相似三角形精华中考题

相似三角形的概念和性质

【考试目标导引】 ★知识结构

★重点、热点

确定线段的比、比例中项，用平行线分线段成比例定理进行有关计算和证明，用相似三角形的 性质定理解证一类简单的问题. ★目标要求

1.理解线段的比，成比例线段的概念，掌握比例的三个性质.

2.会用平行线分线段成比例定理证明和计算，会分线段成比例.

3.理解相似比的概念和相似三角形的性质. 【命题趋势分析】

例1.（1）（2001湖南邵阳）已知ab4，那么a_____.

b

7

（图6.5-1）

（2）（2002北京西城区）如图6.5-1，△ABC中，DE∥BC，如果AD=1，DB=2 ，那么， DE的值是_______.

b

BC

（3）（2001年北京密云县）如果两个相似的三角形对应边的比为3：4，那么，它们对应高的 比是______________. （4）（2001年广东梅州）已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中其中一个数是其 余两个数的比例中项，第三个数是_____（只需写一个）.

【特色】以上几道题都是按目标要求设计的，着眼于对性质和定理的理解. 【解答】（1）由合比性质或基本性质都可得a11;

b

7

（2）由平行线分线段成比例定理的推论可直接得DE1;

BC

3

（3）依据相似三角形的性质，对应高的比为3：4;

（4）设第三个数为x

由x2=4×8 可知 x=±42 由42=8·x 可知 x=2 由82=4·x 可知 x=16

故第三个数可为42、-42、2、16.

【拓展】求线段的比例中项只能取正值，而数的比例中项应取两个值. 例2.（2001山西省）（1）阅读下列材料，补全证明过程：

已知：如图6.5-2，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交OC

于点F，作FG⊥BC于G.

求证：点G是线段BC的三等分点. 在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC OE1

∴OE∥DC ∴ 

DC

2

FDDC2ED3(图6.5-2)

（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求：保留画图痕迹，不写 画法及证明过程）

【特色】此题设计较新颖，立意于考查学生阅读理解、归纳小结及创新思维能力. 【解答】补充证明：

∵FG⊥BC DC⊥BC ∴FG∥BC

∴

EF

OE

1

∴

EF



1

∴

FGDC



EFED



13

FGABCGBC

13

∵AB=DC ∴又∵FG∥AB ∴

13

FGAB

【拓展】可以通过此种方法得到将线段任意等分的一种新的方法.

例3.（2001河北）在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O ， 某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：

（1）当（2）当

（3）当

E

B C D

(图6.5-3)

AEACAEACAEAC

12

14

111112

1

时，有

AOADAOAD



2324

25

2212

（如图6.5-3） （如图6.5-4） （如图6.5-5）

E C B

AOAD

13

时，有

22

2

13

时，有

AOAD

23

A (图6.5-6)

的一般结论，

E F C

C

B

B

D (图6.5-4)



11n

D

(图6.5-5)

在图6.5-6中，当

AEAC

时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示

并给出证明（其中n是正整数）.

【特色】此题的设计意在通过特例进行归纳、猜想、证明来展示学生探究思维的能力. 【解答】依据题意可猜想：当

AEAC



11n

时，有

AOAD



22n

成立

证明：过点D作DF∥BE交AC于点F ∵D是BC的中点 ∴F是EC的中点 由

AEAC



11n

时，可知

AEEC



1n

∴ ∴ ∴

AEEFAEAFAOAD



2n

2

2nAEAF



22n

【拓展】引平行线证明比例线段的实质是构造基本图形，本题添加辅助线的方法有多种.选点作辅助线的方法是：选已知（或求证）中比在同一直线上的点作为引平行线的点，引平行线时，尽量使．较多的已知或求证的线段成比例. 【中考动向前瞻】

本节的概念、性质、定理较多，且都是研究相似形的理论基础，在中考试卷中有一定的比重，常以选择题、填空题的题型出现，着重基础.平行成分线段成比例定理在综合题中体现较多，常以探究性、开放性的题型出现. 【中考佳题自测】

1.（2002上海）如图6.5-7,△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AD=8， DB=6，EC=9，那么2.（2002常州）如图6.5-8,△ABC中，EF∥BC，交AB、AC于E、F，AE:EB=3:2，则 3.（2002湖北黄冈市）如图6.5-9，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC

相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可证明

1AB



1CD



1EF

成立（不要求考生证明）.

