经典抛物线的综合题及答案

1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

⎧3b+c=0⎧b=-2

解：（1）将B、C两点的坐标代入得⎨ 解得：⎨

c=-3c=-3⎩⎩

所以二次函数的表达式为：y=x-2x-3

（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，x-2x-3），

PP交CO于E 若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．连结PP 则PE⊥CO于E，

∴OE=EC=

∴y=-

．∴x-2x-3=-

解得x1=，x2=

（不合题意，舍去）

∴P点的坐标为（

，-

）

（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，

设P（x，x2-2x-3），易得，直线BC的解析式为y=x-3则Q点的坐标为（x，x－3）.

S四边形

ABPC

=S∆ABC+S∆BPQ+S∆CPQ==12

⨯4⨯3+

AB⋅OC+

QP⋅OE+

QP⋅EB

(-x+3x)⨯3

3⎛3⎫75

=- x-⎪+

2⎝2⎭8

当x=

时，四边形ABPC的面积最大此时P点

15⎫

⎪，四边形ABPC的 4⎭

758

的

坐标为

⎛3⎝2

面积的最大值为

．

2.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S.求出S的最大值； (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标

解（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，则有

1b+c=0,⎧⎧16a-4

a=,⎪⎪2 ⎨c=-4, 解得 ⎪

⎪4a+2b+c=0.⎨b=1,⎩

⎪c=-4.⎪⎩12

∴抛物线的解析式y=x+x﹣4

（2）过点M作MD⊥x轴于点D.设M点的坐标为（m，n）.

则AD=m+4，MD=﹣n，n=

m2＋m－4 .

∴S = S△AMD+S梯形DMBO－S△ABO =

( m+4) (﹣n)＋

(﹣n＋4) (﹣m) －

×4×4

= ﹣2n-2m-8 = ﹣2(

m＋m－4) -2m-8

= ﹣m2-4m (－4

∴S最大值 = 4

（3）满足题意的Q点的坐标有四个，分别是：（-4 ，4 ），（4 ，-4），（

-2+2

－，（-2

－2

＋

3.在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3

，-

（1）求此抛物线的解析式；

）三点.

（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这

样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此

时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）

解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c(a≠0)

⎧

⎪c=0⎪⎪

由题意得：⎨16a+4b+c=0

⎪

⎪9a+3b+c=-⎪3⎩

解得：a=

b=-

c=0

∴抛物线的解析式为：y=x-

（2）存在

l′

抛物线y=

x的顶点坐标是(2,-

，，作抛物线和⊙M（如图）

设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与⊙M相切于点C 连接MC，过C作CD⊥ x 轴于D

∵ MC = OM = 2, ∠CBM = 30°, CM⊥BC

∴∠BCM = 90° ，∠BMC = 60° ，BM = 2CM = 4 , ∴B (-2, 0) 在Rt△CDM中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30° ∴DM = 1,

CD =

∴

C (1, )

设切线 l 的解析式为:y=kx+b(k 0)，点B、C在 l 上，可得：

⎧k+b=⎪

解得：

k=b=⎨

33⎪⎩-2k+b=0

∴切线BC

的解析式为：y=∵点P为抛物线与切线的交点

1⎧⎧2x=-x-x1⎪y=⎪2⎪⎪99

由⎨

解得：⎨

⎪y=⎪y=x+1

⎪⎪⎩233⎩

⎧x2=6

⎪⎨ ⎪y2=

3⎩

∴点P

的坐标为：P1(-

，

∵

抛物线y=

x的对称轴是直线x=2

此抛物线、⊙M都与直线x于是作切线 l 关于直线x得到B、C关于直线

=2成轴对称图形

=2的对称直线 l′(如图)

x=2的对称点B1、C1

=2的对称点：

l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线x

9P3(

，P4(-即为所求的点. 223

∴这样的点P共有4

个：P1(-

，P

2(6,

9，P

3(,，P4(-2, 3223

4. 如图，抛物线y = ax+ bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时， △EFK的面积最大？并求出最大面积．

解（1）由题意，得 ⎨

⎧16a-4b+4=0,⎩4a+2b+4=0,

解得a=-

，b =－1．

所以抛物线的解析式为y=-

x-x+4，顶点D的坐标为（－1，

）．

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH + CH最小，即最小为

DH + CH = DH + HB = BD =BM

+DM

．而 CD=

-4)

．

∴ △CDH的周长最小值为CD + DR + CH =

5+32

．

⎧2k1+b1=0,

设直线BD的解析式为y = k1x + b，则 ⎪ 解得，b1 = 3． k=-1⎨9

⎪-k1+b1=,

2⎩

所以直线BD的解析式为y =-

x + 3．

由于BC = 25，CE = BC∕2 =5，Rt△CEG∽△COB，得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）．同理可求得直线EF的解析式为y =

x +

．

联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（（3）设K（t，-

，

158

）．

，xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N． t-t+4）

则 KN = yK－yN =-

t-t+4－（

t +

）=-

．

所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =

KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t－3t + 5 =－（t +

）

294

．

即当t =－

时，△EFK的面积最大，最大面积为

294

，此时K（－

，

358

）．

5. 如图，已知抛物线经过点（1，-5）和（-2，4）

轴

的直线

（1）求这条抛物线的解析式．（2

）设此抛物线与直线相交于点A，B（点B在点A的右侧）

，平行于

与抛物线交于点M，与直线

段MN的长（用含

的代数式表示）．

交于点N，交轴于点P，求线

（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在

存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

的值，使△BOM的面积S最大？若

解：（1）由题意得

解得b＝－2，c＝－4

∴此抛物线的解析式为：y＝x2－2x－4 （2）由题意得

解得

∴点Ｂ的坐标为(4，4)将x＝m代入 y＝x条件得y＝m ∴点Ｎ的坐标为（m , m）

同理点Ｍ的坐标为（m , m2－2m－4 ），点Ｐ的坐标为(m , 0 ) ∴PN＝｜m｜ ,MP＝| m2－2m－4 | ∵

∴MN＝PN＋MP＝

(3)作BC⊥MN于点C ，则BC＝4－m ，OP＝

∵－2＜0 ∴当

时，Ｓ有最大值

6. 如图（1），在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数

的图象为.

