用假设法解题
情景引入
我国古代趣题:今有雉兔共笼,上有三十五头,下有九十四足. 问雉、兔各有几何?这就是著名的鸡兔同笼问题,这类问题我们该如何解答呢?
专题介绍
有些应用题看起来很难求出答案,但如果我们合理进行“假设”,往往会使问题得到解决.“假设”是数学思维中思考问题的一种常用方法,所谓“假设法”就是依照已知条件进行推算,根据数量上出现的矛盾,作适当调整,从而找到正确答案. 我国古代趣题中的“鸡兔同笼”问题就是运用假设法解决问题的一个范例.
例题精讲
例1:见情景引入. 将题目翻译过来就是:现有一笼鸡兔,数鸡头和兔头共35个,数鸡脚和兔脚共94只,问鸡兔各共几只?
分析:方法一:
1)假设,那么,笼子中脚的总数应该是35=70(只).
2)题中脚的总数是94只,假设后比原来少了94- =24(只),这是因为我们把其中的 兔子 当成了 鸡 来算.
一只兔子当成一只鸡就少了 2只脚,那么,少的24只脚是把多少只兔子当成了鸡?因此,可知道兔子有 24 ÷ = (只),则鸡有 35 - = 23(只).
3)列综合算式:
兔子的只数:(94- 35)÷2=(只);
鸡的只数:35 - = (只).
方法二:
1)假设那么,笼子中脚的总数应该是35=.
2)题中脚的总数是94只,假设后比原来多了- =,这是因为我们把其中的 当成了 来算.
一只鸡当成一只兔子就多了 只脚,那么,多的 只脚是把多少只鸡当成了兔子?因此,可知道鸡有 46 ÷ = (只),则兔子有 35 - = (只).
3)列综合算式:
鸡的只数:(35-94)÷2=;
兔子的只数:35 - = (只).
答:鸡有23只,兔有12只.
巩固练习:1. 鸡兔共30只,共有脚84只,鸡兔各有多少只?
解:方法一:
1)假设,那么,笼子中脚的总数应该是×=(只).
2)题中脚的总数是84只,假设后比原来少了84- =(只),一只兔子当成一只鸡就少了 只脚,少了 只脚就说明兔子有 ÷ = (只),则鸡有 - = (只).
3)列综合算式:
兔子的只数:( =(只);
鸡的只数: - = (只).
方法二:
1)假设那么,笼子中脚的总数应该是.
2)题中脚的总数是84只,假设后比原来多了- =,一只鸡当成一只兔子就多了 只脚,多了 只脚就说明鸡有 ÷ = (只),则兔子有 - = (只).
3)列综合算式:
鸡的只数:;
兔子的只数: .
答: .
2. 鸡兔同笼, 共有头100个, 足316只, 那么鸡兔各有几只?(用两种方法解答)
例2:有1角、5角的硬币共35枚,一共9块5角,求两种硬币各多少枚?
分析:1)假设35枚硬币全是1角的,那么,总钱数应该是 ×35 = (角).
2)原来的钱数是95角,假设后比原来少了95- =;一枚5角硬币当成1角就少了 角,那么,少了60角就说明5角硬币有 ÷ = (枚),则1角硬币有 -15 = (枚).
3)列综合算式: 5角硬币:(95-)÷(-1)=
1角硬币:-15 = (枚).
答:
5角硬币有
枚,1角硬币有 枚.
巩固练习:1. 小军用10元钱买5角和8角邮票共17张,问这两种邮票各买了多 少张?
解:1)假设17张全是5角的邮票,那么,总钱数应该是 × = (角).
2)原来的钱数是角,假设后比原来少了;一枚8角邮票当成5角就少了 角,那么,少了 角就说明8角邮票有 ÷ = (张),则5角邮票有 - = (张).
3)列综合算式:
8角邮票:;
5角邮票:答: .
2. 车棚里停放着45辆车,包括三轮车和自行车,两种车轮子的总和为105个,问三轮车和自行车各多少辆?
例3: 某校进行的数学竞赛共15道题,规定每做对一题得10分,每做错一题倒扣4分,小明在这次数学竞赛中得了66分,问他做错、对了几道?
分析:1)假设小明把题目全部做对了,那么,应得的分数是 ×15= (分).
2)而题中所得分数是66分,假设后比原来多了-66= (分),这是因为我们把做错的题当成了做对的题来算. 每做错一个题,就比做对一个题要少得 + = (分),那么,少得了 分就说明答错的题目有 ÷ = (道),则答对的题目有 - = (道).
3)列综合算式:
答错的题目: ;
答对的题目: .
答: .
