浅谈高中数学学习中常用到的初中知识
--从初中二次函数教学谈起
通州四中研究性学习 指导老师：李晓明
摘要：数学难学是高中学生普遍反映的问题。一些在初中数学成绩较好的学生，甚至在中考中数学取得优秀成 绩的学生，经过高中一段时间的学习后，数学成绩却呈下降趋势。这也是数学教师十分关心的问题。本文以二次函数为例，谈谈在高一上学期的数学教学中，如何充分利用学过的初中知识，比较顺利、自然、快捷地适应由初中向高中的数学学习。
关键词：二次函数、学习方法、函数思想、数形结合思想
高中数学相对于初中数学而言, 逻辑推理强，抽象程度高，知识难度大。学生感到难学，教师感到难教" 的问题一直困绕着高中师生。近年来更由于" 新课程改革”的全面实施, 初中数学教学内容作了较大程度的压缩，而目前高中数学在教材内容以及高考中都对学生的能力提出了更高的要求，使得原来的矛盾更加突出，如何在高中数学学习中，特别是熟练运用二次函数来解决问题，是一个十分重要的问题。本数学研究小组经过了一学期的学习实践，下面，以二次函数为例从几个方面略述一些浅见。
一、问题的提出
义务教育数学课程标准对二次函数教学的目标是：
（1）通过对实际问题情境的分析确定二次函数表达式，并体会二次函数的意义。
1
（2）会用描点法画出二次函数图像，能从图像上认识二次函数的性质。
（3）会根据公式确定图像的顶点，开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题。
（4）会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。
我们注意到，中学教材将系统学习二次函数纳入初三阶段。高中教材中除在高二一元二次不等式解法一节中归纳了三个二次的关系外，对二次函数知识没有作更多的补充。而高中数学教学对二次函数内容提出的要求较高，要熟练掌握图像和性质，特别是利用函数思想、数形结合思想、待定系数法、配方法等思想方法来重新认识多项式、方程和不等式，研究解的有关问题和最值问题，同时向三角、数列、解析几何、立体几何渗透，使二次函数的应用不断拓展和深化，由单一走向综合。由此可见，初中所学内容是远远不能满足高中教学和需要。例如2008年海南宁夏卷文科第11题
例1. 函数f (x ) =cos 2x +2sin x 的最小值和最大值分别为（ ）
A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 23 D. －2， 23显然该题是利用二次函数解决三角的最值问题，教材系统的寓意是明显的，根据课标的要求，二次函数的知识特点和学生的认知水平，初中阶段对二次函数的教学只要求了解基本知识，适当渗透基本思想。到高中阶段，随着知识的不断拓展，在某部分知识需要使用二次函数时，再逐步学习完善。从二次函数知识的特点来说，也只有这样，才能高屋建瓴地掌握它，特别是教学思想和方法。但应该看到，对二次函数知识来说，高中阶段这种以点的方式得到的知识毕竟是发散的，
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其系统性是不够的。如果在初中阶段二次函数学习不足，进入高中后随着知识的加深和二次函数应用的广泛，学习则颇感吃力。
为此老师认为，课标是教师教学工作的纲领，教师必须全面领会和贯彻课标精神。初中阶段在二次函数教学上，对全体学生不能随意扩充内容和提高要求，在高一阶段，教师应站在中学教学的角度从新审视二次函数在中学教学知识体系中的地位和作用，应以各种不同的方式适当扩充该部分知识，特别是渗透思想方法，学生在系统学习二次函数的时候，对知识结构有一个较全面的整体轮廓，即面上保底，点不封顶，抓好该部分知识为高中数学的学习做好知识的准备。
二、学习方法
（一）在知识点上采取加强和补充的方法，引导学生联想与对比。 如：配方法的广泛应用；图像平移；用四点一线法迅速勾勒出抛物线的大致位置；利用顶点式和交点式求二次函数解析式；根据一元二次方程根的判别式，判断抛物线与X 轴交点的情况；在二次函数解析式中，系数的取值范围对图像位置的影响；明确提出最值概念，有关最值的应用问题；二次方程与二次函数之间的关系，并启发联想与一元二次不等式之间的关系；在指定区间上讨论二次函数图像等。例如：在学习一元二次不等式时，可以联想一元二次函数的图象，并把一元二次不等式的解集与一元二次方程的根加以对比，明白三者之间的内在区别与联系，总结归纳出一元二次不等式的解集，同时也运用了数形结合这一基本的数学思想方法。
（二）、 在知识结构上搭好整体框架。