（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）.

（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为，如图（2），求抛物

线的函数解析式及顶点C的坐标. （3）设P为y轴上一点，且

，求点P的坐标.

为等腰三

（4）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点Q，使

角形. 若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说

明理由

解:（1

）

（2）设的解析式为

解得：

等（满足条件即可），联立方程组

，则的解析式为

，

点C的坐标为（）（3）如答图23-1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则

，

得：

，

延长BA交y轴于点G，直线AB

的解析式为

设点P的坐标为（0，） ①当点P位于点G的下方时，

，连结AP、BP，

则

，则点G的坐标为（0，），

又，得，点P的坐标为（0，）.

②当点P位于点G的上方时，综上所述所求点P的坐标为（0，(4) 作图痕迹如答图23-2所示.

由图可知，满足条件的点有、

，同理）或（0，、

、

，点P的坐标为（0，）

）.

，共4个可能的位置.

7. （2009莆田）已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B． (1)求抛物线的解析式；

(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：

(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8.（2009遂宁）如图，二次函数的图象经过点D(0，7

)，且顶点C的横坐标为4，该图

象在x 轴上截得的线段AB的长为6.

⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；

⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

9.（2009广州）如图13，二次函数y=x2+px+q(p

。

（1）求该二次函数的关系式；

（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴垂线，若该垂线与ΔABC的

外接圆有公共点，求m的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯

形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

10.（2010湖南邵阳）如图（十四），抛物线y＝-

x+x+3与x轴交于点A、B，与y轴

相交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴交于点F。（1）求直线BC的解析式；

（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作⊙P。 ①当点P运动到点D时，若⊙P与直线BC相交，求r的取值范围； ②若r

P使⊙P与直线BC相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存

在，请说明理由．

图（十四）

解（1）令y=0，求得A点坐标为（－2，0），B点坐标为（6，0）；令x＝0，求得C点的坐标为（0，3）

⎧6k+b=01设BC直线为y＝kx＋b，把B、C点的坐标代入得：⎨ 解得k＝-，b=3

2⎩b=3

故BC的解析式为：y=-

x＋3

（2）①过点D（2，4）作DG⊥BC于点G，因为抛物线的对称轴是直线x=2，所以点E的坐标为（2，2），所以有EF＝2，FB＝4，EB＝

，DE＝2，从图中可知，

Rt DEG Rt BEF，所以有：

DEEB

DGFB

解得DG

＝

故当r

＞

，点P运

动到点D时，⊙P与直线BC相交

②由①知，直线BC上方的点D符合要求。设过点D并与直线BC平行的直线为y＝-

12⎧

y=-x+x+3⎪⎪4

＋n，把点D的坐标代入，求得n＝5，所以联立：⎨ 解得两点（2，4）

⎪y=-1x+5⎪⎩2

为D点，（4，3）也符合条件。

设在直线BC下方到直线BC

的距离为

的直线m与x轴交于点M，过点M作MN⊥BC

于点N，所以MN

，又tan∠NBM＝

OCOB

所以NB

，BM＝4，所以点M与×2＋b 得b=1，所

点F重合。设直线m为y=-x＋b 把点F的坐标，代入得：0＝-ｘ+１

以直线m的解析式为：y＝-

12⎧

y=-x+x+3⎪⎪4

联立方程组：⎨

解得：ｘ＝3±

⎪y=-1x+1⎪⎩2

22所以适合要求的点还有两点即（3

）与（3

）

故当

P使⊙P与直线BC相切，符合条件的点P有四个，即是D（2，

4），（4，3）和（3

，

-1+

），（3

，

-1-

）的坐标．

11.（2010山东临沂）如图，二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴交于A(-两点，且与y轴交于点C.

（1）求该抛物线的解析式，并判断∆ABC的形状；

,0),B(2,0)

（2）在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；

（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.

解：根据题意，将A（-

,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b中，

3⎧11⎧

⎪--a+b=0,⎪a=,得⎨42解这个方程，得⎨2 ⎪-4+2a+b=0.⎪b=1.⎩⎩

所以抛物线的解析式为y=-x2+

x+1.当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0，1）。

214

所以在△AOC中，

.在△BOC中，

BC=

254

AB=OA+OB=+2=

.因为AC2+BC2=

+2==AB.所以△ABC是直角三角形。

（2）点D的坐标是

⎛3

⎫,1⎪. ⎝2⎭

（3）存在。

由（1）知，AC⊥BC,

① 若以BC为底边，则BC∥AP,如图（1）所示，可求得

直线BC的解析式为

y=-

12x+1.

直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y=-将A（-

x+b，

,0）代入直线AP的解析式求得b=-

12x-

,所以

直线AP的解析式为y=-

因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+解得x1=当x=

52x2=-

3212

x+1=-x-.

（不合题意，舍去）.

时，y=-.

所以点P的坐标为（，-

）.

②若以AC为底边，则BP∥AC，如图（2）所示，可求得直线AC的解析式为

y=2x+1.

直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为y=2x+b，

将B（2,0）代入直线BP的解析式求得b=-4,所以直线BP的解析式为y=2x-4.

因为点P既在抛物线上，又在直线BP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+解得x1=-当x=-52

x+1=2x-4

,x2=2（不合题意，舍去）.

