四种命题与充要条件

教学过程

一、课堂导入

问题：怎么判断复合命题的真假？充分条件与必要条件的区别是什么？

二、复习预习

1．对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论。

2．互为逆否命题的两个命题等价，为命题真假判定提供一个策略。

3. 充要条件与集合的关系：小推大。

4．通常复合命题“p 或q ”的否定为“⌝p 且⌝q ”、“p 且q ”的否定为“⌝p 或⌝q ”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等。

5．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p ，则q ”的形式。

三、知识讲解

考点1充分条件、必要条件与充要条件

(1)“若p ，则q ”形式的命题为真时，记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，q 是p 的充要条件．

(2)如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件．

p 是q 的充要条件又常说成q 当且仅当p ，或p 与q 等价．

考点2命题的四种形式及真假关系

互为逆否的两个命题等价(同真或同假) ；互逆或互否的两个命题不等价．

四、例题精析

考点一命题的四种形式及其关系

例1已知命题“若函数f (x ) ＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是 ( )

A ．否命题“若函数f (x ) ＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m >1”是真命题

B ．逆命题“若m ≤1，则函数f (x ) ＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数”是假命题

C ．逆否命题“若m >1，则函数f (x ) ＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”是真命题

D ．逆否命题“若m >1，则函数f (x ) ＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题

【规范解答】命题“若函数f (x ) ＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m >1，则函数f (x ) ＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．答案 D

【总结与反思】 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；

(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；

(3)判断一个命题为假命题可举反例．

考点二充要条件的判定

例2 已知下列各组命题，其中p 是q 的充分必要条件的是 ( )

A ．p ：m ≤－2或m ≥6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点

B ．p ：f －x

f x 1；q ：y ＝f (x ) 是偶函数

C ．p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β

D ．p ：A ∩B ＝A ；q ：A ⊆U ，B ⊆U ，∁U B ⊆∁U A

【规范解答】对于A ，由y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m 2－4(m ＋3)>0，从而可得m 6.所以p 是q 的必要不充分条件；

f －x f －x 对于B ，由f x ＝1⇒f (－x ) ＝f (x ) ⇒y ＝f (x ) 是偶函数，但由y ＝f (x ) 是偶函数不能推出f x 1，例如函数f (x ) ＝0，所以p 是q 的充分不必要条件；

对于C ，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件；对于D ，由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，所以∁U B ⊆∁U A ；反之，由∁U B ⊆∁U A ，知A ⊆B ，即A ∩B ＝A .

所以p ⇔q . 综上所述，p 是q 的充分必要条件的是D.

【总结与反思】充要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；

(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适

合以否定形式给出的问题．

考点三充分条件与必要条件的应用例3 设p ：|4x －3|≤1，q ：x 2－(2a ＋1) x ＋a (a ＋1)≤0，若非p 是非q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围。

【规范解答】p ：|4x －3|≤1⇒－1≤4x －3≤1，∴2x ≤1；

q ：x 2－(2a ＋1) x ＋a (a ＋1)≤0⇒(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，∴a ≤x ≤a ＋1.

⎧a ≤1

2由题意知p 是q 的充分不必要条件，故有⎨

⎩a ＋1>1，

⎧a

2或⎨

⎩a ＋1≥1

，则0≤a ≤2.

【总结与反思】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组) 求解．

(2)要注意区间端点值的检验．

五、课堂运用

【基础】

1、命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是 ( )

A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数

【规范解答】由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C.

2、若x m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．

【规范解答】由已知易得{x |x 2－2x －3>0} {x |x m ＋1}，

⎧⎧－1≤m －1⎪⎪－1

又{x |x －2x －3>0}＝{x |x 3}，∴⎨或⎨，∴0≤m ≤2.

⎪⎪⎩m ＋1

【巩固】 1、已知集合

⎧1x ⎫⎨A ＝x |2

x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数

m 的取值范围是________．

⎧1x ⎫⎨【规范解答】A ＝x |2

成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，

∴m ＋1>3，即m >2.

2、“λ

A ．充分不必要条件 C ．充要条件

B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件

【规范解答】若数列a n ＝n 2－2λn(n ∈N ＋) 为递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N ＋都成立，

于是可得3>2λ，即λ

2. 注意到由λ

【拔高】

1、已知集合A ＝{y |y ＝x －2x ＋1，x ∈[4，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，并且p 是q 的充分条件，求实数m

的取值范围．

373【规范解答】化简集合A ，由y ＝x 2－⎛⎫2x ＋1. 配方，得y ＝ ⎝x －4⎪2⎭＋16.

∵x ∈⎡⎢3⎤7⎡7⎤⎧⎪⎪7⎫⎪

⎣4，2⎥⎦，∴y min ＝16，y max ＝2. ∴y ∈⎢⎣16，2⎥⎦. ∴A ＝⎨⎪⎩y ⎪⎪16y ≤2 ⎬⎪⎭.

化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}．

∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .

∴1－m 2≤73316，解得m ≥4，或m ≤－4∴实数m 的取值范围是⎛ 3⎤⎡3⎝－∞，－4⎥⎦∪⎢⎫

⎣4∞⎪⎭.

、已知圆下列四个结论中：

①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；

②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件；

③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件；

④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件．

正确的是________．

22 2

【规范解答】由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．

由AB 2＋AC 2＝BC 2可以推出△ABC 是直角三角形，但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a 2＋b 2≠0可以推出a ，b 不全为零；

反之，由a ，b 不全为零可以推出a 2＋b 2≠0，

所以③不正确，④正确．答案 ①④

课程小结

1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．

2．充要关系的几种判断方法

(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．

(2)等价法：即利用A ⇒B 与￢B ⇒￢A ；B ⇒A 与￢A ⇒￢B ；A ⇔B 与￢B ⇔￢A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．

(3)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．

3．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．

4．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p 则q ”的形式．

5．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言.