2．以平行六面体相邻两个面上互相异面的两条面对角线的端点为顶点的四面体的体积是平行六面体体积的：
1111
A ． B ． C ． D ．
3．设M={平面内的点(a,b )}，N={f (x )|f (x )=acos 2x ＋bsin 2x } ，给出M 到N 的映射：
f ：(a,b ) →f (x )= acos2x ＋bsin 2则点(1,3) 的象f (x ) 的最小正周期为：
ππ
A．π B．2π C．D ．
4．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2+a 6+a 10为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是
6111312
编辑一个运算程序：1&1 = 2 , m &n = k , m &(n + 1) = k + 2，则 1&2005 的输出结果为 （ ）
A 4008 B 4006 C 4012 D 4010
给定下列命题：
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（1）y =sinx 在第一象限是增函数
（2）△ABC 中三内角成等差的充要条件是B =60°
（3）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 是正三角形 （4）函数y =A sin(ωx +φ) 的周期是T =
2π
，其中正确命题的序号为 （ ） ω
D ．①②④
A ．①②③④ B ．①④ C ．②③
7．不等式log a x >sin 2x (a >0且a ≠1) 对任意x ∈(0, （ B ） 0,
π
4
) 都成立，则a 的取值范围为
π
) , 1) , 1) ⋃(1, ) ,1)
44244
ππππ
已知函数f (x ) =x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值10，则f (2) 等于
(A)11或18(B)11 (C)18(D)17或18
n
9．若(x +) 展开式中第32项与第72项的系数相同，那么展开式的中间一项的系数
1x
为
52525251
(A)C 104(B)C 103(C)C 102(D)C 102
10．设f (x ) 为偶函数，对于任意的x >0的数，都有f (2+x ) =-2f (2-x ) ，已知
f (-1) =4，那么f (-3) 等于
(A)2(B)-2 (C)8(D)-8 二、填空题
11．已知集合A =y y =2
合x x ∈A 且x ∉B {}
{
x
-1, x ∈R ，集合B =y y =-x 2+2x +3, x ∈R ，则集
}{}
12．已知函数f (x ) =A sin(2x +ϕ)(A >0, 0
f (x ) ≥f (
5
π) 成立，则方程f (x ) =0在[0, π]上的解为12
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13．数列{a n }的首项为a 1=2，且a n +1=
1
(a 1+a 2+ +a n )(n ∈N ) ，记S n 为数列2
{a n }前n 项和，则S n 14．已知向量a =(2cos α, 2sin α), b =(3cos β, 3sin β) ，其夹角为60 ，则直线
x cos α-y sin α+
11
=0与圆(x -cos β) 2+(y +sin β) 2=的位置关系是22
15．将最小正周期为象向左平移
π
的函数g (x ) =cos(ωx +ϕ) +sin(ωx +ϕ)(ω>0,
π
个单位，得到偶函数图象，则满足题意的ϕ的一个可能值为 4
⎧⎫
16．若函数f (x ) =min ⎨3+log 1x , log 2x ⎬，其中min {p , q }表示p , q 两者中的较小者，
4⎩⎭
则f (x )
三、解答题
17．已知函数f (x ) 是定义在[-2, 2]上的奇函数，当x ∈[-2, 0) 时，f (x ) =tx -（t 13
x 2
（1）求函数f (x ) 的解析式；
（2）当t ∈[2, 6]时，求f (x ) 在[-2, 0]上的最小值，及取得最小值时的x ，并猜想
f (x ) 在[0, 2]上的单调递增区间（不必证明）；
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（3）当t ≥9时，证明：函数y =f (x ) 的图象上至少有一个点落在直线y =14
18．如图所示，已知是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个端点，
BC 过椭圆中心O ，且⋅=0，|BC |＝2|AC |．
(1)建立适当的坐标系，求椭圆方程；
(2)如果椭圆上有两点，使∠PCQ 的平分线垂直于AO ，证明：
A
PQ AB ．
参考答案
+∞) 2π
3
n -1
) 相交32
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16．{x |016}
17．解x ∈(0, 2]时，-x ∈[-2, 0)， 则 f (-x ) =t (-x ) -
11(-x ) 3=-tx +x 3 22
∵函数f (x ) 是定义在[-2, 2]上的奇函数，即f (-x )=-f (x ) ∴-f (x )=-tx +
131
x ，即 f (x ) =tx -x 3，又可知 f (0)=0 22
13
x ，x ∈[-2, 2] 2
∴函数f (x ) 的解析式为 f (x ) =tx -（2）f (x )=x t -
⎛⎝112⎫
x ⎪，∵t ∈[2, 6]，x ∈[-2, 0]，∴t -x 2≥0
22⎭
∵ [f (x )]
2
11⎛2
2x +t -x 2+t -x 2
⎛1⎫=x 2 t -x 2⎪≤
3 ⎝2⎭
⎝⎫⎪3
8t ⎪= 27⎪⎪⎭
3
2
∴x =t -
122t t 6t 2x ，即 x 2=, x =-(-∈[-2, 0]) 时，