若将上图中的垂直改为斜交，如图6.5-10，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过点E作EF ∥AB，交BD于点F，则

1AB



1CD



1EF

还成立吗？如果成立，请给出证明；

B

F

(图6.5-10)

F

C B （图6.5-8） （图6.5-7）

【中考新题演练】

1.若x:y=6:5，则下列等式中不正确的是（ ）. A.

xyy

115

如果不成立，请说明理由.

(图6.5-9)

D

B.

xyy



15

C.

xxy

6

D.

yyx

5

2.如果两地相距250km，那么在比例尺为1:10000000cm. 3.如图6.5-11，△ABC中，DE∥BC交D、AC于E，下列各式不能成立的是（ ）

A、

ADDB

AEEC

B、

ABAD



ACAE

C、

ACAB



CEBD

D、

ADDB



DEBC

E

（图4.同一时刻，某一同学的身高是1.5米，影长是1米，一旗杆的影长是8米，则旗杆 6.5-11）

的高度是（ ）.

A.12米 B.11米 C.10米 D.9米

5.设实数a、b、c满足|a-2b|+3bc,则6.如图6.5-12，DE∥AB，EF∥BC，AF=5cm，FB=3cm，CD=2cm，求BD的长. D （图6.5-12）

7.如图6.5-13，△ABC中，AC=BC，F是AB边上一点， D，连结AD并延长交BC于E.（1）求

BEEC

BFAF

mn

（m,n>0）取CF的中点

的值；（2）如果BE=2CE，那么CF所在直线

与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论；（3）E能否为BC中点？如果能，求出相应的

mn

的值;如果不能，证明你的结论. D

（图6.5-13）

8.如图6.5-14，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别在AB、CD上，且EF∥BC，EF分别 交BD、AC于M、N. （1）求证ME=NF

（2）当EF向上平移到图6.5-15各个位置，其它条件不变时（1）的结论是否还成立，证明 你的判断.

NM

C （图6.5-14） （图6.5-15）

【参考答案】 【中考佳题自测】 1.∵DF∥BC ∴

ADDB

AEEC

即

86

=

AE9

AE=12;

2.∵EF∥BC ∴AF:FC=AE:EB=3:2; 3.成立.∵AB∥EF ∴ ∵CF∥EF ∴ ∴ ∴

EFAB1AB

EFCD1CD

EFAB

DFDB

DBDB

1

EFCDDFDB1EF



BFDBBFDB

.

【中考新题演练】 1.D (∵x=

65

y代入

yyx

x

=-5);



110000000

2.设图上相距xcm则

25000000

，x=2.5cm;

3.D

4.设旗杆高为h米，则

h81.51

∴h=12米，故选A;

5.由已知得：a-2b=0 3b-c=0 得：a=2b c=3b ∴a:b:c=2b:b:3b=2:1:3; 6.易证：EF=BD ∵EF∥BC ∴ ∴

58

BDBD2CGAFBECE

AFAB

EFBC

103

5BD+10=8BD ∴BD=;

7.（1）过点C作CG∥AB交AE的延长线于G ∴ ∴

DCDFABCG

1，

BEEC

ABCG1

FBAF

1

mn

AFFBAFBECE

2

（2）∵BE=2CE ∴ 由（1）

BECE

mn

mn

1 ∴=1

∴BF=AF 又AC=BC ∴CF⊥AB ∴CF所在直线垂直平分边AB （3）不能∵

BECE

mn

1 ∵

mn0

∴

BECE

1

∴BE>CE

故E不能为BC中点; 8.（1）由AD∥EF∥BC 有

EMAD

BEAB

CFCD

NFAD

则EM=NF

（2）仍成立 证明同（1）.

