作者：范学富
中学教研（数学） 2002年08期
优化课堂教学设计，提高课堂教学效果是广大中学教师关注的一个焦点，并已开展了一系列的研究，取得了丰硕的成果，但对数学课堂教学设计的原则论及较少。本文就此问题谈一点自己的看法。
1 对教学内容进行重新设计的意义
在课堂教学设计中，怎样组织教学内容，并以怎样的形式呈现给学生，这是教学设计的重要问题。既然教材已呈现了教学内容，那么为什么教师需要对教学内容重新进行设计呢？原因有下列几点：
（1）从本质意义上说， 教材来源于编者与他心目中假想的那些学生的对话，编者致力于在他原有的知识框架上，按知识的逻辑结构给他生长新知识，但无论编者如何高明，他无法满足现实生活中每个学生的需要、哪怕是学生的小集体——班级的需要。因此，编者和学习者之间存在着这一种普遍的矛盾。
（2）教材是一静止的知识库， 与学生接受知识的动态过程不相符合。
（3）现有的教材是对现有数学知识的高度简约化的概括与模写， 很少、甚至没有叙述那些定理和规律的发现和探索过程，使教材成了一本无人活动的科学记录本。
很显然，在教学素材的设计中，除了要利用好教材这一知识载体外，教师这种活的知识载体应与教材互为补充，融为一体，体现在课堂教学的设计中，就是教师通过研究学生的实际情况，对教材所呈现的教学内容进行重新编排、裁剪、充实、活化教学内容，使教学素材既符合本身的逻辑结构，又符合学生的认知规律，达到教学素材处理上的优化。可以这样说，如果教材的知识体系是人体的骨架，那么血和肉是需要教师给它补上去的，只有这样才能成为一个生动的人。为此，对教学素材的设计，提出如下3个方面的要求：
2 教学内容设计的基本原则
2.1 形象、直观原则
人们对事物的认识多是从直观到抽象，从感性到理性，中学生的数学学习过程更是如此。现代信息论告诉我们，大脑在接受信息时，具体概念较一般概念要容易学得多。高中阶段的数学概念和定理要从直观、具体的事例中抽象概括出来，这样容易使学生体会到概念和规律获得的过程，使知识信息的学习成为实质上的意义学习。信息加工论又告诉我们，学习过程中既有形象编码。又有抽象编码的双重编码要明显优于只有抽象编码的单一编码，因此，数学课堂教学应该向学生提供足够的感性材料。另一方面现行教材由于篇幅等的限制有些内容缺乏感性的铺垫，不太符合学生认知发展的先后顺序，所以从直观、感性的角度入手进行教学设计，不但能使学生更好地掌握知识，又能培养学生发现问题、解决问题的能力。由于数学的高度抽象性，有些问题学生凭脑子很难理解，如果在教学设计中使之直观、形象化，就可以起到事半功倍的作用。
例如，求不等式交集的问题，对于学生来说抽象难学，一个有效的方法是，通过幻灯片或课件的演示将抽象问题直观化。
问题 已知函数f（x）的定义域为[0，1]，g（x）＝f（x＋a ）＋f（x－a），求函数g（x）的定义域。
分析 由题意知
由于a的任意性，暂时无法确定两区间的端点的值谁大， 需要讨论，但如何讨论较抽象，学生不易得到结果，故可制作两张幻灯片，通过幻灯片的演示，需如何讨论就一清二楚了。
当1＋a＜－a，即a＜－1/2时，A∩B＝Φ。
综上可知：（1）－1/2≤a＜0时，g（x）的定义域为[－a，1 ＋a]；
（2）0≤a≤－1/2时，g（x）的定义域为[a，1－a]；
（3）a＜－1/2或a＞1/2时，g（x）的定义域为空集。
2.2 循序渐进原则
