《高等数学》知识点
一、 函数与极限 （一） 函数
1、 2、 3、 4、
函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 反函数、复合函数、函数的运算；
初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 函数的连续性与间断点；
函数
f (x ) =f (x 0) f (x ) 在x 0连续
x lim →x
第一类：左右极限均存在.
可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点
设函数
f (x )=⎧⎨e x , x ≤0，则a 取（ ）时f (x ) 在x =0处连续
⎩a +x , x >0
x lim →x f (x ) =f (x 0
0) f (0)=1
lim -f (x ) =lim x
x →0
x →0
-e =1
x lim →0+
f (x ) =lim x →0
+(a +x ) =1⇒a =1
（二） 极限
1、 定义 1） 数列极限
lim n →∞
x n =a
2） 函数极限
x lim →x f (x ) =A ，
左极限：
f (x -0) =x lim →x -f (x )
右极限：
f (x +0) =x lim →x +f (x )
x lim →x f (x ) =A 存在 ⇔f (x -+
0) =f (x 0)
2、 极限存在准则
单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若
lim α=0则称为无穷小量；若lim α=∞则称为无穷大量.
2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小 4、 求极限的方法 1） 极限运算准则及函数连续性； 2）
两个重要极限：
lim sin x
a)
x →0x
=1 1
lim x
x →0(1+x ) =x lim →+∞(1+1x
) x
=e
b)
3）
无穷小代换：（
x →0）
a)
x ~sin x ~tan x ~arcsin x ~arctan x 121-cos x ~x
2
e x -1~x （a x -1~x ln a ）
b)
c)
d)
x
ln(1+x ) ~x （log a (1+x ) ~）
ln a (1+x ) α-1~αx
e)
二、 导数与微分 （一） 导数
1、 定义：
f '(x 0) =lim
x →x 0
f (x ) -f (x 0)
x -x 0
左导数：
f (x ) -f (x 0)
f -'(x 0) =lim -
x →x 0x -x 0f +'(x 0) =lim +
x →x 0
右导数：
f (x ) -f (x 0)
x -x 0
函数
2、 3、 4、
f (x ) 在x 0点可导⇔f -'(x 0) =f +'(x 0)
f '(x 0) 为曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x 0) )处的切线的斜率.
几何意义：
可导与连续的关系： 求导的方法 1） 2） 3） 4） 5） 6） 7）
导数定义； 基本公式； 四则运算； 复合函数求导； 隐函数求导数； 参数方程求导； 对数求导法.
5、
d 2y d ⎛dy ⎫
= ⎪ 高阶导数 定义：
dx 2dx ⎝dx ⎭
（二） 微分
1）
定义：
∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) =A ∆x +o (∆x ) ，其中
A 与∆x 无关.
2）
可
微
与
可
导
的
关
系
：
可
微
⇔
可导，且
dy =f '(x 0) ∆x =f '(x 0) dx
三、 导数的应用 （一） 洛必达法则 （二） 单调性及极值
1、 单调性判别法：
f (x ) ∈C [a , b ]，f (x ) ∈D (a , b )
，则若
f '(x ) >0，则f (x ) 单调增加；则若f '(x )
调减少.
2、 极值及其判定定理：
a) 必要条件：
f (x ) 在x 0可导，若x 0为f (x ) 的极值点，则f '(x 0) =0.
b) 第一充分条件：
f (x ) 在x 0的邻域内可导，且f '(x 0) =0，则①若当x x 0时，f '(x )>0，
x 0
x 0，当x >x 0时，f '(x )
大值点；②若当则
x 0为极小值点；③若在x 0的两侧f '(x ) 不变号，则x 0不是极值点.
c) 第二充分条件：
f (x )
在处二阶可导，且
f '(x 0) =0
，
f ''(x 0) ≠0，则
①若小值点.
3、 凹凸性及其判断，拐点
1）f (x ) 在区间I 上连续，若∀x 1, x 2∈I , f (
f ''(x 0) 0，则x 0为极
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
)
图
形
是
凹
的
；
若
则称
f (x )
在区间I 上的
∀x 1, x 2∈I , f (
图形是凸的. 2）判定定理：
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
) >，则称f (x ) 在区间22
I 上的
f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 上有一阶、二阶导数，则
a) 若 b) 若
∀x ∈(a , b ), f ''(x ) >0, 则f (x ) 在[a , b ]上的图形是凹的； ∀x ∈(a , b ), f ''(x )
y =f (x ) 在区间I 上连续，x 0是f (x ) 的内点，如果曲线y =f (x )
3）拐点：设经过点拐点.
