2. 1.2 指数函数的性质的应用
【教学目标】
(1)能熟练说出指数函数的性质。
(2)能画出指数型函数的图像,并会求复合函数的性质。
(3)在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用,养成良好的思维习惯。 【教学重难点】
教学重点:指数函数的性质的应用。 教学难点:指数函数的性质的应用。 【教学过程】
㈠情景导入、展示目标
1. 指数函数的定义,特点是什么?
2.请两位同学画出指数函数的图象(分两种情况画a>1与0
㈡检查预习、交流展示 1.函数y =2.函数y =
a a
x
(a >0, a ≠1) 的定义域是 ,值域 . (a >0, a ≠1) .
x
当a>1时,若x>0时,y 1,
若x<0时,y 1;若x=1时,y 1; 当0<a<1时,若x>0时,y 1,
若x<0时,y 1;若x=1时,y 1.
3.函数y =
㈢合作探究、精讲精练 探究点一:平移指数函数的图像 例1:画出函数y =
a
x
(a >0, a ≠1) 是 函数(就奇偶性填).
2
x +1
的图像,并根据图像指出它的单调区间.
解析:由函数的解析式可得:
x +1
⎧
⎪(1) , (x
y =2=⎨
2⎪x +1⎪⎩2, (x ≥-1)
其图像分成两部分,一部分是将
y
1
=(
1) 2
x +1
(x<-1)的图像作出,而它的图
像可以看作y =
1() 2
x
的图像沿x轴的负方向平移一个单位而得到的,另一部分是将
x
y =2
2
x +1
(x ≥1) 的图像作出,而它的图像可以看作将y =2的图像沿x轴的负方向
平移一个单位而得到的.
解:图像由老师们自己画出 单调递减区间[-∞,-1],单调递增区间[-1,+∞].
点评:此类函数需要先去绝对值再根据平移变换画图,单调性由图像易知。
变式训练一:已知函数y =
1() 2
x +1
(1)作出其图像;
(2)由图像指出其单调区间;
解:(1)
y =(
1
) 2
x +2
的图像如下图:
(2)函数的增区间是(-∞,-2],减区间是[-2,+∞) .
探究点二:复合函数的性质 例2:已知函数y =(
13+) x x
2-12
1
(1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的奇偶性;
解析:求定义域注意分母的范围,判断奇偶性需要注意定义域是否关于原点对称。 解:(1)要使函数有意义,须0) (0,+∞).
(2)y =(
2
x
-1≠0,即x≠1,所以, 定义域为(-∞,
13
+) x x
2-12
1
则f(-x)=
2(2
-x
+1
-x
+111+) x ∙(-x ) =(-x ) =∙x =(
-1) 2(1-2) 2(2-1) 2-12
3
3
3
x
x
x
1+x x
3
所以,f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.
点评:此问题难度不是太大,但是很多同学不敢尝试去化简,只要按照常规的方式去推理,此函数的奇偶性很容易判断出来。
a x -1
变式训练二:已知函数f (x ) =x (a >1) , 试判断函数的奇偶性;
a +1
a -x -11-a x
简析:∵定义域为x ∈R , 且f (-x ) =-x ==-f (x ), ∴f (x ) 是奇函数;
a +11+a x
㈣反馈测试
导学案当堂检测
㈤总结反思、共同提高
【板书设计】 一、指数函数性质 1. 图像 2. 性质 二、例题
例1 变式1 例2 变式2
【作业布置】
导学案课后练习与提高
2.1.2 指数函数的性质的应用
课前预习学案
一.预习目标
能熟练说出指数函数的定义及其性质. 二.预习内容 1.函数y =2.函数y =
a
x
(a >0, a ≠1) 的定义域是 ,值域 . (a >0, a ≠1) .
a
x
当a>1时,若x>0时,y 1,
若x<0时,y 1;若x=1时,y 1; 当0<a<1时,若x>0时,y 1,
若x<0时,y 1;若x=1时,y 1.
3.函数y =
三.提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中
a
x
(a >0, a ≠1) 是 函数(就奇偶性填).
课内探究学案
一、学习目标:
(1)能熟练说出指数函数的性质。
(2)能画出指数型函数的图像,并会求复合函数的性质。
(3)在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用,养成良好的思维习惯。 教学重点:指数函数的性质的应用。 教学难点:指数函数的性质的应用。 二、教学过程
探究点一:平移指数函数的图像
例1:画出函数y =
2
x +1
的图像,并根据图像指出它
的单调区间.
