库存和价格影响需求的易逝品动态定价_李根道

　第18卷第4期　2009年8月

系统管理学报

Journal o f Systems &M anagement

Vol . 18No . 4　Aug . 2009　

　　文章编号:1005-2542(2009) 04-0402-08

库存和价格影响需求的易逝品动态定价

李根道, 　熊中楷, 　聂佳佳

(重庆大学经济与工商管理学院, 重庆400030)

【摘要】传统的基于收益管理的易逝品动态定价问题大都假设需求只受价格影响, 但现实生活中, 某些易逝品(如时装等) 的需求不仅受价格影响, 还受剩余库存的影响。研究了随机环境下需求受库存和价格影响的一类易逝性产品的价格决策问题。假定顾客到达过程服从时齐泊松过程, 并且到达顾客的购买决策受

价格和剩余库存的影响, 利用随机动态规划进行建模, 给出了最优价格策略惟一的充分条件, 并分析了最优值函数和最优价格策略的结构性质。最后, 利用M onte -Carlo 模拟对文中所得价格策略和以往的研究中不考虑库存影响得到的价格策略进行比较, 说明在制定决策时考虑库存对需求的影响的重要性。

关键词:动态定价; 收益管理; 随机动态规划中图分类号:F 272. 3; F 714. 1　　　文献标识码:A

Dynamic Pricing for Perishable Products with

Inventory -and Price -sensitive Demand

LI Gen -dao , 　X IONG Zhong -kai , 　N I E J ia -j ia

(Co lleg e of Econo mics and Business Administration , Chongqing Unive rsity , Chongqing 400030, China ) 【Abstract 】Traditional research o n dynamic pricing based on revenue m anagement assumes that the demand is im pacted by the prices only . In reality , how ever , the demand o f m any pro ducts , such as appa rel , is not only im pacted by the prices , but also by the inventory level . This paper studies the pricing problem of a class of g oods that the dem and depends on both price and invento ry level . Custo mers , a rriving acco rding to a hom ogeneous Poisson process , are price -and quantity -sensitive . We fo rmulate the problem as a stochas -tic dy namic prog ramm ing model and identify a sufficient co ndition under w hich a unique o ptimal price po li -cy e xists . Further , we analyze the structural pro perty of optimal value function and optimal price policy . Using M onte -Carlo sim ulation , w e compare our price policy w ith price policy w hich w as go t without con -sidering the impact of invento ry level in previous research to show the impo rtance of taking the im pact of invento ry on demand into acco unt w hen the selle r makes pricing decisio n . Key words :dynamic pricing ; stochastic dy namic prog ram ming ; revenue manag em ent 　　收益管理是起源于20世纪70年代美国航空业的一种管理模式, 其思想是在正确的时间以正确的价格将正确的产品销售给正确的顾客, 从而使收益达到最大化。动态定价作为收益管理最重要的手段

收稿日期:2008-06-12

基金项目:国家自然科学基金资助项目(70571088)

作者简介:李根道(1980-) , 男, 博士生。研究方向为动态定价与

收益管理。E -mail :ligendao @126. com

之一目前已经成为学术界的研究热点, 并广泛应用

于一些季节性或易逝性的产品销售中, 如航空公司的机票, 汽车出租公司的汽车, 时装以及易腐烂的食品[1]。这些产品一般生命周期较短, 在销售期内不能进行补货, 并且销售期结束后产品的残值为零或很小。这样动态定价就可以很好地调节供给和需求:当需求较高时, 零售商就可以提价以满足那些愿意支付高价的顾客; 反之, 零售商就要降价以刺激需

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李根道, 等:库存和价格影响需求的易逝品动态定价

403

求, 从而在销售期结束前尽可能多地销售产品。

传统的关于易逝品动态定价的研究中大部分都假定需求只受价格影响[2]。但在某些行业中, 例如时装、易腐烂的食品等, 需求不仅受价格影响而且受剩余库存的影响。当剩余库存很少时需求就会降低, 因为人们认为剩余的产品质量可能不太好, 或选择的余地小。库存对需求的影响可分为:①库存水平影响顾客的保留价格(顾客愿意支付的最高价格, 只有当该价格高于销售价格时, 顾客才可能购买) , 如食品等, 库存减少会降低顾客的保留价格, 因为人们认为剩余产品的质量也下降了; ②库存水平对顾客保留价格没有影响, 但影响了需求率, 如时装等, 库存少就意味着缺码或颜色不全, 顾客发现没有适合的尺码或喜欢的颜色时肯定不会购买, 而此时顾客对该产品的估价不变。针对第②种情况, 文献[4]中研究发现, 库存水平与需求率之间存在着显著的正相关关系。文献[5]中利用时装零售业的数据进行了实证分析, 得出了2种带阈值———当库存低于某一水平时, 才会影响需求函数, 并首次将库存数量的影响考虑到零售商的清仓定价决策中, 利用最优控制理论, 研究了在需求关系确定情况下的零售商最优定价策略, 并在一些大的时装零售商中得到了成功的应用。文献[6]中也指出研究需求受库存影响的动态定价问题具有重要意义。

