六大基本初等函数图像及其性质
一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）；
α
1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为x ∈(-∞, +∞) ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；
2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数
m
时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-n
∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；
4）如果m>n图形于x 轴相切，如果m
5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
x
y =a 三、指数函数(x 是自变量, a 是常数且a >0，a ≠1) ，定义域是R ；
[无界函数]
1. 指数函数的图象：
(1
2.
1）当a >1时函数为单调增, 当0
3. （选，补充）指数函数值的大小比较a ∈N ；
a. 底数互为倒数的两个指数函数
*
y
x
f (x ) =a x ，f (x ) = ⎪
⎛1⎫⎝a ⎭
x
的函数图像关于y 轴对称。
x f
b.2. 当0
4. 指数的运算法则（公式）；
a. 整数指数幂的运算性质(a ≥0, m , n ∈Q ) ；
b.1. 当a >1时，a 值越大，的图像越靠近y 轴；
y =a x
⎛1⎫g (x ) = ⎪
x
y =a x
x
b. 根式的性质； (1)
m n m +n a ⋅a =a (1)
(2)
a )
n
n =a ； (2)当n a =a
a ÷a =a
m n m -n
当n 为偶数时，
⎧a (a≥0)
a =a =⎨
-a (a
n
(3)
(a )
m n
n
=a nm =a =a b
n n
()
n m
c. 分数指数幂；
(1)a (2)a
m
n
m n
=a m (a >0, m , n ∈Z *, n >1)
=1a
m n
(4) (ab )
-
=
1
a m
(a >0, m , n ∈Z *, n >1)
四、对数函数y =log a x (a 是常数且a >0, a ≠1) ，定义域x ∈(0, +∞) [无界]
1. 对数的概念：如果a(a＞0，a ≠1) 的b 次幂等于N ，就是 a =N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b , 其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子log a N 叫做对数式。
对数函数关于直线
b
y =log a x 与指数函数y =a x 互为反函数，所以y =log a x 的图象与y =a x 的图象
y =x 对称。
2. 常用对数：log 10N 的对数叫做常用对数，为了简便，N 的常用对数记作lg N 。
3. 自然对数：使用以无理数e =2. 7182为底的对数叫做自然对数，为了简便，N 的自然对数log e 记作ln N 。 4. 对数函数的图象：
5. 对数函数的性质；
N 简
a x (a >1)
(0
1）对数函数的图形为于y 轴的右方，并过点(1,0)；
2）当a >1时，在区间(0,1)，y 的值为负，图形位于x 的下方；在区间(1, +∞) ，y 值为正，图形位于x 轴上方，在定义域是单调增函数。a
6. （选，补充）对数函数值的大小比较a ∈N ；
a. 底数互为倒数的两个对数函数
*
a x
y =log a x ，y =log 1x
a
的函数图像关于x 轴对称。
2x
1x
a
(x ) =log 3x
b.2. 当(0
) 时，a 值越大，的图像越远离x 轴。
7. 对数的运算法则（公式）；
a. 如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：
b.1. 当a >1时，a 值越大，
f (x ) =log a x
的图像越靠近x 轴；
f (x ) =log a x
(x ) =log 1x
3
1x
2
c. 换底公式： (1)log b N =
log a (MN )=log a M +log a N M
log a =log a M -log a N
N
log a N
（a >0, a ≠1，一般常常
log a b
或
log a M n =n log a M
b. 对数恒等式：
ln N
换为e 或10为底的对数, 即log b N =
ln b
lg N
log b N =
lg b
）
a log a N =N (a >0且a ≠1，N >0)
d. 对数运算性质
(2)由公式和运算性质推倒的结论：
log a m b n =
n
log a b m
(1)1的对数是零，即log a 1=0；同理ln 1=0或lg 1=0 (2)底数的对数等于1，即log a a =1；同理ln e =1或lg 10=1
五、三角函数
1. 正弦函数
y =sin x , 有界函数，定义域x ∈(-∞, +∞) ，值域y ∈[-1, +1]
π3π，π，，2
π 22
图象：五点作图法：0，
2. 余弦函数
y =cos x ，有界函数，定义域x ∈(-∞, +∞) ，值域y ∈[-1, +1]
π3π，π，，2
π 22
图象：五点作图法：0，
3. 正、余弦函数的性质；
y =tan x 的图像
y =cot x 的图像
6. 正、余切函数的性质；
y =sec x 的图像
1
8. 余割函数y =csc x =，无界函数，定义域{x x ≠k π, (k ∈Z ) }，值域
csc x ≥1
sin x
9. 正、余割函数的性质；
y =csc x 的图像
六、反三角函数
1. 反正弦函数
y =arcsin x ，无界函数，定义域[-1,1]，值域[0, π]
ππ⎤
y =sin x 在区间⎡-, ⎥上的反函数称为反正弦函数，记为⎢
⎣22⎦
A. 反正弦函数的概念：正弦函数
y =arcsin x
2. 反余弦弦函数
y =arccos x ，无界函数，定义域[-1,1]，值域[0, π]
