卡文迪许扭秤法测量万有引力常数

卡文迪许扭秤法测量万有引力常数

班级 核工程82 学号 08182022 姓名 刘 勇

卡文迪许扭秤法测量万有引力常数

一、实验目的

1. 掌握在扭秤摆动中求平衡位置的方法。

2. 掌握如何通过卡文迪许扭秤法测量万有引力常数。

二、实验仪器

卡文迪许扭秤，激光发射器， 光屏，米尺，秒表，电源

三、实验原理

根据牛顿万有引力定律，间距为r, 质量为 m1 和m2 的两球之间的万有引力F方向沿着两球中心连线，大小为

其中G为万有引力常数。

2

FGm1m2

r

实验仪器卡文迪许扭秤法原理图所示。卡文迪许扭秤是一个高精度的仪器，非常灵敏，为保护仪器和防止外界干扰影响实验测量，扭秤被悬挂在一根金属丝上，装在镶有玻璃板的铝框盒内，固定在底座上。

实验时，把两个大球贴近装有扭秤的盒子，扭秤两端的小球受到大球的万有引力作用而移近大球，使悬挂扭秤的悬丝扭转。激光器发射的激光被固定在扭秤

上的小镜子反射到远处的光屏上，通过测量光屏上扭秤平衡时光点的位置可以得到对应的扭转角度, 从而计算出万有引力常数 G。

假设开始时扭秤扭转角度θ0=0，把大球移动贴近盒子放置，大小球之间的万有引力为F，小球受到力偶矩N =2 Fl而扭转，悬挂扭秤的金属丝因扭转产生与力偶矩N相平衡的反向转矩N’= K(θ/2)，扭秤最终平衡在扭角θ的位置：

F=G M m /d 2Fl= K(θ/2)

其中 K是金属悬丝的扭转常数，M是大球的质量，m是小球的质量，d 是大球小球的中心的连线距离，l 是小球中心到扭秤中心的距离。

由转动方程可求得悬丝的扭转常数:通过转动惯量I 和测量扭秤扭转周期T 就可以得到金属丝的扭转系数K：

2

K4π

2

I

T

2

2

假设小球相对大球是足够轻，那么转动惯量I

2ml

2

因此由上述几式得，扭转角θ

2π

GM2

d

2

l

。

当大球转动到相反的对称位置后，新平衡位置是-θ, 因此平衡时的总扭转角为

2θ

GM2

πd

22

l

通过反射光点在光屏上的位移S可以得到悬丝扭转角度。由于万有引力作用很弱，使得扭秤平衡时扭转角很小，此时可以认为：2θ到扭秤的距离。

S

，其中D 是光屏D

lS因此万有引力常数GM2D

T

22

。

万有引力常数G 计算公式的修正：

由卡文迪许扭秤法原理图可知，小球受到大球M1作用F 的同时也受到斜后方另一个大球M2 的作用力 f,考虑f作用时，G 值应修正为

G

(1)

1

lS

,其中2

MTD

22



(d24l2)

3

3/2

。

四、实验内容及操作步骤

1、选择主菜单中的“开始实验”选项开始实验。

2、在开始实验显示的实验场景中，在卡文迪许扭秤位置鼠标左键双击打开扭秤

调节窗口，激光器位置双击打开激光器窗口，光屏位置双击打开放大的光屏读数窗口，场景中鼠标右键单击实验窗口弹出选择菜单。

3、选择“实验场景测量”显示实验场景示意图，通过读取鼠标的位置测量两个小球间距2l，反射镜和光屏之间距离D, 贴近盒子的大球中心到对应小球中心之间距离d。将数据记录于表格一。

4、如卡文迪许扭秤法原理图所示，按下列方法调整扭秤位于盒子的中央。

 打开激光器电源：双击电源弹出放大的激光器电源面板。鼠标单击开关

打开电源，可以看见激光被镜子反射到远处的光屏上。

 确定平衡位置C：鼠标双击实验窗口中的卡文迪许扭秤进行调节。 通过右键菜单可打开卡文迪许扭秤顶视图。通过的鼠标调节扭丝转角调节旋钮，可对扭秤初始转角进行粗调。

双击锁紧螺钉使得扭秤下落，并且作最大振幅的扭转振动（撞击玻璃板）。记录此时光点在光屏两端最远点的位置x1, x2 。 Xc = (x1+ x2)/2。  确定实际平衡位置C’：当扭秤振动衰减到不接触盒子两边玻璃板后, 按

