指数函数的性质的应用

2. 1.2 指数函数的性质的应用

【教学目标】

(1)能熟练说出指数函数的性质。

(2)能画出指数型函数的图像,并会求复合函数的性质。

(3)在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用,养成良好的思维习惯。 【教学重难点】

教学重点:指数函数的性质的应用。 教学难点:指数函数的性质的应用。 【教学过程】

㈠情景导入、展示目标

1. 指数函数的定义,特点是什么?

2.请两位同学画出指数函数的图象(分两种情况画a>1与0

㈡检查预习、交流展示 1.函数y =2.函数y =

a a

x

(a >0, a ≠1) 的定义域是 ,值域 . (a >0, a ≠1) .

x

当a>1时,若x>0时,y 1,

若x<0时,y 1;若x=1时,y 1; 当0<a<1时,若x>0时,y 1,

若x<0时,y 1;若x=1时,y 1.

3.函数y =

㈢合作探究、精讲精练 探究点一:平移指数函数的图像 例1:画出函数y =

a

x

(a >0, a ≠1) 是 函数(就奇偶性填).

2

x +1

的图像,并根据图像指出它的单调区间.

解析:由函数的解析式可得:

x +1

⎪(1) , (x

y =2=⎨

2⎪x +1⎪⎩2, (x ≥-1)

其图像分成两部分,一部分是将

y

1

=(

1) 2

x +1

(x<-1)的图像作出,而它的图

像可以看作y =

1() 2

x

的图像沿x轴的负方向平移一个单位而得到的,另一部分是将

x

y =2

2

x +1

(x ≥1) 的图像作出,而它的图像可以看作将y =2的图像沿x轴的负方向

平移一个单位而得到的.

解:图像由老师们自己画出 单调递减区间[-∞,-1],单调递增区间[-1,+∞].

点评:此类函数需要先去绝对值再根据平移变换画图,单调性由图像易知。

变式训练一:已知函数y =

1() 2

x +1

(1)作出其图像;

(2)由图像指出其单调区间;

解:(1)

y =(

1

) 2

x +2

的图像如下图:

(2)函数的增区间是(-∞,-2],减区间是[-2,+∞) .

探究点二:复合函数的性质 例2:已知函数y =(

13+) x x

2-12

1

(1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的奇偶性;

解析:求定义域注意分母的范围,判断奇偶性需要注意定义域是否关于原点对称。 解:(1)要使函数有意义,须0) (0,+∞).

(2)y =(

2

x

-1≠0,即x≠1,所以, 定义域为(-∞,

13

+) x x

2-12

1

则f(-x)=

2(2

-x

+1

-x

+111+) x ∙(-x ) =(-x ) =∙x =(

-1) 2(1-2) 2(2-1) 2-12

3

3

3

x

x

x

1+x x

3

所以,f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.

点评:此问题难度不是太大,但是很多同学不敢尝试去化简,只要按照常规的方式去推理,此函数的奇偶性很容易判断出来。

a x -1

变式训练二:已知函数f (x ) =x (a >1) , 试判断函数的奇偶性;

a +1

a -x -11-a x

简析:∵定义域为x ∈R , 且f (-x ) =-x ==-f (x ), ∴f (x ) 是奇函数;

a +11+a x

㈣反馈测试

导学案当堂检测

㈤总结反思、共同提高

【板书设计】 一、指数函数性质 1. 图像 2. 性质 二、例题

例1 变式1 例2 变式2

【作业布置】

导学案课后练习与提高

2.1.2 指数函数的性质的应用

课前预习学案

一.预习目标

能熟练说出指数函数的定义及其性质. 二.预习内容 1.函数y =2.函数y =

a

x

(a >0, a ≠1) 的定义域是 ,值域 . (a >0, a ≠1) .

a

x

当a>1时,若x>0时,y 1,

若x<0时,y 1;若x=1时,y 1; 当0<a<1时,若x>0时,y 1,

若x<0时,y 1;若x=1时,y 1.

3.函数y =

三.提出疑惑

同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中

a

x

(a >0, a ≠1) 是 函数(就奇偶性填).

课内探究学案

一、学习目标:

(1)能熟练说出指数函数的性质。

(2)能画出指数型函数的图像,并会求复合函数的性质。

(3)在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用,养成良好的思维习惯。 教学重点:指数函数的性质的应用。 教学难点:指数函数的性质的应用。 二、教学过程

探究点一:平移指数函数的图像

例1:画出函数y =

2

x +1

的图像,并根据图像指出它

的单调区间.

