均值不等式应用
1. 求下列函数的值域:
（1）y ＝3x 2＋12x （2）y ＝x ＋1
x
2. 已知x
4，求函数y =4x -2+14x -5
的最大值。
3. 当时，求y =x (8-2x ) 的最大值。
4. 求y =
x 2+7x +10
x +1
(x >-1) 的值域。
25.
求函数y =
的值域。
6．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
（1）y =x 2+3x +1
x
,(x >0) （2）y =2x +1x -3, x >3
y =2sin x +1sin x , x ∈(0,π) 7．已知0
1，求函数y =的最大值. ；
8．0
2
3
，求函数y =.
9. 若实数满足a +b =2，则3a +3b
的最小值是
10. 若log =2，求11
4x +log 4y x +y
的最小值. 并求x,y 的值
11. 已知x >0, y >0，且19
x +y
=1，求x +y 的最小值。
12. （1）若x , y ∈R +
且2x +
y =1，求1+1的最小值
x
y
(2)已知a , b , x , y ∈R +
且a +b =1，求x
+y x y
的最小值
(3)
13. 已知x ，y 为正实数，且x 2
y 2
2
＝1，求x 1＋y 的最大值.
14. 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1
ab 的最小值.
15. 已知a >0，b >0，ab －(a ＋b ) ＝1，求a ＋b 的最小值。
16. 若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
17. 已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W 3x 2y 的最值.
18.
求函数y =1
) 的最大值。
2
19. 设0
3
2
，求函数y =4x (3-2x ) 的最大值。
20．已知a , b , c 为两两不相等的实数，求证：a
2
+b 2+c 2>ab +bc +ca
21. 正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c ) ≥8abc
22. 已知a 、b 、c ∈R +
，且a +b +c =1。求证： ⎛1⎝a -1⎫⎛⎪1⎭⎝b -1⎫⎛⎪1⎭⎝c -1⎫⎪⎭
≥8
23. 已知x >0, y >0且1x +9
y
=1，求使不等式x +y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围。
24. 若a >b >1, P =
lg a ⋅lg b , Q =
12(lga +lg b ), R =lg(a +b 2
) ，则P , Q , R 的大小关系是
均值不等式应用
1. 求下列函数的值域:
（1）y ＝3x 2＋12x （2）y ＝x ＋1
x
2. 已知x
4，求函数y =4x -2+14x -5
的最大值。
3. 当时，求y =x (8-2x ) 的最大值。
4. 求y =
x 2+7x +10
x +1
(x >-1) 的值域。
25.
求函数y =
的值域。
6．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
（1）y =x 2+3x +1
x
,(x >0) （2）y =2x +1x -3, x >3
y =2sin x +1sin x , x ∈(0,π) 7．已知0
1，求函数y =的最大值. ；
8．0
2
3
，求函数y =.
9. 若实数满足a +b =2，则3a +3b
的最小值是
10. 若log =2，求11
4x +log 4y x +y
的最小值. 并求x,y 的值
11. 已知x >0, y >0，且19
x +y
=1，求x +y 的最小值。
12. （1）若x , y ∈R +
且2x +
y =1，求1+1的最小值
x
y
(2)已知a , b , x , y ∈R +
且a +b =1，求x
+y x y
的最小值
(3)
13. 已知x ，y 为正实数，且x 2
y 2
2
＝1，求x 1＋y 的最大值.
14. 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1
ab 的最小值.
15. 已知a >0，b >0，ab －(a ＋b ) ＝1，求a ＋b 的最小值。
16. 若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
17. 已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W 3x 2y 的最值.
18.
求函数y =1
) 的最大值。
2
19. 设0
3
2
，求函数y =4x (3-2x ) 的最大值。
20．已知a , b , c 为两两不相等的实数，求证：a
2
+b 2+c 2>ab +bc +ca
21. 正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c ) ≥8abc
22. 已知a 、b 、c ∈R +
，且a +b +c =1。求证： ⎛1⎝a -1⎫⎛⎪1⎭⎝b -1⎫⎛⎪1⎭⎝c -1⎫⎪⎭
≥8
23. 已知x >0, y >0且1x +9
y
=1，求使不等式x +y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围。
24. 若a >b >1, P =
lg a ⋅lg b , Q =
12(lga +lg b ), R =lg(a +b 2
) ，则P , Q , R 的大小关系是