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第一篇：应用题专题知识框架体系
一、和差倍问题 （一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差，直线两端植树： 棵数段数1全长株距1；
1
求这两个数。
方法①：（和－差）2较小数，和较
小数较大数
方法②：（和差）2较大数，和较
大数较小数
例如：两个数的和是15，差是5，求这两
个数。
方法：(155)25，(155)210.
（二） 和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系，求这两个数。
方法：和（倍数1）1倍数（较小数）
1倍数（较小数）倍数几倍数
（较大数）
或 和1倍数（较小数）几倍数（较
大数）
例如：两个数的和为50，大数是小数的4
倍，求这两个数。
方法：50(41)10 10440
（三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数。
方法：差（倍数1）1倍数（较小数）
1倍数（较小数）倍数几倍数
（较大数）
或 和1倍数（较小数）几倍数（较
大数）
例如：两个数的差为80，大数是小数的5
倍，求这两个数。
方法：80(51)20 205100
二、年龄问题
年龄问题的三大规律：
1．两人的年龄差是不变的；
2．两人年龄的倍数关系是变化的量；
3．随着时间的推移，两人的年龄都是增加相
等的量．
解答年龄问题的一般方法是：
几年后年龄大小年龄差倍数差小年龄， 几年前年龄小年龄大小年龄差倍数差． 三、植树问题
（一）不封闭型（直线）植树问题
全长株距（棵数1）； 株距全长（棵数1）；
2 直线一端植树： 全长株距棵数；
棵数全长株距； 株距全长棵数；
3 直线两端都不植树： 棵数段数1全长
株距1；
株距全长（棵数1）；
（二） 封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问
题
棵数总距离棵距； 总距离棵数棵距； 棵距总距离棵数． 四、方阵问题
在方阵问题中，横的排叫做行，竖的排叫做列，如果行数和列数都相等，则正好排成一个正方形，就是所谓的“方阵”。 方阵的基本特点是：
①方阵不论在哪一层，每边上的人
（或物）数量都相同．每向里一层，每边上的人数就少2，每层总数就少8．
②每边人（或物）数和每层总数的关系： 每层总数[每边人（或物）数
1]4； 每边人（或物）数=每层总数41．
③实心方阵：总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数．
五、还原问题
已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题． 还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算
过程中采用相反的运算，逐步逆推．
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．
六、盈亏问题
按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问题的含义．
一般地，一批物品分给一定数量的人，第一种分配方法有多余的物品(盈)，第二种分配方法则不足(亏)，当两种分配方法相差n个物品时，那就有： 盈数亏数人数n，
这是关于盈亏问题很重要的一个关系式．
解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括：
(盈亏)两次分得之差人数或单位数，
(盈盈)两次分得之差人数或单位数，
(亏亏)两次分得之差人数或单位数．
解盈亏问题的关键是要找到：什么情况下会盈，盈多少？什么情况下“亏”，“亏”多少？找到盈亏的根源和几次盈亏结果不同的原因．
另外在解题后，应进行验算． 七、假设问题
鸡兔同笼，这是一个古老的数学问题，在现实生活中也是普遍存在的．重点掌握鸡兔同笼问题的解法——假设法，并会将这种方法应用到一些实际问题中.
解鸡兔同笼问题的基本关系式是：
鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数
当然，也可以先假设全是鸡，那么就有： 兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数 八、牛吃草问题
（一）牛吃草的由来
在英国伟大的科学家牛顿所著的《普通算术》一书中有一道非常有名的关于牛在牧场上吃草的题目：“12头牛4周吃牧草313
格尔(格尔：牧场面积单位)，同样的牧草，21头牛9周吃10格尔．问24格尔牧草，多少头牛吃18周吃完？”后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”，也称为“牛吃草”问题．
（二）牛吃草的解题步骤
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；
⑵草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)；
⑶原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；
⑷吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)；
⑸牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度．
（三）牛吃草的变式题
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．
（四）多块草地的牛吃草问题
多块草地的“牛吃草”问题，一般要将草地面积变得统一，一般情况下可以找多块草地面积的最小公倍数，这样可以避开小数分数运算，但如果数据较大时我们一般把面积统一为“1”相对会简单些。 九、工程问题
工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。
1.解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率×工作时间=工作总量，表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。
2.利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等。抛开“工作总量”，和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问题求的是时间。 有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”，甚至会表现为“行程问题”、“经济价格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。 十、浓度问题
将糖溶于水就得到了糖水，糖水甜的程度是由糖与糖水二者重量的比值决定的．糖与糖水重量的比值叫糖水的浓度，这个比值一般我
们将它写成百分数．其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液．不光是糖水中存在着浓度，我们日常生活中的盐水、酒精等溶液只能够都存在着浓度的问题．
⑴浓度问题相关公式：
溶液溶质溶剂
；浓度
溶质溶液100%溶质
溶质溶剂
100%． ⑵常用方法：
①抓不变量：一般情况下在经济问题中成本是不变量，浓度问题中溶剂是不变量，我们可以用画图来分析；
②方程法：对于经济浓度问题，采用方程来求解是简便、有效的方法；
③十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)；形象表达：
④浓度三角：浓度三角在解决浓度问题时非常有用．
第二篇：习题汇编 1. 商店进了300支钢笔，每售出1支，可获40%的利润当这批钢笔售出芸时，共获得利润750元，求每支钢笔的进货价. 2. 商场以每个3.2元的价格购进了一批文具盒，每个售价5元，还剩下80个没售出时，除了成本已经获利500元．问这批文具盒一共有多少个? 3. 人民商厦运来一批彩电，按定价出售可以获利2.8万元，如果按定价的九五折出售，则仍可获利2000元．问彩电的成本价共是多少元? 4. 红星商场进了一批玩具，六月一日这天以定价的八折出售，当天售出的玩具仍可获得10%的利润，问这批玩具定价时的利润是百分之几?