然而, 目前关于动态定价的研究大都假定需求只是价格的函数, 库存对销售率没有影响。在此假设下, 文献[7]中研究了单产品动态定价问题, 假定顾客到达服从泊松过程, 构造了连续时间随机动态规划模型, 证明最优值函数是库存水平和时间的严格凹函数, 最优价格策略随库存水平的增加而减小, 随剩余时间的增加而增加, 并在需求函数为指数函数时得出了最优的闭解。对一般的需求函数, 证明当产品的销售时间足够长或产品足够多时, 单一价格是渐近最优的。文献[8]中研究了顾客保留价格随时间变化的周期性最优动态定价问题。文献[9]将文献[7]的研究扩展到了顾客保留价格随时间变化的情况, 给出了最优价格策略时间单调性的充分条件。文献[10]中用部分可观测马尔科夫决策过程研究了动态定价问题。文献[11]将动态定价的结论应用到了渠道协调的研究中。更多相关研究请参考文献[2, 12, 13]。

关于库存对需求的影响, 在库存管理的研究中分析得较多, 很多学者对库存影响需求下的最优订购批量和最优库存策略进行了研究[3, 14, 15]。文献[[2]

[3]

EOQ 模型进行了研究。上述研究都假定价格是不变的, 文献[17]中在库存影响需求下, 研究了2个仓库时的最优定价决策和库存补给策略, 但每个周期内的价格是固定的。

以上文献中要么研究动态定价问题没有考虑库存对销售率的影响, 要么研究销售率对库存的影响而没有考虑价格决策, 没有将两者结合进行综合研究。本文研究了需求率受库存和价格影响的一类易逝性产品(如服装等) 的价格决策问题。零售商在一定时间内销售固定数量的产品, 销售期间不能补货, 产品残值为零。与文献[5]不同, 本文研究的是随机环境下的动态定价问题, 利用随机动态规划对该问题进行建模, 并分析了最优价格策略与最优值函数的结构性质, 最后利用数值模拟的方法对本文得到的价格策略进行了分析。

1　模　型

本文研究了1个垄断企业(如时装零售商) 要在销售期[L , 0]内销售I 件相同的商品(同一款式的不同尺码和颜色的服装可以看成是相同的产品) , 为了表述方便, 用时间的逆序, 即L 为总的销售期长度。假定顾客的到达服从强度为λ的时齐泊松过程。与以往的研究不同, 本文认为每个到达的顾客在做出购买决策时, 不仅受到商品价格的影响, 还要受到剩余产品数量的影响, 只有在认为价格和数量都合适的条件下才购买。并假定价格和数量对需求的影响是独立的, 即前文中提到的第2种情况库存数量对顾客保留价格没有影响。这对时装类产品的销售来说是很显然的, 因为没有适合的尺码或颜色时是不会改变顾客的保留价格的。令p 为顾客的保留价格, F (p ) 为顾客保留价格的累积分布, u (p ) =1-F (p ) , f (p ) 为概率密度函数。并假定F (p ) 是不随时间变化的。因为对企业来说, 库存数量少了销售率肯定就降低了, 但库存对需求率的影响不是固定的, 而是一个随机变量, 因此, 本文提出与顾客保留价格的概念类似的概念:保留数量。令k (I ) , 0

λ(1-F (p ) ) k (I )=λu (p ) k (I )

不失一般性, 将销售期平均分成T 个周期, T 足够

大, 以使每个周期内最多只有1位顾客到达。Δt =t , , 0

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销售期末剩余的周期数为t 。令V (I , t ) 表示剩余周期为t 库存数量为I 时, 从当前周期到销售期末的最大期望收益。根据随机动态规划有以下Bellman 方程:

V (I , t )=max {λΔt (1-F (p ) ) k (I ) [p +V (I -1, p

t -1) ]+[1-λΔt (1-F (p ) ) ×k (I ) ]V (I , t -1) }=max {λΔt (1-p F (p ) ) k (I ) [p +V (I -1, t -1) -V (I , t -1) ]}+V (I , t -1)

边界条件:

V (0, t )=0, 　 t , V (I , 0)=0, 　 I 　　定义最优策略为

p (I , t ) =min arg m p ax {λΔtu (p ) k (I ) [p +

V (I -1, t -1) -V (I , t -1) ]}

即最优策略是使式(1) 最大的价格中最小的价格。

定理1　给定I 和t , 如果函数[1-F (p ) ]/f (p ) 随p 的增加而递减, 则存在惟一的最优价格策略:

+V (p =I , t -1)-V (I -1, t -1)

f (p )

(2)