解:
变式训练一:已知函数y =
1() 2
x +1
(1)作出其图像;
(2)由图像指出其单调区间; 解:
探究点二:复合函数的性质 例2:已知函数y =(
13+) x x
22-1
1
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的奇偶性; 解:
a x -1
变式训练二:已知函数f (x ) =x (a >1) , 试判断函数的奇偶性;
a +1
三.反思总结
四.当堂检测
1.函数y =a |x|(0<a <1) 的图像是( )
2.函数
y
1
=
a
x
,
y
2
=a
x +1
,若恒有
y
2
≤
y
1
,那么底数a的取值范
围是( )
A .a >1 B .0<a <1 C .0<a <1或a >1 D .无法确定
3.函数y =2-x 的图像可以看成是由函数y =2-x+1+3的图像平移后得到的,平移过程是 [ ]
A .向左平移1个单位,向上平移3个单位
B .向左平移1个单位,向下平移3个单位 C .向右平移1个单位,向上平移3个单位 D .向右平移1个单位,向下平移3个单位 4.函数y=ax+2-3(a>0且a ≠1) 必过定点________.
参考答案: 1.C 2.B 3.A 4.(-2,-2)
课后练习与提高
2x -1
1.函数y =x 是( )
2+1
A 、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数
2.函数y =
1x
的单调递减区间是( )
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0) C.(0,+∞) D.(-∞,0)和(0,+∞) 3. 函数f (x ) =a 结论正确的是
4.已知函数y=f(x)满足对任意有f(
A .a >1, b
B .a >1, b >0
x -b
的图象如图,其中a 、b 为常数,则下列
( )
C .00 D .0
x ,x
1
2
x +x
1
2
)=f(
x )⋅f(x
1
2
),且x>0时,f(x)<1,那么函数f(x)
在定义域上的单调性为 .
5.函数y=4x 与函数y=4-x 的图像关于________对称.
6. 已知函数f (x )=a -
1
, ,若f (x )为奇函数,求a 的值。 x
z +1
2. 1.2 指数函数的性质的应用
【教学目标】
(1)能熟练说出指数函数的性质。
(2)能画出指数型函数的图像,并会求复合函数的性质。
(3)在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用,养成良好的思维习惯。 【教学重难点】
教学重点:指数函数的性质的应用。 教学难点:指数函数的性质的应用。 【教学过程】
㈠情景导入、展示目标
1. 指数函数的定义,特点是什么?
2.请两位同学画出指数函数的图象(分两种情况画a>1与0
㈡检查预习、交流展示 1.函数y =2.函数y =
a a
x
(a >0, a ≠1) 的定义域是 ,值域 . (a >0, a ≠1) .
x
当a>1时,若x>0时,y 1,
若x<0时,y 1;若x=1时,y 1; 当0<a<1时,若x>0时,y 1,
若x<0时,y 1;若x=1时,y 1.
3.函数y =
㈢合作探究、精讲精练 探究点一:平移指数函数的图像 例1:画出函数y =
a
x
(a >0, a ≠1) 是 函数(就奇偶性填).
2
x +1
的图像,并根据图像指出它的单调区间.
解析:由函数的解析式可得:
x +1
⎧
⎪(1) , (x
y =2=⎨
2⎪x +1⎪⎩2, (x ≥-1)
其图像分成两部分,一部分是将
y
1
=(
1) 2
x +1
(x<-1)的图像作出,而它的图
像可以看作y =
1() 2
x
的图像沿x轴的负方向平移一个单位而得到的,另一部分是将
x
y =2
2
x +1
(x ≥1) 的图像作出,而它的图像可以看作将y =2的图像沿x轴的负方向
平移一个单位而得到的.
解:图像由老师们自己画出 单调递减区间[-∞,-1],单调递增区间[-1,+∞].
点评:此类函数需要先去绝对值再根据平移变换画图,单调性由图像易知。
变式训练一:已知函数y =
1() 2
x +1
(1)作出其图像;
(2)由图像指出其单调区间;
解:(1)
y =(
1
) 2
x +2
的图像如下图:
(2)函数的增区间是(-∞,-2],减区间是[-2,+∞) .