十一、利润问题
商店出售商品时，为了获得最大的利润，商家总是“低进高出”，只有这样才能赚取差价，这个差价就会产生利润．实际上，在商品贸易上的许多数学问题都会涉及到三个量：成本、利润及定价．
成本——购进商品所需的本钱，又叫进价或成本价；
定价——商品出售的价格，又叫售价或卖卖价；
利润——产品定价中高于成本以上的那一部分．
为了衡量获得利润的大小，通常采用：“利润百分数”或“利润率”这个量：
售价成本利润，利润率
利润成本100%售价成本成本100%售价成本1
100%由上面的公式还可以引申出下面两个公式： 售价=成本（1+利润率）
，成本售价
1+利润率
．
5. 一批商品，按照能获得50%的利润定价，结果只销掉了70%的商品．为尽快将剩下的商品销
售出去，商店决定打折出售，这样所获得的全部利润是原来能获利润的82%．问剩下的商品打了多少折出售?
6. 有300克浓度为10%的盐水．现在要将这盐水的浓度变为8%，问应加入多少克水?
7. 要从含糖16%的20千克糖水中蒸去水分，制出含糖20%的糖水，问应当蒸去多少千克水分?
8. 要配制浓度为20%的硫酸溶液1000克，需要用
浓度为18%和23%的硫酸溶液各多少克?
9. 大瓶酒精溶液是小瓶酒精溶液的2倍，大瓶酒精溶液的浓度为20%，小瓶酒精溶液的浓度为35%．将两瓶酒精溶液混合后，酒精溶液的浓
度是多少?
10. 在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精的含
量分别占48%、62.5%和2
3
．已知三缸酒精溶液
总量是100千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量．三缸溶液混合后，听含纯酒精的百分数将达56%，那么，丙缸中纯酒精的量是多少千克?(1997年小学数学奥林匹克预赛C卷第12题)
11. 甲瓶中有纯酒精11升，乙瓶中有水15升，
第一次将甲瓶中的一部分酒精倒入乙瓶中，使酒精和水混合．第二次将乙瓶中的一部分混合液倒入甲瓶中．这样，甲瓶中的纯酒精含量为62.5%，乙瓶中的纯酒精含量为25%．问第二次从乙瓶倒人甲瓶的混合液是多少升?
12. 李明和王林在周长为400米的环形跑道上练
习跑步，李明每分钟跑200米，是王林每分钟
跑的8
9
，如果两人从同一地点出发，沿同一方
向前进，问至少要经过几分钟两人才能相遇?
13. 从360米长的环形跑道上的同一地点向相同
方向跑步，甲每分钟跑305米，乙每分钟跑275米，两人起跑后，问第一次相遇在离起点多少米处?
14. 绕湖一周是21.1千米，小明和小华从湖边同一地点同时相背而行小明以每小时4.6千米的速
度每走1小时后就休息5分钟，小华以每小时5.4千米的速度每走50分钟后就休息10分钟，问两人出发后多少小时相遇?
15. 12点整时，钟面上的时针、分针和秒针刚好重合．那么，再过多长时间，钟面上的时针和分针再次重合?重合时，时针、分针分别走了几圈几格?(钟面一圈分成60格)
16. 有一个台式钟，在3月29日零时比标准时间慢4分半，它一直走到4月5日上午7时，比标准时间快3分钟，那么这个台钟所指时间是正确的时刻在几月几日几时?
17. 小红和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍,小红有________岁,妈妈有 __岁.
5
18. 甲、乙、丙、丁四个人一共做了370个零件,
如果把甲做的个数加2,乙做的个数减3,丙做的个数乘2,丁做的个数除以2,四个人做的零件个数正好相等,问四个人各做多少个零件?
19. 叔叔比小华大20岁，明年叔叔的年龄是小华
的3倍，小华今年_______岁.
20. 女儿今年(1994年)12岁，妈妈对女儿说：“当
你有我这么大岁数时，我已经60岁喽!”问：妈妈12岁时，是哪一年？
21. 五位老人的年龄互不相同，其中年龄最大的
比年龄最小的大6岁，已知他们的平均年龄为85岁，其中年龄最大的一位老人为________.