巩固练习:1. 某玻璃杯厂要为商店运送1000个玻璃杯,双方商定每个运费为1元,如果打碎一个,这一个不但不给运费,而且要赔偿4元. 结果运到目的地后结算时,玻璃杯厂共得运费895元,求打碎了几个玻璃杯?
解:1)假设1000个玻璃杯全部运到并完好无损,那么,应得的运费是 × 1000=;
2)而题中所得运费是895元,比假设后少收入了 105(元),这是因为我们把其中打碎了的玻璃杯当成了没打碎来算,每打碎一个玻璃杯,就比没打碎要少收入 + = (元),那么,少收入105元就说明打碎的玻璃杯有 ÷ = (个).
3)列综合算式:
打碎的玻璃杯数: .
答: .
2. 某车间生产一批服装共250件,生产一件可得25元,如果有一件不符合要求,则倒扣20元,生产后得到费用5350元. 问有几件不合格?
例4:
学校买来8张办公桌和6把椅子,共花去550元. 每张办公桌的价钱是每把椅子的2倍,每张办公桌和每把椅子各多少元?
分析:1)假设学校买的全是办公桌,根据“每张办公桌的价钱是每把椅子的2倍”,则买6把椅子的价钱只能买 ÷ 2 = 3 (张)办公桌.
2)题中共花的550元就相当于+=(张)办公桌的价钱,所以,每张办公桌的价钱为 550 ÷ = (元).
3)列综合算式:
办公桌:550÷( ÷ 2 + )= 50 (元);
椅子: 50÷ = 25 (元).
答:办公桌的价钱为50元,椅子的价钱为25元.
巩固练习:1. 学校买来4个篮球和5个排球共用了185元,已知一个篮球比一个排 球贵8元,那么篮球和排球的单价各是多少元?
解:1)假设学校买的全是排球,根据“一个篮球比一个排球贵8元”,则买4个篮球比买4个排球贵 × 4 = 32 (元).
2)题中共花的185元,相当于买了+=元,所以,排球的单价为( - )÷ 9 = (元).
3)列综合算式:
排球:( - × 4 )÷( + )= (元);
篮球: + = (元).
答:.
2. 小明买2个乒乓球和4个皮球共用去52元,6个乒乓球的价钱相当于1个皮球的价钱. 乒乓球和皮球的单价各是多少元?
例5:
水果糖的块数是巧克力糖的3倍,如果小明每天吃2块水果糖,1块巧克力糖,几天后,水果糖还剩下7块,巧克力糖正好吃完. 原来水果糖有多少块?
分析:1)根据题中“水果糖的块数是巧克力糖的3倍”,假设小明每天吃1块巧克力,3块水果糖,那若干天后,两种糖刚好吃完.
2)现在小明每天吃2块水果糖,少吃了-=(块),结果,若干天后,水果糖还剩下7块. 则吃的天数为 7 ÷ = 7 (天),则原来水果糖的块数即可求得.
3)列式如下:
1×3-;
2×7 =.
答:原来水果糖有21块.
巩固练习:1. 小红家有些梨和苹果,苹果的个数是梨的3倍,爸爸和小红每天各 吃1个苹果,妈妈每天吃1个梨. 若干天后,苹果还剩9个,而梨恰好吃完, 原来苹果有多少个?
解:1)根据题中“苹果的个数是梨的3倍”,假设小红和爸爸妈妈每天吃1个梨,3个苹果,那若干天后,两种水果刚好吃完.
2)现在小红和爸妈每天一共吃2个苹果,1个梨,少吃了-=苹果,结果,若干天后,苹果还剩下9个. 则吃的天数为 ÷ = (天),则原来苹果个数即可求得.
3)列式如下:
1×3-;
2×=.
答: .
2. 某商店有些红气球和黄气球,红气球的只数是黄气球的4倍,每天卖出2只红气球和1只黄气球,若干天后,红气球剩下12只,黄气球刚好卖完. 红气球原来有多少?
1. 鸡兔共100只,共有脚280只,鸡兔各有多少只?
2. 三一班的同学在献爱心活动中共有34名同学捐款,共捐了89元,这些同学有捐2元的,有捐5元,求捐2元和捐5元的同学各有多少名?
3. 某小学进行英语竞赛,每答对一题得10分,答错一题倒扣2分,共有15道题,小明得了102分,他做对了多少题?
4. 买4张办公桌和9把椅子共用252元,1张桌子和3把椅子的价钱正好相等,桌子和椅子的单价各是多少元?
5. 四(3)班有彩色粉笔和白色粉笔若干盒,白粉笔的盒数是彩色粉笔的7倍,每天用去2盒白粉笔和1盒彩色粉笔,当彩色粉笔全部用完时,白粉笔还剩10盒,原来白粉笔有多少盒?