相似三角形的概念和性质

【考试目标导引】 ★知识结构

★重点、热点

确定线段的比、比例中项，用平行线分线段成比例定理进行有关计算和证明，用相似三角形的 性质定理解证一类简单的问题. ★目标要求

1.理解线段的比，成比例线段的概念，掌握比例的三个性质.

2.会用平行线分线段成比例定理证明和计算，会分线段成比例.

3.理解相似比的概念和相似三角形的性质. 【命题趋势分析】

例1.（1）（2001湖南邵阳）已知ab4，那么a_____.

b

7

（图6.5-1）

（2）（2002北京西城区）如图6.5-1，△ABC中，DE∥BC，如果AD=1，DB=2 ，那么， DE的值是_______.

b

BC

（3）（2001年北京密云县）如果两个相似的三角形对应边的比为3：4，那么，它们对应高的 比是______________. （4）（2001年广东梅州）已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中其中一个数是其 余两个数的比例中项，第三个数是_____（只需写一个）.

【特色】以上几道题都是按目标要求设计的，着眼于对性质和定理的理解. 【解答】（1）由合比性质或基本性质都可得a11;

b

7

（2）由平行线分线段成比例定理的推论可直接得DE1;

BC

3

（3）依据相似三角形的性质，对应高的比为3：4;

（4）设第三个数为x

由x2=4×8 可知 x=±42 由42=8·x 可知 x=2 由82=4·x 可知 x=16

故第三个数可为42、-42、2、16.

【拓展】求线段的比例中项只能取正值，而数的比例中项应取两个值. 例2.（2001山西省）（1）阅读下列材料，补全证明过程：

已知：如图6.5-2，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交OC

于点F，作FG⊥BC于G.

求证：点G是线段BC的三等分点. 在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC OE1

∴OE∥DC ∴ 

DC

2

FDDC2ED3(图6.5-2)

（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求：保留画图痕迹，不写 画法及证明过程）

【特色】此题设计较新颖，立意于考查学生阅读理解、归纳小结及创新思维能力. 【解答】补充证明：

∵FG⊥BC DC⊥BC ∴FG∥BC

∴

EF

OE

1

∴

EF



1

∴

FGDC



EFED



13

FGABCGBC

13

∵AB=DC ∴又∵FG∥AB ∴

13

FGAB

【拓展】可以通过此种方法得到将线段任意等分的一种新的方法.

例3.（2001河北）在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O ， 某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：

（1）当（2）当

（3）当

E

B C D

(图6.5-3)

AEACAEACAEAC

12

14

111112

1

时，有

AOADAOAD



2324

25

2212

（如图6.5-3） （如图6.5-4） （如图6.5-5）

E C B

AOAD

13

时，有

22

2

13

时，有

AOAD

23

A (图6.5-6)

的一般结论，

E F C

C

B

B

D (图6.5-4)



11n

D

(图6.5-5)

在图6.5-6中，当

AEAC

时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示

并给出证明（其中n是正整数）.

【特色】此题的设计意在通过特例进行归纳、猜想、证明来展示学生探究思维的能力. 【解答】依据题意可猜想：当

AEAC



11n

时，有

AOAD



22n

成立

证明：过点D作DF∥BE交AC于点F ∵D是BC的中点 ∴F是EC的中点 由

AEAC



11n

时，可知

AEEC



1n

∴ ∴ ∴

AEEFAEAFAOAD



2n

2

2nAEAF



22n

【拓展】引平行线证明比例线段的实质是构造基本图形，本题添加辅助线的方法有多种.选点作辅助线的方法是：选已知（或求证）中比在同一直线上的点作为引平行线的点，引平行线时，尽量使．较多的已知或求证的线段成比例. 【中考动向前瞻】

本节的概念、性质、定理较多，且都是研究相似形的理论基础，在中考试卷中有一定的比重，常以选择题、填空题的题型出现，着重基础.平行成分线段成比例定理在综合题中体现较多，常以探究性、开放性的题型出现. 【中考佳题自测】

1.（2002上海）如图6.5-7,△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AD=8， DB=6，EC=9，那么2.（2002常州）如图6.5-8,△ABC中，EF∥BC，交AB、AC于E、F，AE:EB=3:2，则 3.（2002湖北黄冈市）如图6.5-9，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC

相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可证明

1AB



1CD



1EF

成立（不要求考生证明）.

