导数 极坐标复习 04.23
1．若曲线A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2
【答案】A 【解析】求导得∵ 曲线
在点
，依题意
，
在点
处的切线平行于x 轴，则k= ( )
处的切线平行于x 轴，
∴k+1=0，即k=－1．
2．过点(1, -1) 且与曲线y =x 3-2x 相切的直线方程为（ ） A ． x -y -2=0或5x +4y -1=0 B．x -y -2=0 C ．x -y -2=0或4x +5y +1=0 D．x -y +2=0 【答案】A 【解析】
试题分析：设切点为(x 0, x 03-2x 0) ，因为y '=3x -2，所以切线的斜率为
2
k =y '|x =x 0=3x 02-2，所以切线方程为y -(x 03-2x 0) =(3x 02-2)(x -x 0) ，又因为切
线过点(1,-1) ，所以-1-(x 03-2x 0) =(3x 02-2)(1-x 0) 即2x 03-3x 02+1=0，注意到
(1,-1) 是在曲线y =x 3-2x 上的，故方程2x 03-3x 02+1=0必有一根x 0=1，代入符
合
要
求
，
进
一
步
整
理
可
得
2(x 03-1) -3(x 02-1) =0
即
22(x 0-1)(x 02+x 0+1) -3(x 0-1)(x 0+1) =0，也就是(x 0-1) (x 21=) 即
00-x 0-
考点：导数的几何意义.
3．下列求导运算正确的是（ ） A 2x x
C ．(3) '=3⋅log 3e D．(x cos x ) '=-2sin x
2
2
B ．（x cosx ）′=-2xsinx-xsinx ，∴B 错误．
x x
C ．（3）′=3ln3
，∴C 错误． 故选：D ．.
考点：导数的运算．.
4．已知函数f (x ) 的导数为f '(x ) ，且满足关系式f (x ) =x 2+3xf '(2)+ln x ，则f '
(2) 的值等于（ ）
A ．
-2 B．2 C【答案】C ． 【解析】
2
试题分析：因为f (x )
=x +3xf '(2)+ln x
C ． 考点：导数的概念及其计算．
5．函数f (x ) =(x -3) e x 的单调递增区间是 （ ）
A ．(-∞,2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2, +∞) 【答案】D
【解析】
x x x
试题分析：f '(x )=e +(x -3)e =(x -2)e >0, 解得x >2, 故选D ．
考点：利用导数求函数的单调区间
6．设函数y =f
(x )
的图像如左图，则导函数y =f '(x ) 的图像可能是下图中的（）
试题分析：由y =f (x ) 图象知，函数先增，再减，再增，对应的导数值，应该是先大于零，再小于零，最后大于0. 故选D. 考点：导数与函数的单调性.
3
7．函数f(x)＝ax －x 在R 上为减函数，则( )
A ．a≤0 B．a ＜1 C．a ＜0 D．a≤1 【答案】A 【解析】
试题分析：当a =0时, f (x ) =-x 在R 上为减函数, 成立;
当a ≠0时, f (x ) 的导函数为f '(x ) =3ax 2-1, 根据题意可知,
f '(x ) =3ax 2-1≤0在R 上恒成立, 所以a
综上可知a ≤0.