用假设法解题
情景引入
我国古代趣题:今有雉兔共笼,上有三十五头,下有九十四足. 问雉、兔各有几何?这就是著名的鸡兔同笼问题,这类问题我们该如何解答呢?
专题介绍
有些应用题看起来很难求出答案,但如果我们合理进行“假设”,往往会使问题得到解决.“假设”是数学思维中思考问题的一种常用方法,所谓“假设法”就是依照已知条件进行推算,根据数量上出现的矛盾,作适当调整,从而找到正确答案. 我国古代趣题中的“鸡兔同笼”问题就是运用假设法解决问题的一个范例.
例题精讲
例1:见情景引入. 将题目翻译过来就是:现有一笼鸡兔,数鸡头和兔头共35个,数鸡脚和兔脚共94只,问鸡兔各共几只?
分析:方法一:
1)假设,那么,笼子中脚的总数应该是35=70(只).
2)题中脚的总数是94只,假设后比原来少了94- =24(只),这是因为我们把其中的 兔子 当成了 鸡 来算.
一只兔子当成一只鸡就少了 2只脚,那么,少的24只脚是把多少只兔子当成了鸡?因此,可知道兔子有 24 ÷ = (只),则鸡有 35 - = 23(只).
3)列综合算式:
兔子的只数:(94- 35)÷2=(只);
鸡的只数:35 - = (只).
方法二:
1)假设那么,笼子中脚的总数应该是35=.
2)题中脚的总数是94只,假设后比原来多了- =,这是因为我们把其中的 当成了 来算.
一只鸡当成一只兔子就多了 只脚,那么,多的 只脚是把多少只鸡当成了兔子?因此,可知道鸡有 46 ÷ = (只),则兔子有 35 - = (只).
3)列综合算式:
鸡的只数:(35-94)÷2=;
兔子的只数:35 - = (只).
答:鸡有23只,兔有12只.
巩固练习:1. 鸡兔共30只,共有脚84只,鸡兔各有多少只?
解:方法一:
1)假设,那么,笼子中脚的总数应该是×=(只).
2)题中脚的总数是84只,假设后比原来少了84- =(只),一只兔子当成一只鸡就少了 只脚,少了 只脚就说明兔子有 ÷ = (只),则鸡有 - = (只).
3)列综合算式:
兔子的只数:( =(只);
鸡的只数: - = (只).
方法二:
1)假设那么,笼子中脚的总数应该是.
2)题中脚的总数是84只,假设后比原来多了- =,一只鸡当成一只兔子就多了 只脚,多了 只脚就说明鸡有 ÷ = (只),则兔子有 - = (只).
3)列综合算式:
鸡的只数:;
兔子的只数: .
答: .
2. 鸡兔同笼, 共有头100个, 足316只, 那么鸡兔各有几只?(用两种方法解答)
例2:有1角、5角的硬币共35枚,一共9块5角,求两种硬币各多少枚?
分析:1)假设35枚硬币全是1角的,那么,总钱数应该是 ×35 = (角).
2)原来的钱数是95角,假设后比原来少了95- =;一枚5角硬币当成1角就少了 角,那么,少了60角就说明5角硬币有 ÷ = (枚),则1角硬币有 -15 = (枚).
3)列综合算式: 5角硬币:(95-)÷(-1)=
1角硬币:-15 = (枚).
答:
5角硬币有
枚,1角硬币有 枚.
巩固练习:1. 小军用10元钱买5角和8角邮票共17张,问这两种邮票各买了多 少张?
解:1)假设17张全是5角的邮票,那么,总钱数应该是 × = (角).
2)原来的钱数是角,假设后比原来少了;一枚8角邮票当成5角就少了 角,那么,少了 角就说明8角邮票有 ÷ = (张),则5角邮票有 - = (张).
3)列综合算式:
8角邮票:;
5角邮票:答: .
2. 车棚里停放着45辆车,包括三轮车和自行车,两种车轮子的总和为105个,问三轮车和自行车各多少辆?
例3: 某校进行的数学竞赛共15道题,规定每做对一题得10分,每做错一题倒扣4分,小明在这次数学竞赛中得了66分,问他做错、对了几道?
分析:1)假设小明把题目全部做对了,那么,应得的分数是 ×15= (分).
2)而题中所得分数是66分,假设后比原来多了-66= (分),这是因为我们把做错的题当成了做对的题来算. 每做错一个题,就比做对一个题要少得 + = (分),那么,少得了 分就说明答错的题目有 ÷ = (道),则答对的题目有 - = (道).
3)列综合算式:
答错的题目: ;
答对的题目: .
答: .