现代信息论的研究告诉我们，如果新获取的知识信息能纳入学生的熟悉的系统中，那么将对信息的接收起很大的帮助作用。由于目前的高中数学教材知识的结构化程度较高，又由于篇幅的限制，所以在知识的阐述与联系上有较大的跨度。因此教师必须对教学素材进行重新组织与完善，以学生原有的知识水平为起点，根据知识的逻辑顺序和学生的心理顺序，循序渐进、环环相扣，使新授知识与学生已有知识之间、新授知识前后之间均能产生实质意义的联系，以便于知识的迁移。
在解析几何的教学中，为了更好地体现积极的探究精神，培养学生的创新能力，就可由课本中的“条件完备，结论确定”的习题，循序渐进，多角度地编制一些开放题，让学生进行探讨。例如：
（1）减弱题目的条件，可使结论更加丰富。
考察椭圆定义：平面内与两个定点F[,1]，F[,2]的距离的和等于常数2a（2a＞│F[,1]F[,2]│）的点的轨迹叫做椭圆。
如果去掉2a＞│F[,1]F[,2]│这个条件，轨迹又是什么？
（2）隐去条件，保留结论，再让学生探索结论。
满足什么条件的轨迹直角坐标方程为x[2]/49＋y[2]/24＝1。 学生就可多方面探索：
①椭圆第一定义：到两定点F[,1]（－5，0），F[,2]（5，0）距离之和为常数14的点的轨迹。
②椭圆第二定义：到定点F[,1]（－5，0）与定直线x＝25/7 距离之比为常数5/7的轨迹。
③由椭圆几何性质等也可探求。
（3）隐去命题结论，可使结论多样化。
例如，过抛物体x[2]＝2py的焦点F的一条直线和这抛物线交于两点A，B，则可得出什么结论？
①x[,A]·x[,B]＝p[2]；
②A，B两点纵坐标之积为常数；
③A，F，B三点纵坐标成等比数列。
通过这样一系列的循序渐进教学设计，一可以加深学生对这一章内容的认识，二可以培养学生的能力，三可以促进其它知识的学习。
2.3 条理化、结构化原则
教学过程是一个信息的传授和反馈过程，某一知识的信息量不仅取决于这个知识信息的本身，而且还取决于信息传递的形式。因此在教学素材的设计中，教师的整理是必不可少的，教师通过对教学内容的整理，使之条理化、结构化，可有效地减少同一知识内容的信息量，以达到减轻学生的用脑负担。其效果可有下图简单加以说明：
图1－1方框中的线段杂乱无章，看图的人需要较长的时间才能数出框内共有32条线段；图1－2方框中的线段作了整理，看图的人可以较迅速地数出线段，共2排，每排16根，总共32根； 而如果我们对这些线段作出进一步的整理，使每排线段4条一组，这样整理后， 看图的人就能迅速地把方框如图1－3中的线段数出来。学习数学知识虽不是机械地数线段，但经过整理后的知识信息确实可以变得清晰而明了，易为学生们接受。
图1－1
图1－2
图1－3
例如，立体几何中求作二面角的平面角。教科书中只给出了二面角的平面角的定义，并未给出具体作法，其作法散落在课本中的例题、练习、习题中。要充分引导学生通过对课本中例题、练习题的研究、归纳总结出二面角的平面角的三大作法：（1）定义法；（2）垂面法； （3）三垂线定理（或逆定理）法。特别是三垂线定理（或逆定理）法，由于其变化多，学生掌握起来难度大，因而更要研究透彻。为此，可通过制作模块的方法，加深对其的理解和掌握：
有等底边BD的两个△ABD与△CBD组成的二面角，只需过A 作另一个三角形所在的平面的垂线，垂足为O，过O作OE⊥BD于E，连AE， 则：∠AEO是二面角的平面角，这可以看成一个模块，有时为了更实用， 也可把图形旋转90°。制作了这样的一个模块之后，碰到问题只需在图形中先去找出以这个二面角的棱为公共边的两个三角形，就可依此法作出二面角的平面角（如图2，3）
图2
图3
作者介绍：范学富，浙江金华市第八中学