考点：导数法判断函数的单调性; 二次函数恒成立. 8
） A ．e -1 B．e C．e 2 D
【答案】A 【解析】
00, x >e 时，y '
9．函数f (x ) =2x -3x +a 的极大值为6，那么a 的值是（ ）
A ．5 B．0 C．6 D．1 【答案】C 【解析】
322
试题分析：∵函数f （x ）=2x-3x +a，导数f ′（x ）=6x-6x ，令f ′（x ）=0，可得 x=0 或 x=1，导数在 x=0 的左侧大于0，右侧小于0，故f （0）为极大值．f （0）=a=6．导数在 x=1 的左侧小于0，右侧大于0，故f （1）为极小值．故选：C ．
考点：函数在某点取得极值的条件． 10．已知函数f(x) =mln x+8x−x2在[1, +∞) 上单调递减，则实数m的取值范围为（ ） A. (−∞, −8] B. (−∞, −8) C. (−∞, −6] D. (−∞, −6)
【答案】A 【解析】
解析：因f/(x) =x+8−2x(x>0) ，故由题设可得x+8−2x≤0，即m≤2x2−8x，令
m
m
3
2
(x) =2x2−8x，则当x=2时， min (x) =2×4−8×2=−8，所以m≤−8，故应选答
案A 。
11．曲线y=2x2−x在点(0, 0) 处的切线方程为（ ） A. x+y+2=0 B. x−y+2=0 C. x−y=0 D. x+y=0
【答案】D 【解析】
因为y′=4x−1，所以y′|x=0=4x−1=−1，所以有点斜式可知，曲线y=2x2−x在点(0, 0) 处的切线方程为y=−x，即x+y=0 ，故选D. 12．函数f(x) =2x−ln x的单调递减区间为（ ） A. (−∞, 2) B. (0, 2 C. (2, +∞) D. (0, +∞) 【答案】B
【解析】因为函数f(x) =2x−ln x的定义域为(0, +∞) , 所以f′(x) =2−, 令f′(x)
x1
1
1
1
x
点晴：本题考查的是求函数的单调区间问题. 解决本题的思路是先求原函数f(x) =2x−ln x的导函数f′(x) =2−，再令f′(x)
2
1
1
11
忽略本题中f(x) =2x−ln x的定义域是(0, +∞) ，所以最终f(x) 的单调递减区间是(0, 2.
13．选修4-4：坐标系与参数方程
1
在平面直角坐标系xOy 中，C
1为参数）
，在以坐标原t
2
点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，C 2的极坐标方程ρ-2ρcos θ-3=0． （Ⅰ）说明C 2是哪种曲线，并将C 2的方程化为普通方程； （Ⅱ）C 1与C 2有两个公共点A , B ，顶点P
点P 到A , B 两点的距离之积．
2
x -1+y =
4()C 【答案】（Ⅰ）2是圆，2
AB 的长及定
【解析】
222
x =ρcos θ, y =ρsin θ, x +y =ρ试题分析：（Ⅰ）利用将极坐标方程化为直角坐
标方程：
(x -1)
2
+y 2=4
（Ⅱ）利用直线参数方程几何意义得
将直线参数方程代入圆方
程，利用韦达定理求解可得结果
2
C C ρ-2ρcos θ-3=0， 22试题解析：（Ⅰ）是圆，的极坐标方程
化为普通方程：x +y
22
-2x -3=0即：(x -1)
C 1上，
2
+y 2=4
．
（Ⅱ）的极坐标平面直角坐标为在直线
C
将122
t 为参数）代入x +y -2x -3=0中得：
t 1, t 2，
所以AB
定点P 到A , B 考点：直线参数方程几何意义，极坐标方程化为直角坐标方程
14．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x -y +4=0，曲线
C 的参数方程为
α为参数）． （1）已知在极坐标系（与直角坐标系
xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以
x 轴正半轴为极轴）中，点P P 与曲线C 的位置关系；
（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
【答案】（1）P
在曲线C 内；（2【解析】
C 试题分析：（1）可将直角坐标P (1,1)
代入曲线C 内；（2）
设点Q 的坐标) 从而点Q 到直线
l 的距离为d
，
⇒cos(α+ϕ) =-1时，d
试题解析：（1
P (1,1)，
P
P 在曲线C 内． 曲线C
（2）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q
从而点Q 到直线l
，
由此得cos(α+ϕ) =-1时，d 考点：坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线
C 的普通方程F (x , y ) =0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
15．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，l 的参数方程为⎨
⎧x =1+t cos α⎩y =t sin α
（t 为参数）. 以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcos
2
θ-4sin θ=
0.
l 经过点M 且与曲线C 相交于（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点P (1,0). 若点M
A , B 两点，设线段AB 的中点为Q .