22.
今年父亲的年龄为儿子的年龄的4倍，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍，儿子今年_______岁。
23. 今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27
岁，23岁，16岁，经过年后爷爷的等于三个孙了的年龄的和。
24. 四个人年龄之和是77岁，最小的10岁，他
与最大的年龄之和比另外二人年龄之和大7岁，
那么最大的岁数是_______。
25. 有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的2
倍时，丙是22岁；当乙的年龄是丙的2倍，甲
是31岁；当甲60岁时，丙是________岁。
26. 甲、乙、丙、丁四人现在的年龄和是64岁，
甲21岁时，乙17岁；甲18岁时，丙的年龄是丁的3倍，丁现在的年龄的________岁。
27. 今年，小明的父母年龄之和是小明的6倍，4
年后小明的父母亲年龄之和是小明的5倍，已知小明的父亲比他的母亲大2岁，那么，今年小明父亲________岁。
28. 有甲、乙、丙三人，丙的年龄是甲年龄的
316
，乙今年14岁，又知丙的年龄是甲、乙年龄之差的1
3
，丙今年________岁。
29. 爸爸在过50岁生日时，弟弟说：“等我长到哥哥现在的年龄时，那时我和哥哥的年龄之和正好等于那时爸爸的年龄。”那么哥哥现在_________岁。
30. 甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，
你才5岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将50，”那么甲现在________岁，乙现在_________岁。
31. 六年级同学乘汽车到某地旅游，买车票99张，
共花28元，其中单程票每张0.2元，往返票每张.4元。那么单程票和往返票相差________张。
32. 三种昆虫共18只，它们共有20对翅膀116
条腿，其中每只蜘蛛是无翅8条腿，每只蜻蜓是2对翅膀6条腿，蝉是1对翅膀6条腿，问这三种昆种各多少只？
33. 启蒙书社五天内卖出和
生手册>共120本。第本5元，每本3.75元，营业员统计的结果表明：这五天所卖的收入比卖的收入多162.5元，这五天内启蒙书社卖出的和各多少本？
34. 王村小学举行数学竞赛，共10道题，每做对
一道题得10分，每做错一道题倒扣2分，小明得了64分，他做错了几道题？
35. 某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得
5分，没做或做错都要扣3分，小聪得了60分，他做对了________道题。
36. 某小学举行一次数学竞赛，共15道题，每做
对一题得8分，每做错一题倒扣4分，小明共得72分，他做对了________道题。
37. 春风小学3名云参加数学竞赛，共10道题，
答对一道题得10分，答错一道题扣3分，这3名同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分，他们三人一共答对了________道题。
38. 箱子里面有红、白两种玻璃球，红球数是白
球数的3倍多2只，每次从箱子里取出7只白球，53只红球，那么，箱子里原有红球数________只。
39. 原有男、女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5%，总人数增加16人，那么现
有男同________人。
40. 一根木料长21米，把它据成3米长的一段，
每据一段用6分钟，共用________分钟。
41. 科学家进行一项实验，每隔五小时做一次记
录。做第十二次记录时，挂钟时针恰好指向9，问做第一次记录时，时针指向几？
42. 从运动场一端到另一端全长96米，从一端起47.
在田径运动会上，甲、乙、丙三人沿400米环到另一端每隔4米插一面小红旗。现在要改成每隔6米插一面小红旗，问可以不拔出来的小红旗有多少面？
43. 有一块三角形地，三条边分别为120米、150
米、80米，每10米种一颗树，那么三条边上共
种________棵树。
44. 园林工人要在周长300米的圆形花坛边等距
离地栽上树。他们先沿着花坛的边每隔3米挖一个坑，当挖完30个坑时，突然接到通知：改为每隔5米栽一颗树。这样，他们还要挖多少个坑才能完成任务？
45. 四年级三班上操正好排成人数相等的三行，
小明排在中间一行，从前从后数都是第八个。那么这个班有学生________人。
46. 四年级三个班的同学在河堤上种了一排树共
80棵。从左往右数，第58棵起往右数都是一班种的；从右往左数，第63棵起往左都是三班种的；那么二班种了________棵。
形跑道进行800米跑比赛．当甲跑完1圈时，
乙比甲多跑11
7圈，丙比甲少跑7
圈．如果他们
各自跑步的速度始终不变．那么，当乙到达终点时，丙离终点还有_________米.
48. 六(1)班和六(2)班同学买同一种电影票．六
(1)班48人共付164
元，六(2)班共付了153元，问六年级两班共有多少人?