y =cos x 在区间
0, π上的反函数称为反余弦函数，记为
B. 反余弦函数的概念：余弦函数
y =
y =arcsin x 的图像 y =arccos x 的图像
3. 反正、余弦函数的性质；
4. 反正切函数
ππ⎫
y =arctan x ，有界函数，定义域x ∈(-∞, +∞) , 值域⎛ -, ⎪
⎝22⎭
C. 反正切函数的概念：正切函数
ππ⎫
y =tan x 在区间⎛ -, ⎪上的反函数称为反正切函数，记为
⎝22⎭
y =arctan x
5. 反余切函数
y =arc cot x ，有界函数，定义域x ∈(-∞, +∞) , 值域(0, π)
D. 反余切函数的概念：余切函数
y =cot x 在区间(0, π)上的反函数称为反余切函数，记为
y =arc cot x
y
=arctan x 的图像 y =arc cot x 的图像
6. 反正、余弦函数的性质；
三角函数公式汇总
一、任意角的三角函数
在角α的终边上任取一点P (x , y ) ，记：r =．．正弦：sin α=正切：tan α=
y x
余弦：cos α= r r y x 余切：cot α= x y r r 余割：csc α= x y
x 2+y 2。
正割：sec α=
二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：sin α⋅csc α=1，cos α⋅sec α=1，tan α⋅cot α=1
sin αcos α
商数关系：tan α=，cot α=
cos αsin α
平方关系：sin
2
α+cos 2α=1，1+tan 2α=sec 2α，1+cot 2α=csc 2α
三、诱导公式
x 轴上的角，口诀：函数名不变，符号看象限；
y 轴上的角，口诀：函数名改变，符号看象限。
四、和角公式和差角公式
sin(α+β) =sin α⋅cos β+cos α⋅sin β sin(α-β) =sin α⋅cos β-cos α⋅sin β cos(α+β) =cos α⋅cos β-sin α⋅sin β cos(α-β) =cos α⋅cos β+sin α⋅sin β
tan(α+β) =tan(α-β) =
tan α+tan β
1-tan α⋅tan βtan α-tan β1+tan α⋅tan β
五、二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α
tan 2α=
2tan α1-tan 2α
cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α
二倍角的余弦公式常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）
1+cos 2α=2cos 2α 1-cos 2α=2sin 2α
1+sin 2α=(sinα+cos α) 2 1-sin 2α=(sinα-cos α) 2
cos 2α=
1+cos 2α1+sin 2α1-cos 2αsin 2α2
sin α=tan α==，，
22sin 2α1+cos 2α
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六、三倍角公式
sin 3α=3sin α-4sin 3=4sin αsin(
π
π
3
-α) sin(3
+α)
cos 3α=4cos 3-3cos α=4cos αcos(
π
3
-α) cos(
π
3
+α)
3tan α-tan 3tan 3α=α1-3tan 2
α=tan αππ
3-α) 3+α) 七、和差化积公式
sin α+sin β=2sin α+β
α-β
2
cos 2
cos α+cos β=2cos
α+β
-β
2cos
α2
sin α-sin β=2cos
α+β
sin
α-β
2
2
cos α-cos β=-2sin
α+β
2
sin
α-β
2
八、辅助角公式
a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +ϕ)
其中：角ϕ的终边所在的象限与点(a , b ) 所在的象限相同，
sin ϕ=
b a
a 2+b 2
，cos ϕ=
b
a 2+b
2，tan ϕ=a 九、三角函数的周期公式
函数y =A sin ω(x +ϕ) ，x ∈R 及函数y =A cos(ωx +ϕ) ，x ∈R (A,ω, ϕ, 为常数，且A ≠0, ω>0)
周期： T =
2π
ω
函数y =A tan(
ωx +ϕ) ，x ≠k π+π
2
, k ∈Z (A,ω, ϕ, 为常数，且A ≠0, ω>0)
周期： T =
π
ω
十、正弦定理
a sin A =b sin B =c
sin C =2R （R 为∆ABC 外接圆半径） 十一、余弦定理
a 2
=b 2
+c 2
-2bc ⋅cos A
b 2=a 2+c 2-2ac ⋅cos B
c 2=a 2+b 2-2ab ⋅cos C
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六大基本初等函数图像及其性质
一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）；
α
1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为x ∈(-∞, +∞) ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；
2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数
m
时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-n
∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；
4）如果m>n图形于x 轴相切，如果m
5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
x
y =a 三、指数函数(x 是自变量, a 是常数且a >0，a ≠1) ，定义域是R ；
[无界函数]
1. 指数函数的图象：
(1
2.