【答案】(1)l :y =tan α(x -1
); 线C 的直角坐标方程为x =4y
2
【解析】 试题分析：（1）直线l 的参数方程中的参数为t ，所以消t 得到直线的普通方程；根据
ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，极坐标方程两边同时乘以ρ，化简为曲线C 的普通方程；
（2）根据直线l 过点M , 可知直线的倾斜角，代入直线的参数方程，得到l :
C 的极坐标方程，转化为关于的一元二次方程，根据的几
t t ⎧x =1+t cos α
（t 为参数），
⎩y =t sin α
试题解析：（1）∵直线l 的参数方程为⎨
∴直线l 的普通方程为y =tan α ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 (x -1)．由ρcos
2
θ-4sin θ=0，得ρ2cos 2θ-4ρsin θ=0，即x 2-4y =0，
2
∴曲线C 的直角坐标方程为x =4y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）∵点M
．．．．．．．．．．．．．．5分 M 的直角坐标为(0,1)．
∴tan α=-1，直线l
为参数）
∴直线l
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 t
代入x =
4y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 设A , B 两点对应的参数为t 1, t 2． ∵Q 为线段AB 的中点，
2
∴点Q
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 又点P
(1,0)考点：1. 极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的互化；2. 参数方程的应用.
【方法点睛】本题重点考察了直线参数方程几何意义的应用，直线的参数方程
⎧x =x 0+t cos α
（t 为参数），代入圆锥曲线的直角坐标方程，得到关于t 的二次方程，
⎨
y =y +t sin α0⎩
P 的距
P (x 0, y 0).
16．选修4-4
：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长
度．已知直线l t 为参数），曲线C 的极坐标方程是ρcos 2θ=2sin θ．
（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l
与曲线C 相交于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，点P 的极坐标为
|PM |的值．
2
x -y +3=0x 【答案】（Ⅰ），=2y （Ⅱ）3
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据加减消元法，将直线参数方程化为普通方程x -y +3=0，根据
x =ρcos θ, y =ρsin θ将极坐标方程化为直角坐标方程x 2=2y （Ⅱ）联立直线方程
与抛物线方程，利用韦达定理得到M (1,4)，又点P 的直角坐标为
(1,1)，所以根据两点间距离公式得|PM |的值．
t 为参数）试题解析：（1，消去参数t 得直线l
的普通方程为x -y +3=0．
222
ρcos θ=2sin θρcos θ=2ρsin θ． C 由曲线的极坐标方程，得2
x C 所以曲线的直角坐标方程为=2y ．
⎧y =x +3,
⎨2
x =2y , 得x 2-2x -6=0，
（2）由⎩
设
A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则AB
因为
x 1+x 2=2，所以M (1,4) ，
又点P 的直角坐标为(1,1)，
考点：直线参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程 17．选修4-4：坐标系与参数方程
⎧x =3+3cos α在平面直角坐标系中，曲线C 1:⎨（α
y =2sin α⎩的曲线为C 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C 2的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C
3C 3与曲线C 2相交于P ，Q 两
【答案】（Ⅰ）ρ=2cos θ；
【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先根据函数图象的伸缩变换规律求得C 2的参数方程，然后去掉参数化为直角坐标方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可；（Ⅱ）首先化曲线C 3的极坐标方程为直角坐标方程，然后点到直线的距离公式及弦长公式求解即可． ⎧x '=1+cos α
试题解析：（Ⅰ）由题意得曲线C 2的参数方程为⎨（α为参数），
'y =sin α⎩
则曲线C 2的直角坐标方程为(x '-1)+y '2=1， 所以曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cos θ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线C 2是以(1,0)为圆心，半径为1的圆， 而曲线C
3 曲线C 2的圆心(1,0)到直线C
3
2
考点：1、参数方程与极坐标方程之间的互化；2、直线与圆的位置关系．
18．已知函数f(x) =x2ln x，若关于x的不等式f(x) −kx+1≥0恒成立，则实数k的取值范围是__________． 【答案】(−∞, 1] 【解析】
∵函数f(x) =x2ln x的定义域为{x|x>0}，
f(x) −kx+1≥0恒成立, 即x2ln x−kx+1≥0等价于k≤xln x+x
令g(x) =xln x+g′(x) =ln x+1−
x
x
1
1
1
令r(x) =ln x+1−x，则r′(x) =x+x>0在(0, +∞) 上恒成立， ∴g′(x) =ln x+1−在(0, +∞) 上单调递增，g′(1) =0
x1
112
故当0
当x>1时，g′(x) >0，函数g(x) 单调递增，则gmin (x) =g(1) =1， 故k≤gmin (x) =g(1) =1，故答案为(−∞, 1].