作者：范学富
中学教研（数学） 2002年08期
优化课堂教学设计，提高课堂教学效果是广大中学教师关注的一个焦点，并已开展了一系列的研究，取得了丰硕的成果，但对数学课堂教学设计的原则论及较少。本文就此问题谈一点自己的看法。
1 对教学内容进行重新设计的意义
在课堂教学设计中，怎样组织教学内容，并以怎样的形式呈现给学生，这是教学设计的重要问题。既然教材已呈现了教学内容，那么为什么教师需要对教学内容重新进行设计呢？原因有下列几点：
（1）从本质意义上说， 教材来源于编者与他心目中假想的那些学生的对话，编者致力于在他原有的知识框架上，按知识的逻辑结构给他生长新知识，但无论编者如何高明，他无法满足现实生活中每个学生的需要、哪怕是学生的小集体——班级的需要。因此，编者和学习者之间存在着这一种普遍的矛盾。
（2）教材是一静止的知识库， 与学生接受知识的动态过程不相符合。
（3）现有的教材是对现有数学知识的高度简约化的概括与模写， 很少、甚至没有叙述那些定理和规律的发现和探索过程，使教材成了一本无人活动的科学记录本。
很显然，在教学素材的设计中，除了要利用好教材这一知识载体外，教师这种活的知识载体应与教材互为补充，融为一体，体现在课堂教学的设计中，就是教师通过研究学生的实际情况，对教材所呈现的教学内容进行重新编排、裁剪、充实、活化教学内容，使教学素材既符合本身的逻辑结构，又符合学生的认知规律，达到教学素材处理上的优化。可以这样说，如果教材的知识体系是人体的骨架，那么血和肉是需要教师给它补上去的，只有这样才能成为一个生动的人。为此，对教学素材的设计，提出如下3个方面的要求：
2 教学内容设计的基本原则
2.1 形象、直观原则
人们对事物的认识多是从直观到抽象，从感性到理性，中学生的数学学习过程更是如此。现代信息论告诉我们，大脑在接受信息时，具体概念较一般概念要容易学得多。高中阶段的数学概念和定理要从直观、具体的事例中抽象概括出来，这样容易使学生体会到概念和规律获得的过程，使知识信息的学习成为实质上的意义学习。信息加工论又告诉我们，学习过程中既有形象编码。又有抽象编码的双重编码要明显优于只有抽象编码的单一编码，因此，数学课堂教学应该向学生提供足够的感性材料。另一方面现行教材由于篇幅等的限制有些内容缺乏感性的铺垫，不太符合学生认知发展的先后顺序，所以从直观、感性的角度入手进行教学设计，不但能使学生更好地掌握知识，又能培养学生发现问题、解决问题的能力。由于数学的高度抽象性，有些问题学生凭脑子很难理解，如果在教学设计中使之直观、形象化，就可以起到事半功倍的作用。
例如，求不等式交集的问题，对于学生来说抽象难学，一个有效的方法是，通过幻灯片或课件的演示将抽象问题直观化。
问题 已知函数f（x）的定义域为[0，1]，g（x）＝f（x＋a ）＋f（x－a），求函数g（x）的定义域。
分析 由题意知
由于a的任意性，暂时无法确定两区间的端点的值谁大， 需要讨论，但如何讨论较抽象，学生不易得到结果，故可制作两张幻灯片，通过幻灯片的演示，需如何讨论就一清二楚了。
当1＋a＜－a，即a＜－1/2时，A∩B＝Φ。
综上可知：（1）－1/2≤a＜0时，g（x）的定义域为[－a，1 ＋a]；
（2）0≤a≤－1/2时，g（x）的定义域为[a，1－a]；
（3）a＜－1/2或a＞1/2时，g（x）的定义域为空集。
2.2 循序渐进原则