　　证明　本定理的证明与文献[8]中的Propo si -tion 1类似, 这里不再详述。上述定理的条件并不是很严格的, 有很多概率密度函数都满足上述条件, 例如:指数分布, 威布尔分布(参数α≥1) 等。

显然, 当顾客保留价格的概率密度满足定理1中的条件时, 就可以很容易地求解方程(2) 来得到各个周期的最优价格策略, 从而减少了搜索空间。当然, 当顾客保留价格的概率密度不满足定理1的条件时, 也可以采用搜索的方法或二分法等方法来求

解, 这样就增加了计算时间和存储空间。为了减小搜索空间提高计算速度, 下面讨论最优值函数和最优价格策略的结构性质。1. 1　结构性质

本文研究最优值函数V (·, ·)和最优价格策略p (·, ·)的性质。显然下述结论是成立的:

(1) 给定I , V (I , t ) 随t 的增加而增加; (2) 给定t , V (I , t ) 随t 的增加而增加。首先, 利用样本路径法得到最优值函数的上模性, 然后利用该性质得到最优值函数和最优策略的其他性质。

定理2　对于任意非负整数I 和t , V (I , t ) 是上模的或上可加的, 即

I , , t 2

V (I -1, t ) (3)

　　证明　类似于文献[9], 本文采用样本路径法来证明值函数的上可加性。

首先, 构造4个零售商1, 2, 1, 2, 他们面临相同的需求。其中:1和1分别有I 件商品; 2和2分别有I -1件商品。1和2剩余的周期数为t -1; 2和1剩余的周期数为t 。构造策略使1, 2的总收益不低于1和2的总收益, 从而使定理得证。

令1, 2采取最优策略, 1跟随1采取相同的价格策略, 2跟随2采取相同的价格策略, 直到事件E -零售商1比2多销售1件商品-发生。事件E 发生

后, 令1, 2采取各自的最优策略。由于上述策略属于1, 2的允许策略集, 但不一定是最优策略, 这样1, 2就能够分别与1, 2的数量保持一致。

这样有2种可能的情况:(1) 事件E 发生。在事件E 发生时, 1, 2获得的总收益等于1, 2的总收益。由于所有的零售商剩余的数量相同, 因此, 整个销售期1和2的总收益等于1, 2的总收益。(2) 事件E 一直没有发生, 这时又有2种情况:

①零售商1和2的销售期结束。这时1至少比2多1件商品(否则事件E 就发生) , 这样1和2的总收益≥1和2的总收益。

②零售商2和销售完所有的商品。这时1和1有相同的库存, 但1比1多1个销售周期, 只要1仍跟随1的价格策略直到1的销售周期结束就不会产生少于1的收益, 因此, 1的收益≥1的收益。

综上, 在所有情况下, 1, 2的总收益都≥1, 2的总收益, 从而定理得证。

上述定理中值函数的上模性, 直观上可以解释为:如果1个时装零售商在2个完全隔绝的市场销售相同的产品, 但其中一个市场的销售期长一些而另一个销售期短一些, 那么销售期长的市场库存数量多一些而销售期短的市场库存数量少一些时, 零售商获得的总收益要比其他状态的总收益大。这样, 当零售商在2个不同的市场开连锁店时, 上述定理对零售商的配货决策具有一定的指导意义。

定理3　给定I , V (I , t ) 是t 的凹函数。证明　令p ′表示数量为I , 时间为t 时的最优价格, p 表示数量为I , 时间为t +1时的最优价格, 0≤t ≤T -1。根据式(1) 有:V (I , t ) -V (I , t -1)=λΔt k (I ) u (p ′) [p ′-V (I , t -1) +V (I -1, t -1) ]≥　　λΔt k (I ) u (p ) [p -V (I , t -1) +

, )

(1)

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(5)

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V (I , t +1) -V (I , t )=λΔtk (I ) u (p ) [p -V (I , t ) +V (I -1, t ) ]　　由式(4) 、(5) 得:

t ) 的策略取得的收益都≤采用p (I , t ) 取得的收益。

而p (I , t ) 在状态为(I , t +1) 时不一定是最优策略, 这就暗示状态为(I , t +1) 时的最优策略≥p (I , t ) 。所以给定I , 最优策略是t 的非减函数。

上述定理表明, 给定库存水平I , 剩余的销售时间越长, 最优价格就越大。这是很直观的, 因为剩余时间越长就表明能够销售出去的概率就越大, 从而价格就要定得高些。该性质与库存的影响没有关系。上述性质为求解最优价格策略和最优值函数减少了搜索空间。

1. 2　库存水平对最优值函数和最优价格策略影响

在以往的研究中, 没有考虑库存对需求的影响时, 大多能得到如下结论[2, 7, 9]:

