_圆锥曲线上四点共圆充要条件_的统一证明及简单拓展

2 0 13 年 第

数学救学

一 忍

“圆锥 曲线上四点共圆充要条件 ” 的统一证 明及简单拓展

上海市延安 中学 徐有祥

本刊

年第 期 刊登 的张 乃 贵老师 的

注 意 到 ①式 没 有 含 夕 的项 , 对 照 ① 、

② 两式便可得 如

《圆锥 曲线 上 四点共 圆充要 条件 的研 究 》 一 文 , 笔 者 读 后 便 思 考 “圆 锥 曲 线 上 四 点 共 圆充 要条件 ”的统一证明 命题 设 、 、 、 为对称 轴平行 若 、 于坐标 轴 的圆锥 曲线 上 的 己知 四点

由于 ①式 所表示 的 曲线经 过所 有 己知 的

四点 、 、 、 , 而此 四点中无任 何三 点共 线 , 所 以 ②式 中的两条直线 , 一条过其 中两点 ,

、 、 共 圆 , 则 以这 四点 为顶 点的完 全 四 边形 的各组对边所在直线 的倾斜角都 互补 反 之, 若以 、 、 、 这 四 点为 顶 点 的完全 四边形 的三组对边 中有一组对边所在直线 的倾 斜角互补 , 则 、 、 、 四 点共 圆 证 明 对 于给定 的圆锥 曲线 , 以平行 于 圆锥 曲线的对称轴的直线为坐标轴 建立平面直

另一 条必过另外两点 换言之 , ② 式可表示 完 全 四边形 、 、 、 的任 何 一 组 对 边 所 在

的两直线所组成 的二次曲线 由此可 知 , 完 全 四边 形 、 、 、 的 任何 一组 对边 所在 的两条 直线 倾斜 角 是互补

即 的

粤 孚

若两直线斜率都存在 , 则斜率互 为相 反数 , 另一方 面 若一组对边所在两直线 的倾斜

角坐标系 如图

, 则其方程必为如下形式

角互补 , 则其方程可写成

十勿 十

尹十

考察方程

入 勺

一勺 于

,

· · … …

合 并同类项后 , 其中护 、 , 、 沪项 的系

数分别为

一 ,

入 护、

一入 护 , 并且当 入

。 , , 、

示丁亩 盯,

上的 四点

设 此 圆 锥 曲线 上 已知 的 四 点 、 、 、

“ 了一 一“ 叭此 盯, 万 程

、 、 所组 成的完全 四边形

所表示的曲线是一个圆 即 若圆锥 曲线

有 一组对 边所在两条直线倾斜角互补 , 则这 四 点共 圆 命题 得 证

推论 如图 ,设 、 、 、 为对称轴 平 行 于坐 标 轴 的 圆锥 曲线 上 的 己知 四 点 , 以

共圆于护

此 四点 曲线

尹十

二 , 则过

与 圆的所 有 公共 点 的两 条直

线 所 组 成 的 二 次 曲线 方 程 必可 写 成 如 下 形式

, 十叫 一

……①

这 四点为顶点的完全 四边形 的各组对边 中 , 若 其 中一 组对 边所在直线 的倾斜角互补 , 则另外 两 组 对边 所 在直 线 的倾斜 角 也 都 互 补

从 证 明 中可 以看 出 , 若 将 圆 改 成 对 称 轴 也

而两 条直线 所组 成 的二次 曲线 的方程 又

可写成 ② 式

,

…②

与坐标轴平行 的圆锥曲线 , 含 夕 的项 的系数仍 然 是 ,

结论 仍 然 成 立

1一 忍

救 学教学

直线 分别 交 轴 于 、

年第 期

两点 , 且 乙 尸 二

艺 尸

, 证明

所在直线 的斜率为 定值

也就 是 说 , 下 面 的命题 的

及 命题

是正 确

命题 命题

若两 个对称轴 相互平行 的圆锥 曲 若两 个对称轴 都平行于 坐标轴 的

证 明 因为抛物 线沪

对 称轴 在 轴 上 , 由 艺尸 匕 尸

知直

线有 四个 不 同的交点 , 则这四点共圆

线 尸 、 尸 的倾斜 角互 补 由命题 知 , 直线 与抛 物线 过点 尸的切线 倾斜 角 互补 切线 是确定的 , 所 以 所在 直线 的斜率 为定值 , 等 于 切 线 斜 率 的 相 反数