巩固练习:1. 某玻璃杯厂要为商店运送1000个玻璃杯,双方商定每个运费为1元,如果打碎一个,这一个不但不给运费,而且要赔偿4元. 结果运到目的地后结算时,玻璃杯厂共得运费895元,求打碎了几个玻璃杯?
解:1)假设1000个玻璃杯全部运到并完好无损,那么,应得的运费是 × 1000=;
2)而题中所得运费是895元,比假设后少收入了 105(元),这是因为我们把其中打碎了的玻璃杯当成了没打碎来算,每打碎一个玻璃杯,就比没打碎要少收入 + = (元),那么,少收入105元就说明打碎的玻璃杯有 ÷ = (个).
3)列综合算式:
打碎的玻璃杯数: .
答: .
2. 某车间生产一批服装共250件,生产一件可得25元,如果有一件不符合要求,则倒扣20元,生产后得到费用5350元. 问有几件不合格?
例4:
学校买来8张办公桌和6把椅子,共花去550元. 每张办公桌的价钱是每把椅子的2倍,每张办公桌和每把椅子各多少元?
分析:1)假设学校买的全是办公桌,根据“每张办公桌的价钱是每把椅子的2倍”,则买6把椅子的价钱只能买 ÷ 2 = 3 (张)办公桌.
2)题中共花的550元就相当于+=(张)办公桌的价钱,所以,每张办公桌的价钱为 550 ÷ = (元).
3)列综合算式:
办公桌:550÷( ÷ 2 + )= 50 (元);
椅子: 50÷ = 25 (元).
答:办公桌的价钱为50元,椅子的价钱为25元.
巩固练习:1. 学校买来4个篮球和5个排球共用了185元,已知一个篮球比一个排 球贵8元,那么篮球和排球的单价各是多少元?
解:1)假设学校买的全是排球,根据“一个篮球比一个排球贵8元”,则买4个篮球比买4个排球贵 × 4 = 32 (元).
2)题中共花的185元,相当于买了+=元,所以,排球的单价为( - )÷ 9 = (元).
3)列综合算式:
排球:( - × 4 )÷( + )= (元);
篮球: + = (元).
答:.
2. 小明买2个乒乓球和4个皮球共用去52元,6个乒乓球的价钱相当于1个皮球的价钱. 乒乓球和皮球的单价各是多少元?
例5:
水果糖的块数是巧克力糖的3倍,如果小明每天吃2块水果糖,1块巧克力糖,几天后,水果糖还剩下7块,巧克力糖正好吃完. 原来水果糖有多少块?
分析:1)根据题中“水果糖的块数是巧克力糖的3倍”,假设小明每天吃1块巧克力,3块水果糖,那若干天后,两种糖刚好吃完.
2)现在小明每天吃2块水果糖,少吃了-=(块),结果,若干天后,水果糖还剩下7块. 则吃的天数为 7 ÷ = 7 (天),则原来水果糖的块数即可求得.
3)列式如下:
1×3-;
2×7 =.
答:原来水果糖有21块.
巩固练习:1. 小红家有些梨和苹果,苹果的个数是梨的3倍,爸爸和小红每天各 吃1个苹果,妈妈每天吃1个梨. 若干天后,苹果还剩9个,而梨恰好吃完, 原来苹果有多少个?
解:1)根据题中“苹果的个数是梨的3倍”,假设小红和爸爸妈妈每天吃1个梨,3个苹果,那若干天后,两种水果刚好吃完.
2)现在小红和爸妈每天一共吃2个苹果,1个梨,少吃了-=苹果,结果,若干天后,苹果还剩下9个. 则吃的天数为 ÷ = (天),则原来苹果个数即可求得.
3)列式如下:
1×3-;
2×=.
答: .
2. 某商店有些红气球和黄气球,红气球的只数是黄气球的4倍,每天卖出2只红气球和1只黄气球,若干天后,红气球剩下12只,黄气球刚好卖完. 红气球原来有多少?
1. 鸡兔共100只,共有脚280只,鸡兔各有多少只?
2. 三一班的同学在献爱心活动中共有34名同学捐款,共捐了89元,这些同学有捐2元的,有捐5元,求捐2元和捐5元的同学各有多少名?
3. 某小学进行英语竞赛,每答对一题得10分,答错一题倒扣2分,共有15道题,小明得了102分,他做对了多少题?
4. 买4张办公桌和9把椅子共用252元,1张桌子和3把椅子的价钱正好相等,桌子和椅子的单价各是多少元?
5. 四(3)班有彩色粉笔和白色粉笔若干盒,白粉笔的盒数是彩色粉笔的7倍,每天用去2盒白粉笔和1盒彩色粉笔,当彩色粉笔全部用完时,白粉笔还剩10盒,原来白粉笔有多少盒?