点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为a> (x) 或a max (x) 或a
max (x) 或 min (x) 即得解；在该题中最大的难点是运用二次求导来求函数g(x) =xln x+x
的最小值.
19．函数f(x) =exln x在点(1, f(1)) 处的切线方程是__________． 【答案】y=e(x−1) 【解析】
∵f(x) =exln x，∴f(0) =0, ∴f′（x）=e⋅lnx
x
ex
+x，切线的斜率k=
1
f′(1) =e，
所求切线的方程为：y=e(x−1) ，故答案为y=e(x−1) . 20．设函数f(x) =x3−3x+1, x∈[−2, 2]的最大值为M，最小值为m，则M+m=__________． 【答案】2 【解析】
f′(x) =3x2−3=3(x+1)(x−1) ，令f′(x) =0，解得：x=−1或x=1 ，当x∈[−2, −1]时，f′(x) >0 ，函数单调递增，当x∈(−1, 1) 时，f′(x) 0，函数单调递增，所以经计算f(−2) =−8+6+1=−1 ，f(−1) =−1+3+1=3，f(1) =1−3+1=−1，f(2) =8−6+1=3 ，所以函数的最大值是3，最小值是-1，则M+m=2.
【点睛】三次函数利用导数求解最值是我们必须熟练掌握的基础问题，三次函数求导后变为二次函数，若含参就需讨论二次项系数以及Δ ，若还给了定义域，那就需考查极值点与定义域的关系，有几个极值点在定义域内，这样讨论起来才会有条理.
21
f ' (1)=__________. 【答案】e 【解析】
试题分析：由题意得，令x =0，得f (0)=
e =10
f '(x )=e x -1+x ，令x =1，得f '(1)=e 1-1+1=e .
考点：导数的运算.
导数 极坐标复习 04.23
1．若曲线A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2
【答案】A 【解析】求导得∵ 曲线
在点
，依题意
，
在点
处的切线平行于x 轴，则k= ( )
处的切线平行于x 轴，
∴k+1=0，即k=－1．
2．过点(1, -1) 且与曲线y =x 3-2x 相切的直线方程为（ ） A ． x -y -2=0或5x +4y -1=0 B．x -y -2=0 C ．x -y -2=0或4x +5y +1=0 D．x -y +2=0 【答案】A 【解析】
试题分析：设切点为(x 0, x 03-2x 0) ，因为y '=3x -2，所以切线的斜率为
2
k =y '|x =x 0=3x 02-2，所以切线方程为y -(x 03-2x 0) =(3x 02-2)(x -x 0) ，又因为切
线过点(1,-1) ，所以-1-(x 03-2x 0) =(3x 02-2)(1-x 0) 即2x 03-3x 02+1=0，注意到
(1,-1) 是在曲线y =x 3-2x 上的，故方程2x 03-3x 02+1=0必有一根x 0=1，代入符
合
要
求
，
进
一
步
整
理
可
得
2(x 03-1) -3(x 02-1) =0
即
22(x 0-1)(x 02+x 0+1) -3(x 0-1)(x 0+1) =0，也就是(x 0-1) (x 21=) 即
00-x 0-
考点：导数的几何意义.
3．下列求导运算正确的是（ ） A 2x x
C ．(3) '=3⋅log 3e D．(x cos x ) '=-2sin x
2
2
B ．（x cosx ）′=-2xsinx-xsinx ，∴B 错误．
x x
C ．（3）′=3ln3
，∴C 错误． 故选：D ．.
考点：导数的运算．.
