课 题：
2.3双曲线的简单几何性质
教学目的：
1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质2．掌握标准方程中a , b , c 3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的教学重点：教学难点：授课类型：新授课课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
二、讲解新课： 1．范围、对称性
x 2y 2
由标准方程2-2=1可得x 2≥a 2，当x ≥a 时，y 才有实数值；
a b
对于y 的任何值，x 这说明从横的方向来看，直线
x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封
2．顶点
顶点：A 1(a , 0), A 2(-a , 0) 特殊点：B 1(0, b ), B 2(0, -b )
实轴：A 1A 2长为2a, a叫做 虚轴：B 1B 2长为2b ，b 叫做
x 2y 2
讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程2-2=1中，
a b
令y=0得x =±a ，故它与
x 轴有两个交点
A 1(a , 0), A 2(-a , 0)，且x
x 2y 2
轴为双曲线2-2=1
a b
的对称轴，所以
A 1(a , 0), A 2(-a , 0)与其对
称轴的交点) ，而对称轴上位于两顶点间的线段A 1A 2叫做双曲线
x 2y 2
-2=1的实轴长，它的长是2a. 2a b
x 2y 2
在方程2-2=1中令x=0得y 2=-b 2，这个方程没有实数根，
a b
说明双曲线和Y 轴没有交点。但Y 轴上的两个特殊点B 1(0, b ), B 2(0, -b )， 把线段B 1B 2叫做双曲线
的虚轴，它的长是 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异3．渐近线
x 2y 2
过双曲线2-2=1的两顶点A 1, A 2，作Y 轴的平行线x =±a ，经
a b
过B 1, B 2作X 轴的平行线y =±b 矩形的两
条对角线所在直线方程是y =±
b x y
，这两条直线就是双x （±=0）
a a b
x 2y 2b x y
分析：要证明直线y =±x （±=0）是双曲线2-2=1的渐
a b a a b
近线，即要证明随着X 也即要证曲
线上的点到直线的距离｜MQ ｜越来越短，因此把问题转化为计算｜MQ 但因｜MQ ｜不好直接求得，因此又把问题转化为求｜MN 最
b b
|MQ |
a a b
＝(x -x 2-a 2) a
=
ab x +x -a
2
2
−−→0（|MQ |−x →∞
4．离心率
概念：双曲线的焦距与实轴长的比e =范围：e >1
双曲线形状与e 的关系：
b k ==
a
c 2-a 2
=a
c 2
-1=e 2-1， 2a
2c c
=，叫做双曲线的2a a
因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口
(1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； (2)渐近线的位置(倾斜) 利用计算机动画先演示出“e 的大小”与“开口的阔窄”的关系，能让学生对此变化规律先形成直观理解；然后再用代数方法边板书边推导，这样就可化难为易， 这 三、讲解范例： 2
x y 2
-=1的实轴长、 例1：求双曲线虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、43
离心率、渐近线方程。
解:由题意可得 a=4
实轴长:
虚轴长: 焦点坐标: 顶点坐标: 离心率: 渐近线方程:
b =c =2a=4
2b =((-2,0)，(2,0)
c e ==
a 2
y =
变式：求双曲线 9x 2-16y 2=144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、定点坐标、离心率、渐近线方程。
解: 把方程化为标准方程得, c 5
可得:实半轴长: a=4 e =2c : =
43 2 4= 5虚半轴长: b=3半焦距 +
y 2x 2
-2=1423
焦点坐标: (0,-5),(0,5) 离心率:
x 2y 2x 2y 2
重回例1：将双曲线方程4-3
=1
4-3=-1。 求改后双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐进线方程。 四、课堂练习：
1．（2013年高考陕西卷（文））双曲线x 216-y 2
9
=1的离心率为________.
2. 双曲线
mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=________. 3．双曲线 x 2- y 2= 1 的渐近线方程为（ ）
9A . y = ± 243x B. y = ± 439 x C. y = ± 2 x D. y = ±
9
4
x 22
4．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知双曲线C :