49. 某运输队运一批大米．第一天运走总数的5多
60袋，第二天运走总数的4少60袋．还剩下220袋没有运走。这批大米原来一共有多少袋？(只列式，不计算)
50. 某市派出60名选手参加1998年“贝贝杯”少
年田径邀请赛，其中女选手占1
4
．正式比赛时，
有几名女选手因故缺席，这样就使女选手人数变为参赛选手总数的2
11
．正式参赛的女选手只有 名．
3、竞赛篇 51. 将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友，原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为5:4:3，实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7:6:5，
其中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果，那么这位小朋友是 （填“甲”、“乙”或“丙”），他实际所得的糖果数为 块。 52. 悉尼与北京的时差是3小时，例如：当悉尼时间是12:00时，则北京时间是9:00。某日，当悉尼时间是9:15时，小马和小杨分别乘机从悉尼和北京同时出发去对方所在地，小马于北京时间19:33到达北京。小马和小杨路途上所用时间之比为7:6，那么小杨到达悉尼时，当地时间是 。 53. 星期天小明、小强和小佳一起去采摘。小强说：“我摘的苹果最多了，比你们俩的苹果总和还多1个。”小明回答说：“是啊，你比我多摘了10个，但我比小佳多摘10个。
”那么，他们三个人共摘了 个苹果。
54. 一个书架上有数学、语文、英语、历史4种书共27本，且每种书的数量互不相同。其中数学书和英语书共有12本，语文书和英语书共有13本。有一种书恰好有7本，是 书。 55. 有两盒围棋子，第一盒中的白子数量是黑子数量的9倍，第二盒中的黑子数量是白子数量的9
倍；两盒中白子的总数是黑子总数的4倍，那么第一盒中棋子数量是第二盒中棋子数量的 倍。 56. 箱子里装有同样数量的乒乓球和羽毛球。每次取出5个乒乓球和3个羽毛球，取几次之后，乒乓球恰好没了，羽毛球还有6个，则一共取了________次，原来有乒乓球和羽毛球各________个。 57. 甲、乙两人要从网上下载同一个100兆大小的软件，他们同时用各自家中的电脑开始下载，甲的网速较快，下载速度是乙的5倍，但是当甲下载到一半时，由于网络故障出现断网，而乙家的网络一直正常。当甲的网络恢复正常时，继续下载到99兆时（已经下载的部分无需从新下载），乙已经下载完了，则甲断网期间乙下载了________兆。
58. 甲、乙、丙三件商品，甲的价格比乙的价格
少20%，甲的价格比丙的价格多20%；那么，乙的价格比丙的价格多________%。
65. 前年，父亲年龄是儿子年龄的4倍；后年，父
亲年龄是儿子年龄的3倍。父亲今年 岁。
59. 一只猴吃63只桃，第一天吃了一半加半只， 以后每天吃前一天剩下的一半再加半只，则 天后桃子被吃完。 60. 小辉的家在学校的东边2千米处，小英的家在小辉的家的北边2千米处，小红的家在小英的家的西边2千米处，则小红的家离学校 千米处。 61. 一条马路长200米，在马路两侧每隔4米种一棵树，则一共要种树 棵。 62. 小华的语文、数学的平均成绩是90分，语文、数学、英语三科的平均成绩是93分，由此可知小华的英语成绩是 分。 63. 若2008AB，并且AB35，则A
64. 两袋水果共有20个，从第1袋取出7个水果放入第2袋，两袋中的水果个数相同，则第1袋中原有水果 个。
66. 某玩具店新购进飞机和汽车模型共30个，其中飞机模型每个有3个轮子，汽车模型每个有4个轮子，这些玩具模型共有110个轮子。则新购进的飞机模型有 个。 67. 一项工程，甲单独完成需12小时，乙单独完成需15小时。甲乙合作1小时后，由甲单独做1小时，再由乙单独做1小时，„„，甲、乙如此交替下去，则完成该工程共用 小时。 68. 一项工程，甲队单独完成需40天，若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需20天可完成。如果乙队单独完成此工程，则需 天。 69. 幼儿园的王阿姨今年的年龄是小华今年年龄的8倍，是小华3年后年龄的4倍，则小华今年
岁。 70. 购买3斤苹果、2斤桔子需6.90元；购买8斤苹果、9斤桔子22.80元，那么苹果、桔子各买一斤需 元。
10
11
2、提高篇
31. 7.5 32. 500 33. 49.2 34. 37.5 35. 8 36. 75. 第三篇：参考答案
72. 9 73. 35 74. 54 75. 45 76. 39 77. 200 78. 93
79. （2206060）（1）1137. 4 38. 400 39. 25 40. 12 41. 6 42. 16 43. 60 44. 2 45. 65
511分钟，5511格，1圈55
11
格46. 4月2日9时 47. 32
48. 41,80,85,164 49. 9 50. 1970 51. 88 52. 10 53. 6 54. 90 55. 32 56. 8 57. 37 58. 6 59. 25 60. 20 61. 17
62. 蜘蛛4只，蝉8只，蜻蜓6只 63．70 64．3 65．15 66．11 67．20 68．106 69．170 70．36 71. 2
80. 10
3、竞赛篇
81．150 82. 20:39 83. 57 84. 7 85. 7
86. 3，15 87. 80.2兆 88. 50% 89. 6 90. 2 91. 102 92. 99 93. 753 94. 17 95. 34 96. 10 97. 12.25 98. 60 99. 3 100. 2.70
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第一篇：应用题专题知识框架体系
一、和差倍问题 （一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差，直线两端植树： 棵数段数1全长株距1；
1
求这两个数。
方法①：（和－差）2较小数，和较
小数较大数
方法②：（和差）2较大数，和较
大数较小数
例如：两个数的和是15，差是5，求这两
个数。
方法：(155)25，(155)210.