4．已知函数f (x ) 的导数为f '(x ) ，且满足关系式f (x ) =x 2+3xf '(2)+ln x ，则f '
(2) 的值等于（ ）
A ．
-2 B．2 C【答案】C ． 【解析】
2
试题分析：因为f (x )
=x +3xf '(2)+ln x
C ． 考点：导数的概念及其计算．
5．函数f (x ) =(x -3) e x 的单调递增区间是 （ ）
A ．(-∞,2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2, +∞) 【答案】D
【解析】
x x x
试题分析：f '(x )=e +(x -3)e =(x -2)e >0, 解得x >2, 故选D ．
考点：利用导数求函数的单调区间
6．设函数y =f
(x )
的图像如左图，则导函数y =f '(x ) 的图像可能是下图中的（）
试题分析：由y =f (x ) 图象知，函数先增，再减，再增，对应的导数值，应该是先大于零，再小于零，最后大于0. 故选D. 考点：导数与函数的单调性.
3
7．函数f(x)＝ax －x 在R 上为减函数，则( )
A ．a≤0 B．a ＜1 C．a ＜0 D．a≤1 【答案】A 【解析】
试题分析：当a =0时, f (x ) =-x 在R 上为减函数, 成立;
当a ≠0时, f (x ) 的导函数为f '(x ) =3ax 2-1, 根据题意可知,
f '(x ) =3ax 2-1≤0在R 上恒成立, 所以a
综上可知a ≤0.
考点：导数法判断函数的单调性; 二次函数恒成立. 8
） A ．e -1 B．e C．e 2 D
【答案】A 【解析】
00, x >e 时，y '
9．函数f (x ) =2x -3x +a 的极大值为6，那么a 的值是（ ）
A ．5 B．0 C．6 D．1 【答案】C 【解析】
322
试题分析：∵函数f （x ）=2x-3x +a，导数f ′（x ）=6x-6x ，令f ′（x ）=0，可得 x=0 或 x=1，导数在 x=0 的左侧大于0，右侧小于0，故f （0）为极大值．f （0）=a=6．导数在 x=1 的左侧小于0，右侧大于0，故f （1）为极小值．故选：C ．
考点：函数在某点取得极值的条件． 10．已知函数f(x) =mln x+8x−x2在[1, +∞) 上单调递减，则实数m的取值范围为（ ） A. (−∞, −8] B. (−∞, −8) C. (−∞, −6] D. (−∞, −6)
【答案】A 【解析】
解析：因f/(x) =x+8−2x(x>0) ，故由题设可得x+8−2x≤0，即m≤2x2−8x，令
m
m
3
2
(x) =2x2−8x，则当x=2时， min (x) =2×4−8×2=−8，所以m≤−8，故应选答
案A 。
11．曲线y=2x2−x在点(0, 0) 处的切线方程为（ ） A. x+y+2=0 B. x−y+2=0 C. x−y=0 D. x+y=0
【答案】D 【解析】
因为y′=4x−1，所以y′|x=0=4x−1=−1，所以有点斜式可知，曲线y=2x2−x在点(0, 0) 处的切线方程为y=−x，即x+y=0 ，故选D. 12．函数f(x) =2x−ln x的单调递减区间为（ ） A. (−∞, 2) B. (0, 2 C. (2, +∞) D. (0, +∞) 【答案】B
【解析】因为函数f(x) =2x−ln x的定义域为(0, +∞) , 所以f′(x) =2−, 令f′(x)
x1
1
1
1
x
点晴：本题考查的是求函数的单调区间问题. 解决本题的思路是先求原函数f(x) =2x−ln x的导函数f′(x) =2−，再令f′(x)
2
1
1
11
忽略本题中f(x) =2x−ln x的定义域是(0, +∞) ，所以最终f(x) 的单调递减区间是(0, 2.