f min =-23339
猜想f (x ) 在[0, 2]上的单调递增区间为⎢0,
⎡⎣t ⎤
⎥3⎦
（3）t ≥9时，任取-2≤x 1
⎡⎣122⎤x 1+x 1x 2+x 2⎥
()
∴f (x )在[-2, 2]上单调递增，即f (x )∈[f (-2), f (2)]，即f (x )∈[4-2t , 2t -4] ∵t ≥9，∴4-2t ≤-14, 2t -4≥14，∴14∈[4-2t , 2t -4]
∴当t ≥9时，函数y =f (x ) 的图象上至少有一个点落在直线y =14上． 解：以O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，设A (2，0) ，
x 2y 2
+2=1--------------------------- 2分 则椭圆方程为4b
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∵O 为椭圆中心， ∴由对称性知|OC |＝|OB |
又∵⋅=0， ∴AC ⊥BC 又∵|BC |＝2|AC |， ∴|OC |＝|AC | ∴△AOC 为等腰直角三角形
∴点C 的坐标为(1，1) ∴点B 的坐标为(－1，－1) ----------------- 4分 将C 的坐标(1，1) 代入椭圆方程得b 2=
4， 3
x 23y 2
+=1------------------------------------------ 6分 则求得椭圆方程为44
(2)证：由于∠PCQ 的平分线垂直于OA (即垂直于x 轴) ， 不妨设直线PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为－k ， 因此直线的方程分别为y ＝k (x －1)+1，y ＝－k (x －1)+1
⎧y =k (x -1) +1
⎪
由⎨x 23y 2 得：
+=1⎪4⎩4
(1＋3k 2) x 2－6k (k －1) x ＋3k 2－6k －1＝0 （*）--------------------------------------------8分
∵点C (1，1) 在椭圆上， ∴x ＝1是方程(*)的一个根， 3k 2-6k -13k 2-6k -1
∴x P •1＝ 即 x P ＝
3k 2+13k 2+1
3k 2+6k -1
同理x Q ＝--------------------------------------------------- 3k +1
１０分
2(3k 2-1)
y P -y Q k (x P +x Q ) -2k k -2k 1
===---------1２分 ∴直线PQ 的斜率为
x P -x Q x P -x Q 33k 2+1
又∵k AB =
1
，∴PQ AB ．---------------------------------------------------13分 3
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2．以平行六面体相邻两个面上互相异面的两条面对角线的端点为顶点的四面体的体积是平行六面体体积的：
1111
A ． B ． C ． D ．
3．设M={平面内的点(a,b )}，N={f (x )|f (x )=acos 2x ＋bsin 2x } ，给出M 到N 的映射：
f ：(a,b ) →f (x )= acos2x ＋bsin 2则点(1,3) 的象f (x ) 的最小正周期为：
ππ
A．π B．2π C．D ．
4．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2+a 6+a 10为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是
6111312
编辑一个运算程序：1&1 = 2 , m &n = k , m &(n + 1) = k + 2，则 1&2005 的输出结果为 （ ）
A 4008 B 4006 C 4012 D 4010
给定下列命题：
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（1）y =sinx 在第一象限是增函数
（2）△ABC 中三内角成等差的充要条件是B =60°
（3）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 是正三角形 （4）函数y =A sin(ωx +φ) 的周期是T =
2π
，其中正确命题的序号为 （ ） ω
D ．①②④
A ．①②③④ B ．①④ C ．②③
7．不等式log a x >sin 2x (a >0且a ≠1) 对任意x ∈(0, （ B ） 0,
π
4
) 都成立，则a 的取值范围为
π
) , 1) , 1) ⋃(1, ) ,1)
44244
ππππ
已知函数f (x ) =x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值10，则f (2) 等于
(A)11或18(B)11 (C)18(D)17或18
n
9．若(x +) 展开式中第32项与第72项的系数相同，那么展开式的中间一项的系数
1x
为
52525251
(A)C 104(B)C 103(C)C 102(D)C 102
10．设f (x ) 为偶函数，对于任意的x >0的数，都有f (2+x ) =-2f (2-x ) ，已知
f (-1) =4，那么f (-3) 等于
(A)2(B)-2 (C)8(D)-8 二、填空题
11．已知集合A =y y =2
合x x ∈A 且x ∉B {}
{
x
-1, x ∈R ，集合B =y y =-x 2+2x +3, x ∈R ，则集
}{}
12．已知函数f (x ) =A sin(2x +ϕ)(A >0, 0
f (x ) ≥f (
5
π) 成立，则方程f (x ) =0在[0, π]上的解为12
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13．数列{a n }的首项为a 1=2，且a n +1=