（二） 和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系，求这两个数。
方法：和（倍数1）1倍数（较小数）
1倍数（较小数）倍数几倍数
（较大数）
或 和1倍数（较小数）几倍数（较
大数）
例如：两个数的和为50，大数是小数的4
倍，求这两个数。
方法：50(41)10 10440
（三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数。
方法：差（倍数1）1倍数（较小数）
1倍数（较小数）倍数几倍数
（较大数）
或 和1倍数（较小数）几倍数（较
大数）
例如：两个数的差为80，大数是小数的5
倍，求这两个数。
方法：80(51)20 205100
二、年龄问题
年龄问题的三大规律：
1．两人的年龄差是不变的；
2．两人年龄的倍数关系是变化的量；
3．随着时间的推移，两人的年龄都是增加相
等的量．
解答年龄问题的一般方法是：
几年后年龄大小年龄差倍数差小年龄， 几年前年龄小年龄大小年龄差倍数差． 三、植树问题
（一）不封闭型（直线）植树问题
全长株距（棵数1）； 株距全长（棵数1）；
2 直线一端植树： 全长株距棵数；
棵数全长株距； 株距全长棵数；
3 直线两端都不植树： 棵数段数1全长
株距1；
株距全长（棵数1）；
（二） 封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问
题
棵数总距离棵距； 总距离棵数棵距； 棵距总距离棵数． 四、方阵问题
在方阵问题中，横的排叫做行，竖的排叫做列，如果行数和列数都相等，则正好排成一个正方形，就是所谓的“方阵”。 方阵的基本特点是：
①方阵不论在哪一层，每边上的人
（或物）数量都相同．每向里一层，每边上的人数就少2，每层总数就少8．
②每边人（或物）数和每层总数的关系： 每层总数[每边人（或物）数
1]4； 每边人（或物）数=每层总数41．
③实心方阵：总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数．
五、还原问题
已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题． 还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算
过程中采用相反的运算，逐步逆推．
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．
六、盈亏问题
按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问题的含义．
一般地，一批物品分给一定数量的人，第一种分配方法有多余的物品(盈)，第二种分配方法则不足(亏)，当两种分配方法相差n个物品时，那就有： 盈数亏数人数n，
这是关于盈亏问题很重要的一个关系式．
解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括：
(盈亏)两次分得之差人数或单位数，
(盈盈)两次分得之差人数或单位数，
(亏亏)两次分得之差人数或单位数．
解盈亏问题的关键是要找到：什么情况下会盈，盈多少？什么情况下“亏”，“亏”多少？找到盈亏的根源和几次盈亏结果不同的原因．
另外在解题后，应进行验算． 七、假设问题
鸡兔同笼，这是一个古老的数学问题，在现实生活中也是普遍存在的．重点掌握鸡兔同笼问题的解法——假设法，并会将这种方法应用到一些实际问题中.
解鸡兔同笼问题的基本关系式是：
鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数
当然，也可以先假设全是鸡，那么就有： 兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数 八、牛吃草问题
（一）牛吃草的由来
在英国伟大的科学家牛顿所著的《普通算术》一书中有一道非常有名的关于牛在牧场上吃草的题目：“12头牛4周吃牧草313
格尔(格尔：牧场面积单位)，同样的牧草，21头牛9周吃10格尔．问24格尔牧草，多少头牛吃18周吃完？”后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”，也称为“牛吃草”问题．
（二）牛吃草的解题步骤
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；
⑵草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)；
⑶原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；
⑷吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)；
⑸牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度．
（三）牛吃草的变式题
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．
（四）多块草地的牛吃草问题
多块草地的“牛吃草”问题，一般要将草地面积变得统一，一般情况下可以找多块草地面积的最小公倍数，这样可以避开小数分数运算，但如果数据较大时我们一般把面积统一为“1”相对会简单些。 九、工程问题
工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。
1.解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率×工作时间=工作总量，表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。
2.利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等。抛开“工作总量”，和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问题求的是时间。 有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”，甚至会表现为“行程问题”、“经济价格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。 十、浓度问题
将糖溶于水就得到了糖水，糖水甜的程度是由糖与糖水二者重量的比值决定的．糖与糖水重量的比值叫糖水的浓度，这个比值一般我
们将它写成百分数．其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液．不光是糖水中存在着浓度，我们日常生活中的盐水、酒精等溶液只能够都存在着浓度的问题．
⑴浓度问题相关公式：
溶液溶质溶剂
；浓度
溶质溶液100%溶质
溶质溶剂
100%． ⑵常用方法：
①抓不变量：一般情况下在经济问题中成本是不变量，浓度问题中溶剂是不变量，我们可以用画图来分析；
②方程法：对于经济浓度问题，采用方程来求解是简便、有效的方法；
③十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)；形象表达：
④浓度三角：浓度三角在解决浓度问题时非常有用．
第二篇：习题汇编 1. 商店进了300支钢笔，每售出1支，可获40%的利润当这批钢笔售出芸时，共获得利润750元，求每支钢笔的进货价. 2. 商场以每个3.2元的价格购进了一批文具盒，每个售价5元，还剩下80个没售出时，除了成本已经获利500元．问这批文具盒一共有多少个? 3. 人民商厦运来一批彩电，按定价出售可以获利2.8万元，如果按定价的九五折出售，则仍可获利2000元．问彩电的成本价共是多少元? 4. 红星商场进了一批玩具，六月一日这天以定价的八折出售，当天售出的玩具仍可获得10%的利润，问这批玩具定价时的利润是百分之几?
