(南方新中考) 尺规作图
A级 基础题
1．下列各条件中，不能作出唯一三角形的条件是( ) A．已知两边和夹角 B．已知两边和其中一条边所对的角 C．已知两角和夹边 D．已知两角和其中一角的对边
图6-3-10
2．(2013年四川遂宁)如图6-3-10，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，
1
任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为
2
半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°； ③点D在AB的中垂线上； ④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．(2013年河北)已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：
图6-3-11
甲：①以点C为圆心，AB的长为半径画弧； ②以点A为圆心，BC的长为半径画弧；
③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图6-3-11)．
图6-3-12
乙：①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；
②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图6-3-12)．
对于两人的作业，下列说法正确的是( ) A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 4．(2013年福建三明)如图6-1-13，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°.按以下步骤
作图：
图6-1-13
1
①分别以A，B为圆心，以大于
AB的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q.
2
②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE. 若CE＝4，则AE＝________.
5．(2013年甘肃白银)两个城镇A，B与两条公路l1，l2的位置如图6-
3-14.电信部门需在
C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在下图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)．
图6-3-14
6．(2012年贵州铜仁)某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B
，C的位置如图6-3-15，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位
置(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)．
图6-3-15
B级 中等题
7．如图6-3-16，已知△ABC，且∠ACB＝90°.
(1)请用直尺和圆规按要求作图(保留作图痕迹，不写作法和证明)． ①以点A为圆心，BC边的长为半径作⊙A；
②以点B为顶点，在AB边的下方作∠ABD＝∠BAC. (2)请判断直线BD与⊙A的位置关系(需证明)．
图6-3-16
8．(2013年江苏宿迁)如图6-3-17，在平行四边形ABCD中，AD＞AB.
(1)作出∠ABC的平分线(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若(1)中所作的角平分线交AD于点E，AF⊥BE，垂足为点O，交BC于点F，连接EF.
求证：四边形ABFE为菱形．
图6-3-17
C级 拔尖题
9．(2013年山东德州)(1)如图6-3-18(1)，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外作等
边三角形ABD和等边三角形ACE.连接BE，CD.请你完成图形，并证明：BE＝CD(尺规作图，不写做法，保留作图痕迹)；
(2)如图6-3-18(2)，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE.
连接BE，CD.BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；
(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识，完成下题： 如图6-3-18(3)，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠
CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的长．
(1) (2) (3)
图6-3-18
尺规作图
1．B 2.D 3.A 4.8
5．解：作线段AB的垂直平分线，作两条公路夹角的平分线，两线分别交于点C1，C2.如图48，所以点C1、C2就是符合条件的点．
图48 图49
6．解：如图49，点M为所求． 7．解：(1)如图50.
(2)直线BD与⊙A相切．证明如下： ∵∠ABD＝∠BAC，∴AC∥BD. ∵∠ACB＝90°，⊙A的半径等于BC， ∴点A到直线BD的距离等于BC. ∴直线BD与⊙A相切．
图50 图51
8．解：(1)如图51.
(2)∵BE平分∠ABC，∴∠ABO＝∠FBO. ∵AF⊥BE于点O，
∴∠AOB＝∠FOB＝∠AOE＝90°. 又∵BO＝BO，
∴△AOB≌△FOB.∴AO＝FO，AB＝FB. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠FBO. ∴△AOE≌△FOB.∴AE＝BF.
又∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形． 又∵AB＝FB，∴平行四边形ABFE是菱形． 11．(1)证明：如图52.
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°. ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC. 即∠CAD＝∠EAB.∴△CAD≌△EAB. ∴BE＝CD
.
图52 图53
(2)解：BE＝CD.
理由：∵四边形ABFD和ACGE均为正方形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°. ∴∠CAD＝∠EAB.∴△CAD≌△EAB. ∴BE＝CD.
