专题八《“一线三等角、三直角”相似三角形》
姓名________学号________
三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景,一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上,角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示。及等角为直角时的特例。
F
如图:以上各图中在一条直线上的三个角如果相等,那么对应的三角形相似,请你证明
. 【例1】如图,等边△ABC 中,边长为6,D 是BC 上动点,∠EDF=60
° (1)求证:△BDE ∽△CFD
(2)当BD=1,FC=3时,求BE
【例2】如图,在梯形ABCD 中,AD //BC ,AB =CD =BC =4,AD =2.点M 为边BC 的中点,以M 为顶点作∠EMF =∠B ,射线ME 交边AB 于点E ,射线MF 交边CD 于点F ,连结EF . (1)指出图中所有与△BEM 相似的三角形,并加以证明;
(2)设BE =x ,CF =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域;
B
M
C
【例3】(1)在∆ABC 中,AB =AC =5,BC =8,点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上(点
P 不与点C 、点B 重合),且保持∠APQ =∠ABC .
①若点P 在线段CB 上(如图10),且BP =6,求线段CQ 的长;
B
C
备用图 ②若BP =x ,CQ =y ,求y 与x 之间的函数关系式,并写出函数的定义域;
(2)正方形ABCD 的边长为5(如图12),点P 、Q 分别在直线..CB 、DC 上(点P 不与点
C 、点B 重合),且保持∠APQ =90︒. 当CQ =1时,写出线段BP 的长(不需要计算过程,
请直接写出结果).
【例4】如图,在Rt ∆ABC 中,∠C =90︒,AB =5,tan B =
A
D
B
图12
C
3
,点D 是BC 的中点,点E 4
是AB 边上的动点,DF ⊥DE 交射线AC 于点F .
(1)求AC 和BC 的长; (2)联结EF ,当EF//BC时,求BE 的长.
回家作业:
1. 如图,在△ABC 中,AB =AC =8,BC =10,D 是BC 边上的一个动点,点E 在AC 边上,且∠ADE =∠C .(1) 求证:△ABD ∽△DCE ;
(2) 如果BD =x ,AE =y ,求y 与x 的函数解析式,并写出自变量x 的定义域; (3) 当点D 是BC 的中点时,试说明△ADE
是什么三角形,并说明理由.
o
E
D
C
2. 在∆ABC 中,∠C =90, AC =4, BC =3, O 是AB 上的一点,且
AO 2
=,点P 是AC 上的AB 5
一个动点,PQ ⊥OP 交线段BC 于点Q ,(不与点B,C 重合),已知AP=2,求CQ
3. 已知在等腰三角形ABC 中,AB =BC =4, AC =6,D 是AC 的中点, E 是BC 上的动
D F =∠A ,点(不与B 、C 重合),连结DE ,过点D 作射线DF ,使∠E 射线DF 交射线EB
于点F ,交射线AB 于点H . (1)求证:∆CED ∽∆ADH ; H
(2)设EC =x , BF =y .
①用含x 的代数式表示BH ;
②求y 关于x 的函数解析式,并写出x 的定义域.
C
F E
D
A
4. 如图,在平面直角系中,直线AB :y =
4
x +4(a ≠0)分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点,a
直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点,D 是x 轴上的一点,OA =OD ,过D 作CD ⊥x
轴交AE 于C ,连接B C ,当动点B 在线段OD 上运动(不与点O 点D 重合)且AB ⊥BC 时 (1)求证:∆ABO ∽∆BCD ; (2)求线段CD 的长(用a 的代数式表示); (3)若直线AE 的方程是y =-
13
x +b ,求BC:AB的值. 16
5. 已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD <BC ,且AD =5,AB =DC =2.
(1)如图,P 为AD 上的一点,满足∠BPC =∠A . 求证;△ABP ∽△DPC ②求AP 的长. (2)如果点P 在AD 边上移动(点P 与点A 、D 不重合),且满足∠BPE =∠A ,PE 交直线BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q ,那么
①当点Q 在线段DC 的延长线上时,设AP =x ,CQ =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域;
②当CE =1时,写出AP 的长(不必写出解题过程).