给定t , 最优值函数是I 的凹函数, 最优价格策略随I 的增加而减小。

由于本文中最优值函数和最优策略受k (I ) 的函数形式的影响, 那么上述性质是否成立依赖于k (I ) 的具体形式。下面利用以往研究中的函数形式, 通过数值方法说明在某些情况下上述性质是不成立的, 即上述性质在本文中不再是一般的性质。文献[5]中提出并验证了2种带阈值的库存影响需求的函数形式, 一种是线性函数:

k (I )=1-μmax {0, 1-I /I 0}

(6)

V (I , t ) -V (I , t -1) -[V (I , t +1)-V (I , t ) ]=

λΔtk (I ) u (p ′) [p ′-V (I , t -1) +

V (I -1, t -1) ]-λΔtk (I ) u (p ) [p -V (I , t ) +V (I -1, t ) ]≥λΔtk (I ) u (p ) [p -V (I , t -1) +V (I -1, t -1) ]-λΔtk (I ) u (p ) [p -V (I , t ) +V (I -1, t ) ]=λΔtk (I ) u (p ) [V (I -1, t -1) +V (I , t ) -V (I , t -1) -V (I -1, t ) ]　　根据定理1有:V (I -1, t -1) +V (I , t ) -V (I , t -1) -V (I -1, t )≥0

所以

V (I , t ) -V (I , t -1) -[V (I , t +1) -V (I , t ) ]≥0即

2V (I , t )≥V (I , t +1) +V (I , t -1)

因此, V (I , t ) 是t 的凹函数。

定理4　给定I , 最优策略p (I , t ) 是t 的非减函数。

证明　令p (I , t ) 为状态为(I , t ) 时的最优价格, 设y 为任意小于p (I , t ) 的价格, 即:0

那么:

λΔtk (I ) u (y ) y -λΔtk (I ) u (y ) [V (I , t ) -V (I -1, t ) ]=λΔtk (I ) u (y ) y -λΔtk (I ) u (y ) ×[V (I , t -1) -V (I -1, t -1) ]-λΔtk (I ) u (y ) ×

[V (I , t ) -V (I -1, t ) -V (I , t -1) +V (I -1, t -1) ]

　　根据定理1有:V (I , t ) -V (I -1, t )-V (I , t -1)+

V (I -1, t -1)≥0

　　根据p (I , t ) 的定义有:

λΔtk (I ) u (y ) y -λΔtk (I ) u (y ) [V (I , t -1) -V (I -1, t -1) ]≤λΔtk (I ) u (p ) p -λΔtk (I ) u (p ) [V (I , t -1)-V (I -1, t -1) ]所以λΔtk (I ) u (y ) y -λΔtk (I ) u (y ) [V (I , t -1) -V (I -1, t -1) ]-λΔtk (I ) u (y ) [V (I , t ) -V (I -1, t ) -V (I , t -1) +V (I -1, t -1) ]≤λΔtk (I ) u (p ) p -λk (I ) u (p ) [V (I , t -1) -V (I -1, t -1) ]-λΔtk (I ) u (p ) [V (I , t ) -V (I -1, t ) -V (I , t -1) +V (I -1, t -1) ]=λΔtk (I ) u (p ) p -λΔtk (I ) u (p ) [V (I , t ) -V (I -1, t ) ], ,

式中:I 0是阈值水平, 即顾客不受影响的最小库存水平; μ顾客对库存水平的敏感系数, 0

k (I )=exp [-μmax {0, 1-I /I 0}]　　令i 表示顾客的保留数量, 令

X 1　　i ≤I

0　　i >I

(7)

X =1表示不受当前库存数量影响, 这样k (I ) =P (X =1) 表示顾客不受当前库存数量影响的概率。顾客是否受库存数量的影响就可以看成参数为k (I )

的贝努利分布。当库存水平高于阈值时, 顾客不受库存数量影响的概率为1, 即对需求没有影响。只有在库存水平低于阈值时, 顾客不受库存数量影响的概率

5p , F p ) -0. , ,

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　　从以上分析看出, 本文中最优价格策略与最优值函数关于库存的单调性依赖于k (I ) 的具体形式, 当k (I ) 不同时, 最优价格策略与最优值函数关于库存的性质是不同的。这在实际问题中应该具体问题具体分析, 本文没有给出通用的性质。

2　Monte -Carlo 模拟

图1　库存水平对需求的影响

I 0=30。库存对需求的影响用式(11) 的形式。这样, 根据式(1) 计算得到最优价格策略和期望收益。取t =1000, 画出最优价格策略和最优值函数随库存数量的变化趋势如图2、3所示。图中:P (I ,

1000) 和V (I , 1000) 分别表示在给定剩余周期为1000且库存数量不同时的最优价格和最优期望收益。由图2可以看出, 当库存数量I 0时, 库存数量对需求不产生影响, 因此和以往的研究一样, 最优价格随库存数量的增加而下降。由于价格变化不再是单调的, 因此, 最优收益函数也不一定是库存数量的凹函数, 如图3所示