1）当a >1时函数为单调增, 当0
3. （选，补充）指数函数值的大小比较a ∈N ；
a. 底数互为倒数的两个指数函数
*
y
x
f (x ) =a x ，f (x ) = ⎪
⎛1⎫⎝a ⎭
x
的函数图像关于y 轴对称。
x f
b.2. 当0
4. 指数的运算法则（公式）；
a. 整数指数幂的运算性质(a ≥0, m , n ∈Q ) ；
b.1. 当a >1时，a 值越大，的图像越靠近y 轴；
y =a x
⎛1⎫g (x ) = ⎪
x
y =a x
x
b. 根式的性质； (1)
m n m +n a ⋅a =a (1)
(2)
a )
n
n =a ； (2)当n a =a
a ÷a =a
m n m -n
当n 为偶数时，
⎧a (a≥0)
a =a =⎨
-a (a
n
(3)
(a )
m n
n
=a nm =a =a b
n n
()
n m
c. 分数指数幂；
(1)a (2)a
m
n
m n
=a m (a >0, m , n ∈Z *, n >1)
=1a
m n
(4) (ab )
-
=
1
a m
(a >0, m , n ∈Z *, n >1)
四、对数函数y =log a x (a 是常数且a >0, a ≠1) ，定义域x ∈(0, +∞) [无界]
1. 对数的概念：如果a(a＞0，a ≠1) 的b 次幂等于N ，就是 a =N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b , 其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子log a N 叫做对数式。
对数函数关于直线
b
y =log a x 与指数函数y =a x 互为反函数，所以y =log a x 的图象与y =a x 的图象
y =x 对称。
2. 常用对数：log 10N 的对数叫做常用对数，为了简便，N 的常用对数记作lg N 。
3. 自然对数：使用以无理数e =2. 7182为底的对数叫做自然对数，为了简便，N 的自然对数log e 记作ln N 。 4. 对数函数的图象：
5. 对数函数的性质；
N 简
a x (a >1)
(0
1）对数函数的图形为于y 轴的右方，并过点(1,0)；
2）当a >1时，在区间(0,1)，y 的值为负，图形位于x 的下方；在区间(1, +∞) ，y 值为正，图形位于x 轴上方，在定义域是单调增函数。a
6. （选，补充）对数函数值的大小比较a ∈N ；
a. 底数互为倒数的两个对数函数
*
a x
y =log a x ，y =log 1x
a
的函数图像关于x 轴对称。
2x
1x
a
(x ) =log 3x
b.2. 当(0
) 时，a 值越大，的图像越远离x 轴。
7. 对数的运算法则（公式）；
a. 如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：
b.1. 当a >1时，a 值越大，
f (x ) =log a x
的图像越靠近x 轴；
f (x ) =log a x
(x ) =log 1x
3
1x
2
c. 换底公式： (1)log b N =
log a (MN )=log a M +log a N M
log a =log a M -log a N
N
log a N
（a >0, a ≠1，一般常常
log a b
或
log a M n =n log a M
b. 对数恒等式：
ln N
换为e 或10为底的对数, 即log b N =
ln b
lg N
log b N =
lg b
）
a log a N =N (a >0且a ≠1，N >0)
d. 对数运算性质
(2)由公式和运算性质推倒的结论：
log a m b n =
n
log a b m
(1)1的对数是零，即log a 1=0；同理ln 1=0或lg 1=0 (2)底数的对数等于1，即log a a =1；同理ln e =1或lg 10=1
五、三角函数
1. 正弦函数
y =sin x , 有界函数，定义域x ∈(-∞, +∞) ，值域y ∈[-1, +1]
π3π，π，，2
π 22
图象：五点作图法：0，
2. 余弦函数
y =cos x ，有界函数，定义域x ∈(-∞, +∞) ，值域y ∈[-1, +1]
π3π，π，，2
π 22
图象：五点作图法：0，
3. 正、余弦函数的性质；
y =tan x 的图像
y =cot x 的图像
6. 正、余切函数的性质；
y =sec x 的图像
1
8. 余割函数y =csc x =，无界函数，定义域{x x ≠k π, (k ∈Z ) }，值域
csc x ≥1
sin x
9. 正、余割函数的性质；
y =csc x 的图像
六、反三角函数
1. 反正弦函数
y =arcsin x ，无界函数，定义域[-1,1]，值域[0, π]
ππ⎤
y =sin x 在区间⎡-, ⎥上的反函数称为反正弦函数，记为⎢
⎣22⎦
A. 反正弦函数的概念：正弦函数
y =arcsin x
2. 反余弦弦函数
y =arccos x ，无界函数，定义域[-1,1]，值域[0, π]