圆锥 曲线有 四个 不 同的交 点 , 则 以这 四点 为顶 点的完全 四边形 的任何对边所在直线 的倾斜角

都互补 有趣 的 是 , 由上面 的推 论很容易就 可证 明 下面 的命 题 的背景 这 是众 多高考试题 与竞赛试 题

年全 国高考 辽 宁卷 理科 第

` 勺 一

题已 ,。 椭 圆` 过 点` ` 一, 、

、 、

两 个焦 点为

命题

若点

,

是对称轴平行于坐

任作倾斜

标轴 的圆锥 曲线

上 的一点 , 过点

角互 补 的两条直 线 , 与圆锥 曲线 交于另外两 点 、 , 则直线 的倾斜 角是个 定值

证明

如 图 , 在 圆锥 曲线

中, 任作 与

平 行 的弦 , 因为直 线 刃 与直 线 的倾 斜 角 互补 , 则直线 与 直线 的 倾 斜 角 也互 补 当 点 沿 圆 锥 曲 线 无 限接 近 点 时 , 直线 的极限位置 是圆锥 曲线 过 过 直线 直线

,了 、 , 声 ` 产 了 护 子 、,勺

求椭 圆

的方程

点 的切 线 直线 ` 的极 限位 置是直线 所 以直 线 的 倾 斜 角 是 与 圆锥 曲线 点 的切线的倾斜角互补 的定值

、 是椭 圆 上 的两 个 动 点 , 如 果 与直 线 的斜 率 互 为相 反 数 , 证 明 的斜率 为定值 , 并求 出这个定值 一 护 一 沪 解 易得椭 圆 的方程为

直线 线

'一一 、 ,,

由于 椭 圆 的 对 称 轴 在 坐 标 轴 上 , 且 与直 线 的斜率 互 为相 反 数 , 则 直

的斜 率 与椭 圆 过 点

· 、 ,一

的切 线 的 斜 率 互 为

相 反 数, 求 得 二 一 云 ·

参考文献

年高 中联赛第

题 如图 , 点

尸 饥 , 。 为抛物线 沪 二

上 的一个

定 点 , 尸 、尸 是 抛物 线 上 的两动 弦 , 若所 在

张乃贵 圆锥 曲线上四点共圆充要条件 的研究 【 数学教学 , 一 冈 沈春林一 个抛物线问题的变式 数 学教学 , 一

2 0 13 年 第

数学救学

一 忍

“圆锥 曲线上四点共圆充要条件 ” 的统一证 明及简单拓展

上海市延安 中学 徐有祥

本刊

年第 期 刊登 的张 乃 贵老师 的

注 意 到 ①式 没 有 含 夕 的项 , 对 照 ① 、

② 两式便可得 如

《圆锥 曲线 上 四点共 圆充要 条件 的研 究 》 一 文 , 笔 者 读 后 便 思 考 “圆 锥 曲 线 上 四 点 共 圆充 要条件 ”的统一证明 命题 设 、 、 、 为对称 轴平行 若 、 于坐标 轴 的圆锥 曲线 上 的 己知 四点

由于 ①式 所表示 的 曲线经 过所 有 己知 的

四点 、 、 、 , 而此 四点中无任 何三 点共 线 , 所 以 ②式 中的两条直线 , 一条过其 中两点 ,

、 、 共 圆 , 则 以这 四点 为顶 点的完 全 四 边形 的各组对边所在直线 的倾斜角都 互补 反 之, 若以 、 、 、 这 四 点为 顶 点 的完全 四边形 的三组对边 中有一组对边所在直线 的倾 斜角互补 , 则 、 、 、 四 点共 圆 证 明 对 于给定 的圆锥 曲线 , 以平行 于 圆锥 曲线的对称轴的直线为坐标轴 建立平面直