x a 2-y
b
2=1(a >0, b >0) 的离
则C 的渐近线方程为 A ．y =±
1x B ．y =±
143
x C ．y =±
12
x D ．y =±x
．（2013年高考湖南（文））设F 是双曲线C, x 2y 2
51,F 2a 2-b
2=1 (a>0,b>0)的两个焦
点. 若在C 上存在一点P. 使PF 1⊥PF 2, 且∠PF 1F 2=30°, 则C 的离心率为
___________.
6. 求下列双曲线的范围、焦点、顶点、离心率
（1）x 2-8y 2=32 （2）x 2-y 2=-4
（3）
x 2y 2
49-25
=-1 ※课堂小结：双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线． ※ 课后作业
（
x 2y 2
1．双曲线-． =1实轴和虚轴长分别是（ ）
168
A ．8
、 B ．8
、
C ．4
、 D ．4
、2．曲线x 2-y 2=-4的顶点坐标是（ ）． A ．(0,±1) B ．(0,±2) C ．(±1,0) D ．（±02,
）
x 2y 23双曲线-． =1的离心率为（ ）
48
A ．1 B
C
D ．2
4．双曲线x 2-4y 2=1的渐近线方程是． 5．经过点A (3, ，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程-1)
是 ．
x 2y 25
6．求与椭圆+=1有公共焦点，且离心率e =的双曲线的方程．
49244
六、课后作业：七、板书设计
课 题：
2.3双曲线的简单几何性质
教学目的：
1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质2．掌握标准方程中a , b , c 3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的教学重点：教学难点：授课类型：新授课课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
二、讲解新课： 1．范围、对称性
x 2y 2
由标准方程2-2=1可得x 2≥a 2，当x ≥a 时，y 才有实数值；
a b
对于y 的任何值，x 这说明从横的方向来看，直线
x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封
2．顶点
顶点：A 1(a , 0), A 2(-a , 0) 特殊点：B 1(0, b ), B 2(0, -b )
实轴：A 1A 2长为2a, a叫做 虚轴：B 1B 2长为2b ，b 叫做
x 2y 2
讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程2-2=1中，
a b
令y=0得x =±a ，故它与
x 轴有两个交点
A 1(a , 0), A 2(-a , 0)，且x
x 2y 2
轴为双曲线2-2=1
a b
的对称轴，所以
A 1(a , 0), A 2(-a , 0)与其对
称轴的交点) ，而对称轴上位于两顶点间的线段A 1A 2叫做双曲线
x 2y 2
-2=1的实轴长，它的长是2a. 2a b
x 2y 2
在方程2-2=1中令x=0得y 2=-b 2，这个方程没有实数根，
a b
说明双曲线和Y 轴没有交点。但Y 轴上的两个特殊点B 1(0, b ), B 2(0, -b )， 把线段B 1B 2叫做双曲线
的虚轴，它的长是 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异3．渐近线
x 2y 2
过双曲线2-2=1的两顶点A 1, A 2，作Y 轴的平行线x =±a ，经
a b
过B 1, B 2作X 轴的平行线y =±b 矩形的两
条对角线所在直线方程是y =±
b x y
，这两条直线就是双x （±=0）
a a b
x 2y 2b x y
分析：要证明直线y =±x （±=0）是双曲线2-2=1的渐
a b a a b
近线，即要证明随着X 也即要证曲
线上的点到直线的距离｜MQ ｜越来越短，因此把问题转化为计算｜MQ 但因｜MQ ｜不好直接求得，因此又把问题转化为求｜MN 最
b b
|MQ |
a a b
＝(x -x 2-a 2) a
=
ab x +x -a
2
2
−−→0（|MQ |−x →∞
4．离心率
概念：双曲线的焦距与实轴长的比e =范围：e >1
双曲线形状与e 的关系：
b k ==
a
c 2-a 2
=a
c 2
-1=e 2-1， 2a
2c c
=，叫做双曲线的2a a
因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口
(1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； (2)渐近线的位置(倾斜) 利用计算机动画先演示出“e 的大小”与“开口的阔窄”的关系，能让学生对此变化规律先形成直观理解；然后再用代数方法边板书边推导，这样就可化难为易， 这 三、讲解范例： 2
x y 2
-=1的实轴长、 例1：求双曲线虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、43
离心率、渐近线方程。
解:由题意可得 a=4
实轴长:
虚轴长: 焦点坐标: 顶点坐标: 离心率: 渐近线方程:
b =c =2a=4
2b =((-2,0)，(2,0)
c e ==
a 2
y =
变式：求双曲线 9x 2-16y 2=144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、定点坐标、离心率、渐近线方程。
解: 把方程化为标准方程得, c 5
可得:实半轴长: a=4 e =2c : =
43 2 4= 5虚半轴长: b=3半焦距 +
y 2x 2
-2=1423
焦点坐标: (0,-5),(0,5) 离心率:
x 2y 2x 2y 2
重回例1：将双曲线方程4-3
=1
4-3=-1。 求改后双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐进线方程。 四、课堂练习：
1．（2013年高考陕西卷（文））双曲线x 216-y 2
9
=1的离心率为________.
2. 双曲线
mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=________. 3．双曲线 x 2- y 2= 1 的渐近线方程为（ ）
9A . y = ± 243x B. y = ± 439 x C. y = ± 2 x D. y = ±
9
4
x 22
4．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知双曲线C :
x a 2-y
b
2=1(a >0, b >0) 的离
则C 的渐近线方程为 A ．y =±
1x B ．y =±
143
x C ．y =±
12
x D ．y =±x
．（2013年高考湖南（文））设F 是双曲线C, x 2y 2
51,F 2a 2-b
2=1 (a>0,b>0)的两个焦
点. 若在C 上存在一点P. 使PF 1⊥PF 2, 且∠PF 1F 2=30°, 则C 的离心率为
___________.
6. 求下列双曲线的范围、焦点、顶点、离心率
（1）x 2-8y 2=32 （2）x 2-y 2=-4
（3）
x 2y 2
49-25
=-1 ※课堂小结：双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线． ※ 课后作业
（
x 2y 2
1．双曲线-． =1实轴和虚轴长分别是（ ）
168
A ．8
、 B ．8
、
C ．4
、 D ．4
、2．曲线x 2-y 2=-4的顶点坐标是（ ）． A ．(0,±1) B ．(0,±2) C ．(±1,0) D ．（±02,
）
x 2y 23双曲线-． =1的离心率为（ ）
48
A ．1 B
C
D ．2
4．双曲线x 2-4y 2=1的渐近线方程是． 5．经过点A (3, ，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程-1)
是 ．
x 2y 25
6．求与椭圆+=1有公共焦点，且离心率e =的双曲线的方程．
49244
六、课后作业：七、板书设计