十一、利润问题
商店出售商品时，为了获得最大的利润，商家总是“低进高出”，只有这样才能赚取差价，这个差价就会产生利润．实际上，在商品贸易上的许多数学问题都会涉及到三个量：成本、利润及定价．
成本——购进商品所需的本钱，又叫进价或成本价；
定价——商品出售的价格，又叫售价或卖卖价；
利润——产品定价中高于成本以上的那一部分．
为了衡量获得利润的大小，通常采用：“利润百分数”或“利润率”这个量：
售价成本利润，利润率
利润成本100%售价成本成本100%售价成本1
100%由上面的公式还可以引申出下面两个公式： 售价=成本（1+利润率）
，成本售价
1+利润率
．
5. 一批商品，按照能获得50%的利润定价，结果只销掉了70%的商品．为尽快将剩下的商品销
售出去，商店决定打折出售，这样所获得的全部利润是原来能获利润的82%．问剩下的商品打了多少折出售?
6. 有300克浓度为10%的盐水．现在要将这盐水的浓度变为8%，问应加入多少克水?
7. 要从含糖16%的20千克糖水中蒸去水分，制出含糖20%的糖水，问应当蒸去多少千克水分?
8. 要配制浓度为20%的硫酸溶液1000克，需要用
浓度为18%和23%的硫酸溶液各多少克?
9. 大瓶酒精溶液是小瓶酒精溶液的2倍，大瓶酒精溶液的浓度为20%，小瓶酒精溶液的浓度为35%．将两瓶酒精溶液混合后，酒精溶液的浓
度是多少?
10. 在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精的含
量分别占48%、62.5%和2
3
．已知三缸酒精溶液
总量是100千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量．三缸溶液混合后，听含纯酒精的百分数将达56%，那么，丙缸中纯酒精的量是多少千克?(1997年小学数学奥林匹克预赛C卷第12题)
11. 甲瓶中有纯酒精11升，乙瓶中有水15升，
第一次将甲瓶中的一部分酒精倒入乙瓶中，使酒精和水混合．第二次将乙瓶中的一部分混合液倒入甲瓶中．这样，甲瓶中的纯酒精含量为62.5%，乙瓶中的纯酒精含量为25%．问第二次从乙瓶倒人甲瓶的混合液是多少升?
12. 李明和王林在周长为400米的环形跑道上练
习跑步，李明每分钟跑200米，是王林每分钟
跑的8
9
，如果两人从同一地点出发，沿同一方
向前进，问至少要经过几分钟两人才能相遇?
13. 从360米长的环形跑道上的同一地点向相同
方向跑步，甲每分钟跑305米，乙每分钟跑275米，两人起跑后，问第一次相遇在离起点多少米处?
14. 绕湖一周是21.1千米，小明和小华从湖边同一地点同时相背而行小明以每小时4.6千米的速
度每走1小时后就休息5分钟，小华以每小时5.4千米的速度每走50分钟后就休息10分钟，问两人出发后多少小时相遇?
15. 12点整时，钟面上的时针、分针和秒针刚好重合．那么，再过多长时间，钟面上的时针和分针再次重合?重合时，时针、分针分别走了几圈几格?(钟面一圈分成60格)
16. 有一个台式钟，在3月29日零时比标准时间慢4分半，它一直走到4月5日上午7时，比标准时间快3分钟，那么这个台钟所指时间是正确的时刻在几月几日几时?
17. 小红和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍,小红有________岁,妈妈有 __岁.
5
18. 甲、乙、丙、丁四个人一共做了370个零件,
如果把甲做的个数加2,乙做的个数减3,丙做的个数乘2,丁做的个数除以2,四个人做的零件个数正好相等,问四个人各做多少个零件?
19. 叔叔比小华大20岁，明年叔叔的年龄是小华
的3倍，小华今年_______岁.
20. 女儿今年(1994年)12岁，妈妈对女儿说：“当
你有我这么大岁数时，我已经60岁喽!”问：妈妈12岁时，是哪一年？
21. 五位老人的年龄互不相同，其中年龄最大的
比年龄最小的大6岁，已知他们的平均年龄为85岁，其中年龄最大的一位老人为________.