(x 0, f (x 0)) 时，曲线的凹凸性改变了，则称点(x 0, f (x 0)) 为曲线的
四、 不定积分 （一） 概念和性质
1、 原函数：在区间I 上，若函数
为
F (x ) 可导，且F '(x ) =f (x ) ，则F (x ) 称
f (x ) 的一个原函数.
f (x ) 的带有任意常数的原函数称为f (x ) 在区间I
2、 不定积分：在区间I 上，函数
上的不定积分.
3、 基本积分表； 4、 性质. （二） 换元积分法
1、
第
一
类
换
元法（凑微分）：
⎰f [ϕ(x )]ϕ'(x ) d x =[⎰f (u ) du ]u =ϕ(x )
2、
第
二
类
换
元
法
（
变
量
代
换
）
：
⎰f (x ) dx =[⎰f [ϕ(t )]ϕ'(t ) d t ]t =ϕ-1(x )
（三） 分部积分法：五、 定积分
（一） 概念与性质：
⎰udv =uv -⎰vdu
n
定义：a
⎰
b
f (x ) dx =lim ∑f (ξi ) ∆x i
λ→0
i =1
（二） 微积分基本公式（N —L 公式）
1、 变上限积分：设
Φ(x ) =⎰f (t ) dt ，则Φ'(x ) =f (x )
a
x
2、 N —L 公式：若
F (x )
为
f (x )
的一个原函数，则
⎰
b
a
f (x ) dx =F (b ) -F (a )
b
（三） 换元法和分部积分
换元法：
⎰
a
f (x ) dx =⎰f [ϕ(t )]ϕ'(t ) d t
α
β
分部积分法：
⎰
b
a
udv =[uv ]-⎰vdu
b a
a
b
六、 定积分的应用 （一） 平面图形的面积
A =⎰[f 2(x ) -f 1(x )]dx
a
b
A =⎰[g 2(y ) -g 1(y )]dy
c
d
《高等数学》知识点
一、 函数与极限 （一） 函数
1、 2、 3、 4、
函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 反函数、复合函数、函数的运算；
初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 函数的连续性与间断点；
函数
f (x ) =f (x 0) f (x ) 在x 0连续
x lim →x
第一类：左右极限均存在.
可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点
设函数
f (x )=⎧⎨e x , x ≤0，则a 取（ ）时f (x ) 在x =0处连续
⎩a +x , x >0
x lim →x f (x ) =f (x 0
0) f (0)=1
lim -f (x ) =lim x
x →0
x →0
-e =1
x lim →0+
f (x ) =lim x →0
+(a +x ) =1⇒a =1
（二） 极限
1、 定义 1） 数列极限
lim n →∞
x n =a
2） 函数极限
x lim →x f (x ) =A ，
左极限：
f (x -0) =x lim →x -f (x )
右极限：
f (x +0) =x lim →x +f (x )
x lim →x f (x ) =A 存在 ⇔f (x -+
0) =f (x 0)
2、 极限存在准则
单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若
lim α=0则称为无穷小量；若lim α=∞则称为无穷大量.
2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小 4、 求极限的方法 1） 极限运算准则及函数连续性； 2）
两个重要极限：
lim sin x
a)
x →0x
=1 1
lim x
x →0(1+x ) =x lim →+∞(1+1x
) x
=e
b)
3）
无穷小代换：（
x →0）
a)
x ~sin x ~tan x ~arcsin x ~arctan x 121-cos x ~x
2
e x -1~x （a x -1~x ln a ）
b)
c)
d)
x
ln(1+x ) ~x （log a (1+x ) ~）
ln a (1+x ) α-1~αx
e)
二、 导数与微分 （一） 导数
1、 定义：
f '(x 0) =lim
x →x 0
f (x ) -f (x 0)
x -x 0
左导数：
f (x ) -f (x 0)
f -'(x 0) =lim -
x →x 0x -x 0f +'(x 0) =lim +
x →x 0
右导数：
f (x ) -f (x 0)
x -x 0
函数
2、 3、 4、
f (x ) 在x 0点可导⇔f -'(x 0) =f +'(x 0)
f '(x 0) 为曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x 0) )处的切线的斜率.