。

2. 1　模拟方法

利用Mo nte -Carlo 模拟的方法对本文得到的价格策略与以往不考虑库存数量时得到的价格策略进行比较。本文沿用文献[5]中提出的2种k (I ) 的函数形式。由这2种函数形式可以看出, 当I 0※0时, k (I ) ※1, 这就变成了不考虑库存影响需求的形式, 与以往的研究相同。即在这2种函数形式下, 本文是对以往研究的一种推广, 以往的研究是本文的一个特例。记库存对需求的影响为指数形式时得到的最优价格策略为P 1, 库存对需求的影响为线性形式时得到的最优价格策略为P 2, 不考虑库存对需求的影响时得到的价格策略为P 3(通过令k (I ) =1, 解式(1) 所得) 。这样, 在k (I ) 为这2种形式时就会有2组比较:P 1和P 3, P 2和P 3。记VP1, VP2分别为k (I ) 为指数形式时, P 1和P 3策略下的收益。VP3, VP4分别为k (I ) 为线性形式时, P 2和P 3策略下的收益。假定顾客保留价格服从参数为0. 5的指数分布, 即, F (p ) =1-e

-0. 5p

。顾客对库存数量

的判断服从贝努利分布B (k (I ) ) , 即顾客不受库存数量影响的概率为k (I ) 。令销售期为单位1。模拟思路如下:首先产生泊松过程的一个样本, 产生方式如下:

(1) 利用计算机产生n 个(足够大) [0, 1]上均匀分布的随机数u k (k =1, 2, …,n ) ;

(2) 作变换t k =-log (u k /λ) ;

(3) 令T (k ) =T (k -1) +t k 。则{T (k ) , k =1, 2, …}就是所要模拟的顾客到达时间的一个样本。令t (i ) 表示从1开始的第i 个周期开始时的时间点(这里与前面分析时不同, 为了计算方便采用顺序的方式表示周期, 即从第1个周期开始t (1) =0) 。比较t (i ) ≤T (k ) ≤t (i +1) 是否成立, 如果成立, 则表示第i 个周期有第k 位顾客到达; 否则, 没有顾客到达, 时间增加1个周期。如果有顾客到达, 则产生顾客保留价格的随机数和贝努利随机数。只有在产生的保留价格低于此时的价格, 并且X =1时, 顾客才购买, 此时获得的收益为当前的价格, 则总收益V =V +P (I , i ) 。否则, 顾客

[18]

图2　给定时间, 价格随库存数量

的变化

3　, 1,

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样就产生了一个销售过程的样本, 如图4所示, 其

中, 价格的跳跃表示有一个销售完成, 如果没有销售发生, 则价格随时间的减少而降低。为了比较2种策略, 取模拟次数M =10000, 然后取总收益的平均数, 这样由于样本足够多, 从而提高模拟的精度

。

在策略P 3下获得的收益多。这说明当需求较大时, 考虑库存对需求的影响是很重要的, 能为企业带来更多的收益。

表2　不同的初始库存和不同泊松强度下的2种策略的收益(式(7) )

λ30

5022. 03422. 034

36. 94736. 937

100

69. 85368. 168

500

201. 251199. 433

1000

269. 334265. 502

8022. 05722. 05736. 73436. 73473. 50673. 508266. 548265. 602374. 051371. 544

10022. 19922. 19936. 95736. 95773. 60673. 606298. 042296. 447430. 969429. 282

30021. 99621. 99636. 89136. 89173. 72273. 722367. 786367. 786709. 258703. 947

图4　模拟过程的1个样本

2. 2　模拟结果

在k (I ) 为指数和线性2种形式下, 对不同参数进行了模拟, 模拟结果如下。首先, 假定单个时装零售商的销售周期为T =10000, 期初库存为I 0=30,

μ=0. 7, 在不同的泊松过程强度λ和不同的初始库存I 进行了模拟, 看这2个参数如何影响收益, 如表1、2所示。其中, 每个λ对应着2个收益值, 表1中分别表示VP1、V P2, 表2中分别表示VP3、VP4。由表1、2可以看出, 当泊松过程的强度相对初始库存来说较小时, 策略P 1、P 2与策略P 3无区别, 这是因为到达的顾客较少, 销售剩余的产品还没有到I 0。对于相同的初始库存, 收益随着λ的增加而增加, 这是很显然的, 因为到达的顾客越多, 销售出去的可能性就越大。当λ相对初始库存来说较大时, 收益随初始库存的增加而增加, 因为到达的顾客较多, 库存越大, 销售的就越多, 从而收益也越大。并且在这种情况下, 在策略P 1、P 2下获得的收益要比

表1　不同初始库存和不同到达率的情况下, 2种策略的收益(式(6) )