1
(a 1+a 2+ +a n )(n ∈N ) ，记S n 为数列2
{a n }前n 项和，则S n 14．已知向量a =(2cos α, 2sin α), b =(3cos β, 3sin β) ，其夹角为60 ，则直线
x cos α-y sin α+
11
=0与圆(x -cos β) 2+(y +sin β) 2=的位置关系是22
15．将最小正周期为象向左平移
π
的函数g (x ) =cos(ωx +ϕ) +sin(ωx +ϕ)(ω>0,
π
个单位，得到偶函数图象，则满足题意的ϕ的一个可能值为 4
⎧⎫
16．若函数f (x ) =min ⎨3+log 1x , log 2x ⎬，其中min {p , q }表示p , q 两者中的较小者，
4⎩⎭
则f (x )
三、解答题
17．已知函数f (x ) 是定义在[-2, 2]上的奇函数，当x ∈[-2, 0) 时，f (x ) =tx -（t 13
x 2
（1）求函数f (x ) 的解析式；
（2）当t ∈[2, 6]时，求f (x ) 在[-2, 0]上的最小值，及取得最小值时的x ，并猜想
f (x ) 在[0, 2]上的单调递增区间（不必证明）；
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（3）当t ≥9时，证明：函数y =f (x ) 的图象上至少有一个点落在直线y =14
18．如图所示，已知是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个端点，
BC 过椭圆中心O ，且⋅=0，|BC |＝2|AC |．
(1)建立适当的坐标系，求椭圆方程；
(2)如果椭圆上有两点，使∠PCQ 的平分线垂直于AO ，证明：
A
PQ AB ．
参考答案
+∞) 2π
3
n -1
) 相交32
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16．{x |016}
17．解x ∈(0, 2]时，-x ∈[-2, 0)， 则 f (-x ) =t (-x ) -
11(-x ) 3=-tx +x 3 22
∵函数f (x ) 是定义在[-2, 2]上的奇函数，即f (-x )=-f (x ) ∴-f (x )=-tx +
131
x ，即 f (x ) =tx -x 3，又可知 f (0)=0 22
13
x ，x ∈[-2, 2] 2
∴函数f (x ) 的解析式为 f (x ) =tx -（2）f (x )=x t -
⎛⎝112⎫
x ⎪，∵t ∈[2, 6]，x ∈[-2, 0]，∴t -x 2≥0
22⎭
∵ [f (x )]
2
11⎛2
2x +t -x 2+t -x 2
⎛1⎫=x 2 t -x 2⎪≤
3 ⎝2⎭
⎝⎫⎪3
8t ⎪= 27⎪⎪⎭
3
2
∴x =t -
122t t 6t 2x ，即 x 2=, x =-(-∈[-2, 0]) 时，
f min =-23339
猜想f (x ) 在[0, 2]上的单调递增区间为⎢0,
⎡⎣t ⎤
⎥3⎦
（3）t ≥9时，任取-2≤x 1
⎡⎣122⎤x 1+x 1x 2+x 2⎥
()
∴f (x )在[-2, 2]上单调递增，即f (x )∈[f (-2), f (2)]，即f (x )∈[4-2t , 2t -4] ∵t ≥9，∴4-2t ≤-14, 2t -4≥14，∴14∈[4-2t , 2t -4]
∴当t ≥9时，函数y =f (x ) 的图象上至少有一个点落在直线y =14上． 解：以O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，设A (2，0) ，
x 2y 2
+2=1--------------------------- 2分 则椭圆方程为4b
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∵O 为椭圆中心， ∴由对称性知|OC |＝|OB |
又∵⋅=0， ∴AC ⊥BC 又∵|BC |＝2|AC |， ∴|OC |＝|AC | ∴△AOC 为等腰直角三角形
∴点C 的坐标为(1，1) ∴点B 的坐标为(－1，－1) ----------------- 4分 将C 的坐标(1，1) 代入椭圆方程得b 2=
4， 3
x 23y 2
+=1------------------------------------------ 6分 则求得椭圆方程为44
(2)证：由于∠PCQ 的平分线垂直于OA (即垂直于x 轴) ， 不妨设直线PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为－k ， 因此直线的方程分别为y ＝k (x －1)+1，y ＝－k (x －1)+1
⎧y =k (x -1) +1
⎪
由⎨x 23y 2 得：
+=1⎪4⎩4
(1＋3k 2) x 2－6k (k －1) x ＋3k 2－6k －1＝0 （*）--------------------------------------------8分
∵点C (1，1) 在椭圆上， ∴x ＝1是方程(*)的一个根， 3k 2-6k -13k 2-6k -1
∴x P •1＝ 即 x P ＝
3k 2+13k 2+1
3k 2+6k -1
同理x Q ＝--------------------------------------------------- 3k +1
１０分
2(3k 2-1)
y P -y Q k (x P +x Q ) -2k k -2k 1
===---------1２分 ∴直线PQ 的斜率为
x P -x Q x P -x Q 33k 2+1
又∵k AB =
1
，∴PQ AB ．---------------------------------------------------13分 3
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