幻方的N种构造方法
说起幻方，许多人见惯不怪了。最简单的莫过于三阶幻方或者说四阶幻方，三阶幻方是由1到9这9个数填进3×3的九宫图中，使每行，每列和对角线的三个数之和相等（3阶，幻和为15）。三阶幻方最早起源于我国，古代人们将三阶幻方称之为“河图”和“洛书”我国宋代数学家杨辉称之为“纵横图”。
好了，其他的不多说了，让我们直奔主题吧。 第一种：推理法①
1～9个数填入九宫图，容易推出幻和为15，而用1～9个数有以下的算式组合。 1+5+9=15 2+5+8=15 3+5+7=15 4+5+6=15 2+6+7=15 2+5+8=15 2+4+9=15 4+3+8=15 8+1+6=15
观察上面9条算式容易知道，5出现了4次，1、3、7、9出现了2次，2、4、6、8出现了3次。再回来想想九宫格的位置特性，中间的格
一定要满足4条算式（中间行，中间列，2对角线）成立，故中间应该填的是5；
四个角的格也要各满足3条算式成立，故四个角的格应该填的是2、4、6、8。
（其实不用下面步骤都可以构造出来了，因为幻和为15，可以推算出。）同理，1、3、7、9应该填在前行前列的中间。这样的话，就很容易构造出3阶幻方。
所以得出的3阶幻方如下：
第二种：推理法③
和第四种方法基本相似吧，但是更简单。前提条件：已知幻和=15，中间是5。分析：三个数构成幻和为15的等式，这三个数必定是“3个奇数”或者“2个偶数和一个奇数”。
假设①位置为奇数，则⑨位置也为奇数。可是，填下一个奇数时，都会推算出产生剩下的数都是奇数的情况。例如：
当②为奇数时，⑧为奇数，③为奇数，⑥为奇数，⑦为奇数，④为奇数。 当③为奇数时，②为奇数，⑦为奇数，⑧为奇数，⑥为奇数，④为奇数。 所以，①位置不能填奇数，只能填偶数。 第三种：楼梯法
在第一行的中间填上1.，然后依次在“右上角”填上2（下一个数），再在2的“右上角”（相对的）填上3，依次类推。当遇到“右上角”已经有数的时候，就填在原地的下一个格，再运用楼梯法继续填，知道填到最后一个数。
由于3的右上角已经有数了，所以4要填在3的下一个格。
再填5在4的右上角，就这样以此类推。
就这样就完成了。还有，这种方法适用于所有的奇数幻方。
下面是三宫格、五宫格、七宫格、九宫格图.
三宫格（和15） 五宫格（和65）
九宫格（和369）
偶数阶幻方的一种制作方法－双偶阶、单偶阶幻方
1. 双偶阶幻方（对称交换法）
n为偶数，且能被4整除 (n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)
先说明一个定义。互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即 n×n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：
这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。 这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。
对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方
。
2. 单偶阶幻方（斯特雷奇Ralph Strachey法）
n为偶数，且不能被4整除 (n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……)
这是三种里面最复杂的幻方。 以n=10为例，10＝4×2＋2，这时k=2
（1） 把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。
（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)， 将B象限标出的这些数，和
D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。
下面是6阶幻方的填法：6＝4×1＋2，这时k＝1
看起来很麻烦，其实掌握了方法就很简单了。
变形法
将1~9数依顺序填入下框；
2和6对调，4和6对调；
将2、4、6、8向四个角外移。
这样就快速完成3阶幻方了。
第四种：推理法②
前提条件：已知幻和=15，中间是5。分析：三个数构成幻和为15的等式，这三个数必定是“3个奇数”或者“2个偶数和一个奇数”。
我们知道5在中间，假设①位置填的是奇数，则⑨位置也是奇数。现在在这个条件下来确定⑦的位置的数的奇偶性：
当⑦为奇数时，则会出现③、④、⑧甚至②、⑥位置均为奇数，这与除5外的奇数只有4个矛盾。
当⑦为偶数时，则④、⑧、②、⑥甚至③也为偶数，这与只有4个偶数矛盾。
所以①位置不能填奇数，只能填偶数。（其实不单是①位置，由于刚才的假设是随机性的，即①位置也可能是③、⑦、⑨的四个角的方格位置。所以就很容易算出剩下的步骤。
第五种：
第六种：方程法
直接在九宫格构造方程，用字母a、b、c就可以设定。构成的3阶幻方的幻和为3a。
由于各个算式得数范围只能在1～9之间。则令a=5，由于a+b和a-b算式得数范围在1～9，故b取值只能是：1、2、3、4。 当b=1时，对于第一行，a+b=6；a-b+c=4+c；a-c=5-c
以此为条件，c只能取3或4。因为取1和2时有数重复。 当c=3时，推出的结果成立。
当c=4时，①：对于第一行，a+b=6；a-b+c=8；a-c=1，推出后面的结果不成立。②：对于a-b-c=0，a+b+c=10也不满足。
所以，a=5，b=1，c=3成立。
第七种：负数法
由“化零幻方”可以推出三阶幻方。
当然，肯定还另外有一些方法，掌握了这些方法不但培养我们对幻方的兴趣，还会对我们以后深入研究高阶幻方打好基础，即使，以上的方法有些是很简单的，但是，可不要忽视它的重要思想！
这仅仅只是开始。
摘自：童真白马的博客分类——幻方世界