下图2 曲线记录下光屏两端光点运动的最远点位置.  平衡位置Xc’可以按照下面方法计算得到:

(Xc’ –x2) / (x1 –Xc’) = (x3 –Xc’) / (Xc’ –x2)

或 Xc’= (x2–x1x3) / (2x2 –x1 –x3)

如果如果Xc = Xc’,那么扭秤就基本平衡了. 否则需要调整扭角度调整旋钮，直到Xc = Xc’：鼠标右键扭秤窗口弹出菜单，选择扭秤顶视图显示扭秤顶端。通过单击鼠标右键或者左键旋转“扭角调整”旋钮到合适位置。 5. 测扭秤的固有振动周期T: 将大球放置在支撑架上，支撑架旋转臂垂直于扭

秤，此时扭秤受力平衡。双击锁紧螺钉使得扭秤下落，等待扭秤振动到最大幅度时小球不和两边玻璃壁碰撞后，用秒表记录光点连续摆动4个周期所需时间。实验窗口鼠标右键弹出菜单，选择“显示秒表”。记录数据于表二。 测量万有引力作用下光点的位移S

6、在扭秤窗口选择“前视图”，通过在扭秤上大球位置单击鼠标右键或者左键

转动大球，使得大球按照卡文迪许扭秤法原理图中黑线大球的位置贴近盒子。

7、等待扭秤振动到最大幅度时小球不和两边玻璃壁碰撞后，记录光点连续摆动

3个周期中光屏两端极值点的位置a1,a2,a3,a4,a5,a6。则光点静止时位置坐标A可由下述平均法计算：

i

i2

A

i

2

ai1

（i=1,2，3,4）

14

A

4i1

A

i

8. 转动大球到反向对称位置（卡文迪许扭秤法原理图中虚线大球的位置），等

待扭秤振动到最大幅度时小球不和两边玻璃壁碰撞后，记录光点连续摆动3个周期中光屏两端极值点的位置b1,b2,b3,b4,b5,b6。则光点静止时位置坐标B可由上述平均法计算：

14

BBi

4i1

9. 在把大球转到卡文迪许扭秤法原理图中黑线大球的位置，等待扭秤振动到最

大幅度时小球不和两边玻璃壁碰撞后，记录光点连续摆动3个周期中光屏两端极值点的位置a

’

1

,a’2,a’3,a’4,a’5,a’6。 求出A’。

由A,B,A’可算出2组位移量:S1AB, S1A'B平均值:S=(S1+S2)/2。 10. 计算万有引力常数G。

五、实验数据处理

表一：实验场景测量

2

2

lSG2由MTD代入数据得G=5.82X10

-11

而修正系数

(d24l2)

3

3/2

=1.087

故最终由G

(1)

1

lS得G=6.33 x10-11，E=5.10%

G2

MTD

22

六、实验总结

因为G的数值非常微小，所以在地球表面上物体之间的引力很微小，以至于通常可以忽略。因此卡文迪许扭秤法测量万有引力常数G的实验是一个非常精致的实验。本次试验要求试验中有足够耐心，对光点的观察要仔细。

七、思考题

1.假设 M= 1kg, l = 10 cm, d =5cm , m = 15g。 1) 扭秤的周期 T ?

由2θGM2S

Sl22

π2d2l

2θD得：TDGM=293.08Hz

2) 悬丝的扭转常数 K ?