y =cos x 在区间
0, π上的反函数称为反余弦函数，记为
B. 反余弦函数的概念：余弦函数
y =
y =arcsin x 的图像 y =arccos x 的图像
3. 反正、余弦函数的性质；
4. 反正切函数
ππ⎫
y =arctan x ，有界函数，定义域x ∈(-∞, +∞) , 值域⎛ -, ⎪
⎝22⎭
C. 反正切函数的概念：正切函数
ππ⎫
y =tan x 在区间⎛ -, ⎪上的反函数称为反正切函数，记为
⎝22⎭
y =arctan x
5. 反余切函数
y =arc cot x ，有界函数，定义域x ∈(-∞, +∞) , 值域(0, π)
D. 反余切函数的概念：余切函数
y =cot x 在区间(0, π)上的反函数称为反余切函数，记为
y =arc cot x
y
=arctan x 的图像 y =arc cot x 的图像
6. 反正、余弦函数的性质；
三角函数公式汇总
一、任意角的三角函数
在角α的终边上任取一点P (x , y ) ，记：r =．．正弦：sin α=正切：tan α=
y x
余弦：cos α= r r y x 余切：cot α= x y r r 余割：csc α= x y
x 2+y 2。
正割：sec α=
二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：sin α⋅csc α=1，cos α⋅sec α=1，tan α⋅cot α=1
sin αcos α
商数关系：tan α=，cot α=
cos αsin α
平方关系：sin
2
α+cos 2α=1，1+tan 2α=sec 2α，1+cot 2α=csc 2α
三、诱导公式
x 轴上的角，口诀：函数名不变，符号看象限；
y 轴上的角，口诀：函数名改变，符号看象限。
四、和角公式和差角公式
sin(α+β) =sin α⋅cos β+cos α⋅sin β sin(α-β) =sin α⋅cos β-cos α⋅sin β cos(α+β) =cos α⋅cos β-sin α⋅sin β cos(α-β) =cos α⋅cos β+sin α⋅sin β
tan(α+β) =tan(α-β) =
tan α+tan β
1-tan α⋅tan βtan α-tan β1+tan α⋅tan β
五、二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α
tan 2α=
2tan α1-tan 2α
cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α
二倍角的余弦公式常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）
1+cos 2α=2cos 2α 1-cos 2α=2sin 2α
1+sin 2α=(sinα+cos α) 2 1-sin 2α=(sinα-cos α) 2
cos 2α=
1+cos 2α1+sin 2α1-cos 2αsin 2α2
sin α=tan α==，，
22sin 2α1+cos 2α
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六、三倍角公式
sin 3α=3sin α-4sin 3=4sin αsin(
π
π
3
-α) sin(3
+α)
cos 3α=4cos 3-3cos α=4cos αcos(
π
3
-α) cos(
π
3
+α)
3tan α-tan 3tan 3α=α1-3tan 2
α=tan αππ
3-α) 3+α) 七、和差化积公式
sin α+sin β=2sin α+β
α-β
2
cos 2
cos α+cos β=2cos
α+β
-β
2cos
α2
sin α-sin β=2cos
α+β
sin
α-β
2
2
cos α-cos β=-2sin
α+β
2
sin
α-β
2
八、辅助角公式
a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +ϕ)
其中：角ϕ的终边所在的象限与点(a , b ) 所在的象限相同，
sin ϕ=
b a
a 2+b 2
，cos ϕ=
b
a 2+b
2，tan ϕ=a 九、三角函数的周期公式
函数y =A sin ω(x +ϕ) ，x ∈R 及函数y =A cos(ωx +ϕ) ，x ∈R (A,ω, ϕ, 为常数，且A ≠0, ω>0)
周期： T =
2π
ω
函数y =A tan(
ωx +ϕ) ，x ≠k π+π
2
, k ∈Z (A,ω, ϕ, 为常数，且A ≠0, ω>0)
周期： T =
π
ω
十、正弦定理
a sin A =b sin B =c
sin C =2R （R 为∆ABC 外接圆半径） 十一、余弦定理
a 2
=b 2
+c 2
-2bc ⋅cos A
b 2=a 2+c 2-2ac ⋅cos B
c 2=a 2+b 2-2ab ⋅cos C
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