3
（1）、采用图表归纳，使知识系统化、条理化，有助于了解二次函数的知识结构体系。全面反映各知识点的基础题应熟练掌握。
（2）、在学习中贯穿：实例-----定义----图像----性质--应用这条主线，注意揭示内在联系，在头脑中留下图像这一核心纽带的烙印，通过解决具体问题，逐步提高我们对数形结合的数学思想的理解。
(3)、分析题目要注意条件的等价性，把隐含条件等价转化为数学符号语言和式子。
（三）、通过典型例题，体现数学思想方法。
1、在日常学习中注意函数思想和数形结合思想疏导。用函数思想重新认识代数式方程、不等式，求代数式的值转化为求函数值，解方程转化为求函数图像与X 轴交点的横坐标，解不等式转化为确定函数值在定义域内的正负区间。如下面二次函数与数列的综合问题考查，体现了函数思想和数形结合的方法。
例2. 二次函数y =a (a +1) x 2-(2a +1) x +1, 当a =1，2，3，…，n ，…时，其图像在x 轴上截得的弦长依次为d 1，d 2，…，d n , …，则d 1+d 2+ d n 为
2、在日常学习中注意抽象概括思想和教学模型思想的训练，提高分析问题、解决问题的能力，从实际问题中抽象出数学模型，通过计算得到结果，再回到实践中接受检验及评估。
例3：有两个投资项目A , B ，根据市场调查与预测，A 项目的利润与投资成正比，其关系如图甲，B 项目的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙. （注：利润与投资单位：万元）
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（1）分别将A , B 两个投资项目的利润表示为投资x （万元）的函数
关系式；
（2）现将x (0≤x ≤10)
万元投资A 项目, 10-x 万元投资B 项目. h (x ) 表示投资A 项目所得利润与投资B 项目所得利润之和. 求h (x ) 的最大值, 并指出x 为何值时, h (x ) 取得最大值. 解：（1）投资为 x 万元，A 项目的利润为 y 万元，B 项目的利润为 z 万元。
由题设
由图知 ........................
又 ...........................
从而 ...............
（2）
令
.....................
当 .....................
5
该题是二次函数的实际应用，告诉我们数学来源于生活又反作用于生活。在二次函数中，它有丰富的内涵和外延，作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，提高运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
实践表明，拓宽初中数学知识，加强知识、方法、思维的学习，让我们积极参与教学的全过程，帮助我们改进学习方法，能取得较好的学习效果。
总之，在高中数学的起步教学阶段，分析清楚学习数学困难的原因，抓好高中数学学习中常用的初中知识的学习，便能使我们尽快适应新的学习模式，从而更高效、更顺利地接受新知和发展能力。
参考文献：
1.翁凯庆, 《数学教育学教程》, 四川大学出版社,2002年8月
2.张奠宇, 宋乃庆, 《数学教育概论》, 高等教育出版社,2009年1月
3.戚万学 ,徐继存 ,傅海伦, 《数学新课程理念与实施》, 山东教育出版社 ,2004年
4.四川师范大学教务处, 《普通高中课程改革学习资料汇编》,2009年12月
5.刘华山, 《学校心理辅导》，安徽人民出版社,2008年6月
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6.孙名符，《数学教育学原理》，科学出版社，1996年
7.张奠宇等，《数学学科德育》，高等教育出版社，2007年
8.田中等，《数学基础知识、基本技能教学研究探索》，华东师范大学出版社，2003年
9.张行涛，周卫勇，《新课程教学法》，中国轻工业出版社，2004年
10.刘华祥，《中学数学教学论》，武汉大学出版社，2003年
11.张金萍等，《谈初高中数学教学的衔接》，教学月刊，2005年12月
12.王培德，《数学思想应用及探究一建构教学》，人民教育出版社，2003年
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浅谈高中数学学习中常用到的初中知识
--从初中二次函数教学谈起