另一 条必过另外两点 换言之 , ② 式可表示 完 全 四边形 、 、 、 的任 何 一 组 对 边 所 在

的两直线所组成 的二次曲线 由此可 知 , 完 全 四边 形 、 、 、 的 任何 一组 对边 所在 的两条 直线 倾斜 角 是互补

即 的

粤 孚

若两直线斜率都存在 , 则斜率互 为相 反数 , 另一方 面 若一组对边所在两直线 的倾斜

角坐标系 如图

, 则其方程必为如下形式

角互补 , 则其方程可写成

十勿 十

尹十

考察方程

入 勺

一勺 于

,

· · … …

合 并同类项后 , 其中护 、 , 、 沪项 的系

数分别为

一 ,

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一入 护 , 并且当 入

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示丁亩 盯,

上的 四点

设 此 圆 锥 曲线 上 已知 的 四 点 、 、 、

“ 了一 一“ 叭此 盯, 万 程

、 、 所组 成的完全 四边形

所表示的曲线是一个圆 即 若圆锥 曲线

有 一组对 边所在两条直线倾斜角互补 , 则这 四 点共 圆 命题 得 证

推论 如图 ,设 、 、 、 为对称轴 平 行 于坐 标 轴 的 圆锥 曲线 上 的 己知 四 点 , 以

共圆于护

此 四点 曲线

尹十

二 , 则过

与 圆的所 有 公共 点 的两 条直

线 所 组 成 的 二 次 曲线 方 程 必可 写 成 如 下 形式

, 十叫 一

……①

这 四点为顶点的完全 四边形 的各组对边 中 , 若 其 中一 组对 边所在直线 的倾斜角互补 , 则另外 两 组 对边 所 在直 线 的倾斜 角 也 都 互 补

从 证 明 中可 以看 出 , 若 将 圆 改 成 对 称 轴 也

而两 条直线 所组 成 的二次 曲线 的方程 又

可写成 ② 式

,

…②

与坐标轴平行 的圆锥曲线 , 含 夕 的项 的系数仍 然 是 ,

结论 仍 然 成 立

1一 忍

救 学教学

直线 分别 交 轴 于 、

年第 期

两点 , 且 乙 尸 二

艺 尸

, 证明

所在直线 的斜率为 定值

也就 是 说 , 下 面 的命题 的

及 命题

是正 确

命题 命题

若两 个对称轴 相互平行 的圆锥 曲 若两 个对称轴 都平行于 坐标轴 的

证 明 因为抛物 线沪

对 称轴 在 轴 上 , 由 艺尸 匕 尸

知直

线有 四个 不 同的交点 , 则这四点共圆

线 尸 、 尸 的倾斜 角互 补 由命题 知 , 直线 与抛 物线 过点 尸的切线 倾斜 角 互补 切线 是确定的 , 所 以 所在 直线 的斜率 为定值 , 等 于 切 线 斜 率 的 相 反数

圆锥 曲线有 四个 不 同的交 点 , 则 以这 四点 为顶 点的完全 四边形 的任何对边所在直线 的倾斜角

都互补 有趣 的 是 , 由上面 的推 论很容易就 可证 明 下面 的命 题 的背景 这 是众 多高考试题 与竞赛试 题

年全 国高考 辽 宁卷 理科 第

` 勺 一

题已 ,。 椭 圆` 过 点` ` 一, 、

、 、

两 个焦 点为

命题

若点

,

是对称轴平行于坐

任作倾斜

标轴 的圆锥 曲线

上 的一点 , 过点

角互 补 的两条直 线 , 与圆锥 曲线 交于另外两 点 、 , 则直线 的倾斜 角是个 定值

证明

如 图 , 在 圆锥 曲线

中, 任作 与

平 行 的弦 , 因为直 线 刃 与直 线 的倾 斜 角 互补 , 则直线 与 直线 的 倾 斜 角 也互 补 当 点 沿 圆 锥 曲 线 无 限接 近 点 时 , 直线 的极限位置 是圆锥 曲线 过 过 直线 直线

,了 、 , 声 ` 产 了 护 子 、,勺

求椭 圆

的方程

点 的切 线 直线 ` 的极 限位 置是直线 所 以直 线 的 倾 斜 角 是 与 圆锥 曲线 点 的切线的倾斜角互补 的定值

、 是椭 圆 上 的两 个 动 点 , 如 果 与直 线 的斜 率 互 为相 反 数 , 证 明 的斜率 为定值 , 并求 出这个定值 一 护 一 沪 解 易得椭 圆 的方程为

直线 线

'一一 、 ,,

由于 椭 圆 的 对 称 轴 在 坐 标 轴 上 , 且 与直 线 的斜率 互 为相 反 数 , 则 直

的斜 率 与椭 圆 过 点

· 、 ,一

的切 线 的 斜 率 互 为

相 反 数, 求 得 二 一 云 ·

参考文献

年高 中联赛第

题 如图 , 点

尸 饥 , 。 为抛物线 沪 二

上 的一个

定 点 , 尸 、尸 是 抛物 线 上 的两动 弦 , 若所 在

张乃贵 圆锥 曲线上四点共圆充要条件 的研究 【 数学教学 , 一 冈 沈春林一 个抛物线问题的变式 数 学教学 , 一


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