要求每个盒子内的球数不少
编号数, 问有多少种不同的方法 ()
练习3. 不定方程X1+X2+X3+…+X50=100中不同的整数解有()
平均分堆问题 例6 : 6本不同的书平均分成三堆, 有多少种不同的方法
分析:分出三堆书(a1,a2),(a3,a4),(a5,a6)由顺序不同可以有=6种, 而这6种分法只算一种分堆方式, 故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种
练习:1.6本书分三份,2份1本,1份4本, 则有不同分法
2. 某年级6个班的数学课, 分配给甲乙丙三名数学教师任教, 每人教两个班, 则分派方法的种数. 合并单元格解决染色问题
例7 (全国卷(文, 理)) 如图1, 一个地区分为5个行政区域, 现给地图着色, 要求相邻区域不 得使用同一颜色, 现有四种颜色可供选择, 则不同的着色方法共有 种(以数字作答).
分析:颜色相同的区域可能是2,3,4,5.
下面分情况讨论:
(ⅰ) 当2,4颜色相同且3,5颜色不同时, 将2,4合并成一个单元格, 此时不同的着色方法相当于4个元素 ①③⑤的全排列数
(ⅱ) 当2,4颜色不同且3,5颜色相同时, 与情形(ⅰ) 类似同理可得 种着色法.
(ⅲ) 当2,4与3,5 分别同色时, 将2,4;3,5分别合并, 这样仅有三个单元格
①
从4种颜色中选3种来着色这三个单元格, 计有种方法.
由加法原理知:不同着色方法共有2=48+24=72(种)
练习1(天津卷(文)) 将3种作物种植
1
2
3
4
5
在如图的5块试验田里, 每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ,
不同的种植方法共 种(以数字作答) (72)
2.(江苏, 辽宁, 天津卷(理)) 某城市中心广场建造一个花圃, 花圃6分为个部分(如图3), 现要栽种4种颜色的花, 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话, 不同的栽种方法有 种(以数字作答).(120)
图3 图4
3. 如图4, 用不同的5种颜色分别为ABCDE 五部分着色, 相邻部分不能用同一颜色, 但同一种颜色可以反复使用也可以不用, 则符合这种要求的不同着色种数.(540)
4. 如图5:四个区域坐定4个单位的人, 有四种不同颜色的服装, 每个单位的观众必须穿同种颜色的服装, 且相邻两区域的颜色不同, 不相邻区域颜色相同, 不相邻区域颜色相同与否不受限制, 那么不同的着色方法是 种(84)
图5 图6
5. 将一四棱锥(图6) 的每个顶点染一种颜色, 并使同一条棱的两端点异色, 若只有五种颜色可供使用, 则不同的染色方法共 种(420)
递推法
例八 一楼梯共10级, 如果规定每次只能跨上一级或两级, 要走上这10级楼梯, 共有多少种不同的走法
分析:设上n 级楼梯的走法为an 种, 易知a1=1,a2=2,当n≥2时, 上n 级楼梯的走法可分两类:第一类:是最后一步跨一级, 有an-1种走法, 第二类是最后一步跨两级, 有an-2种走法, 由加法原理知:an=an-1+ an-2,据此,a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法.
九. 几何问题
1. 四面体的一个顶点位A, 从其它顶点与各棱中点取3个点, 使它们和点A 在同一平面上, 不同的取法有 种(3+3=33)
2. 四面体的棱中点和顶点共10个点(1)从中任取3个点确定一个平面, 共能确定多少个平面 (-4+4-3+3-6C+6+2×6=29)
(2)以这10个点为顶点, 共能确定多少格凸棱锥 三棱锥 C104-4C64-6C44-3C44=141 四棱锥 6×4×4=96 3×6=18 共有114
先选后排法
例9 有甲乙丙三项任务, 甲需2人承担, 乙丙各需1人承担, 从10人中选派4人承担这三项任务, 不同的选派方法有( )
A.1260种 B.2025种 C.2520种 D.5054种
分析:先从10人中选出2人
十一. 用转换法解排列组合问题
例10. 某人连续射击8次有四次命中, 其中有三次连续命中, 按" 中" 与" 不中" 报告结果, 不同的结果有多少种.