K

4I2

-8

T

2

=

8m22

T

2

=3.45x10

2. 对测量结果进行分析，分析影响测量结果的主要因素。

本实验测量结果为G=6.33 x10-11

，EG=5.10%。误差相对较小。但是，从

22

G(1

)

1

lSMT2

D

可见，d与T的测量，对结果影响较大。

卡文迪许扭秤法测量万有引力常数

班级 核工程82 学号 08182022 姓名 刘 勇

卡文迪许扭秤法测量万有引力常数

一、实验目的

1. 掌握在扭秤摆动中求平衡位置的方法。

2. 掌握如何通过卡文迪许扭秤法测量万有引力常数。

二、实验仪器

卡文迪许扭秤，激光发射器， 光屏，米尺，秒表，电源

三、实验原理

根据牛顿万有引力定律，间距为r, 质量为 m1 和m2 的两球之间的万有引力F方向沿着两球中心连线，大小为

其中G为万有引力常数。

2

FGm1m2

r

实验仪器卡文迪许扭秤法原理图所示。卡文迪许扭秤是一个高精度的仪器，非常灵敏，为保护仪器和防止外界干扰影响实验测量，扭秤被悬挂在一根金属丝上，装在镶有玻璃板的铝框盒内，固定在底座上。

实验时，把两个大球贴近装有扭秤的盒子，扭秤两端的小球受到大球的万有引力作用而移近大球，使悬挂扭秤的悬丝扭转。激光器发射的激光被固定在扭秤

上的小镜子反射到远处的光屏上，通过测量光屏上扭秤平衡时光点的位置可以得到对应的扭转角度, 从而计算出万有引力常数 G。

假设开始时扭秤扭转角度θ0=0，把大球移动贴近盒子放置，大小球之间的万有引力为F，小球受到力偶矩N =2 Fl而扭转，悬挂扭秤的金属丝因扭转产生与力偶矩N相平衡的反向转矩N’= K(θ/2)，扭秤最终平衡在扭角θ的位置：

F=G M m /d 2Fl= K(θ/2)

其中 K是金属悬丝的扭转常数，M是大球的质量，m是小球的质量，d 是大球小球的中心的连线距离，l 是小球中心到扭秤中心的距离。

由转动方程可求得悬丝的扭转常数:通过转动惯量I 和测量扭秤扭转周期T 就可以得到金属丝的扭转系数K：

2

K4π

2

I

T

2

2

假设小球相对大球是足够轻，那么转动惯量I

2ml

2

因此由上述几式得，扭转角θ

2π

GM2

d

2

l

。

当大球转动到相反的对称位置后，新平衡位置是-θ, 因此平衡时的总扭转角为

2θ

GM2

πd

22

l

通过反射光点在光屏上的位移S可以得到悬丝扭转角度。由于万有引力作用很弱，使得扭秤平衡时扭转角很小，此时可以认为：2θ到扭秤的距离。

S

，其中D 是光屏D

lS因此万有引力常数GM2D

T

22

。

万有引力常数G 计算公式的修正：

由卡文迪许扭秤法原理图可知，小球受到大球M1作用F 的同时也受到斜后方另一个大球M2 的作用力 f,考虑f作用时，G 值应修正为

G

(1)

1

lS

,其中2

MTD

22



(d24l2)

3

3/2

。

四、实验内容及操作步骤

1、选择主菜单中的“开始实验”选项开始实验。

2、在开始实验显示的实验场景中，在卡文迪许扭秤位置鼠标左键双击打开扭秤

调节窗口，激光器位置双击打开激光器窗口，光屏位置双击打开放大的光屏读数窗口，场景中鼠标右键单击实验窗口弹出选择菜单。

3、选择“实验场景测量”显示实验场景示意图，通过读取鼠标的位置测量两个小球间距2l，反射镜和光屏之间距离D, 贴近盒子的大球中心到对应小球中心之间距离d。将数据记录于表格一。

4、如卡文迪许扭秤法原理图所示，按下列方法调整扭秤位于盒子的中央。

 打开激光器电源：双击电源弹出放大的激光器电源面板。鼠标单击开关

打开电源，可以看见激光被镜子反射到远处的光屏上。

 确定平衡位置C：鼠标双击实验窗口中的卡文迪许扭秤进行调节。 通过右键菜单可打开卡文迪许扭秤顶视图。通过的鼠标调节扭丝转角调节旋钮，可对扭秤初始转角进行粗调。

双击锁紧螺钉使得扭秤下落，并且作最大振幅的扭转振动（撞击玻璃板）。记录此时光点在光屏两端最远点的位置x1, x2 。 Xc = (x1+ x2)/2。  确定实际平衡位置C’：当扭秤振动衰减到不接触盒子两边玻璃板后, 按