现代信息论的研究告诉我们，如果新获取的知识信息能纳入学生的熟悉的系统中，那么将对信息的接收起很大的帮助作用。由于目前的高中数学教材知识的结构化程度较高，又由于篇幅的限制，所以在知识的阐述与联系上有较大的跨度。因此教师必须对教学素材进行重新组织与完善，以学生原有的知识水平为起点，根据知识的逻辑顺序和学生的心理顺序，循序渐进、环环相扣，使新授知识与学生已有知识之间、新授知识前后之间均能产生实质意义的联系，以便于知识的迁移。
在解析几何的教学中，为了更好地体现积极的探究精神，培养学生的创新能力，就可由课本中的“条件完备，结论确定”的习题，循序渐进，多角度地编制一些开放题，让学生进行探讨。例如：
（1）减弱题目的条件，可使结论更加丰富。
考察椭圆定义：平面内与两个定点F[,1]，F[,2]的距离的和等于常数2a（2a＞│F[,1]F[,2]│）的点的轨迹叫做椭圆。
如果去掉2a＞│F[,1]F[,2]│这个条件，轨迹又是什么？
（2）隐去条件，保留结论，再让学生探索结论。
满足什么条件的轨迹直角坐标方程为x[2]/49＋y[2]/24＝1。 学生就可多方面探索：
①椭圆第一定义：到两定点F[,1]（－5，0），F[,2]（5，0）距离之和为常数14的点的轨迹。
②椭圆第二定义：到定点F[,1]（－5，0）与定直线x＝25/7 距离之比为常数5/7的轨迹。
③由椭圆几何性质等也可探求。
（3）隐去命题结论，可使结论多样化。
例如，过抛物体x[2]＝2py的焦点F的一条直线和这抛物线交于两点A，B，则可得出什么结论？
①x[,A]·x[,B]＝p[2]；
②A，B两点纵坐标之积为常数；
③A，F，B三点纵坐标成等比数列。
通过这样一系列的循序渐进教学设计，一可以加深学生对这一章内容的认识，二可以培养学生的能力，三可以促进其它知识的学习。
2.3 条理化、结构化原则
教学过程是一个信息的传授和反馈过程，某一知识的信息量不仅取决于这个知识信息的本身，而且还取决于信息传递的形式。因此在教学素材的设计中，教师的整理是必不可少的，教师通过对教学内容的整理，使之条理化、结构化，可有效地减少同一知识内容的信息量，以达到减轻学生的用脑负担。其效果可有下图简单加以说明：
图1－1方框中的线段杂乱无章，看图的人需要较长的时间才能数出框内共有32条线段；图1－2方框中的线段作了整理，看图的人可以较迅速地数出线段，共2排，每排16根，总共32根； 而如果我们对这些线段作出进一步的整理，使每排线段4条一组，这样整理后， 看图的人就能迅速地把方框如图1－3中的线段数出来。学习数学知识虽不是机械地数线段，但经过整理后的知识信息确实可以变得清晰而明了，易为学生们接受。
图1－1
图1－2
图1－3
例如，立体几何中求作二面角的平面角。教科书中只给出了二面角的平面角的定义，并未给出具体作法，其作法散落在课本中的例题、练习、习题中。要充分引导学生通过对课本中例题、练习题的研究、归纳总结出二面角的平面角的三大作法：（1）定义法；（2）垂面法； （3）三垂线定理（或逆定理）法。特别是三垂线定理（或逆定理）法，由于其变化多，学生掌握起来难度大，因而更要研究透彻。为此，可通过制作模块的方法，加深对其的理解和掌握：
有等底边BD的两个△ABD与△CBD组成的二面角，只需过A 作另一个三角形所在的平面的垂线，垂足为O，过O作OE⊥BD于E，连AE， 则：∠AEO是二面角的平面角，这可以看成一个模块，有时为了更实用， 也可把图形旋转90°。制作了这样的一个模块之后，碰到问题只需在图形中先去找出以这个二面角的棱为公共边的两个三角形，就可依此法作出二面角的平面角（如图2，3）
图2
图3
作者介绍：范学富，浙江金华市第八中学