22.
今年父亲的年龄为儿子的年龄的4倍，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍，儿子今年_______岁。
23. 今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27
岁，23岁，16岁，经过年后爷爷的等于三个孙了的年龄的和。
24. 四个人年龄之和是77岁，最小的10岁，他
与最大的年龄之和比另外二人年龄之和大7岁，
那么最大的岁数是_______。
25. 有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的2
倍时，丙是22岁；当乙的年龄是丙的2倍，甲
是31岁；当甲60岁时，丙是________岁。
26. 甲、乙、丙、丁四人现在的年龄和是64岁，
甲21岁时，乙17岁；甲18岁时，丙的年龄是丁的3倍，丁现在的年龄的________岁。
27. 今年，小明的父母年龄之和是小明的6倍，4
年后小明的父母亲年龄之和是小明的5倍，已知小明的父亲比他的母亲大2岁，那么，今年小明父亲________岁。
28. 有甲、乙、丙三人，丙的年龄是甲年龄的
316
，乙今年14岁，又知丙的年龄是甲、乙年龄之差的1
3
，丙今年________岁。
29. 爸爸在过50岁生日时，弟弟说：“等我长到哥哥现在的年龄时，那时我和哥哥的年龄之和正好等于那时爸爸的年龄。”那么哥哥现在_________岁。
30. 甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，
你才5岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将50，”那么甲现在________岁，乙现在_________岁。
31. 六年级同学乘汽车到某地旅游，买车票99张，
共花28元，其中单程票每张0.2元，往返票每张.4元。那么单程票和往返票相差________张。
32. 三种昆虫共18只，它们共有20对翅膀116
条腿，其中每只蜘蛛是无翅8条腿，每只蜻蜓是2对翅膀6条腿，蝉是1对翅膀6条腿，问这三种昆种各多少只？
33. 启蒙书社五天内卖出和
生手册>共120本。第本5元，每本3.75元，营业员统计的结果表明：这五天所卖的收入比卖的收入多162.5元，这五天内启蒙书社卖出的和各多少本？
34. 王村小学举行数学竞赛，共10道题，每做对
一道题得10分，每做错一道题倒扣2分，小明得了64分，他做错了几道题？
35. 某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得
5分，没做或做错都要扣3分，小聪得了60分，他做对了________道题。
36. 某小学举行一次数学竞赛，共15道题，每做
对一题得8分，每做错一题倒扣4分，小明共得72分，他做对了________道题。
37. 春风小学3名云参加数学竞赛，共10道题，
答对一道题得10分，答错一道题扣3分，这3名同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分，他们三人一共答对了________道题。
38. 箱子里面有红、白两种玻璃球，红球数是白
球数的3倍多2只，每次从箱子里取出7只白球，53只红球，那么，箱子里原有红球数________只。
39. 原有男、女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5%，总人数增加16人，那么现
有男同________人。
40. 一根木料长21米，把它据成3米长的一段，
每据一段用6分钟，共用________分钟。
41. 科学家进行一项实验，每隔五小时做一次记
录。做第十二次记录时，挂钟时针恰好指向9，问做第一次记录时，时针指向几？
42. 从运动场一端到另一端全长96米，从一端起47.
在田径运动会上，甲、乙、丙三人沿400米环到另一端每隔4米插一面小红旗。现在要改成每隔6米插一面小红旗，问可以不拔出来的小红旗有多少面？
43. 有一块三角形地，三条边分别为120米、150
米、80米，每10米种一颗树，那么三条边上共
种________棵树。
44. 园林工人要在周长300米的圆形花坛边等距
离地栽上树。他们先沿着花坛的边每隔3米挖一个坑，当挖完30个坑时，突然接到通知：改为每隔5米栽一颗树。这样，他们还要挖多少个坑才能完成任务？
45. 四年级三班上操正好排成人数相等的三行，
小明排在中间一行，从前从后数都是第八个。那么这个班有学生________人。
46. 四年级三个班的同学在河堤上种了一排树共
80棵。从左往右数，第58棵起往右数都是一班种的；从右往左数，第63棵起往左都是三班种的；那么二班种了________棵。
形跑道进行800米跑比赛．当甲跑完1圈时，
乙比甲多跑11
7圈，丙比甲少跑7
圈．如果他们
各自跑步的速度始终不变．那么，当乙到达终点时，丙离终点还有_________米.
48. 六(1)班和六(2)班同学买同一种电影票．六
(1)班48人共付164
元，六(2)班共付了153元，问六年级两班共有多少人?