λ30

5022. 03322. 034

36. 95136. 943

100

70. 08068. 750

500

206. 975203. 222

1000

275. 7268022. 05722. 05736. 73436. 73473. 50673. 508270. 859270. 083379. 97610022. 19922. 19936. 95736. 95773. 60673. 606301. 091300. 183436. 65930021. 99621. 99636. 89136. 89173. 72273. 722367. 786367. 786709. 781

　　接下来, 对不同的μ值进行模拟。由式(6) 和(7) 可以看出, μ越大, k (I ) 越小, 说明对需求的影响越大。令I =80, I 0=30, λ=200, 对不同μ值进行模

拟, 结果如图5、6所示。从图5、6可以看出, 随着μ的增大, 收益减小, 这与上面的分析一致。并且从图5、6还可看出, 随着μ的增大, 策略P 1、P 2下获得的收益与P 3下获得的收益的差也在增大。在本文的例子中, 当μ=1时, (VP3-VP4) /VP4=4%,在现实生活中增加4%的收益是相当可观的。因此, 正确分析库存数量对需求的影响是很重要的。

图5　k (I ) 为指数形式时, 不同μ对收益的影响

) , 不同

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　　下面看不同的I 0对收益的影响。由图1可以看出, 随着I 0的增大, 对需求的影响也越大, 当I 0=0时, 库存数量对需求不产生影响, 就变成了传统的研究中不考虑库存影响的情形。令I =80, λ=200, μ=0. 7, 在不同的I 0下进行模拟, 结果如图7、8所示。由图7、8可以看出, 随着I 0的增大, 收益随之降低。并且在每种形式下, 2种策略所获得的收益的差也越来越大, 说明I 0越大, 不考虑库存对需求的影响所带来的损失也越大, 当I 0趋向于0时, 2种策略所获得的收益没有差别。在此例中, 当I 0=50时, (VP3-VP4) /VP4=4. 22%,显然, 对企业来说这个比例是比较大的

。

模性, 并利用此性质证明了给定库存最优值函数是时间的凹函数, 最优价格策略随时间的增加而不减。由于库存数量对需求产生影响, 本文用一个实例来说明以往不考虑库存影响需求的研究中的关于库存数量的性质———最优值函数是关于库存的凹函数和最优价格策略关于库存的单调性———在某些特定的函数形式下不再成立。最后, 本文用M onte -Ca rlo 模拟的方法对考虑库存影响需求和不考虑库存影响需求下得到的2种策略进行了比较。在不同的参数下都发现考虑库存影响需求下的策略会给企业增加收益, 在有些情况下增加的比例是比较大的。因此, 合理估计库存对需求的影响, 并在决策时考虑这种影响对企业来说是很重要的。本文的研究能够给销售这类产品(如时装) 的企业的价格决策者提供有力的决策依据, 进而增加企业的收益。

本文只研究了库存和价格对需求的影响是独立的情况, 没有考虑库存对顾客保留价格的影响, 这是本研究下一步的研究内容。另外, 本文只考虑了1个垄断企业, 而现实中往往是多个企业进行竞争, 因此, 研究竞争环境下的动态定价也是本文的一个扩展方向。

图7　k (I ) 为线性形式时, 不同的I 0

对收益的影响

参考文献:

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[]V -

　　综上, 可以看出, 当库存数量对需求产生影响时, 忽略此影响将会给企业带来很大的损失。正确估计库存对需求的影响, 并在决策时考虑此影响是很重要的。

3　结　论

本文研究了价格和库存同时影响需求的一类易逝性产品的价格决策问题。顾客到达服从时齐泊松过程, 需求率不仅受价格的影响还受剩余库存数量的影响。本文分析了最优价格策略惟一的充分条件。利用样本路径方法, 本文证明最优值函数的上

　第4期

李根道, 等:库存和价格影响需求的易逝品动态定价

409

so nal products in re tailing [J ]. M anagement Science , 1997, 43:64-79.

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学出版社, 1992:101.

下期发表论文摘要预报

LM -BP 算法在金融股指预测中的参数设定

鲍新中, 　刘　澄, 　孙　彬

(北京科技大学经济管理学院, 北京100083)

摘　要:针对股价系统内部结构的复杂性、外部因素的多变性, 分析了基于BP 网络进行股市预测的原理, 利用三层前馈神经网络对股市建立预测模型, 详细探讨了网络的拓扑结构、隐节点个数确定的原则、样本数据的选取和预处理、初始参数的确定等问题。为了避免网络陷入局部最小点和提高网络的收敛速度, 算法采用改进后的LM -BP ; 并与其它BP 算法进行比较。以最具代表性的上证指数为例, 仿真实验表明了经过对筛选后的样本学习, 并对所建的预测模型进行训练后, 该LM -BP 算法能够对有短期上证指数走势进行有效稳定预测。