13．选修4-4：坐标系与参数方程
1
在平面直角坐标系xOy 中，C
1为参数）
，在以坐标原t
2
点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，C 2的极坐标方程ρ-2ρcos θ-3=0． （Ⅰ）说明C 2是哪种曲线，并将C 2的方程化为普通方程； （Ⅱ）C 1与C 2有两个公共点A , B ，顶点P
点P 到A , B 两点的距离之积．
2
x -1+y =
4()C 【答案】（Ⅰ）2是圆，2
AB 的长及定
【解析】
222
x =ρcos θ, y =ρsin θ, x +y =ρ试题分析：（Ⅰ）利用将极坐标方程化为直角坐
标方程：
(x -1)
2
+y 2=4
（Ⅱ）利用直线参数方程几何意义得
将直线参数方程代入圆方
程，利用韦达定理求解可得结果
2
C C ρ-2ρcos θ-3=0， 22试题解析：（Ⅰ）是圆，的极坐标方程
化为普通方程：x +y
22
-2x -3=0即：(x -1)
C 1上，
2
+y 2=4
．
（Ⅱ）的极坐标平面直角坐标为在直线
C
将122
t 为参数）代入x +y -2x -3=0中得：
t 1, t 2，
所以AB
定点P 到A , B 考点：直线参数方程几何意义，极坐标方程化为直角坐标方程
14．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x -y +4=0，曲线
C 的参数方程为
α为参数）． （1）已知在极坐标系（与直角坐标系
xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以
x 轴正半轴为极轴）中，点P P 与曲线C 的位置关系；
（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
【答案】（1）P
在曲线C 内；（2【解析】
C 试题分析：（1）可将直角坐标P (1,1)
代入曲线C 内；（2）
设点Q 的坐标) 从而点Q 到直线
l 的距离为d
，
⇒cos(α+ϕ) =-1时，d
试题解析：（1
P (1,1)，
P
P 在曲线C 内． 曲线C
（2）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q
从而点Q 到直线l
，
由此得cos(α+ϕ) =-1时，d 考点：坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线
C 的普通方程F (x , y ) =0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
15．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，l 的参数方程为⎨
⎧x =1+t cos α⎩y =t sin α
（t 为参数）. 以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcos
2
θ-4sin θ=
0.
l 经过点M 且与曲线C 相交于（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点P (1,0). 若点M
A , B 两点，设线段AB 的中点为Q .
【答案】(1)l :y =tan α(x -1
); 线C 的直角坐标方程为x =4y
2
【解析】 试题分析：（1）直线l 的参数方程中的参数为t ，所以消t 得到直线的普通方程；根据
ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，极坐标方程两边同时乘以ρ，化简为曲线C 的普通方程；
（2）根据直线l 过点M , 可知直线的倾斜角，代入直线的参数方程，得到l :
C 的极坐标方程，转化为关于的一元二次方程，根据的几
t t ⎧x =1+t cos α
（t 为参数），
⎩y =t sin α
试题解析：（1）∵直线l 的参数方程为⎨
∴直线l 的普通方程为y =tan α ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 (x -1)．由ρcos
2
θ-4sin θ=0，得ρ2cos 2θ-4ρsin θ=0，即x 2-4y =0，
2
∴曲线C 的直角坐标方程为x =4y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）∵点M
．．．．．．．．．．．．．．5分 M 的直角坐标为(0,1)．
∴tan α=-1，直线l
为参数）
∴直线l
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 t
代入x =
4y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 设A , B 两点对应的参数为t 1, t 2． ∵Q 为线段AB 的中点，
2
∴点Q
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 又点P
(1,0)考点：1. 极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的互化；2. 参数方程的应用.
【方法点睛】本题重点考察了直线参数方程几何意义的应用，直线的参数方程
⎧x =x 0+t cos α
（t 为参数），代入圆锥曲线的直角坐标方程，得到关于t 的二次方程，
⎨
y =y +t sin α0⎩
P 的距
P (x 0, y 0).
