一、利用“轴对称”添加辅助线，构造全等图形。 知识基础：认识、理解常见的轴对称及其相关性质。 应用链接：（1）当没有对称轴时，作对称轴； （2）当有对称轴时，利用对称轴进行翻折； （3）利用轴对称作图，求线段的最值问题。 精讲精练：
例题1、如图，已知：在∆ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120︒，P 为BC 边的中点，PD ⊥AC . 求证：CD =
3AD .
针对性练习：1、如图，已知：在等边三角形ABC 中，D 为AB 中点，DE ⊥BC 于E . 求证：BC =
4BE .
2、如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取点E ，使CD =CE ，过E 点作EF ⊥AC 交AD 于F. 求证：AE =EF =DF .
例题2．如图，AD 是∆ABC 中∠BAC 的平分线，且AB >AC . 求证：BC >DC .
例题3．如图所示，P 是∠BAC 平分线AD 上一点，P 与A 不重合，AC >AB . 求证：PC -PB
针对性练习：
1．如图，在∆ABC 中，已知∠C =90︒，AC =BC ，AD 是角平分线. 求证：AB =AC +DC .
2、已知：如图△ABC中∠A=2∠B、CD 平分∠ACB。求证：BC=AC+AD
A
D
43
2B
E
C
3．已知：如图，BC >AB ，BD 平分∠ABC ，且AD =DC . 求证：∠A
+∠C =180︒.
例题5．如图，已知：在∆ABC 中，∠B =2∠C ，AD 为BC 边上的高. 求证：CD =AB +BD .
∠ABC =3∠C ，例题6、如图，已知：在∆ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD
于E . 求证：BE =
1
(AC -AB ) 2
针对性练习：
1．如图，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，作DE //AB 交AC 于E . 求证：AE =CE .
2．如图，已知：在∆ABC 中，∠BAC =90︒，∠ABC =∠ACB . ∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，从点C 向BD 的延长线作垂线CE ，垂足为E . 求证：BD =2CE .
3、如图，已知：AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∠AMB =75︒，∠DMC =45︒，AM =DM . 求证：AB =BC .
例题7．在图（a ）中，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连结P 1P 2交
OA 于M ，交OB 于N ，若P 1P 2=5cm ，则∆PMN 的周长为多少？
例题8．如图，E 、F 是∆ABC 的边AB 、AC 上的点，在BC 上求一点M ，使∆EMF 的周长最小.
针对性练习：
1．已知：直线MN ，同侧两点A 、B （如图）
求作：点P ，使P 在MN 上，并且AP +BP 最小.
2．有一条小河（如图所示），两岸有A 、B 两地，要设计道路并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A 、B 间路线怎样走，桥应架在何处，才能使A 到B 的距离最短.
二、利用“旋转”或“中心对称”
例题1、如图，AD ∥BC ，AB=AD+BC E 为CD 的中点， 求证：AE 平分∠BAD.
例题2、如图，已知M 是Rt △ABC 斜边上的中点，P 、Q 分别在AB 、AC 上，且PM ⊥QM ，求证：PQ =BP +CQ
2
2
2
Q
P
B
例题3．已知：如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，BF 平分∠CBE 交CD 于F. 求证：BE =CF +AE .
针对性练习：
1．如图，已知：在边长为a 的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，若有△BEF 的周长为2a ，. 求：∠EDF 的度数.
2、如图Rt △ABC 中，四边形CDEF 是正方形，则图中阴影部分的面积是 。
A
D
C
3、如图，△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC，斜边AC 上有D 、E 两点，且∠DBE=45，试判断AD 、DE 、EC 三边之间的数量关系，并说明理由。
A
E
B
一、利用“轴对称”添加辅助线，构造全等图形。 知识基础：认识、理解常见的轴对称及其相关性质。 应用链接：（1）当没有对称轴时，作对称轴； （2）当有对称轴时，利用对称轴进行翻折； （3）利用轴对称作图，求线段的最值问题。 精讲精练：
例题1、如图，已知：在∆ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120︒，P 为BC 边的中点，PD ⊥AC . 求证：CD =
3AD .
针对性练习：1、如图，已知：在等边三角形ABC 中，D 为AB 中点，DE ⊥BC 于E . 求证：BC =
4BE .
2、如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取点E ，使CD =CE ，过E 点作EF ⊥AC 交AD 于F. 求证：AE =EF =DF .
例题2．如图，AD 是∆ABC 中∠BAC 的平分线，且AB >AC . 求证：BC >DC .
例题3．如图所示，P 是∠BAC 平分线AD 上一点，P 与A 不重合，AC >AB . 求证：PC -PB
针对性练习：
1．如图，在∆ABC 中，已知∠C =90︒，AC =BC ，AD 是角平分线. 求证：AB =AC +DC .
2、已知：如图△ABC中∠A=2∠B、CD 平分∠ACB。求证：BC=AC+AD
A
D
43
2B
E
C
3．已知：如图，BC >AB ，BD 平分∠ABC ，且AD =DC . 求证：∠A
+∠C =180︒.
例题5．如图，已知：在∆ABC 中，∠B =2∠C ，AD 为BC 边上的高. 求证：CD =AB +BD .
∠ABC =3∠C ，例题6、如图，已知：在∆ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD
于E . 求证：BE =
1
(AC -AB ) 2
针对性练习：
1．如图，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，作DE //AB 交AC 于E . 求证：AE =CE .
2．如图，已知：在∆ABC 中，∠BAC =90︒，∠ABC =∠ACB . ∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，从点C 向BD 的延长线作垂线CE ，垂足为E . 求证：BD =2CE .
3、如图，已知：AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∠AMB =75︒，∠DMC =45︒，AM =DM . 求证：AB =BC .
例题7．在图（a ）中，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连结P 1P 2交
OA 于M ，交OB 于N ，若P 1P 2=5cm ，则∆PMN 的周长为多少？
例题8．如图，E 、F 是∆ABC 的边AB 、AC 上的点，在BC 上求一点M ，使∆EMF 的周长最小.
针对性练习：
1．已知：直线MN ，同侧两点A 、B （如图）
求作：点P ，使P 在MN 上，并且AP +BP 最小.
2．有一条小河（如图所示），两岸有A 、B 两地，要设计道路并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A 、B 间路线怎样走，桥应架在何处，才能使A 到B 的距离最短.
二、利用“旋转”或“中心对称”
例题1、如图，AD ∥BC ，AB=AD+BC E 为CD 的中点， 求证：AE 平分∠BAD.
例题2、如图，已知M 是Rt △ABC 斜边上的中点，P 、Q 分别在AB 、AC 上，且PM ⊥QM ，求证：PQ =BP +CQ
2
2
2
Q
P
B
例题3．已知：如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，BF 平分∠CBE 交CD 于F. 求证：BE =CF +AE .
针对性练习：
1．如图，已知：在边长为a 的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，若有△BEF 的周长为2a ，. 求：∠EDF 的度数.
2、如图Rt △ABC 中，四边形CDEF 是正方形，则图中阴影部分的面积是 。
A
D
C
3、如图，△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC，斜边AC 上有D 、E 两点，且∠DBE=45，试判断AD 、DE 、EC 三边之间的数量关系，并说明理由。
A
E
B