时，y=-9.所以点P的坐标为（-，-9）. ，-

综上所述，满足题目的点P的坐标为（

）或（-

，-9）

12.（2010四川宜宾）将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当 △APE的面积最大时，求点P的坐标；

(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意知：A（0，6），C（6，0），设经过点A、B、C的抛物线解析式为y=ax2+bx+c ⎧6=c

⎪

则：⎨0=9a-3b+c

⎪0=36a+6b+c⎩

1⎧a=-⎪3⎪

解得：⎨b=1

⎪c=6⎪⎩

∴该抛物线的解析式为y=-

x+x+6

（2）如图：设点P（x，0），

∵PE∥AB，∴△CPE∽△ABC， ∴S△CPES△ABC

=（

CPBC

)

又∵S△ABC=S△CPE27

BC×OA=27 6-x9

∴=（)

∴S△CPE=

(6-x)

x-4x+12

S△ABP＝BP×OA=3x+9

设△APE的面积为S 则S= S△ABC—S△ABP—S△CPE=-当x=

x+x+6=-

(x-

274

时，S最大值为

∴点P的坐标为（

，0）

（3）假设存在点G（x，y），使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等．在（2）中，△APE的最大面积为①当y＞6时，S△AGC=S=3x+3y-18 即3x+3y-18=

274

梯形GFOC

274

，过点G做GF垂直y轴与点F．

—S△GFA—S△AOC=

（x+6）y—

x（y-6）—

×6×6

，

x+x+6，

又∵点G在抛物线上，y=-∴3x+3(-

x+x+6)-18=92,x2=

2749

时，y=

154

解得：x1=

，当x=

时，y=

274

．

又∵y＞6，∴

点G的坐标为（

，

274

）

②当y＜6时，如图： S△AGC=S△GAF+S即3x+3y-18=

梯形GFOC

—S△AOC=

x（6—y）+

y(x+6)-18=3x+3y-18

274

，

x+x+6，

又∵点G在抛物线上，y=-∴3x+3(-

x+x+6)-18=92,x2=

32749

时，y=

154154

解得：x1=

，当x=

时，y=

274

．

又因为y＜6，所以点G的坐标为（综和①②所述，点G的坐标为（

，

274

）．

，）和（，

154

）．

（3）解法2：可以向x轴作垂线，构成了如此下图的图形: 则阴影部分的面积等于S△AGC=S△GCF+S梯形AGFO—S△AOC 下面的求解过程略．这样作可以避免了分类讨论．

13.（2010山东济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧）. 已知A点坐标为（0，3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，∆PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和∆PAC的最大面积.

(第23题)

（1）解：设抛物线为y=a(x-4)-1.

∵抛物线经过点A（0，3），∴3=a(0-4)2-1.∴a=∴抛物线为y=

(x-4)-1=

x-2x+3. ……………………………3分

(2) 答：l与⊙C相交. …………………………………………………………………4分

证明：当

(x-4)-1=0时，x1=2，x2=6.

∴B为（2，0），C为（6，0）.

∴AB==

设⊙C与BD相切于点E，连接CE，则∠BEC=90︒=∠AOB. ∵∠ABD=90︒，∴∠CBE=90︒-∠ABO.

又∵∠BAO=90︒-∠ABO，∴∠BAO=∠CBE.∴∆AOB∽∆BEC. ∴

CEOB

=BCAB

∴

CE2

∴CE=

>2.…………………………6分

∵抛物线的对称轴l为x=4，∴C点到l的距离为2.

∴抛物线的对称轴l与⊙C相交. ……………………………………………7分

(3) 解：如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q.

可求出AC的解析式为y=-设P点的坐标为（m，

∴PQ=-

m+3-(

1414

x+3.…………………………………………8分

m+3）.

，则Q点的坐标为（m，-m-2m+3）

m-2m+3)=-

12⨯(-

14m+274

1432

(m-3)+

∵S∆PAC=S∆PAQ+S∆PCQ=

m)⨯6=-

274

∴当m=3时，∆PAC的面积最大为此时，P点的坐标为（3，-

）. …………………………………………10分

(第23题)

14.（2010湖北襄樊）如图7，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、

C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？

（3）当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？

图7

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC=AB=4． ∴A（4，2），B（0，2），C（－4，0）． ∵抛物线y=ax+bx+c过点B，∴c=2．

1⎧

a=-,⎪⎧16a-4b+2=0,⎪16

由题意，有⎨ 解得⎨

⎩16a+4b+2=2.⎪b=1.

⎪⎩4

∴所求抛物线的解析式为y=-

116

141

x+2．

（2）将抛物线的解析式配方，得y=-∴抛物线的对称轴为x=2．

(x-2)+2

．

∴D（8，0），E（2，2），F（2，0）．

欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE．即BP=FQ． ∴t=6－3t，即t=

．

（3）欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，

∵∠PBO=∠BOQ=90°，∴有

BPOB

OQBO

或

BPOB

BOOQ

，

即PB=OQ或OB=PB·QO．

①若P、Q在y轴的同侧．当PB=OQ时，t=8－3t，∴t=2．当OB=PB·QO时，t(8－3t)=4，即3t－8t+4=0．解得t1=2，t2=

．

②若P、Q在y轴的异侧．当PB=OQ时，3t－8=t，∴t=4．当OB=PB·QO时，t(3t－8)=4，即3t－8t－4=0

．解得t=

4±3

．

∵t

4-323

4+3

．

∴当t=2或t=或t=4或

4+3

秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O

为顶点的三角形相似．

15.（2010 四川成都）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于

A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为(-3，若将经过A、C0)，

两点的直线y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线

x=-2．

（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；

（2）如果P是线段AC上一点，设∆ABP、∆BPC的面积分别为S∆ABP、S∆BPC，且

S∆ABP:S∆BPC=2:3，求点P的坐标；

（3）设⊙Q的半径为l，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？

解：（1）∵y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点， ∴b=3，C(0， 3)。

将A (-3，0)代入y=kx+3，得-3k+3=0。解得k=1。 ∴直线AC的函数表达式为y=x+3。 ∵抛物线的对称轴是直线x=-2

⎧9a-3b+c=0

⎧a=1⎪

⎪⎪b

∴⎨-解得⎨b=4 =-2

⎪c=3⎪2a

⎩⎪⎩c=3

∴抛物线的函数表达式为y=x2+4x+3。（2）如图，过点B作BD⊥AC于点D。

∵S∆ABP:S∆BPC=2:3，

∴(⋅AP⋅BD):(⋅PC⋅BD)=2:3

∴AP:PC=2:3。

过点P作PE⊥x轴于点E，

∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO， ∴

PECO

APAC

，

∴PE=∴

OC=

=x+3，解得-

∴点P的坐标为(-

96) 55

（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在 Q与坐标轴相切的情况。设点Q的坐标为(x0，y0)。