基于重要抽样技术的外汇期权组合非线性VaR 模型

陈荣达

(浙江财经学院金融学院, 杭州310018)

摘　要:为了克服极小概率事件发生概率估计的困难, 提出了把重要抽样技术发展到外汇期权组合非线性V aR 模型中, 通过改变市场变量回报分布的期望向量和协方差矩阵, 在相应区域产生更多的样本, 使得该情形下不再是稀有事件M onte Car lo 模拟, 从而减少M o nte Carlo 模拟计算工作量, 更精确地估计出组合的损失概率, 而组合的损失概率是计算组合损失分布的分位点(V a R 值) 的必备条件。摸拟结果表明该算法比常用M onte Car lo 模拟法的计算效串更有效, 且能很大程度上减少所要估计的损失概率的方差。

　第18卷第4期　2009年8月

系统管理学报

Journal o f Systems &M anagement

Vol . 18No . 4　Aug . 2009　

　　文章编号:1005-2542(2009) 04-0402-08

库存和价格影响需求的易逝品动态定价

李根道, 　熊中楷, 　聂佳佳

(重庆大学经济与工商管理学院, 重庆400030)

关键词:动态定价; 收益管理; 随机动态规划中图分类号:F 272. 3; F 714. 1　　　文献标识码:A

Dynamic Pricing for Perishable Products with

Inventory -and Price -sensitive Demand

LI Gen -dao , 　X IONG Zhong -kai , 　N I E J ia -j ia

收稿日期:2008-06-12

基金项目:国家自然科学基金资助项目(70571088)

作者简介:李根道(1980-) , 男, 博士生。研究方向为动态定价与

收益管理。E -mail :ligendao @126. com

之一目前已经成为学术界的研究热点, 并广泛应用

　第4期

李根道, 等:库存和价格影响需求的易逝品动态定价

403

求, 从而在销售期结束前尽可能多地销售产品。

关于库存对需求的影响, 在库存管理的研究中分析得较多, 很多学者对库存影响需求下的最优订购批量和最优库存策略进行了研究[3, 14, 15]。文献[[2]

[3]

1　模　型

λ(1-F (p ) ) k (I )=λu (p ) k (I )

不失一般性, 将销售期平均分成T 个周期, T 足够

大, 以使每个周期内最多只有1位顾客到达。Δt =t , , 0

404

系　统　管　理　学　报

第18卷　　　　

销售期末剩余的周期数为t 。令V (I , t ) 表示剩余周期为t 库存数量为I 时, 从当前周期到销售期末的最大期望收益。根据随机动态规划有以下Bellman 方程:

V (I , t )=max {λΔt (1-F (p ) ) k (I ) [p +V (I -1, p

t -1) ]+[1-λΔt (1-F (p ) ) ×k (I ) ]V (I , t -1) }=max {λΔt (1-p F (p ) ) k (I ) [p +V (I -1, t -1) -V (I , t -1) ]}+V (I , t -1)

边界条件:

V (0, t )=0, 　 t , V (I , 0)=0, 　 I 　　定义最优策略为

p (I , t ) =min arg m p ax {λΔtu (p ) k (I ) [p +

V (I -1, t -1) -V (I , t -1) ]}

即最优策略是使式(1) 最大的价格中最小的价格。

定理1　给定I 和t , 如果函数[1-F (p ) ]/f (p ) 随p 的增加而递减, 则存在惟一的最优价格策略:

+V (p =I , t -1)-V (I -1, t -1)

f (p )

(2)

解, 这样就增加了计算时间和存储空间。为了减小搜索空间提高计算速度, 下面讨论最优值函数和最优价格策略的结构性质。1. 1　结构性质

本文研究最优值函数V (·, ·)和最优价格策略p (·, ·)的性质。显然下述结论是成立的:

定理2　对于任意非负整数I 和t , V (I , t ) 是上模的或上可加的, 即

I , , t 2

V (I -1, t ) (3)

　　证明　类似于文献[9], 本文采用样本路径法来证明值函数的上可加性。

令1, 2采取最优策略, 1跟随1采取相同的价格策略, 2跟随2采取相同的价格策略, 直到事件E -零售商1比2多销售1件商品-发生。事件E 发生

后, 令1, 2采取各自的最优策略。由于上述策略属于1, 2的允许策略集, 但不一定是最优策略, 这样1, 2就能够分别与1, 2的数量保持一致。

①零售商1和2的销售期结束。这时1至少比2多1件商品(否则事件E 就发生) , 这样1和2的总收益≥1和2的总收益。

综上, 在所有情况下, 1, 2的总收益都≥1, 2的总收益, 从而定理得证。

, )

(1)

　第4期

李根道, 等:库存和价格影响需求的易逝品动态定价

(5)