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幻方的N种构造方法
说起幻方，许多人见惯不怪了。最简单的莫过于三阶幻方或者说四阶幻方，三阶幻方是由1到9这9个数填进3×3的九宫图中，使每行，每列和对角线的三个数之和相等（3阶，幻和为15）。三阶幻方最早起源于我国，古代人们将三阶幻方称之为“河图”和“洛书”我国宋代数学家杨辉称之为“纵横图”。
好了，其他的不多说了，让我们直奔主题吧。 第一种：推理法①
1～9个数填入九宫图，容易推出幻和为15，而用1～9个数有以下的算式组合。 1+5+9=15 2+5+8=15 3+5+7=15 4+5+6=15 2+6+7=15 2+5+8=15 2+4+9=15 4+3+8=15 8+1+6=15
观察上面9条算式容易知道，5出现了4次，1、3、7、9出现了2次，2、4、6、8出现了3次。再回来想想九宫格的位置特性，中间的格
一定要满足4条算式（中间行，中间列，2对角线）成立，故中间应该填的是5；
四个角的格也要各满足3条算式成立，故四个角的格应该填的是2、4、6、8。
（其实不用下面步骤都可以构造出来了，因为幻和为15，可以推算出。）同理，1、3、7、9应该填在前行前列的中间。这样的话，就很容易构造出3阶幻方。
所以得出的3阶幻方如下：
第二种：推理法③
和第四种方法基本相似吧，但是更简单。前提条件：已知幻和=15，中间是5。分析：三个数构成幻和为15的等式，这三个数必定是“3个奇数”或者“2个偶数和一个奇数”。
假设①位置为奇数，则⑨位置也为奇数。可是，填下一个奇数时，都会推算出产生剩下的数都是奇数的情况。例如：
当②为奇数时，⑧为奇数，③为奇数，⑥为奇数，⑦为奇数，④为奇数。 当③为奇数时，②为奇数，⑦为奇数，⑧为奇数，⑥为奇数，④为奇数。 所以，①位置不能填奇数，只能填偶数。 第三种：楼梯法
在第一行的中间填上1.，然后依次在“右上角”填上2（下一个数），再在2的“右上角”（相对的）填上3，依次类推。当遇到“右上角”已经有数的时候，就填在原地的下一个格，再运用楼梯法继续填，知道填到最后一个数。
由于3的右上角已经有数了，所以4要填在3的下一个格。
再填5在4的右上角，就这样以此类推。
就这样就完成了。还有，这种方法适用于所有的奇数幻方。
下面是三宫格、五宫格、七宫格、九宫格图.
三宫格（和15） 五宫格（和65）
九宫格（和369）
偶数阶幻方的一种制作方法－双偶阶、单偶阶幻方
1. 双偶阶幻方（对称交换法）
n为偶数，且能被4整除 (n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)
先说明一个定义。互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即 n×n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：
这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。 这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。
对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方
。
2. 单偶阶幻方（斯特雷奇Ralph Strachey法）
n为偶数，且不能被4整除 (n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……)
这是三种里面最复杂的幻方。 以n=10为例，10＝4×2＋2，这时k=2
（1） 把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。
（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)， 将B象限标出的这些数，和
D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。
下面是6阶幻方的填法：6＝4×1＋2，这时k＝1
看起来很麻烦，其实掌握了方法就很简单了。
变形法
将1~9数依顺序填入下框；
2和6对调，4和6对调；
将2、4、6、8向四个角外移。
这样就快速完成3阶幻方了。
第四种：推理法②
前提条件：已知幻和=15，中间是5。分析：三个数构成幻和为15的等式，这三个数必定是“3个奇数”或者“2个偶数和一个奇数”。
我们知道5在中间，假设①位置填的是奇数，则⑨位置也是奇数。现在在这个条件下来确定⑦的位置的数的奇偶性：
当⑦为奇数时，则会出现③、④、⑧甚至②、⑥位置均为奇数，这与除5外的奇数只有4个矛盾。
当⑦为偶数时，则④、⑧、②、⑥甚至③也为偶数，这与只有4个偶数矛盾。
所以①位置不能填奇数，只能填偶数。（其实不单是①位置，由于刚才的假设是随机性的，即①位置也可能是③、⑦、⑨的四个角的方格位置。所以就很容易算出剩下的步骤。
第五种：
第六种：方程法
直接在九宫格构造方程，用字母a、b、c就可以设定。构成的3阶幻方的幻和为3a。
由于各个算式得数范围只能在1～9之间。则令a=5，由于a+b和a-b算式得数范围在1～9，故b取值只能是：1、2、3、4。 当b=1时，对于第一行，a+b=6；a-b+c=4+c；a-c=5-c
以此为条件，c只能取3或4。因为取1和2时有数重复。 当c=3时，推出的结果成立。
当c=4时，①：对于第一行，a+b=6；a-b+c=8；a-c=1，推出后面的结果不成立。②：对于a-b-c=0，a+b+c=10也不满足。
所以，a=5，b=1，c=3成立。
第七种：负数法
由“化零幻方”可以推出三阶幻方。
当然，肯定还另外有一些方法，掌握了这些方法不但培养我们对幻方的兴趣，还会对我们以后深入研究高阶幻方打好基础，即使，以上的方法有些是很简单的，但是，可不要忽视它的重要思想！
这仅仅只是开始。
摘自：童真白马的博客分类——幻方世界
》》欢迎光临《《