① 当⊙Q与y轴相切时，有x0=1，即x0=±1。

0) 当x0=-1时，得y0=(-1)+4⨯(-1)+3=0，∴Q1(-1，

当x0=1时，得y0=12+4⨯1+3=8，∴Q2(1， 8)

② 当⊙Q与x轴相切时，有y0=1，即y0=±1

当y0=-1时，得-1=x02+4x0+3，即x02+4x0+4=0，解得x0=-2，∴Q3(-2， -1) 当y0=1时，得1=x02+4x0+3，即x02+4x0+2=0，解

得x0=-2±Q4(-2-

，1)Q5(-2+

。

，

∴

综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为Q1(-1， 0)，Q2(1， 8)，Q3(-2，

-1)，Q4(-2-

1)，Q5(-2+

。

（Ⅱ）设点Q的坐标为(x0，y0)。

当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有y0=±x0。

由y0=x0，得x0+4x0+3=x0，即x0+3x0+3=0，

∵△=32-4⨯1⨯=-3

由y0=-x0，得x0+4x0+3=-x0，即x0+5x0+3=0，

解得x0=

5±

2∴当⊙Q

的半径r=x0=

=时，⊙Q与两坐标轴同时相切。

16.（2010湖南常德）如图9, 已知抛物线y=

两点，与y轴交于C点．

x+bx+c与x轴交于A (－4，0) 和B(1，0)

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF

面积的2倍时，求E点的坐标;

（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P

点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．

O C 图9

解：（1）由二次函数y=

x+bx+c与x轴交于A(-4,0)、B(1,0)两点可得：

3⎧

⎪b=，

2 ⎨

⎪c=-2．⎩

21⎧2(-4)-b+4c=，0⎪⎪2

⎨ 解得：

⎪1⋅12+b+c=0．⎪⎩2

故所求二次函数的解析式为y=

（2）∵S△CEF=2 S△BEF, ∴

BFCF

=12,BFBC

x+=13.

x-2．

∵EF//AC, ∴∠BEF=∠BAC, ∠BFE=∠BCA, ∴△BEF～△BAC, ∴

BEBA

=BFBC

=13

,得BE=23

53,

故E点的坐标为(-,0).

（3）解法一：由抛物线与y轴的交点为C，则C点的坐标为（0，－2）．若设直线AC

1⎧

⎧-2=0+b,⎪k=-,

的解析式为y=kx+b，则有⎨ 解得：⎨2

⎩0=-4k+b．⎪b=-2．

⎩

故直线AC的解析式为y=－

⎛⎝

x-2．

若设P点的坐标为 a,a+

⎫

a-2⎪，又Q点是过点P所作y轴的平行线与直线2⎭

AC的交点，则Q点的坐标为（a,-

a-2)．则有：

PQ=[-＝-

3a2

112

a-2)](-a＝-a)-2a

22+2

(a+2)

即当a=-2时，线段PQ取大值，此时P点的坐标为（－2，－3）

解法二：延长PQ交x轴于D点，则PD⊥AB．要使线段PQ最长，则只须△APC的面积取大值时即可. 设P点坐标为（x0,y0)，则有:

S APC=S ADP+S梯形DPCO-S ACO ＝

AD⋅PD+12

(PD+OC)⋅OD-12

OA⋅OC 12⨯4⨯2

＝-

x0y0-2y0+

(-y0+2)⋅(-x0)-

＝-2y0-x0-4

3⎛12⎫

＝-2 x0+x0-2⎪-x0-4

2⎝2⎭

＝-x

-4x0 ＝－(x

+2)+4

即x0=-2时，△APC的面积取大值，此时线段PQ最长，则P点坐标

为（－2，－3）

17.（2010湖南怀化）图9是二次函数y=(x+m)2+k的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与x轴的交点A,B的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S∆PAB=

S∆MAB,若存在，求出P点的

坐标；若不存在，请说明理由；

（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b(b

图9

解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数y=(x+m)2+k的顶点坐标，

所以y=(x-1)2-4=x2-2x-3 令x2-2x-3=0,解之得x1=-1,x2=3. ∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0） (2) 在二次函数的图象上存在点P，使S∆PAB=设p(x,y),则S∆PAB=∴2y=

54S∆MAB

AB⨯-4=8,

AB⨯y=2y，又S∆MAB=

⨯8,即y=±5.

∵二次函数的最小值为-4，∴y=5. 当y=5时，x=-2,或x=4.

故P点坐标为（-2，5）或（4，5）……………7分（3）如图1，当直线y=x+b(b

b=1.……………8分

图1

当直线y=x+b(b

18.（2010湖北恩施自治州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．

解：（1）将B、C两点的坐标代入得⎨

⎧3b+c=0⎩c=-3

⎧b=-2

解得：⎨

c=-3⎩

所以二次函数的表达式为：y=x-2x-3

（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，x-2x-3）， PP交CO于E

若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．

连结PP 则PE⊥CO于E，

∴OE=EC=∴y=-

．

22+

∴x2-2x-3=-

22-

解得x1=，x2=

（不合题意，舍去）

∴P点的坐标为（

，-

）…………………………8分

（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，

设P（x，x-2x-3），

易得，直线BC的解析式为y=x-3 则Q点的坐标为（x，x－3）.