通州四中研究性学习 指导老师：李晓明
摘要：数学难学是高中学生普遍反映的问题。一些在初中数学成绩较好的学生，甚至在中考中数学取得优秀成 绩的学生，经过高中一段时间的学习后，数学成绩却呈下降趋势。这也是数学教师十分关心的问题。本文以二次函数为例，谈谈在高一上学期的数学教学中，如何充分利用学过的初中知识，比较顺利、自然、快捷地适应由初中向高中的数学学习。
关键词：二次函数、学习方法、函数思想、数形结合思想
高中数学相对于初中数学而言, 逻辑推理强，抽象程度高，知识难度大。学生感到难学，教师感到难教" 的问题一直困绕着高中师生。近年来更由于" 新课程改革”的全面实施, 初中数学教学内容作了较大程度的压缩，而目前高中数学在教材内容以及高考中都对学生的能力提出了更高的要求，使得原来的矛盾更加突出，如何在高中数学学习中，特别是熟练运用二次函数来解决问题，是一个十分重要的问题。本数学研究小组经过了一学期的学习实践，下面，以二次函数为例从几个方面略述一些浅见。
一、问题的提出
义务教育数学课程标准对二次函数教学的目标是：
（1）通过对实际问题情境的分析确定二次函数表达式，并体会二次函数的意义。
1
（2）会用描点法画出二次函数图像，能从图像上认识二次函数的性质。
（3）会根据公式确定图像的顶点，开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题。
（4）会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。
我们注意到，中学教材将系统学习二次函数纳入初三阶段。高中教材中除在高二一元二次不等式解法一节中归纳了三个二次的关系外，对二次函数知识没有作更多的补充。而高中数学教学对二次函数内容提出的要求较高，要熟练掌握图像和性质，特别是利用函数思想、数形结合思想、待定系数法、配方法等思想方法来重新认识多项式、方程和不等式，研究解的有关问题和最值问题，同时向三角、数列、解析几何、立体几何渗透，使二次函数的应用不断拓展和深化，由单一走向综合。由此可见，初中所学内容是远远不能满足高中教学和需要。例如2008年海南宁夏卷文科第11题
例1. 函数f (x ) =cos 2x +2sin x 的最小值和最大值分别为（ ）
A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 23 D. －2， 23显然该题是利用二次函数解决三角的最值问题，教材系统的寓意是明显的，根据课标的要求，二次函数的知识特点和学生的认知水平，初中阶段对二次函数的教学只要求了解基本知识，适当渗透基本思想。到高中阶段，随着知识的不断拓展，在某部分知识需要使用二次函数时，再逐步学习完善。从二次函数知识的特点来说，也只有这样，才能高屋建瓴地掌握它，特别是教学思想和方法。但应该看到，对二次函数知识来说，高中阶段这种以点的方式得到的知识毕竟是发散的，
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其系统性是不够的。如果在初中阶段二次函数学习不足，进入高中后随着知识的加深和二次函数应用的广泛，学习则颇感吃力。
为此老师认为，课标是教师教学工作的纲领，教师必须全面领会和贯彻课标精神。初中阶段在二次函数教学上，对全体学生不能随意扩充内容和提高要求，在高一阶段，教师应站在中学教学的角度从新审视二次函数在中学教学知识体系中的地位和作用，应以各种不同的方式适当扩充该部分知识，特别是渗透思想方法，学生在系统学习二次函数的时候，对知识结构有一个较全面的整体轮廓，即面上保底，点不封顶，抓好该部分知识为高中数学的学习做好知识的准备。
二、学习方法
（一）在知识点上采取加强和补充的方法，引导学生联想与对比。 如：配方法的广泛应用；图像平移；用四点一线法迅速勾勒出抛物线的大致位置；利用顶点式和交点式求二次函数解析式；根据一元二次方程根的判别式，判断抛物线与X 轴交点的情况；在二次函数解析式中，系数的取值范围对图像位置的影响；明确提出最值概念，有关最值的应用问题；二次方程与二次函数之间的关系，并启发联想与一元二次不等式之间的关系；在指定区间上讨论二次函数图像等。例如：在学习一元二次不等式时，可以联想一元二次函数的图象，并把一元二次不等式的解集与一元二次方程的根加以对比，明白三者之间的内在区别与联系，总结归纳出一元二次不等式的解集，同时也运用了数形结合这一基本的数学思想方法。
（二）、 在知识结构上搭好整体框架。