解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球, 其中只有三个黑球相邻的排列问题.=20种
个人参加秋游带10瓶饮料, 每人至少带1瓶, 一共有多少钟不同的带法.
解 把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题.=126种
例12 从1,2,3,…,1000个自然数中任取10个不连续的自然数, 有多少种不同的去法. 解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球, 其其中黑球不相邻的排列问题.
某城市街道呈棋盘形, 南北向大街5条, 东西向大街4条, 一人欲从西南角走到东北角, 路程最短的走法有多少种.
解 无论怎样走必须经过三横四纵, 因此, 把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题.=35(种)
一个楼梯共18个台阶12步登完, 可一步登一个台阶也可一步登两个台阶, 一共有多少种不同的走法.
解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶,6个一步登两个台阶, 因此, 把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题.=924(种).
求(a+b+c)10的展开式的项数.
解 展开使的项为aαbβcγ,且α+β+γ=10,因此, 把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题.=66(种)
亚, 欧乒乓球对抗赛, 各队均有5名队员, 按事先排好的顺序参加擂台赛, 双方先由1号队员比赛, 负者淘汰, 胜者再与负方2号队员比赛, 直到一方全被淘汰为止, 另一方获胜, 形成一种比赛过程. 那么所有可能出现的比赛过程有多少种
解 设亚洲队队员为a1,a2,…,a5,欧洲队队员为b1,b2,…,b5,下标表示事先排列的出场顺序, 若以依次被淘汰的队员为顺序. 比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列, 最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员, 所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题, 比赛过程的总数为=252(种)
十二. 转化命题法
圆周上共有15个不同的点, 过其中任意两点连一弦, 这些弦在圆内的交点最多有多少个
分析:因两弦在圆内若有一交点, 则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形, 则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形, 因此这些现在圆内的交点最多有=1365(个)
十三. 概率法
一天的课程表要排入语文, 数学, 物理, 化学, 英语, 体育六节课, 如果数学必须排在体育之前, 那么该天的课程表有多少种排法
分析:在六节课的排列总数中, 体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等, 均为, 故本例所求的排法种数就是所有排法的, 即A=360种
十四. 除序法 例19 用1,2,3,4,5,6,7这七个数字组成没有重复数字的七位数中,
(1)若偶数2,4,6次序一定, 有多少个
(2)若偶数2,4,6次序一定, 奇数1,3,5,7的次序也一定的有多少个
解(1)(2)
十五. 错位排列
例20 同室四人各写一张贺卡, 先集中起来, 然后每人从中拿一张别人送出的卡片, 则不同的分配方法有 种(9)
公式 1) n=4时a4=3(a3+a2)=9种 即三个人有两种错排, 两个人有一种错排.
2)=n!(1-+-+…+
练习 有五位客人参加宴会, 他们把帽子放在衣帽寄放室内, 宴会结束后每人戴了一顶帽子回家, 回家后, 他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子, 问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种 (44)
2
排列组合题型总结
排列组合问题千变万化, 解法灵活, 条件隐晦, 思维抽象, 难以找到解题的突破口. 因而在求解排列组合应用题时, 除做到:排列组合分清, 加乘原理辩明, 避免重复遗漏外, 还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解.
直接法
特殊元素法
例1用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数, 试求满足下列条件的四位数各有多少个
(1)数字1不排在个位和千位
(2)数字1不在个位, 数字6不在千位.
分析:(1)个位和千位有5个数字可供选择, 其余2位有四个可供选择, 由乘法原理:=240
2. 特殊位置法
(2)当1在千位时余下三位有=60,1不在千位时, 千位有种选法, 个位有种, 余下的有, 共有=192所以总共有192+60=252
间接法当直接法求解类别比较大时, 应采用间接法. 如上例中(2)可用间接法=252
例2 有五张卡片, 它的正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9, 将它们任意三张并排放在一起组成三位数, 共可组成多少个不同的三位数
分析:此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用, 且用此卡片又分使用0与使用1, 类别较复杂, 因而可使用间接计算:任取三张卡片可以组成不同的三位数个, 其中0在百位的有个, 这是不合题意的. 故共可组成不同的三位数-=432(个)
插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时, 宜用插空法.