405

V (I , t +1) -V (I , t )=λΔtk (I ) u (p ) [p -V (I , t ) +V (I -1, t ) ]　　由式(4) 、(5) 得:

t ) 的策略取得的收益都≤采用p (I , t ) 取得的收益。

而p (I , t ) 在状态为(I , t +1) 时不一定是最优策略, 这就暗示状态为(I , t +1) 时的最优策略≥p (I , t ) 。所以给定I , 最优策略是t 的非减函数。

1. 2　库存水平对最优值函数和最优价格策略影响

在以往的研究中, 没有考虑库存对需求的影响时, 大多能得到如下结论[2, 7, 9]:

给定t , 最优值函数是I 的凹函数, 最优价格策略随I 的增加而减小。

k (I )=1-μmax {0, 1-I /I 0}

(6)

V (I , t ) -V (I , t -1) -[V (I , t +1)-V (I , t ) ]=

λΔtk (I ) u (p ′) [p ′-V (I , t -1) +

所以

V (I , t ) -V (I , t -1) -[V (I , t +1) -V (I , t ) ]≥0即

2V (I , t )≥V (I , t +1) +V (I , t -1)

因此, V (I , t ) 是t 的凹函数。

定理4　给定I , 最优策略p (I , t ) 是t 的非减函数。

证明　令p (I , t ) 为状态为(I , t ) 时的最优价格, 设y 为任意小于p (I , t ) 的价格, 即:0

那么:

λΔtk (I ) u (y ) y -λΔtk (I ) u (y ) [V (I , t ) -V (I -1, t ) ]=λΔtk (I ) u (y ) y -λΔtk (I ) u (y ) ×[V (I , t -1) -V (I -1, t -1) ]-λΔtk (I ) u (y ) ×

[V (I , t ) -V (I -1, t ) -V (I , t -1) +V (I -1, t -1) ]

　　根据定理1有:V (I , t ) -V (I -1, t )-V (I , t -1)+

V (I -1, t -1)≥0

　　根据p (I , t ) 的定义有:

式中:I 0是阈值水平, 即顾客不受影响的最小库存水平; μ顾客对库存水平的敏感系数, 0

k (I )=exp [-μmax {0, 1-I /I 0}]　　令i 表示顾客的保留数量, 令

X 1　　i ≤I

0　　i >I

(7)

X =1表示不受当前库存数量影响, 这样k (I ) =P (X =1) 表示顾客不受当前库存数量影响的概率。顾客是否受库存数量的影响就可以看成参数为k (I )

5p , F p ) -0. , ,

406

系　统　管　理　学　报

第18卷　　　　

2　Monte -Carlo 模拟

图1　库存水平对需求的影响

。

2. 1　模拟方法

-0. 5p

。顾客对库存数量

(1) 利用计算机产生n 个(足够大) [0, 1]上均匀分布的随机数u k (k =1, 2, …,n ) ;

(2) 作变换t k =-log (u k /λ) ;

[18]

图2　给定时间, 价格随库存数量

的变化

3　, 1,

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李根道, 等:库存和价格影响需求的易逝品动态定价

407

样就产生了一个销售过程的样本, 如图4所示, 其

。

在策略P 3下获得的收益多。这说明当需求较大时, 考虑库存对需求的影响是很重要的, 能为企业带来更多的收益。

表2　不同的初始库存和不同泊松强度下的2种策略的收益(式(7) )

λ30

5022. 03422. 034

36. 94736. 937

100

69. 85368. 168

500

201. 251199. 433

1000

269. 334265. 502

8022. 05722. 05736. 73436. 73473. 50673. 508266. 548265. 602374. 051371. 544

10022. 19922. 19936. 95736. 95773. 60673. 606298. 042296. 447430. 969429. 282

30021. 99621. 99636. 89136. 89173. 72273. 722367. 786367. 786709. 258703. 947

图4　模拟过程的1个样本

2. 2　模拟结果

在k (I ) 为指数和线性2种形式下, 对不同参数进行了模拟, 模拟结果如下。首先, 假定单个时装零售商的销售周期为T =10000, 期初库存为I 0=30,

表1　不同初始库存和不同到达率的情况下, 2种策略的收益(式(6) )

λ30

5022. 03322. 034

36. 95136. 943

100

70. 08068. 750

500

206. 975203. 222

1000

　　接下来, 对不同的μ值进行模拟。由式(6) 和(7) 可以看出, μ越大, k (I ) 越小, 说明对需求的影响越大。令I =80, I 0=30, λ=200, 对不同μ值进行模

图5　k (I ) 为指数形式时, 不同μ对收益的影响

) , 不同

408

系　统　管　理　学　报

第18卷　　　　

。

图7　k (I ) 为线性形式时, 不同的I 0

对收益的影响

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下期发表论文摘要预报

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鲍新中, 　刘　澄, 　孙　彬

(北京科技大学经济管理学院, 北京100083)

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(浙江财经学院金融学院, 杭州310018)

库存和价格影响需求的易逝品动态定价_李根道

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