下图2 曲线记录下光屏两端光点运动的最远点位置.  平衡位置Xc’可以按照下面方法计算得到:

(Xc’ –x2) / (x1 –Xc’) = (x3 –Xc’) / (Xc’ –x2)

或 Xc’= (x2–x1x3) / (2x2 –x1 –x3)

如果如果Xc = Xc’,那么扭秤就基本平衡了. 否则需要调整扭角度调整旋钮，直到Xc = Xc’：鼠标右键扭秤窗口弹出菜单，选择扭秤顶视图显示扭秤顶端。通过单击鼠标右键或者左键旋转“扭角调整”旋钮到合适位置。 5. 测扭秤的固有振动周期T: 将大球放置在支撑架上，支撑架旋转臂垂直于扭

秤，此时扭秤受力平衡。双击锁紧螺钉使得扭秤下落，等待扭秤振动到最大幅度时小球不和两边玻璃壁碰撞后，用秒表记录光点连续摆动4个周期所需时间。实验窗口鼠标右键弹出菜单，选择“显示秒表”。记录数据于表二。 测量万有引力作用下光点的位移S

6、在扭秤窗口选择“前视图”，通过在扭秤上大球位置单击鼠标右键或者左键

转动大球，使得大球按照卡文迪许扭秤法原理图中黑线大球的位置贴近盒子。

7、等待扭秤振动到最大幅度时小球不和两边玻璃壁碰撞后，记录光点连续摆动

3个周期中光屏两端极值点的位置a1,a2,a3,a4,a5,a6。则光点静止时位置坐标A可由下述平均法计算：

i

i2

A

i

2

ai1

（i=1,2，3,4）

14

A

4i1

A

i

8. 转动大球到反向对称位置（卡文迪许扭秤法原理图中虚线大球的位置），等

待扭秤振动到最大幅度时小球不和两边玻璃壁碰撞后，记录光点连续摆动3个周期中光屏两端极值点的位置b1,b2,b3,b4,b5,b6。则光点静止时位置坐标B可由上述平均法计算：

14

BBi

4i1

9. 在把大球转到卡文迪许扭秤法原理图中黑线大球的位置，等待扭秤振动到最

大幅度时小球不和两边玻璃壁碰撞后，记录光点连续摆动3个周期中光屏两端极值点的位置a

’

1

,a’2,a’3,a’4,a’5,a’6。 求出A’。

由A,B,A’可算出2组位移量:S1AB, S1A'B平均值:S=(S1+S2)/2。 10. 计算万有引力常数G。

五、实验数据处理

表一：实验场景测量

2

2

lSG2由MTD代入数据得G=5.82X10

-11

而修正系数

(d24l2)

3

3/2

=1.087

故最终由G

(1)

1

lS得G=6.33 x10-11，E=5.10%

G2

MTD

22

六、实验总结

因为G的数值非常微小，所以在地球表面上物体之间的引力很微小，以至于通常可以忽略。因此卡文迪许扭秤法测量万有引力常数G的实验是一个非常精致的实验。本次试验要求试验中有足够耐心，对光点的观察要仔细。

七、思考题

1.假设 M= 1kg, l = 10 cm, d =5cm , m = 15g。 1) 扭秤的周期 T ?

由2θGM2S

Sl22

π2d2l

2θD得：TDGM=293.08Hz

2) 悬丝的扭转常数 K ?

K

4I2

-8

T

2

=

8m22

T

2

=3.45x10

2. 对测量结果进行分析，分析影响测量结果的主要因素。

本实验测量结果为G=6.33 x10-11

，EG=5.10%。误差相对较小。但是，从

22

G(1

)

1

lSMT2

D

可见，d与T的测量，对结果影响较大。