例3 在一个含有8个节目的节目单中, 临时插入两个歌唱节目, 且保持原节目顺序, 有多少中插入方法
分析:原有的8个节目中含有9个空档, 插入一个节目后, 空档变为10个, 故有=100中插入方法. 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时, 宜用捆绑法.
4名男生和3名女生共坐一排, 男生必须排在一起的坐法有多少种
分析:先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法, 而男生之间又有种排法, 又乘法原理满足条件的排法有:×=576
练习1. 四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中, 若使每个盒子不空, 则不同的放法有 种() 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观, 但每天只能安排一所学校, 其中有一所学校人数较多, 要安排连续参观2天, 其余只参观一天, 则植物园30天内不同的安排方法有()(注意连续参观2天, 即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有其余的就是19所学校选28天进行排列)
隔板法 名额分配或相同物品的分配问题, 适宜采隔板用法
例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队, 这12个人由8个班的学生组成, 每班至少一人, 名额分配方案共 种 .
分析:此例的实质是12个名额分配给8个班, 每班至少一个名额, 可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板, 一种插法对应一种名额的分配方式, 故有种
练习1.(a+b+c+d)15有多少项
当项中只有一个字母时, 有种(即a.b.c.d 而指数只有15故).
当项中有2个字母时, 有而指数和为15, 即将15分配给2个字母时, 如何分, 闸板法一分为2, 即
当项中有3个字母时指数15分给3个字母分三组即可
当项种4个字母都在时 四者都相加即可.
练习2. 有20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子里, 要求每个盒子内的球数不少
编号数, 问有多少种不同的方法 ()
练习3. 不定方程X1+X2+X3+…+X50=100中不同的整数解有()
平均分堆问题 例6 : 6本不同的书平均分成三堆, 有多少种不同的方法
分析:分出三堆书(a1,a2),(a3,a4),(a5,a6)由顺序不同可以有=6种, 而这6种分法只算一种分堆方式, 故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种
练习:1.6本书分三份,2份1本,1份4本, 则有不同分法
2. 某年级6个班的数学课, 分配给甲乙丙三名数学教师任教, 每人教两个班, 则分派方法的种数. 合并单元格解决染色问题
例7 (全国卷(文, 理)) 如图1, 一个地区分为5个行政区域, 现给地图着色, 要求相邻区域不 得使用同一颜色, 现有四种颜色可供选择, 则不同的着色方法共有 种(以数字作答).
分析:颜色相同的区域可能是2,3,4,5.
下面分情况讨论:
(ⅰ) 当2,4颜色相同且3,5颜色不同时, 将2,4合并成一个单元格, 此时不同的着色方法相当于4个元素 ①③⑤的全排列数
(ⅱ) 当2,4颜色不同且3,5颜色相同时, 与情形(ⅰ) 类似同理可得 种着色法.
(ⅲ) 当2,4与3,5 分别同色时, 将2,4;3,5分别合并, 这样仅有三个单元格
①
从4种颜色中选3种来着色这三个单元格, 计有种方法.
由加法原理知:不同着色方法共有2=48+24=72(种)
练习1(天津卷(文)) 将3种作物种植
1
2
3
4
5
在如图的5块试验田里, 每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ,
不同的种植方法共 种(以数字作答) (72)
2.(江苏, 辽宁, 天津卷(理)) 某城市中心广场建造一个花圃, 花圃6分为个部分(如图3), 现要栽种4种颜色的花, 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话, 不同的栽种方法有 种(以数字作答).(120)
图3 图4
3. 如图4, 用不同的5种颜色分别为ABCDE 五部分着色, 相邻部分不能用同一颜色, 但同一种颜色可以反复使用也可以不用, 则符合这种要求的不同着色种数.(540)
4. 如图5:四个区域坐定4个单位的人, 有四种不同颜色的服装, 每个单位的观众必须穿同种颜色的服装, 且相邻两区域的颜色不同, 不相邻区域颜色相同, 不相邻区域颜色相同与否不受限制, 那么不同的着色方法是 种(84)
图5 图6
5. 将一四棱锥(图6) 的每个顶点染一种颜色, 并使同一条棱的两端点异色, 若只有五种颜色可供使用, 则不同的染色方法共 种(420)
递推法
例八 一楼梯共10级, 如果规定每次只能跨上一级或两级, 要走上这10级楼梯, 共有多少种不同的走法
分析:设上n 级楼梯的走法为an 种, 易知a1=1,a2=2,当n≥2时, 上n 级楼梯的走法可分两类:第一类:是最后一步跨一级, 有an-1种走法, 第二类是最后一步跨两级, 有an-2种走法, 由加法原理知:an=an-1+ an-2,据此,a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法.