几何意义：
可导与连续的关系： 求导的方法 1） 2） 3） 4） 5） 6） 7）
导数定义； 基本公式； 四则运算； 复合函数求导； 隐函数求导数； 参数方程求导； 对数求导法.
5、
d 2y d ⎛dy ⎫
= ⎪ 高阶导数 定义：
dx 2dx ⎝dx ⎭
（二） 微分
1）
定义：
∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) =A ∆x +o (∆x ) ，其中
A 与∆x 无关.
2）
可
微
与
可
导
的
关
系
：
可
微
⇔
可导，且
dy =f '(x 0) ∆x =f '(x 0) dx
三、 导数的应用 （一） 洛必达法则 （二） 单调性及极值
1、 单调性判别法：
f (x ) ∈C [a , b ]，f (x ) ∈D (a , b )
，则若
f '(x ) >0，则f (x ) 单调增加；则若f '(x )
调减少.
2、 极值及其判定定理：
a) 必要条件：
f (x ) 在x 0可导，若x 0为f (x ) 的极值点，则f '(x 0) =0.
b) 第一充分条件：
f (x ) 在x 0的邻域内可导，且f '(x 0) =0，则①若当x x 0时，f '(x )>0，
x 0
x 0，当x >x 0时，f '(x )
大值点；②若当则
x 0为极小值点；③若在x 0的两侧f '(x ) 不变号，则x 0不是极值点.
c) 第二充分条件：
f (x )
在处二阶可导，且
f '(x 0) =0
，
f ''(x 0) ≠0，则
①若小值点.
3、 凹凸性及其判断，拐点
1）f (x ) 在区间I 上连续，若∀x 1, x 2∈I , f (
f ''(x 0) 0，则x 0为极
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
)
图
形
是
凹
的
；
若
则称
f (x )
在区间I 上的
∀x 1, x 2∈I , f (
图形是凸的. 2）判定定理：
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
) >，则称f (x ) 在区间22
I 上的
f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 上有一阶、二阶导数，则
a) 若 b) 若
∀x ∈(a , b ), f ''(x ) >0, 则f (x ) 在[a , b ]上的图形是凹的； ∀x ∈(a , b ), f ''(x )
y =f (x ) 在区间I 上连续，x 0是f (x ) 的内点，如果曲线y =f (x )
3）拐点：设经过点拐点.
(x 0, f (x 0)) 时，曲线的凹凸性改变了，则称点(x 0, f (x 0)) 为曲线的
四、 不定积分 （一） 概念和性质
1、 原函数：在区间I 上，若函数
为
F (x ) 可导，且F '(x ) =f (x ) ，则F (x ) 称
f (x ) 的一个原函数.
f (x ) 的带有任意常数的原函数称为f (x ) 在区间I
2、 不定积分：在区间I 上，函数
上的不定积分.
3、 基本积分表； 4、 性质. （二） 换元积分法
1、
第
一
类
换
元法（凑微分）：
⎰f [ϕ(x )]ϕ'(x ) d x =[⎰f (u ) du ]u =ϕ(x )
2、
第
二
类
换
元
法
（
变
量
代
换
）
：
⎰f (x ) dx =[⎰f [ϕ(t )]ϕ'(t ) d t ]t =ϕ-1(x )
（三） 分部积分法：五、 定积分
（一） 概念与性质：
⎰udv =uv -⎰vdu
n
定义：a
⎰
b
f (x ) dx =lim ∑f (ξi ) ∆x i
λ→0
i =1
（二） 微积分基本公式（N —L 公式）
1、 变上限积分：设
Φ(x ) =⎰f (t ) dt ，则Φ'(x ) =f (x )
a
x
2、 N —L 公式：若
F (x )
为
f (x )
的一个原函数，则
⎰
b
a
f (x ) dx =F (b ) -F (a )
b
（三） 换元法和分部积分
换元法：
⎰
a
f (x ) dx =⎰f [ϕ(t )]ϕ'(t ) d t
α
β
分部积分法：
⎰
b
a
udv =[uv ]-⎰vdu
b a
a
b
六、 定积分的应用 （一） 平面图形的面积
A =⎰[f 2(x ) -f 1(x )]dx
a
b
A =⎰[g 2(y ) -g 1(y )]dy
c
d