16．选修4-4
：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长
度．已知直线l t 为参数），曲线C 的极坐标方程是ρcos 2θ=2sin θ．
（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l
与曲线C 相交于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，点P 的极坐标为
|PM |的值．
2
x -y +3=0x 【答案】（Ⅰ），=2y （Ⅱ）3
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据加减消元法，将直线参数方程化为普通方程x -y +3=0，根据
x =ρcos θ, y =ρsin θ将极坐标方程化为直角坐标方程x 2=2y （Ⅱ）联立直线方程
与抛物线方程，利用韦达定理得到M (1,4)，又点P 的直角坐标为
(1,1)，所以根据两点间距离公式得|PM |的值．
t 为参数）试题解析：（1，消去参数t 得直线l
的普通方程为x -y +3=0．
222
ρcos θ=2sin θρcos θ=2ρsin θ． C 由曲线的极坐标方程，得2
x C 所以曲线的直角坐标方程为=2y ．
⎧y =x +3,
⎨2
x =2y , 得x 2-2x -6=0，
（2）由⎩
设
A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则AB
因为
x 1+x 2=2，所以M (1,4) ，
又点P 的直角坐标为(1,1)，
考点：直线参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程 17．选修4-4：坐标系与参数方程
⎧x =3+3cos α在平面直角坐标系中，曲线C 1:⎨（α
y =2sin α⎩的曲线为C 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C 2的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C
3C 3与曲线C 2相交于P ，Q 两
【答案】（Ⅰ）ρ=2cos θ；
【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先根据函数图象的伸缩变换规律求得C 2的参数方程，然后去掉参数化为直角坐标方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可；（Ⅱ）首先化曲线C 3的极坐标方程为直角坐标方程，然后点到直线的距离公式及弦长公式求解即可． ⎧x '=1+cos α
试题解析：（Ⅰ）由题意得曲线C 2的参数方程为⎨（α为参数），
'y =sin α⎩
则曲线C 2的直角坐标方程为(x '-1)+y '2=1， 所以曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cos θ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线C 2是以(1,0)为圆心，半径为1的圆， 而曲线C
3 曲线C 2的圆心(1,0)到直线C
3
2
考点：1、参数方程与极坐标方程之间的互化；2、直线与圆的位置关系．
18．已知函数f(x) =x2ln x，若关于x的不等式f(x) −kx+1≥0恒成立，则实数k的取值范围是__________． 【答案】(−∞, 1] 【解析】
∵函数f(x) =x2ln x的定义域为{x|x>0}，
f(x) −kx+1≥0恒成立, 即x2ln x−kx+1≥0等价于k≤xln x+x
令g(x) =xln x+g′(x) =ln x+1−
x
x
1
1
1
令r(x) =ln x+1−x，则r′(x) =x+x>0在(0, +∞) 上恒成立， ∴g′(x) =ln x+1−在(0, +∞) 上单调递增，g′(1) =0
x1
112
故当0
当x>1时，g′(x) >0，函数g(x) 单调递增，则gmin (x) =g(1) =1， 故k≤gmin (x) =g(1) =1，故答案为(−∞, 1].
点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为a> (x) 或a max (x) 或a
max (x) 或 min (x) 即得解；在该题中最大的难点是运用二次求导来求函数g(x) =xln x+x
的最小值.
19．函数f(x) =exln x在点(1, f(1)) 处的切线方程是__________． 【答案】y=e(x−1) 【解析】
∵f(x) =exln x，∴f(0) =0, ∴f′（x）=e⋅lnx
x
ex
+x，切线的斜率k=
1
f′(1) =e，
所求切线的方程为：y=e(x−1) ，故答案为y=e(x−1) . 20．设函数f(x) =x3−3x+1, x∈[−2, 2]的最大值为M，最小值为m，则M+m=__________． 【答案】2 【解析】
f′(x) =3x2−3=3(x+1)(x−1) ，令f′(x) =0，解得：x=−1或x=1 ，当x∈[−2, −1]时，f′(x) >0 ，函数单调递增，当x∈(−1, 1) 时，f′(x) 0，函数单调递增，所以经计算f(−2) =−8+6+1=−1 ，f(−1) =−1+3+1=3，f(1) =1−3+1=−1，f(2) =8−6+1=3 ，所以函数的最大值是3，最小值是-1，则M+m=2.
【点睛】三次函数利用导数求解最值是我们必须熟练掌握的基础问题，三次函数求导后变为二次函数，若含参就需讨论二次项系数以及Δ ，若还给了定义域，那就需考查极值点与定义域的关系，有几个极值点在定义域内，这样讨论起来才会有条理.
21
f ' (1)=__________. 【答案】e 【解析】
试题分析：由题意得，令x =0，得f (0)=
e =10
f '(x )=e x -1+x ，令x =1，得f '(1)=e 1-1+1=e .
考点：导数的运算.