九. 几何问题
1. 四面体的一个顶点位A, 从其它顶点与各棱中点取3个点, 使它们和点A 在同一平面上, 不同的取法有 种(3+3=33)
2. 四面体的棱中点和顶点共10个点(1)从中任取3个点确定一个平面, 共能确定多少个平面 (-4+4-3+3-6C+6+2×6=29)
(2)以这10个点为顶点, 共能确定多少格凸棱锥 三棱锥 C104-4C64-6C44-3C44=141 四棱锥 6×4×4=96 3×6=18 共有114
先选后排法
例9 有甲乙丙三项任务, 甲需2人承担, 乙丙各需1人承担, 从10人中选派4人承担这三项任务, 不同的选派方法有( )
A.1260种 B.2025种 C.2520种 D.5054种
分析:先从10人中选出2人
十一. 用转换法解排列组合问题
例10. 某人连续射击8次有四次命中, 其中有三次连续命中, 按" 中" 与" 不中" 报告结果, 不同的结果有多少种.
解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球, 其中只有三个黑球相邻的排列问题.=20种
个人参加秋游带10瓶饮料, 每人至少带1瓶, 一共有多少钟不同的带法.
解 把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题.=126种
例12 从1,2,3,…,1000个自然数中任取10个不连续的自然数, 有多少种不同的去法. 解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球, 其其中黑球不相邻的排列问题.
某城市街道呈棋盘形, 南北向大街5条, 东西向大街4条, 一人欲从西南角走到东北角, 路程最短的走法有多少种.
解 无论怎样走必须经过三横四纵, 因此, 把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题.=35(种)
一个楼梯共18个台阶12步登完, 可一步登一个台阶也可一步登两个台阶, 一共有多少种不同的走法.
解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶,6个一步登两个台阶, 因此, 把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题.=924(种).
求(a+b+c)10的展开式的项数.
解 展开使的项为aαbβcγ,且α+β+γ=10,因此, 把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题.=66(种)
亚, 欧乒乓球对抗赛, 各队均有5名队员, 按事先排好的顺序参加擂台赛, 双方先由1号队员比赛, 负者淘汰, 胜者再与负方2号队员比赛, 直到一方全被淘汰为止, 另一方获胜, 形成一种比赛过程. 那么所有可能出现的比赛过程有多少种
解 设亚洲队队员为a1,a2,…,a5,欧洲队队员为b1,b2,…,b5,下标表示事先排列的出场顺序, 若以依次被淘汰的队员为顺序. 比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列, 最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员, 所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题, 比赛过程的总数为=252(种)
十二. 转化命题法
圆周上共有15个不同的点, 过其中任意两点连一弦, 这些弦在圆内的交点最多有多少个
分析:因两弦在圆内若有一交点, 则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形, 则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形, 因此这些现在圆内的交点最多有=1365(个)
十三. 概率法
一天的课程表要排入语文, 数学, 物理, 化学, 英语, 体育六节课, 如果数学必须排在体育之前, 那么该天的课程表有多少种排法
分析:在六节课的排列总数中, 体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等, 均为, 故本例所求的排法种数就是所有排法的, 即A=360种
十四. 除序法 例19 用1,2,3,4,5,6,7这七个数字组成没有重复数字的七位数中,
(1)若偶数2,4,6次序一定, 有多少个
(2)若偶数2,4,6次序一定, 奇数1,3,5,7的次序也一定的有多少个
解(1)(2)
十五. 错位排列
例20 同室四人各写一张贺卡, 先集中起来, 然后每人从中拿一张别人送出的卡片, 则不同的分配方法有 种(9)
公式 1) n=4时a4=3(a3+a2)=9种 即三个人有两种错排, 两个人有一种错排.
2)=n!(1-+-+…+
练习 有五位客人参加宴会, 他们把帽子放在衣帽寄放室内, 宴会结束后每人戴了一顶帽子回家, 回家后, 他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子, 问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种 (44)
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