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（1）、采用图表归纳，使知识系统化、条理化，有助于了解二次函数的知识结构体系。全面反映各知识点的基础题应熟练掌握。
（2）、在学习中贯穿：实例-----定义----图像----性质--应用这条主线，注意揭示内在联系，在头脑中留下图像这一核心纽带的烙印，通过解决具体问题，逐步提高我们对数形结合的数学思想的理解。
(3)、分析题目要注意条件的等价性，把隐含条件等价转化为数学符号语言和式子。
（三）、通过典型例题，体现数学思想方法。
1、在日常学习中注意函数思想和数形结合思想疏导。用函数思想重新认识代数式方程、不等式，求代数式的值转化为求函数值，解方程转化为求函数图像与X 轴交点的横坐标，解不等式转化为确定函数值在定义域内的正负区间。如下面二次函数与数列的综合问题考查，体现了函数思想和数形结合的方法。
例2. 二次函数y =a (a +1) x 2-(2a +1) x +1, 当a =1，2，3，…，n ，…时，其图像在x 轴上截得的弦长依次为d 1，d 2，…，d n , …，则d 1+d 2+ d n 为
2、在日常学习中注意抽象概括思想和教学模型思想的训练，提高分析问题、解决问题的能力，从实际问题中抽象出数学模型，通过计算得到结果，再回到实践中接受检验及评估。
例3：有两个投资项目A , B ，根据市场调查与预测，A 项目的利润与投资成正比，其关系如图甲，B 项目的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙. （注：利润与投资单位：万元）
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（1）分别将A , B 两个投资项目的利润表示为投资x （万元）的函数
关系式；
（2）现将x (0≤x ≤10)
万元投资A 项目, 10-x 万元投资B 项目. h (x ) 表示投资A 项目所得利润与投资B 项目所得利润之和. 求h (x ) 的最大值, 并指出x 为何值时, h (x ) 取得最大值. 解：（1）投资为 x 万元，A 项目的利润为 y 万元，B 项目的利润为 z 万元。
由题设
由图知 ........................
又 ...........................
从而 ...............
（2）
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该题是二次函数的实际应用，告诉我们数学来源于生活又反作用于生活。在二次函数中，它有丰富的内涵和外延，作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，提高运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
实践表明，拓宽初中数学知识，加强知识、方法、思维的学习，让我们积极参与教学的全过程，帮助我们改进学习方法，能取得较好的学习效果。
总之，在高中数学的起步教学阶段，分析清楚学习数学困难的原因，抓好高中数学学习中常用的初中知识的学习，便能使我们尽快适应新的学习模式，从而更高效、更顺利地接受新知和发展能力。
参考文献：
1.翁凯庆, 《数学教育学教程》, 四川大学出版社,2002年8月
2.张奠宇, 宋乃庆, 《数学教育概论》, 高等教育出版社,2009年1月
3.戚万学 ,徐继存 ,傅海伦, 《数学新课程理念与实施》, 山东教育出版社 ,2004年
4.四川师范大学教务处, 《普通高中课程改革学习资料汇编》,2009年12月
5.刘华山, 《学校心理辅导》，安徽人民出版社,2008年6月
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6.孙名符，《数学教育学原理》，科学出版社，1996年
7.张奠宇等，《数学学科德育》，高等教育出版社，2007年
8.田中等，《数学基础知识、基本技能教学研究探索》，华东师范大学出版社，2003年
9.张行涛，周卫勇，《新课程教学法》，中国轻工业出版社，2004年
10.刘华祥，《中学数学教学论》，武汉大学出版社，2003年
11.张金萍等，《谈初高中数学教学的衔接》，教学月刊，2005年12月
12.王培德，《数学思想应用及探究一建构教学》，人民教育出版社，2003年
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