S四边形

ABPC

=S∆ABC+S∆BPQ+S∆CPQ==12

⨯4⨯3+

AB⋅OC+

QP⋅OE+

QP⋅EB

(-x+3x)⨯3

3⎛3⎫75

=- x-⎪+

2⎝2⎭8

当x=

时，四边形ABPC的面积最大

⎛3⎝2

15⎫

⎪，四边形ABPC的 4⎭

此时P点的坐标为面积的最大值为

758

．

经典抛物线的综合题及答案

（1）求这个二次函数的表达式．

⎧3b+c=0⎧b=-2

解：（1）将B、C两点的坐标代入得⎨ 解得：⎨

c=-3c=-3⎩⎩

所以二次函数的表达式为：y=x-2x-3

（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，x-2x-3），

PP交CO于E 若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．连结PP 则PE⊥CO于E，

∴OE=EC=

∴y=-

．∴x-2x-3=-

解得x1=，x2=

（不合题意，舍去）

∴P点的坐标为（

，-

）

（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，

设P（x，x2-2x-3），易得，直线BC的解析式为y=x-3则Q点的坐标为（x，x－3）.

S四边形

ABPC

=S∆ABC+S∆BPQ+S∆CPQ==12

⨯4⨯3+

AB⋅OC+

QP⋅OE+

QP⋅EB

(-x+3x)⨯3

3⎛3⎫75

=- x-⎪+

2⎝2⎭8

当x=

时，四边形ABPC的面积最大此时P点

15⎫

⎪，四边形ABPC的 4⎭

758

的

坐标为

⎛3⎝2

面积的最大值为

．

2.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点.

(1)求抛物线的解析式；

解（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，则有

1b+c=0,⎧⎧16a-4

a=,⎪⎪2 ⎨c=-4, 解得 ⎪

⎪4a+2b+c=0.⎨b=1,⎩

⎪c=-4.⎪⎩12

∴抛物线的解析式y=x+x﹣4

（2）过点M作MD⊥x轴于点D.设M点的坐标为（m，n）.

则AD=m+4，MD=﹣n，n=

m2＋m－4 .

∴S = S△AMD+S梯形DMBO－S△ABO =

( m+4) (﹣n)＋

(﹣n＋4) (﹣m) －

×4×4

= ﹣2n-2m-8 = ﹣2(

m＋m－4) -2m-8

= ﹣m2-4m (－4

∴S最大值 = 4

（3）满足题意的Q点的坐标有四个，分别是：（-4 ，4 ），（4 ，-4），（

-2+2

－，（-2

－2

＋

3.在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3

，-

（1）求此抛物线的解析式；

）三点.

（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这

样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此

时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）

解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c(a≠0)

⎧

⎪c=0⎪⎪

由题意得：⎨16a+4b+c=0

⎪

⎪9a+3b+c=-⎪3⎩

解得：a=

b=-

c=0

∴抛物线的解析式为：y=x-

（2）存在

l′

抛物线y=

x的顶点坐标是(2,-

，，作抛物线和⊙M（如图）

设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与⊙M相切于点C 连接MC，过C作CD⊥ x 轴于D

∵ MC = OM = 2, ∠CBM = 30°, CM⊥BC

∴∠BCM = 90° ，∠BMC = 60° ，BM = 2CM = 4 , ∴B (-2, 0) 在Rt△CDM中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30° ∴DM = 1,

CD =

∴

C (1, )

设切线 l 的解析式为:y=kx+b(k 0)，点B、C在 l 上，可得：

⎧k+b=⎪

解得：

k=b=⎨

33⎪⎩-2k+b=0

∴切线BC

的解析式为：y=∵点P为抛物线与切线的交点

1⎧⎧2x=-x-x1⎪y=⎪2⎪⎪99

由⎨

解得：⎨

⎪y=⎪y=x+1

⎪⎪⎩233⎩

⎧x2=6

⎪⎨ ⎪y2=

3⎩

∴点P

的坐标为：P1(-

，

∵

抛物线y=

x的对称轴是直线x=2

此抛物线、⊙M都与直线x于是作切线 l 关于直线x得到B、C关于直线

=2成轴对称图形

=2的对称直线 l′(如图)

x=2的对称点B1、C1

=2的对称点：

l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线x

9P3(

，P4(-即为所求的点. 223

∴这样的点P共有4

个：P1(-

，P

2(6,

9，P

3(,，P4(-2, 3223

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

解（1）由题意，得 ⎨

⎧16a-4b+4=0,⎩4a+2b+4=0,

解得a=-

，b =－1．

所以抛物线的解析式为y=-

x-x+4，顶点D的坐标为（－1，

）．

DH + CH = DH + HB = BD =BM

+DM

．而 CD=

-4)

．

∴ △CDH的周长最小值为CD + DR + CH =

5+32

．

⎧2k1+b1=0,

设直线BD的解析式为y = k1x + b，则 ⎪ 解得，b1 = 3． k=-1⎨9

⎪-k1+b1=,

2⎩

所以直线BD的解析式为y =-

x + 3．

由于BC = 25，CE = BC∕2 =5，Rt△CEG∽△COB，得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）．同理可求得直线EF的解析式为y =

x +

．

联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（（3）设K（t，-

，

158

）．

，xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N． t-t+4）

则 KN = yK－yN =-

t-t+4－（

t +

）=-

．

所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =

KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t－3t + 5 =－（t +

）

294

．

即当t =－

时，△EFK的面积最大，最大面积为

294

，此时K（－

，

358

）．

5. 如图，已知抛物线经过点（1，-5）和（-2，4）

轴

的直线

（1）求这条抛物线的解析式．（2

）设此抛物线与直线相交于点A，B（点B在点A的右侧）

，平行于

与抛物线交于点M，与直线

段MN的长（用含

的代数式表示）．

交于点N，交轴于点P，求线

（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在

存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

的值，使△BOM的面积S最大？若

解：（1）由题意得

解得b＝－2，c＝－4

∴此抛物线的解析式为：y＝x2－2x－4 （2）由题意得

解得

∴点Ｂ的坐标为(4，4)将x＝m代入 y＝x条件得y＝m ∴点Ｎ的坐标为（m , m）

同理点Ｍ的坐标为（m , m2－2m－4 ），点Ｐ的坐标为(m , 0 ) ∴PN＝｜m｜ ,MP＝| m2－2m－4 | ∵

∴MN＝PN＋MP＝

(3)作BC⊥MN于点C ，则BC＝4－m ，OP＝

∵－2＜0 ∴当

时，Ｓ有最大值

6. 如图（1），在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数

的图象为.