探究点二:复合函数的性质 例2:已知函数y =(
13+) x x
2-12
1
(1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的奇偶性;
解析:求定义域注意分母的范围,判断奇偶性需要注意定义域是否关于原点对称。 解:(1)要使函数有意义,须0) (0,+∞).
(2)y =(
2
x
-1≠0,即x≠1,所以, 定义域为(-∞,
13
+) x x
2-12
1
则f(-x)=
2(2
-x
+1
-x
+111+) x ∙(-x ) =(-x ) =∙x =(
-1) 2(1-2) 2(2-1) 2-12
3
3
3
x
x
x
1+x x
3
所以,f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.
点评:此问题难度不是太大,但是很多同学不敢尝试去化简,只要按照常规的方式去推理,此函数的奇偶性很容易判断出来。
a x -1
变式训练二:已知函数f (x ) =x (a >1) , 试判断函数的奇偶性;
a +1
a -x -11-a x
简析:∵定义域为x ∈R , 且f (-x ) =-x ==-f (x ), ∴f (x ) 是奇函数;
a +11+a x
㈣反馈测试
导学案当堂检测
㈤总结反思、共同提高
【板书设计】 一、指数函数性质 1. 图像 2. 性质 二、例题
例1 变式1 例2 变式2
【作业布置】
导学案课后练习与提高
2.1.2 指数函数的性质的应用
课前预习学案
一.预习目标
能熟练说出指数函数的定义及其性质. 二.预习内容 1.函数y =2.函数y =
a
x
(a >0, a ≠1) 的定义域是 ,值域 . (a >0, a ≠1) .
a
x
当a>1时,若x>0时,y 1,
若x<0时,y 1;若x=1时,y 1; 当0<a<1时,若x>0时,y 1,
若x<0时,y 1;若x=1时,y 1.
3.函数y =
三.提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中
a
x
(a >0, a ≠1) 是 函数(就奇偶性填).
课内探究学案
一、学习目标:
(1)能熟练说出指数函数的性质。
(2)能画出指数型函数的图像,并会求复合函数的性质。
(3)在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用,养成良好的思维习惯。 教学重点:指数函数的性质的应用。 教学难点:指数函数的性质的应用。 二、教学过程
探究点一:平移指数函数的图像
例1:画出函数y =
2
x +1
的图像,并根据图像指出它
的单调区间.
解:
变式训练一:已知函数y =
1() 2
x +1
(1)作出其图像;
(2)由图像指出其单调区间; 解:
探究点二:复合函数的性质 例2:已知函数y =(
13+) x x
22-1
1
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的奇偶性; 解:
a x -1
变式训练二:已知函数f (x ) =x (a >1) , 试判断函数的奇偶性;
a +1
三.反思总结
四.当堂检测
1.函数y =a |x|(0<a <1) 的图像是( )
2.函数
y
1
=
a
x
,
y
2
=a
x +1
,若恒有
y
2
≤
y
1
,那么底数a的取值范
围是( )
A .a >1 B .0<a <1 C .0<a <1或a >1 D .无法确定
3.函数y =2-x 的图像可以看成是由函数y =2-x+1+3的图像平移后得到的,平移过程是 [ ]
A .向左平移1个单位,向上平移3个单位
B .向左平移1个单位,向下平移3个单位 C .向右平移1个单位,向上平移3个单位 D .向右平移1个单位,向下平移3个单位 4.函数y=ax+2-3(a>0且a ≠1) 必过定点________.
参考答案: 1.C 2.B 3.A 4.(-2,-2)
课后练习与提高
2x -1
1.函数y =x 是( )
2+1
A 、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数
2.函数y =
1x
的单调递减区间是( )
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0) C.(0,+∞) D.(-∞,0)和(0,+∞) 3. 函数f (x ) =a 结论正确的是
4.已知函数y=f(x)满足对任意有f(
A .a >1, b
B .a >1, b >0
x -b
的图象如图,其中a 、b 为常数,则下列
( )
C .00 D .0
x ,x
1
2
x +x
1
2
)=f(
x )⋅f(x
1
2
),且x>0时,f(x)<1,那么函数f(x)
在定义域上的单调性为 .
5.函数y=4x 与函数y=4-x 的图像关于________对称.
6. 已知函数f (x )=a -
1
, ,若f (x )为奇函数,求a 的值。 x
z +1