若将上图中的垂直改为斜交，如图6.5-10，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过点E作EF ∥AB，交BD于点F，则

1AB



1CD



1EF

还成立吗？如果成立，请给出证明；

B

F

(图6.5-10)

F

C B （图6.5-8） （图6.5-7）

【中考新题演练】

1.若x:y=6:5，则下列等式中不正确的是（ ）. A.

xyy

115

如果不成立，请说明理由.

(图6.5-9)

D

B.

xyy



15

C.

xxy

6

D.

yyx

5

2.如果两地相距250km，那么在比例尺为1:10000000cm. 3.如图6.5-11，△ABC中，DE∥BC交D、AC于E，下列各式不能成立的是（ ）

A、

ADDB

AEEC

B、

ABAD



ACAE

C、

ACAB



CEBD

D、

ADDB



DEBC

E

（图4.同一时刻，某一同学的身高是1.5米，影长是1米，一旗杆的影长是8米，则旗杆 6.5-11）

的高度是（ ）.

A.12米 B.11米 C.10米 D.9米

5.设实数a、b、c满足|a-2b|+3bc,则6.如图6.5-12，DE∥AB，EF∥BC，AF=5cm，FB=3cm，CD=2cm，求BD的长. D （图6.5-12）

7.如图6.5-13，△ABC中，AC=BC，F是AB边上一点， D，连结AD并延长交BC于E.（1）求

BEEC

BFAF

mn

（m,n>0）取CF的中点

的值；（2）如果BE=2CE，那么CF所在直线

与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论；（3）E能否为BC中点？如果能，求出相应的

mn

的值;如果不能，证明你的结论. D

（图6.5-13）

8.如图6.5-14，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别在AB、CD上，且EF∥BC，EF分别 交BD、AC于M、N. （1）求证ME=NF

（2）当EF向上平移到图6.5-15各个位置，其它条件不变时（1）的结论是否还成立，证明 你的判断.

NM

C （图6.5-14） （图6.5-15）

【参考答案】 【中考佳题自测】 1.∵DF∥BC ∴

ADDB

AEEC

即

86

=

AE9

AE=12;

2.∵EF∥BC ∴AF:FC=AE:EB=3:2; 3.成立.∵AB∥EF ∴ ∵CF∥EF ∴ ∴ ∴

EFAB1AB

EFCD1CD

EFAB

DFDB

DBDB

1

EFCDDFDB1EF



BFDBBFDB

.

【中考新题演练】 1.D (∵x=

65

y代入

yyx

x

=-5);



110000000

2.设图上相距xcm则

25000000

，x=2.5cm;

3.D

4.设旗杆高为h米，则

h81.51

∴h=12米，故选A;

5.由已知得：a-2b=0 3b-c=0 得：a=2b c=3b ∴a:b:c=2b:b:3b=2:1:3; 6.易证：EF=BD ∵EF∥BC ∴ ∴

58

BDBD2CGAFBECE

AFAB

EFBC

103

5BD+10=8BD ∴BD=;

7.（1）过点C作CG∥AB交AE的延长线于G ∴ ∴

DCDFABCG

1，

BEEC

ABCG1

FBAF

1

mn

AFFBAFBECE

2

（2）∵BE=2CE ∴ 由（1）

BECE

mn

mn

1 ∴=1

∴BF=AF 又AC=BC ∴CF⊥AB ∴CF所在直线垂直平分边AB （3）不能∵

BECE

mn

1 ∵

mn0

∴

BECE

1

∴BE>CE

故E不能为BC中点; 8.（1）由AD∥EF∥BC 有

EMAD

BEAB

CFCD

NFAD

则EM=NF

（2）仍成立 证明同（1）.