解:

变式训练一:已知函数y =

1() 2

x +1

(1)作出其图像;

(2)由图像指出其单调区间; 解:

探究点二:复合函数的性质 例2:已知函数y =(

13+) x x

22-1

1

(1)求f(x)的定义域;

(2)讨论f(x)的奇偶性; 解:

a x -1

变式训练二:已知函数f (x ) =x (a >1) , 试判断函数的奇偶性;

a +1

三.反思总结

四.当堂检测

1.函数y =a |x|(0<a <1) 的图像是( )

2.函数

y

1

=

a

x

y

2

=a

x +1

,若恒有

y

2

y

1

,那么底数a的取值范

围是( )

A .a >1 B .0<a <1 C .0<a <1或a >1 D .无法确定

3.函数y =2-x 的图像可以看成是由函数y =2-x+1+3的图像平移后得到的,平移过程是 [ ]

A .向左平移1个单位,向上平移3个单位

B .向左平移1个单位,向下平移3个单位 C .向右平移1个单位,向上平移3个单位 D .向右平移1个单位,向下平移3个单位 4.函数y=ax+2-3(a>0且a ≠1) 必过定点________.

参考答案: 1.C 2.B 3.A 4.(-2,-2)

课后练习与提高

2x -1

1.函数y =x 是( )

2+1

A 、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数

2.函数y =

1x

的单调递减区间是( )

A.(-∞,+∞) B.(-∞,0) C.(0,+∞) D.(-∞,0)和(0,+∞) 3. 函数f (x ) =a 结论正确的是

4.已知函数y=f(x)满足对任意有f(

A .a >1, b

B .a >1, b >0

x -b

的图象如图,其中a 、b 为常数,则下列

( )

C .00 D .0

x ,x

1

2

x +x

1

2

)=f(

x )⋅f(x

1

2

),且x>0时,f(x)<1,那么函数f(x)

在定义域上的单调性为 .

5.函数y=4x 与函数y=4-x 的图像关于________对称.

6. 已知函数f (x )=a -

1

, ,若f (x )为奇函数,求a 的值。 x

z +1

2. 1.2 指数函数的性质的应用

【教学目标】

(1)能熟练说出指数函数的性质。

(2)能画出指数型函数的图像,并会求复合函数的性质。

(3)在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用,养成良好的思维习惯。 【教学重难点】

教学重点:指数函数的性质的应用。 教学难点:指数函数的性质的应用。 【教学过程】

㈠情景导入、展示目标

1. 指数函数的定义,特点是什么?

2.请两位同学画出指数函数的图象(分两种情况画a>1与0

㈡检查预习、交流展示 1.函数y =2.函数y =

a a

x

(a >0, a ≠1) 的定义域是 ,值域 . (a >0, a ≠1) .

x

当a>1时,若x>0时,y 1,

若x<0时,y 1;若x=1时,y 1; 当0<a<1时,若x>0时,y 1,

若x<0时,y 1;若x=1时,y 1.

3.函数y =

㈢合作探究、精讲精练 探究点一:平移指数函数的图像 例1:画出函数y =

a

x

(a >0, a ≠1) 是 函数(就奇偶性填).

2

x +1

的图像,并根据图像指出它的单调区间.

解析:由函数的解析式可得:

x +1

⎪(1) , (x

y =2=⎨

2⎪x +1⎪⎩2, (x ≥-1)

其图像分成两部分,一部分是将

y

1

=(

1) 2

x +1

(x<-1)的图像作出,而它的图

像可以看作y =

1() 2

x

的图像沿x轴的负方向平移一个单位而得到的,另一部分是将

x

y =2

2

x +1

(x ≥1) 的图像作出,而它的图像可以看作将y =2的图像沿x轴的负方向

平移一个单位而得到的.

解:图像由老师们自己画出 单调递减区间[-∞,-1],单调递增区间[-1,+∞].

点评:此类函数需要先去绝对值再根据平移变换画图,单调性由图像易知。

变式训练一:已知函数y =

1() 2

x +1

(1)作出其图像;

(2)由图像指出其单调区间;

解:(1)

y =(

1

) 2

x +2

的图像如下图:

(2)函数的增区间是(-∞,-2],减区间是[-2,+∞) .