49. 某运输队运一批大米．第一天运走总数的5多
60袋，第二天运走总数的4少60袋．还剩下220袋没有运走。这批大米原来一共有多少袋？(只列式，不计算)
50. 某市派出60名选手参加1998年“贝贝杯”少
年田径邀请赛，其中女选手占1
4
．正式比赛时，
有几名女选手因故缺席，这样就使女选手人数变为参赛选手总数的2
11
．正式参赛的女选手只有 名．
3、竞赛篇 51. 将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友，原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为5:4:3，实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7:6:5，
其中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果，那么这位小朋友是 （填“甲”、“乙”或“丙”），他实际所得的糖果数为 块。 52. 悉尼与北京的时差是3小时，例如：当悉尼时间是12:00时，则北京时间是9:00。某日，当悉尼时间是9:15时，小马和小杨分别乘机从悉尼和北京同时出发去对方所在地，小马于北京时间19:33到达北京。小马和小杨路途上所用时间之比为7:6，那么小杨到达悉尼时，当地时间是 。 53. 星期天小明、小强和小佳一起去采摘。小强说：“我摘的苹果最多了，比你们俩的苹果总和还多1个。”小明回答说：“是啊，你比我多摘了10个，但我比小佳多摘10个。
”那么，他们三个人共摘了 个苹果。
54. 一个书架上有数学、语文、英语、历史4种书共27本，且每种书的数量互不相同。其中数学书和英语书共有12本，语文书和英语书共有13本。有一种书恰好有7本，是 书。 55. 有两盒围棋子，第一盒中的白子数量是黑子数量的9倍，第二盒中的黑子数量是白子数量的9
倍；两盒中白子的总数是黑子总数的4倍，那么第一盒中棋子数量是第二盒中棋子数量的 倍。 56. 箱子里装有同样数量的乒乓球和羽毛球。每次取出5个乒乓球和3个羽毛球，取几次之后，乒乓球恰好没了，羽毛球还有6个，则一共取了________次，原来有乒乓球和羽毛球各________个。 57. 甲、乙两人要从网上下载同一个100兆大小的软件，他们同时用各自家中的电脑开始下载，甲的网速较快，下载速度是乙的5倍，但是当甲下载到一半时，由于网络故障出现断网，而乙家的网络一直正常。当甲的网络恢复正常时，继续下载到99兆时（已经下载的部分无需从新下载），乙已经下载完了，则甲断网期间乙下载了________兆。
58. 甲、乙、丙三件商品，甲的价格比乙的价格
少20%，甲的价格比丙的价格多20%；那么，乙的价格比丙的价格多________%。
65. 前年，父亲年龄是儿子年龄的4倍；后年，父
亲年龄是儿子年龄的3倍。父亲今年 岁。
59. 一只猴吃63只桃，第一天吃了一半加半只， 以后每天吃前一天剩下的一半再加半只，则 天后桃子被吃完。 60. 小辉的家在学校的东边2千米处，小英的家在小辉的家的北边2千米处，小红的家在小英的家的西边2千米处，则小红的家离学校 千米处。 61. 一条马路长200米，在马路两侧每隔4米种一棵树，则一共要种树 棵。 62. 小华的语文、数学的平均成绩是90分，语文、数学、英语三科的平均成绩是93分，由此可知小华的英语成绩是 分。 63. 若2008AB，并且AB35，则A
64. 两袋水果共有20个，从第1袋取出7个水果放入第2袋，两袋中的水果个数相同，则第1袋中原有水果 个。
66. 某玩具店新购进飞机和汽车模型共30个，其中飞机模型每个有3个轮子，汽车模型每个有4个轮子，这些玩具模型共有110个轮子。则新购进的飞机模型有 个。 67. 一项工程，甲单独完成需12小时，乙单独完成需15小时。甲乙合作1小时后，由甲单独做1小时，再由乙单独做1小时，„„，甲、乙如此交替下去，则完成该工程共用 小时。 68. 一项工程，甲队单独完成需40天，若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需20天可完成。如果乙队单独完成此工程，则需 天。 69. 幼儿园的王阿姨今年的年龄是小华今年年龄的8倍，是小华3年后年龄的4倍，则小华今年
岁。 70. 购买3斤苹果、2斤桔子需6.90元；购买8斤苹果、9斤桔子22.80元，那么苹果、桔子各买一斤需 元。
10
11
2、提高篇
31. 7.5 32. 500 33. 49.2 34. 37.5 35. 8 36. 75. 第三篇：参考答案
72. 9 73. 35 74. 54 75. 45 76. 39 77. 200 78. 93
79. （2206060）（1）1137. 4 38. 400 39. 25 40. 12 41. 6 42. 16 43. 60 44. 2 45. 65
511分钟，5511格，1圈55
11
格46. 4月2日9时 47. 32
48. 41,80,85,164 49. 9 50. 1970 51. 88 52. 10 53. 6 54. 90 55. 32 56. 8 57. 37 58. 6 59. 25 60. 20 61. 17
62. 蜘蛛4只，蝉8只，蜻蜓6只 63．70 64．3 65．15 66．11 67．20 68．106 69．170 70．36 71. 2
80. 10
3、竞赛篇
81．150 82. 20:39 83. 57 84. 7 85. 7
86. 3，15 87. 80.2兆 88. 50% 89. 6 90. 2 91. 102 92. 99 93. 753 94. 17 95. 34 96. 10 97. 12.25 98. 60 99. 3 100. 2.70
5
4