专题八《“一线三等角、三直角”相似三角形》
姓名________学号________
三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景,一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上,角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示。及等角为直角时的特例。
F
如图:以上各图中在一条直线上的三个角如果相等,那么对应的三角形相似,请你证明
. 【例1】如图,等边△ABC 中,边长为6,D 是BC 上动点,∠EDF=60
° (1)求证:△BDE ∽△CFD
(2)当BD=1,FC=3时,求BE
【例2】如图,在梯形ABCD 中,AD //BC ,AB =CD =BC =4,AD =2.点M 为边BC 的中点,以M 为顶点作∠EMF =∠B ,射线ME 交边AB 于点E ,射线MF 交边CD 于点F ,连结EF . (1)指出图中所有与△BEM 相似的三角形,并加以证明;
(2)设BE =x ,CF =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域;
B
M
C
【例3】(1)在∆ABC 中,AB =AC =5,BC =8,点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上(点
P 不与点C 、点B 重合),且保持∠APQ =∠ABC .
①若点P 在线段CB 上(如图10),且BP =6,求线段CQ 的长;
B
C
备用图 ②若BP =x ,CQ =y ,求y 与x 之间的函数关系式,并写出函数的定义域;
(2)正方形ABCD 的边长为5(如图12),点P 、Q 分别在直线..CB 、DC 上(点P 不与点
C 、点B 重合),且保持∠APQ =90︒. 当CQ =1时,写出线段BP 的长(不需要计算过程,
请直接写出结果).
【例4】如图,在Rt ∆ABC 中,∠C =90︒,AB =5,tan B =
A
D
B
图12
C
3
,点D 是BC 的中点,点E 4
是AB 边上的动点,DF ⊥DE 交射线AC 于点F .
(1)求AC 和BC 的长; (2)联结EF ,当EF//BC时,求BE 的长.
回家作业:
1. 如图,在△ABC 中,AB =AC =8,BC =10,D 是BC 边上的一个动点,点E 在AC 边上,且∠ADE =∠C .(1) 求证:△ABD ∽△DCE ;
(2) 如果BD =x ,AE =y ,求y 与x 的函数解析式,并写出自变量x 的定义域; (3) 当点D 是BC 的中点时,试说明△ADE
是什么三角形,并说明理由.
o
E
D
C
2. 在∆ABC 中,∠C =90, AC =4, BC =3, O 是AB 上的一点,且
AO 2
=,点P 是AC 上的AB 5
一个动点,PQ ⊥OP 交线段BC 于点Q ,(不与点B,C 重合),已知AP=2,求CQ
3. 已知在等腰三角形ABC 中,AB =BC =4, AC =6,D 是AC 的中点, E 是BC 上的动
D F =∠A ,点(不与B 、C 重合),连结DE ,过点D 作射线DF ,使∠E 射线DF 交射线EB
于点F ,交射线AB 于点H . (1)求证:∆CED ∽∆ADH ; H
(2)设EC =x , BF =y .
①用含x 的代数式表示BH ;
②求y 关于x 的函数解析式,并写出x 的定义域.
C
F E
D
A
4. 如图,在平面直角系中,直线AB :y =
4
x +4(a ≠0)分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点,a
直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点,D 是x 轴上的一点,OA =OD ,过D 作CD ⊥x
轴交AE 于C ,连接B C ,当动点B 在线段OD 上运动(不与点O 点D 重合)且AB ⊥BC 时 (1)求证:∆ABO ∽∆BCD ; (2)求线段CD 的长(用a 的代数式表示); (3)若直线AE 的方程是y =-
13
x +b ,求BC:AB的值. 16
5. 已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD <BC ,且AD =5,AB =DC =2.
(1)如图,P 为AD 上的一点,满足∠BPC =∠A . 求证;△ABP ∽△DPC ②求AP 的长. (2)如果点P 在AD 边上移动(点P 与点A 、D 不重合),且满足∠BPE =∠A ,PE 交直线BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q ,那么
①当点Q 在线段DC 的延长线上时,设AP =x ,CQ =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域;
②当CE =1时,写出AP 的长(不必写出解题过程).