探究点二:复合函数的性质 例2:已知函数y =(

13+) x x

2-12

1

(1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的奇偶性;

解析:求定义域注意分母的范围,判断奇偶性需要注意定义域是否关于原点对称。 解:(1)要使函数有意义,须0) (0,+∞).

(2)y =(

2

x

-1≠0,即x≠1,所以, 定义域为(-∞,

13

+) x x

2-12

1

则f(-x)=

2(2

-x

+1

-x

+111+) x ∙(-x ) =(-x ) =∙x =(

-1) 2(1-2) 2(2-1) 2-12

3

3

3

x

x

x

1+x x

3

所以,f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.

点评:此问题难度不是太大,但是很多同学不敢尝试去化简,只要按照常规的方式去推理,此函数的奇偶性很容易判断出来。

a x -1

变式训练二:已知函数f (x ) =x (a >1) , 试判断函数的奇偶性;

a +1

a -x -11-a x

简析:∵定义域为x ∈R , 且f (-x ) =-x ==-f (x ), ∴f (x ) 是奇函数;

a +11+a x

㈣反馈测试

导学案当堂检测

㈤总结反思、共同提高

【板书设计】 一、指数函数性质 1. 图像 2. 性质 二、例题

例1 变式1 例2 变式2

【作业布置】

导学案课后练习与提高

2.1.2 指数函数的性质的应用

课前预习学案

一.预习目标

能熟练说出指数函数的定义及其性质. 二.预习内容 1.函数y =2.函数y =

a

x

(a >0, a ≠1) 的定义域是 ,值域 . (a >0, a ≠1) .

a

x

当a>1时,若x>0时,y 1,

若x<0时,y 1;若x=1时,y 1; 当0<a<1时,若x>0时,y 1,

若x<0时,y 1;若x=1时,y 1.

3.函数y =

三.提出疑惑

同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中

a

x

(a >0, a ≠1) 是 函数(就奇偶性填).

课内探究学案

一、学习目标:

(1)能熟练说出指数函数的性质。

(2)能画出指数型函数的图像,并会求复合函数的性质。

(3)在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用,养成良好的思维习惯。 教学重点:指数函数的性质的应用。 教学难点:指数函数的性质的应用。 二、教学过程

探究点一:平移指数函数的图像

例1:画出函数y =

2

x +1

的图像,并根据图像指出它

的单调区间.

解:

变式训练一:已知函数y =

1() 2

x +1

(1)作出其图像;

(2)由图像指出其单调区间; 解:

探究点二:复合函数的性质 例2:已知函数y =(

13+) x x

22-1

1

(1)求f(x)的定义域;

(2)讨论f(x)的奇偶性; 解:

a x -1

变式训练二:已知函数f (x ) =x (a >1) , 试判断函数的奇偶性;

a +1

三.反思总结

四.当堂检测

1.函数y =a |x|(0<a <1) 的图像是( )

2.函数

y

1

=

a

x

y

2

=a

x +1

,若恒有

y

2

y

1

,那么底数a的取值范

围是( )

A .a >1 B .0<a <1 C .0<a <1或a >1 D .无法确定

3.函数y =2-x 的图像可以看成是由函数y =2-x+1+3的图像平移后得到的,平移过程是 [ ]

A .向左平移1个单位,向上平移3个单位

B .向左平移1个单位,向下平移3个单位 C .向右平移1个单位,向上平移3个单位 D .向右平移1个单位,向下平移3个单位 4.函数y=ax+2-3(a>0且a ≠1) 必过定点________.

参考答案: 1.C 2.B 3.A 4.(-2,-2)

课后练习与提高

2x -1

1.函数y =x 是( )

2+1

A 、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数

2.函数y =

1x

的单调递减区间是( )

A.(-∞,+∞) B.(-∞,0) C.(0,+∞) D.(-∞,0)和(0,+∞) 3. 函数f (x ) =a 结论正确的是

4.已知函数y=f(x)满足对任意有f(

A .a >1, b

B .a >1, b >0

x -b

的图象如图,其中a 、b 为常数,则下列

( )

C .00 D .0

x ,x

1

2

x +x

1

2

)=f(

x )⋅f(x

1

2

),且x>0时,f(x)<1,那么函数f(x)

在定义域上的单调性为 .

5.函数y=4x 与函数y=4-x 的图像关于________对称.

6. 已知函数f (x )=a -

1

, ,若f (x )为奇函数,求a 的值。 x

z +1


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