（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）.

（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为，如图（2），求抛物

线的函数解析式及顶点C的坐标. （3）设P为y轴上一点，且

，求点P的坐标.

为等腰三

（4）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点Q，使

角形. 若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说

明理由

解:（1

）

（2）设的解析式为

解得：

等（满足条件即可），联立方程组

，则的解析式为

，

点C的坐标为（）（3）如答图23-1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则

，

得：

，

延长BA交y轴于点G，直线AB

的解析式为

设点P的坐标为（0，） ①当点P位于点G的下方时，

，连结AP、BP，

则

，则点G的坐标为（0，），

又，得，点P的坐标为（0，）.

②当点P位于点G的上方时，综上所述所求点P的坐标为（0，(4) 作图痕迹如答图23-2所示.

由图可知，满足条件的点有、

，同理）或（0，、

、

，点P的坐标为（0，）

）.

，共4个可能的位置.

7. （2009莆田）已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B． (1)求抛物线的解析式；

(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：

(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8.（2009遂宁）如图，二次函数的图象经过点D(0，7

)，且顶点C的横坐标为4，该图

象在x 轴上截得的线段AB的长为6.

⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；

⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

9.（2009广州）如图13，二次函数y=x2+px+q(p

。

（1）求该二次函数的关系式；

（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴垂线，若该垂线与ΔABC的

外接圆有公共点，求m的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯

形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

10.（2010湖南邵阳）如图（十四），抛物线y＝-

x+x+3与x轴交于点A、B，与y轴

相交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴交于点F。（1）求直线BC的解析式；

（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作⊙P。 ①当点P运动到点D时，若⊙P与直线BC相交，求r的取值范围； ②若r

P使⊙P与直线BC相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存

在，请说明理由．

图（十四）

解（1）令y=0，求得A点坐标为（－2，0），B点坐标为（6，0）；令x＝0，求得C点的坐标为（0，3）

⎧6k+b=01设BC直线为y＝kx＋b，把B、C点的坐标代入得：⎨ 解得k＝-，b=3

2⎩b=3

故BC的解析式为：y=-

x＋3

（2）①过点D（2，4）作DG⊥BC于点G，因为抛物线的对称轴是直线x=2，所以点E的坐标为（2，2），所以有EF＝2，FB＝4，EB＝

，DE＝2，从图中可知，

Rt DEG Rt BEF，所以有：

DEEB

DGFB

解得DG

＝

故当r

＞

，点P运

动到点D时，⊙P与直线BC相交

②由①知，直线BC上方的点D符合要求。设过点D并与直线BC平行的直线为y＝-

12⎧

y=-x+x+3⎪⎪4

＋n，把点D的坐标代入，求得n＝5，所以联立：⎨ 解得两点（2，4）

⎪y=-1x+5⎪⎩2

为D点，（4，3）也符合条件。

设在直线BC下方到直线BC

的距离为

的直线m与x轴交于点M，过点M作MN⊥BC

于点N，所以MN

，又tan∠NBM＝

OCOB

所以NB

，BM＝4，所以点M与×2＋b 得b=1，所

点F重合。设直线m为y=-x＋b 把点F的坐标，代入得：0＝-ｘ+１

以直线m的解析式为：y＝-

12⎧

y=-x+x+3⎪⎪4

联立方程组：⎨

解得：ｘ＝3±

⎪y=-1x+1⎪⎩2

22所以适合要求的点还有两点即（3

）与（3

）

故当

P使⊙P与直线BC相切，符合条件的点P有四个，即是D（2，

4），（4，3）和（3

，

-1+

），（3

，

-1-

）的坐标．

11.（2010山东临沂）如图，二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴交于A(-两点，且与y轴交于点C.

（1）求该抛物线的解析式，并判断∆ABC的形状；

,0),B(2,0)

（2）在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；

（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.

解：根据题意，将A（-

,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b中，

3⎧11⎧

⎪--a+b=0,⎪a=,得⎨42解这个方程，得⎨2 ⎪-4+2a+b=0.⎪b=1.⎩⎩

所以抛物线的解析式为y=-x2+

x+1.当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0，1）。

214

所以在△AOC中，

.在△BOC中，

BC=

254

AB=OA+OB=+2=

.因为AC2+BC2=

+2==AB.所以△ABC是直角三角形。

（2）点D的坐标是

⎛3

⎫,1⎪. ⎝2⎭

（3）存在。

由（1）知，AC⊥BC,

① 若以BC为底边，则BC∥AP,如图（1）所示，可求得

直线BC的解析式为

y=-

12x+1.

直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y=-将A（-

x+b，

,0）代入直线AP的解析式求得b=-

12x-

,所以

直线AP的解析式为y=-

因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+解得x1=当x=

52x2=-

3212

x+1=-x-.

（不合题意，舍去）.

时，y=-.

所以点P的坐标为（，-

）.

②若以AC为底边，则BP∥AC，如图（2）所示，可求得直线AC的解析式为

y=2x+1.

直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为y=2x+b，

将B（2,0）代入直线BP的解析式求得b=-4,所以直线BP的解析式为y=2x-4.

因为点P既在抛物线上，又在直线BP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+解得x1=-当x=-52

x+1=2x-4

,x2=2（不合题意，舍去）.