(3)解：如图53，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD＝90°， 则AD＝AB＝100，∠ABD＝45°.∴BD＝100 2. 连接CD，则由(2)可知BE＝CD. ∵∠ABC＝45°，在Rt△DBC中，BC＝100，BD＝100 2. ∴CD1002＋100 22＝100 3. ∴BE的长为100 3米．
(南方新中考) 尺规作图
A级 基础题
1．下列各条件中，不能作出唯一三角形的条件是( ) A．已知两边和夹角 B．已知两边和其中一条边所对的角 C．已知两角和夹边 D．已知两角和其中一角的对边
图6-3-10
2．(2013年四川遂宁)如图6-3-10，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，
1
任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为
2
半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°； ③点D在AB的中垂线上； ④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．(2013年河北)已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：
图6-3-11
甲：①以点C为圆心，AB的长为半径画弧； ②以点A为圆心，BC的长为半径画弧；
③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图6-3-11)．
图6-3-12
乙：①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；
②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图6-3-12)．
对于两人的作业，下列说法正确的是( ) A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 4．(2013年福建三明)如图6-1-13，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°.按以下步骤
作图：
图6-1-13
1
①分别以A，B为圆心，以大于
AB的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q.
2
②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE. 若CE＝4，则AE＝________.
5．(2013年甘肃白银)两个城镇A，B与两条公路l1，l2的位置如图6-
3-14.电信部门需在
C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在下图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)．
图6-3-14
6．(2012年贵州铜仁)某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B
，C的位置如图6-3-15，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位
置(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)．
图6-3-15
B级 中等题
7．如图6-3-16，已知△ABC，且∠ACB＝90°.
(1)请用直尺和圆规按要求作图(保留作图痕迹，不写作法和证明)． ①以点A为圆心，BC边的长为半径作⊙A；
②以点B为顶点，在AB边的下方作∠ABD＝∠BAC. (2)请判断直线BD与⊙A的位置关系(需证明)．
图6-3-16
8．(2013年江苏宿迁)如图6-3-17，在平行四边形ABCD中，AD＞AB.
(1)作出∠ABC的平分线(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若(1)中所作的角平分线交AD于点E，AF⊥BE，垂足为点O，交BC于点F，连接EF.
求证：四边形ABFE为菱形．
图6-3-17
C级 拔尖题
9．(2013年山东德州)(1)如图6-3-18(1)，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外作等
边三角形ABD和等边三角形ACE.连接BE，CD.请你完成图形，并证明：BE＝CD(尺规作图，不写做法，保留作图痕迹)；
(2)如图6-3-18(2)，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE.
连接BE，CD.BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；
(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识，完成下题： 如图6-3-18(3)，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠
CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的长．
(1) (2) (3)
图6-3-18
尺规作图
1．B 2.D 3.A 4.8
5．解：作线段AB的垂直平分线，作两条公路夹角的平分线，两线分别交于点C1，C2.如图48，所以点C1、C2就是符合条件的点．
图48 图49
6．解：如图49，点M为所求． 7．解：(1)如图50.
(2)直线BD与⊙A相切．证明如下： ∵∠ABD＝∠BAC，∴AC∥BD. ∵∠ACB＝90°，⊙A的半径等于BC， ∴点A到直线BD的距离等于BC. ∴直线BD与⊙A相切．
图50 图51
8．解：(1)如图51.
(2)∵BE平分∠ABC，∴∠ABO＝∠FBO. ∵AF⊥BE于点O，
∴∠AOB＝∠FOB＝∠AOE＝90°. 又∵BO＝BO，
∴△AOB≌△FOB.∴AO＝FO，AB＝FB. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠FBO. ∴△AOE≌△FOB.∴AE＝BF.
又∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形． 又∵AB＝FB，∴平行四边形ABFE是菱形． 11．(1)证明：如图52.
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°. ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC. 即∠CAD＝∠EAB.∴△CAD≌△EAB. ∴BE＝CD
.
图52 图53
(2)解：BE＝CD.
理由：∵四边形ABFD和ACGE均为正方形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°. ∴∠CAD＝∠EAB.∴△CAD≌△EAB. ∴BE＝CD.
(3)解：如图53，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD＝90°， 则AD＝AB＝100，∠ABD＝45°.∴BD＝100 2. 连接CD，则由(2)可知BE＝CD. ∵∠ABC＝45°，在Rt△DBC中，BC＝100，BD＝100 2. ∴CD1002＋100 22＝100 3. ∴BE的长为100 3米．