时，y=-9.所以点P的坐标为（-，-9）. ，-

综上所述，满足题目的点P的坐标为（

）或（-

，-9）

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当 △APE的面积最大时，求点P的坐标；

⎪

则：⎨0=9a-3b+c

⎪0=36a+6b+c⎩

1⎧a=-⎪3⎪

解得：⎨b=1

⎪c=6⎪⎩

∴该抛物线的解析式为y=-

x+x+6

（2）如图：设点P（x，0），

∵PE∥AB，∴△CPE∽△ABC， ∴S△CPES△ABC

=（

CPBC

)

又∵S△ABC=S△CPE27

BC×OA=27 6-x9

∴=（)

∴S△CPE=

(6-x)

x-4x+12

S△ABP＝BP×OA=3x+9

设△APE的面积为S 则S= S△ABC—S△ABP—S△CPE=-当x=

x+x+6=-

(x-

274

时，S最大值为

∴点P的坐标为（

，0）

（3）假设存在点G（x，y），使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等．在（2）中，△APE的最大面积为①当y＞6时，S△AGC=S=3x+3y-18 即3x+3y-18=

274

梯形GFOC

274

，过点G做GF垂直y轴与点F．

—S△GFA—S△AOC=

（x+6）y—

x（y-6）—

×6×6

，

x+x+6，

又∵点G在抛物线上，y=-∴3x+3(-

x+x+6)-18=92,x2=

2749

时，y=

154

解得：x1=

，当x=

时，y=

274

．

又∵y＞6，∴

点G的坐标为（

，

274

）

②当y＜6时，如图： S△AGC=S△GAF+S即3x+3y-18=

梯形GFOC

—S△AOC=

x（6—y）+

y(x+6)-18=3x+3y-18

274

，

x+x+6，

又∵点G在抛物线上，y=-∴3x+3(-

x+x+6)-18=92,x2=

32749

时，y=

154154

解得：x1=

，当x=

时，y=

274

．

又因为y＜6，所以点G的坐标为（综和①②所述，点G的坐标为（

，

274

）．

，）和（，

154

）．

13.（2010山东济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧）. 已知A点坐标为（0，3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，∆PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和∆PAC的最大面积.

(第23题)

（1）解：设抛物线为y=a(x-4)-1.

∵抛物线经过点A（0，3），∴3=a(0-4)2-1.∴a=∴抛物线为y=

(x-4)-1=

x-2x+3. ……………………………3分

(2) 答：l与⊙C相交. …………………………………………………………………4分

证明：当

(x-4)-1=0时，x1=2，x2=6.

∴B为（2，0），C为（6，0）.

∴AB==

设⊙C与BD相切于点E，连接CE，则∠BEC=90︒=∠AOB. ∵∠ABD=90︒，∴∠CBE=90︒-∠ABO.

又∵∠BAO=90︒-∠ABO，∴∠BAO=∠CBE.∴∆AOB∽∆BEC. ∴

CEOB

=BCAB

∴

CE2

∴CE=

>2.…………………………6分

∵抛物线的对称轴l为x=4，∴C点到l的距离为2.

∴抛物线的对称轴l与⊙C相交. ……………………………………………7分

(3) 解：如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q.

可求出AC的解析式为y=-设P点的坐标为（m，

∴PQ=-

m+3-(

1414

x+3.…………………………………………8分

m+3）.

，则Q点的坐标为（m，-m-2m+3）

m-2m+3)=-

12⨯(-

14m+274

1432

(m-3)+

∵S∆PAC=S∆PAQ+S∆PCQ=

m)⨯6=-

274

∴当m=3时，∆PAC的面积最大为此时，P点的坐标为（3，-

）. …………………………………………10分

(第23题)

14.（2010湖北襄樊）如图7，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、

（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？

（3）当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？

图7

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC=AB=4． ∴A（4，2），B（0，2），C（－4，0）． ∵抛物线y=ax+bx+c过点B，∴c=2．

1⎧

a=-,⎪⎧16a-4b+2=0,⎪16

由题意，有⎨ 解得⎨

⎩16a+4b+2=2.⎪b=1.

⎪⎩4

∴所求抛物线的解析式为y=-

116

141

x+2．

（2）将抛物线的解析式配方，得y=-∴抛物线的对称轴为x=2．

(x-2)+2

．

∴D（8，0），E（2，2），F（2，0）．

欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE．即BP=FQ． ∴t=6－3t，即t=

．

（3）欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，

∵∠PBO=∠BOQ=90°，∴有

BPOB

OQBO

或

BPOB

BOOQ

，

即PB=OQ或OB=PB·QO．

①若P、Q在y轴的同侧．当PB=OQ时，t=8－3t，∴t=2．当OB=PB·QO时，t(8－3t)=4，即3t－8t+4=0．解得t1=2，t2=

．

②若P、Q在y轴的异侧．当PB=OQ时，3t－8=t，∴t=4．当OB=PB·QO时，t(3t－8)=4，即3t－8t－4=0

．解得t=

4±3

．

∵t

4-323

4+3

．

∴当t=2或t=或t=4或

4+3

秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O

为顶点的三角形相似．

15.（2010 四川成都）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于

A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为(-3，若将经过A、C0)，

两点的直线y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线

x=-2．

（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；

（2）如果P是线段AC上一点，设∆ABP、∆BPC的面积分别为S∆ABP、S∆BPC，且

S∆ABP:S∆BPC=2:3，求点P的坐标；

解：（1）∵y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点， ∴b=3，C(0， 3)。

将A (-3，0)代入y=kx+3，得-3k+3=0。解得k=1。 ∴直线AC的函数表达式为y=x+3。 ∵抛物线的对称轴是直线x=-2

⎧9a-3b+c=0

⎧a=1⎪

⎪⎪b

∴⎨-解得⎨b=4 =-2

⎪c=3⎪2a

⎩⎪⎩c=3

∴抛物线的函数表达式为y=x2+4x+3。（2）如图，过点B作BD⊥AC于点D。

∵S∆ABP:S∆BPC=2:3，

∴(⋅AP⋅BD):(⋅PC⋅BD)=2:3

∴AP:PC=2:3。

过点P作PE⊥x轴于点E，

∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO， ∴

PECO

APAC

，

∴PE=∴

OC=

=x+3，解得-

∴点P的坐标为(-

96) 55

（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在 Q与坐标轴相切的情况。设点Q的坐标为(x0，y0)。

① 当⊙Q与y轴相切时，有x0=1，即x0=±1。

0) 当x0=-1时，得y0=(-1)+4⨯(-1)+3=0，∴Q1(-1，

当x0=1时，得y0=12+4⨯1+3=8，∴Q2(1， 8)

② 当⊙Q与x轴相切时，有y0=1，即y0=±1

当y0=-1时，得-1=x02+4x0+3，即x02+4x0+4=0，解得x0=-2，∴Q3(-2， -1) 当y0=1时，得1=x02+4x0+3，即x02+4x0+2=0，解

得x0=-2±Q4(-2-

，1)Q5(-2+

。

，

∴

综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为Q1(-1， 0)，Q2(1， 8)，Q3(-2，

-1)，Q4(-2-

1)，Q5(-2+

。

（Ⅱ）设点Q的坐标为(x0，y0)。

当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有y0=±x0。

由y0=x0，得x0+4x0+3=x0，即x0+3x0+3=0，

∵△=32-4⨯1⨯=-3

由y0=-x0，得x0+4x0+3=-x0，即x0+5x0+3=0，

解得x0=

5±

2∴当⊙Q

的半径r=x0=

=时，⊙Q与两坐标轴同时相切。

16.（2010湖南常德）如图9, 已知抛物线y=

两点，与y轴交于C点．

x+bx+c与x轴交于A (－4，0) 和B(1，0)

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF

面积的2倍时，求E点的坐标;

（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P

点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．

O C 图9

解：（1）由二次函数y=

x+bx+c与x轴交于A(-4,0)、B(1,0)两点可得：

3⎧

⎪b=，

2 ⎨

⎪c=-2．⎩

21⎧2(-4)-b+4c=，0⎪⎪2

⎨ 解得：

⎪1⋅12+b+c=0．⎪⎩2

故所求二次函数的解析式为y=

（2）∵S△CEF=2 S△BEF, ∴

BFCF

=12,BFBC

x+=13.

x-2．

∵EF//AC, ∴∠BEF=∠BAC, ∠BFE=∠BCA, ∴△BEF～△BAC, ∴

BEBA

=BFBC

=13

,得BE=23

53,

故E点的坐标为(-,0).

（3）解法一：由抛物线与y轴的交点为C，则C点的坐标为（0，－2）．若设直线AC

1⎧

⎧-2=0+b,⎪k=-,

的解析式为y=kx+b，则有⎨ 解得：⎨2

⎩0=-4k+b．⎪b=-2．

⎩

故直线AC的解析式为y=－

⎛⎝

x-2．

若设P点的坐标为 a,a+

⎫

a-2⎪，又Q点是过点P所作y轴的平行线与直线2⎭

AC的交点，则Q点的坐标为（a,-

a-2)．则有：

PQ=[-＝-

3a2

112

a-2)](-a＝-a)-2a

22+2

(a+2)

即当a=-2时，线段PQ取大值，此时P点的坐标为（－2，－3）

解法二：延长PQ交x轴于D点，则PD⊥AB．要使线段PQ最长，则只须△APC的面积取大值时即可. 设P点坐标为（x0,y0)，则有:

S APC=S ADP+S梯形DPCO-S ACO ＝

AD⋅PD+12

(PD+OC)⋅OD-12

OA⋅OC 12⨯4⨯2

＝-

x0y0-2y0+

(-y0+2)⋅(-x0)-

＝-2y0-x0-4

3⎛12⎫

＝-2 x0+x0-2⎪-x0-4

2⎝2⎭

＝-x

-4x0 ＝－(x

+2)+4

即x0=-2时，△APC的面积取大值，此时线段PQ最长，则P点坐标

为（－2，－3）

S∆MAB,若存在，求出P点的

坐标；若不存在，请说明理由；

（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b(b

图9

解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数y=(x+m)2+k的顶点坐标，

所以y=(x-1)2-4=x2-2x-3 令x2-2x-3=0,解之得x1=-1,x2=3. ∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0） (2) 在二次函数的图象上存在点P，使S∆PAB=设p(x,y),则S∆PAB=∴2y=

54S∆MAB

AB⨯-4=8,

AB⨯y=2y，又S∆MAB=

⨯8,即y=±5.

∵二次函数的最小值为-4，∴y=5. 当y=5时，x=-2,或x=4.

故P点坐标为（-2，5）或（4，5）……………7分（3）如图1，当直线y=x+b(b

b=1.……………8分

图1

当直线y=x+b(b

解：（1）将B、C两点的坐标代入得⎨

⎧3b+c=0⎩c=-3

⎧b=-2

解得：⎨

c=-3⎩

所以二次函数的表达式为：y=x-2x-3

（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，x-2x-3）， PP交CO于E

若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．

连结PP 则PE⊥CO于E，

∴OE=EC=∴y=-

．

22+

∴x2-2x-3=-

22-

解得x1=，x2=

（不合题意，舍去）

∴P点的坐标为（

，-

）…………………………8分

（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，

设P（x，x-2x-3），

易得，直线BC的解析式为y=x-3 则Q点的坐标为（x，x－3）.

S四边形

ABPC

=S∆ABC+S∆BPQ+S∆CPQ==12

⨯4⨯3+

AB⋅OC+

QP⋅OE+

QP⋅EB

(-x+3x)⨯3

3⎛3⎫75

=- x-⎪+

2⎝2⎭8

当x=

时，四边形ABPC的面积最大

⎛3⎝2

15⎫

⎪，四边形ABPC的 4⎭

此时P点的坐标为面积的最大值为

758

．

经典抛物线的综合题及答案

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